Квадратное колесо-правда или миф?

Квадратное колесо-правда или миф?

Цель:

Узнать, действительно ли в нашей жизни существуют квадратные колеса и, если да, то в  какой сфере деятельности их применяют.

Задачи:

1. Собрать информацию о квадратном колесе
2. Рассмотреть взаимосвязь квадратного колеса  и цепной линии
3. Рассмотреть способы применения квадратного колеса и цепной линии
4. Рассмотреть все виды существующих колес, в том числе  не круглой формы

Взаимосвязь квадратного колеса и цепной линии

Круглое колесо по прямолинейной дороге катится ровно, без толчков, так как центр колеса движется по горизонтальной линии. Квадратное колесо, естественно, по ровной дороге будет катиться плохо, центр колеса будет описывать дуги окружностей, тем самым то поднимаясь, то опускаясь.

Существует ли такая дорога, по которой квадратное колесо будет катиться ровно, т.е. центр колеса будет двигаться по горизонтальной линии? Если да, то каков профиль дороги? Как будет меняться со временем скорость и угловая скорость колеса?

Ответы на эти вопросы неожиданны. Профилем дороги является перевернутая цепная линия. При движении от верхней точки к нижней скорость центра колеса увеличивается, а угловая скорость уменьшается.

Цепная линия  — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. рассматривая данную тему дальше я выяснила что цепная линия известна уже давно. Галилео Галилей в своих опытах с построением  параболы получал подобную цепь, вот что он пишет:

 ...Другой способ начертить искомую параболу на призме состоит в следующем. Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить параболу; между одним и другим гвоздем подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка ее находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном длине призмы. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив ее след на стене пунктиром, мы получим полную параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведенным через середину линии, соединяющей оба гвоздя. Галилео Галилей «Беседы и математические доказательства…», 1638

По этой линии провиснет не только цепь, но и любая другая однородная нерастяжимая нить под действием силы тяжести. Эту кривую Вы могли, например, наблюдать, посещая музей. (Приложение).

Если некоторым образом подобрать параметр в уравнении, то тогда центр квадрата, катящегося без проскальзывания по дуге цепной линии, будет двигаться ровно по прямой!

Проследим за траекторией движения одной из вершин квадрата. Эта кривая нигде не пересекается с цепной линией, а значит, повозку, катящуюся на квадратных колесах, можно сделать! При этом расстояние между осями повозки не обязано быть кратным длине горба цепной линии — колеса могут находиться в разных фазах.

Рассмотрим теперь варианты колес, имеющих форму правильного многоугольника:

Дорога только должна быть не совсем ровной — в виде цепной линии со значением параметра, зависящим от количества углов. При приближении правильного многоугольника к окружности и соответствующем изменении параметра арки цепной линии становятся все ниже, а горизонтальная длина участка, необходимая для одного оборота многоугольника, все ближе к длине окружности. Такая вот эволюция колеса, которое, в отличие от правильных многоугольников, едущих по цепной линии, умеет поворачивать.

А вот еще немного опытов с цепной линией:

Натянем на два обруча, расположенных в параллельных плоскостях, мыльную пленку. Мыльная пленка — удивительный объект. Она легкая, внутренние силы гораздо сильнее, чем сила тяжести, и вследствие этого пленка всегда принимает вид поверхности, имеющей минимальную площадь при данных граничных условиях.

Как расположится мыльная пленка, натянутая на обручи? Оказывается, это будет поверхность, образованная вращением цепной линии! Если изменять расстояние между плоскостями обручей, то поверхность тоже будет меняться, но всегда профиль ее будет в виде цепной линии данной длины, подвешенной на соответственно расположенные столбики. Доказал это в 1744 году Леонард Эйлер в сочинении «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», а саму поверхность назвал катеноид (catena — цепь (лат.); éidos —  вид (греч)). 

Изготовление колеса.

Зная ответ, изготовить профиль дороги можно безо всяких вычислений. Пусть сторона квадратного колеса равна двум.

Поэтому берем цепочку длины 2 и, сдвигая концы цепочки, добиваемся провисания её на величину     - 1.  Получаем перевернутый профиль дороги.

Гиперболические функции  косинус  ch x   и синус   sh x   определяются формулами

                         .

Цепная линия – это другое название функции   ch x. Верны формулы

Длина дуги цепной линии   АВ  вычисляется по формуле

Пусть   АОХ = . Нам понадобятся соотношения

                        sin  = th x

                        cos  =                                                                                    ( 1 )

                        tg  = sh x

В заключение хочу сказать, что применение подобной цепи в нашей жизни очень разнообразно - это арки, мосты и декоративные заграждения. К примеру, однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома. А горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста имеет форму параболы, а не цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.

Профиль дороги.

Для круглого колеса на ровной дороге любое его положение является положением равновесия, аналогичное верно и для квадратного колеса на  требуемой дороге. Иначе центр колеса не будет двигаться горизонтально.

Другими словами, вертикаль, опущенная из центра колеса, всегда проходит через точку опоры, т.е. точку соприкосновения колеса с дорогой. выберем ось  х-ов так, чтобы центр колеса двигался по ней. Пусть ось  у-ов проходит через верхнюю точку профиля дороги, в этой точке квадрат расположен горизонтально. Пусть сторона квадрата равна двум, а искомое уравнение профиля дороги обозначим через   у(х).            

Тогда длина дуги    А1Х  равна отрезку    АХ,  а  АОХ  равен по величине углу наклона касательной к графику    у(х). Мы используем  тот факт, что отрезок    ОХ  вертикален.

Поэтому

  =  tg  AOX = -y(x)

.

Дифференцируя по  х  обе части равенства, получаем

                .

Обозначим     , тогда

                ;

                .

Итак,                              y(x) = -ch x.                                      ( 2 )

При другом выборе единицы длины стороны, т.е., если сторона квадрата равна   2а, происходит замена     на     и      на   . Тогда получится уравнение

                 .

При выводе уравнения   (2) мы не использовали то, что колесо квадратное, а пользовались лишь тем, что центр тяжести колеса лежит на расстоянии   1   от поверхности колеса. Поэтому уравнение   (2)   годится с небольшими модификациями и для неквадратных колес, например, треугольника или пятиугольника. Заметим также, что уравнением   (2)   можно пользоваться и в том случае, если центр тяжести колеса не совпадает с его геометрическим центром.

Для квадратного колеса точка    В  имеет координаты   .

Динамика колеса.

Пусть   t – время,  x(t) – координата центра колеса в момент времени  t . Координаты точки   Х  соприкосновения  колеса с дорогой будут   (x (t), -ch  (t)). Пусть  v(t) – скорость центра колеса в момент времени  t,  v0 – начальная скорость.  

v( 0) = v0,     x(0) = 0.

        Обозначим  через   ( t) –  угол поворота колеса, он совпадает с углом   в формулах  (1). Пусть  w(t) – угловая скорость колеса. Из формул  (1)  вытекает соотношение

 v = w* chx                                                                                     ( 3 )

        Обозначим через   m  массу колеса, через   J – момент инерции колеса относительно центр колеса. Если сторона квадрата равна  2, то   J=0, если масса сосредоточена в центре колеса, J=m, если масса распределена равномерно,        J=m, если масса распределена равномерно по поверхности кубического колеса,                  J =m,  если у куба удалена одна боковая грань.

        На колесо действуют силы:

сила тяжести, проходящая через центр колеса  О  и точку опоры  Х,

сила реакции опоры, проходящие через точку  Х.

Поэтому выполняется закон сохранения энергии, которая состоит из суммы кинетической энергии колеса       и энергии вращения   :

                .

Так как    ,  то   , поэтому получаем

                        .

Отсюда получаем формулы

                                                                           ( 4 )        

                        .

        Из формул  (1)  следует модификации формул  (4)

                        ,                                                   ( 5 )        

                        .

        При увеличении     и  x  скорость  v  увеличивается, угловая скорость   w  уменьшается.

        Выведем теперь уравнение движения центра колеса

                        ,

                        ,

                        ,

   .

        Окончательно получаем

     ( 6 )

Формулы  ( 1 )  позволяют получать модификации формулы  (6), выражая  t  либо  через  x, либо только через  . Мы остановились на формуле  (6)  ввиду её необъяснимой симметрии.

Примеры применения колес не круглой формы

Китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди.Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку. Добровольцы, опробовавшие новинку, были удивлены тем, насколько ровно передвигается велосипед с новыми колесами. Дело в том, что углы многоугольников сглажены. Это позволяет велосипеду не "прыгать" вверх-вниз, как можно было бы ожидать, поясняет со ссылкой на The Times InoPressa.ru. Кроме того, колеса по форме являются кривыми постоянной длины, иначе называемыми "многоугольниками Рело" или "круглыми многоугольниками". Контур таких фигур представляет собой плоскую выпуклую кривую, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно "ширине" кривой.

 Эта идея впервые пришла в голову французскому инженеру Францу Рело еще в XIX веке, с тех пор она используется в различных сферах жизни - от формы британских пенсов и канализационных люков до городской планировки.

 Литература

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/

Г. Галилей. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению синьора Галилео Галилея Линчео, философа и первого математика светлейшего великого герцога тосканского. С приложением о центрах тяжести различных тел. – М.-Л.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. С. 273-274.

А. И. Маркушевич “Замечательные кривые”; Москва; “Наука”-1978г.

Г. Штейнгауз “Математический калейдоскоп”; Москва; “ГосТехИздат”-1949г.

Г. Н. Берман“Циклоида”; Москва; “ГосТехИздат”-1954г.