Геометрия бывает разная...

Доклад по геометрии

Тема:

Геометрия

Лобачевского

                Выполнили:учащиеся 11 класса

Симоненко Михаил,

Симоненко Зинаида          

НАЧАЛА ЕВКЛИДА

Как показывают археологические раскопки и исследования, проведенные на территории Месопотамии и Египта, математика является одной из древнейших наук. Возникла и развивалась она вследствие жизненных потребностей.

        Хотя правила и формулы отчетливо не высказывались, их можно было усвоить, ими можно было овладеть, рассматривая конкретные задачи и числовые примеры. После постановки задачи и изложения хода решения, которое начиналось с обращения к читателю: «Делай так!», конечный результат всегда подвергался проверке. Затем следовало заключение: «Ты сделал правильно!»

        У философа-энциклопедиста Аристотеля отчетливо сформулированы логические принципы построения математики. Чтобы что-то доказывать, делать логические выводы, нужно опираться на какие-то предшествующие положения, уже доказанные ранее. Но это восхождение к началам науки не может длиться до бесконечности, если не впадать в логическую ошибку «порочного круга», заключающегося в том, что опираются на предложение, являющееся следствием того, которое требуется доказать. Поэтому для построения строгой математической теории необходимо перечислить некоторые предложения, на которые, и только на них, можно опираться при доказательстве.

        Эти принципы особенно четкое воплощение получили в обширном творении а «Начала», текст которого дошел и до нашего времени. Книга Евклида пользовалась на протяжении более двух тысячелетий громадной популярностью.

        У Евклида геометрия развивалась постепенно, в виде цепи предложений (теорем), которые логически доказываются с помощью ссылок на аксиомы, постулаты, предшествующие теоремы.

        Приведем формулировку аксиом и постулатов  (один из вариантов):

ПОСТУЛАТЫ

1. Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию;
2. и чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать до прямой;
3. и чтобы вокруг центра любым радиусом можно было провести окружность;
4. и чтобы все прямые углы были равны друг другу;
5. и чтобы прямая, пересекая две прямые, образует внутренние односторонние углы, составляющие в сумме меньше  двух прямых углов, эти прямые при продолжении пересекались в точке, где расположены эти углы.

АКСИОМЫ

1. равные одной и той же, равны между собой;
2. и если к равным прибавить равные, то получатся равные;
3. и если от равных отнять равные, то получатся равные;
4. совмещаемые друг с другом равны друг другу.

ПРОБЛЕМА ПАРАЛЛЕЛЕЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ  ЛОБАЧЕВСКИМ.

В конце XIX века были выявлены существенные пробелы в аксиоматике «Начал». Но до этого труда рассматривался как самое совершенное безупречное дедуктивное изложение системы геометрии, и задачей многочисленных комментаторов на протяжении двух тысячелетий являлось внесение пояснений или некоторых усовершенствований.

        Особое внимание комментаторов привлекла проблема параллелей. После создания «Начал» утвердился ошибочный взгляд, что постулаты и аксиомы не требуют доказательств в силу своей простоты и очевидности. Но пятый постулат резко отличался от прочих более сложной формулировкой и отсутствием непосредственной очевидности. Ученым казалось, что это скорее теорема, которую  просто не сумел доказать.

        Таким образом возникла необходимость доказать это предположение, опираясь на остальные аксиомы и постулаты. Над решением этой задачи впоследствии бились сотни геометров. В каждом из предложенных ими доказательств удавалось впоследствии обнаружить или грубые ошибки, или более глубоко скрытые неточности, заключающиеся в том, что автор незаметно для себя пользовался каким-то новым постулатом или утверждением, невыводимым из остальных.

        В школьных учебниках геометрии вместо постулата вводится обычно следующая аксиома параллельности: на плоскости через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна параллель к этой прямой. В этой форме аксиома параллельности была введена впервые английским математиком 18 в. Плейфером.

        Однако доказать, что эта параллель будет единственной, что через данную точку параллель проходит только одна, никак не удавалось.

        В составившем эпоху в развитии геометрии докладе 1826 г. Лобачевский дал уже окончательное, но совсем неожиданное решение проблемы. Он создал новую геометрию, заменив постулат более общей аксиомой параллельности и сохранив прочие аксиомы и постулаты.

        Смысл аксиомы Лобачевского легче понять, если рассмотреть предварительно на плоскости прямую А1А, точку Р вне прямой, перпендикуляр PQ к прямой А1А и переменную точку М на луче QA . При движении точки М по лучу QA от Q к точке А прямая РМ поворачивается против часовой стрелки. Таким образом, имеется какое-то предельное положение, луч РТ, к которому приближается луч РМ, когда М неограниченно удаляется по лучу QA.

1. Если допустить, что [PT) совпадает с {PB), мы получим постулат параллельности а. Единственной не пересекающей прямой, проходящей через точку Р, будет (ВВ1)
2. Можно сделать более общее допущение (оно было принято Лобачевским)

Аксиома Лобачевского: луч РТ образует с лучом РQ некоторый острый угол α (∟QPT=α<). Этот угол Лобачевский назвал углом параллельности для отрезка PQ.

        Заметим, что в случае ② луч РТ не может пересекать [QA) т. к. иначе, взяв точку М так, что |QM|>|QU|, мы получим луч РМ1, тоже пересекающий [QA), но в этом случае луч РТ не является предельным для лучей РМ, пересекающих [QA).        

Прямая РТ названа Лобачевским параллелью к (АА1) в точке Р в направлении А1А.

        Рассмотрев симметрию с осью (PQ), мы видим, что (U1U), симметричная (ТТ1), также проходит через точку Р и не имеет общих точек с (QA). Эти две прямые Т1Т и UU1 названы параллелями в точке Р к прямой А1А и АА1.          

        С помощью этих прямых все прямые, проходящие через точку Р, разбиваются на два класса:

1 класс. Прямые, пересекающие А1А (это прямые, содержащиеся в пересечении двух вертикальных углов U1PTи UPT1). Множеству таких прямых принадлежит прямая PQ.

2 класс. Прямые, не пересекающие А1А (параллели Т1Т и UU1, а также все прямые, содержащиеся в объединении двух вертикальных углов TPUи U1РТ1; этот класс содержит прямую В1В. Прямые этого класса Лобачевский назвал разводными.. Теперь их называют расходящимися или сверхпараллелямик прямой А1А.

Аксиому Лобачевского можно сформулировать и в такой форме(чтобы подчеркнуть противоречие с аксиомой Евклида): на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО.

        В геометрии Лобачевского все те предложения и понятия, которые не опираются на постулат параллельности, будут совпадать с соответствующим материалом геометрии Евклида: так в плоскости Лобачевского существуют перпендикуляры, осевые симметрии, повороты. Справедливы свойства равнобедренного треугольника, соотношения «больше», «меньше» между сторонами треугольника, известны признаки равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника и т. п. Этот материал, общий для той и другой геометрии, составляет, по современной терминологии, «абсолютную геометрию». Различие между геометрией Лобачевского и геометрией Евклида наблюдается только там, где в доказательствах используется постулат параллельности и его следствие.

1. Прежде всего, в отличие от евклидовой геометрии, теорема о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, т.е. π, здесь оказывается неверной. В геометрии Лобачевского эта сумма меньше π и может быть неодинакова у различных треугольников.
2. Важно отметить, что в плоскости Лобачевского нет подобных, но не конгруэнтных фигур. Это объясняется тем, что все теоремы о подобии выводятся только с помощью евклидовой теории параллелей. Зато появляется новый признак равенства треугольников по трем углам.
3. Перечислим основные свойства параллельных прямых

1. на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит бесконечное множество прямых, параллельных в этой точке данной прямой в заданном направлении (этот факт выражен в аксиоме параллельности Лобачевского).
2. Параллель р к прямой , проведенная в некоторой точке Р, параллельна прямой а в каждой своей точке.
3. Выполняется свойство взаимности: если l параллельна m в некотором направлении, то и m параллельна l в соответствующем направлении, и свойство транзитивности: если l и m параллельны n в одном направлении, то они параллельны друг другу.

4. Угол параллельности  α не может быть постоянным (если он постоянный, то обязательно прямой, т.е. мы приходим к геометрии Евклида)

                НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ПОСЛЕ ЛОБАЧЕВСКОГО.

СОЗДАНИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ И ПРИЗНАНИЕ ИДЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО

Лобачевский умер, а его геометрия еще не получила признания. Его геометрические идеи, нарушившие установившуюся на протяжении тысячелетий традицию, казались нелепыми, и, как мы знаем, он подвергался даже издевательствам и насмешкам. А если некоторые геометры и относились к его идеям сочувственно, то, подобно Гауссу, они (кроме П. И. Котельникова и Ф Бойаи) не решались открыто высказываться, опасаясь «потревожить гнездо ос». И, хотя признание пришло уже через 12-15 лет после его смерти, важное значение его идей для дальнейшего развития математики выявилось только к концу ΧIX века.

        Основным мотивом непризнания геометрии Лобачевского было отсутствие убедительного доказательства ее непротиворечивости. Возникали сомнения, не появятся ли какие-либо противоречия в дальнейшем, когда будут делаться все новые и новые выводы. Не является ли эта теория пустой фантазией, которая впоследствии сам себя уничтожит?

        Факты, позволившие устранить это сомнения, были подготовлены теорией поверхностей, начала которой разрабатывались еще Эйлером и Лагранжем, а затем Монжем и его учениками.  В трудах Гаусса (1827) эта теория получила новое направление. Гаусс стал рассматривать поверхности, которые сохраняются, если поверхность изгибать, т.е. менять ее форму, но без сжатий и растяжений (как нерастяжимую металлическую оболочку, а не резиновую пленку). К внутренней геометрии поверхности относятся, прежде всего, следующие понятия и величины: «гладкая линия», «длина линий», «угол между пересекающимися линиями», «площадь фигуры, ограниченной контуром, лежащим на поверхности».

        Так как длины при изгибании сохраняются, то и так называемые геодезические линии, т.е. линии кратчайшей длины для небольшой области, принадлежат внутренней геометрии поверхности. На сфере, например, геодезическими линиями являются большие окружности, на плоскости – прямые.

        На кривой поверхности геодезические линии обладают свойствами, близкими в известном смысле к свойствам прямой. А именно: они не отклоняются в малом от своего направления. Например, если кусок плоскости с начерченными на нем прямыми свернуть в круговой цилиндр, то это уже будут не прямые, а винтовые линии ( в частности, прямолинейные образующие цилиндра и окружности, к ним перпендикулярные).

        В конце 19-го века итальянский ученый Е. Бельтрами установил замечательный факт: в евклидовом пространстве на поверхности постоянной отрицательной кривизны геометрия геодезических линий совпадает с планиметрией Лобачевского. Для этого он взял кривую на плоскости, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к этой кривой, заключенный между точкой касания и осью абсцисс имеет постоянную длину для всех точек кривой. Эту кривую называют трактриссой, а в шутку – «собачьей кривой», так как впервые появилась она в связи со следующей задачей: по прямой (например, оси абсцисс, бежит собака, хозяин собаки находится вне этой прямой (в точке А): он все время держит собаку на туго натянутом поводке и бежит за ней в направлении поводка. По какой кривой бежит хозяин собаки?

        Если вращать трактрису вдоль оси ОХ, то она опишет поверхность, называемую псевдосферой. Поверхности постоянной отрицательной кривизны Бельтрами назвал псевдосферическими. Если их изогнуть в поверхности вращения, то возможны три вида псевдосфер:

Плоскость Лобачевского – внутренность обычной окружности. Прямые Лобачевского – дуги окружностей, пересекающих упомянутую окружность (абсолют) под прямыми углами и лежащие внутри нее. Величины углов обычные (поскольку углы имеют натуральную величину, эту интерпретацию называют конформной.Здесь в бесконечно малом сохраняется форма фигур). Однако вычисление длин дуг нужно проводить по специальным формулам. Для пояснения рассмотрим рисунок:

Здесь изображены точка Р плоскости Лобачевского (точки, лежащие внутри круга) и прямая АВ. Концы хорды А0 и  В0 не принадлежат плоскости Лобачевского. Это изображения «бесконечно удаленных» точек прямой. Через Р проведены к АВ две параллели. Это РВ1 (в одном направлении) и РА1 (в другом). Они проходят через бесконечно удаленные точки В0 и А0 прямой АВ, но с прямой общих точек (в собственном смысле) не имеют. Они только сближаются с ней при  удалении точки в бесконечность (т. е. при приближении точки к В0 и, соответственно, к А0). Легко представить себе пучок прямых, проходящих через Ри пересекающих (АВ), и пучок прямых (включая параллели), не пересекающих АВ. Параллели являются крайними прямыми второго пучка, остальные его прямые – расходящиеся.

ФОРМИРОВАНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА

        Появление различных интерпретаций неевклидовой геометрии сыграло очень важную роль в разработке оснований математики. Аксиомы Евклида были переработаны и дополнены новыми аксиомами, которые ранее не были учтены, а именно аксиомами, характеризующими понятие порядка точек на прямой и на плоскости и понятие непрерывности.

        Постепенно к концу XIX века выявились основные требования, предъявляемые к системе,аксиом, и принципы аксиоматического метода:

1. Вводятся в рассмотрение некоторые основные множества (и, может быть, и подмножества), элементы которых получают свои наименования или обозначения ( например, точки А, В, …, прямые а, b, …, плоскости α, β,γ, … и т.п.).
2. Допускается, что эти элементы могут находиться в некоторых отношениях друг к другу. Например, «прямая проходит через точку», «точка лежит между двумя другими» и т.п. эти отношения только называются, но их конкретный смысл никак не определяется.
3. Наконец, формулируются аксиомы, которые характеризуют свойства введенных основных отношений между элементами.

Требования, предъявляемые к системе аксиом:

1. Система аксиом должна быть непротиворечивой. Непротиворечивость доказывается путем отыскания такой интерпретации, в которой все аксиомы системы выполняются. Например, непротиворечивость системы аксиом Лобачевского сведена к непротиворечивости геометрии Евклида, непротиворечивость последней сведена к непротиворечивости арифметики.
2. Система аксиом должна быть независимой (это требование не обязательно, но желательно). В ней не должно содержаться лишних, избыточных аксиом. Которые можно доказать как теоремы, исходя из прочих аксиом.
3. Система аксиом должна быть полной, т.е. между основными элементами и отношениями в любых двух интерпретациях можно было установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответственные элементы всегда находятся в  соответственных отношениях и в той и другой интерпретации, хотя истолковываться и элементы и отношения могут в каждой интерпретации по-своему.

О ПРИМЕНЕНИИ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ. ФИЛОСОФСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Убедившись, что данные астрономических наблюдений не могут служить прямым подтверждением или опровержением применимости его системы в реальном пространстве, Лобачевский получил с их помощью строгую оценку ошибок, возникающих, если применять геометрию Евклида вместо возможной, более общей геометрии. Далее он показал, как «воображаемая» геометрия может применяться внутри самой математики, а именно в математическом анализе при отыскании значений определенных интегралов. Другим математическим приложением его геометрии является использование ее при разработке теории автоморфных функций, обобщающих периодические функции и находящих применение и в механике, и в физике. Применение геометрии Лобачевского обеспечило успех в создании этой важной теории и служит сейчас при разработке ее проблем.

        Лобачевский был уверен, что его геометрия еще найдет свое применение в физике, что более общая, чем евклидова, она не может не отражать закономерностей самой природы. Он писал, например, что «такой Геометрии, может следуют молекулярные силы», и, далее, предвосхищая идеи общей теории относительности Эйнштейна, он высказал свои убеждения так: «… в том, однако ж, нельзя сомневаться, что силы все производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы» (понятие силы включало в его время и понятие энергии), т.е. он утверждал связь и зависимость геометрических и временных свойств от распределения и состояния движущейся материи. Он был убежден, что на громадных, пока недостижимых для наблюдений протяжениях Вселенной действует именно его геометрия.

        Развитие физики и космологии показало, что геометрия Лобачевского находит важные применения в теории относительности. Одно из такихприложений было получено русским физиком А. А. Фридманом (1888-1925). В 1922 г. Он нашел важный вид линейного элемента, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Этот неожиданный факт потом был подтвержден американским астрономом Хэбблом, наблюдавшим в 1929 г. «разбегание» далеких туманностей, что проявлялось в смешении спектральных линий к красному концу. Метрика Фридмана при фиксированном времени оказалась пространством Лобачевского, поэтому физики называют теперь это четырехмерное пространство пространством Фридмана-Лобачевского.

        Другое, может быть наиболее значительное, приложение геометрии Лобачевского в теории относительности связано с рассмотрением пространства относительных скоростей. Это   пространство оказалось пространством Лобачевского.

        В 50-х годах на эту связь обратил внимание академик В. Фок, а затем физики из Объединенного института ядерных исследований в Дубне Н. А. Черников и Я. И. Смородинский и другие начали с успехом применять геометрию Лобачевского при разработке вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций и пропагандировать свои методы.

        Таким образом, «воображаемая» геометрия оказалась весьма действенным инструментом в разрешении проблем реального мира.

        Нельзя также забывать, что проявление неевклидовых геометрий сыграло важную роль в борьбе материалистической философии с идеалистической трактовкой пространства и времени и времени в широко распространенной в XIX в. Философии И. Канта. Кант полагал, что пространство и время не являются объективными формами существования материи, а проявляются лишь как формы нашего воззрения на мир, как формы нашего восприятия. Причем евклидова геометрия – это единственная мыслимая геометрия, всем нам непосредственно очевидная, поскольку она порождена характером нашего воззрения на мир.

        Появление новой геометрии – геометрии Лобачевского, отчетливо поставило вопрос об эксперименте, чтобы выяснить, какая из систем геометрии реализуется в физическом пространстве. Таким образом, объективная сущность пространства была отчетливо выявлена, а идеалистическая трактовка этого вопроса Кантом опровергнута.

        Напряженная многолетняя деятельность Николая Ивановича Лобачевского, вдохновленного своим высоким идеалом ученого, отдающего все силы развитию науки и просвещения, дала замечательные результаты. И если его научные идеи не были поняты современниками (так, ни один из его учеников не продолжил его геометрических исследований), то впоследствии они утвердили его имя как имя борца и революционера в науке, чьи смелые идеи нарушили казавшиеся незыблемыми тысячелетние устои и во многом предопределили дальнейшее развитие математических наук.

ЛИТЕРАТУРА

«Геометрия, 7-9» учебник для общеобразовательных учреждений, авт. Л. С. Атанасян; М., «Просвещение», 2002 г.

«Геометрия, 10-11» учебник для общеобразовательных учреждений, авт. Л. С. Атанасян; М., «Просвещение», 2002 г.

«Н. И. Лобачевский и его геометрия» авт Б. Л. Лаптев; М. «Просвещение», 1976 г.

«Математика 11» авт. В. Ф,  Бутузов и др. М. «Просвещение», 1996 г.

«За страницами учебника математики» авт. Н. Я. Виленкин и др.; М. «Просвещение» 1996 г.

Википедия http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B9_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

http://www.ksu.ru/news/medal/lobachv