"Обыкновенные дроби"

Слайд 1

Добрый день, я Толкунов Илья, ученик 5 класса,

 хочу представить свой проект по математике

«Ох, уж эти дроби»

Оглавление

1. Введение…

2. История развития обыкновенных дробей.

2.1 Появление дробей

2.2 Дроби в древнем Египте

2.3 Дроби в древнем Риме

2.4 Дроби в Вавилоне

2.5 Нумерация и дроби в древней Греции

2.6 Нумерация и дроби на Руси

3. Применение дробей в повседневной жизни

4. Заключение

5. Список использованных источников информации

Слайд 2

Введение.

«Обыкновенные дроби» - это словосочетание я впервые услышал на уроке математики. Я захотел узнать историю возникновения и исторические факты развития дробей, рассмотреть более подробно этапы развития обыкновенных дробей. Провести исследование убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.
 Цель исследования:
- Сформировать представление о возникновении и развития обыкновенных дробей;

-  Развить  любознательность;

- Вызвать  интерес к изучению математики.
Слайд 3

Для достижения этой цели были сформулированы задачи:
1) развивать умение работы с информационными источниками;  

2) рассмотреть применение дробей в повседневной жизни;
3) привитие интереса к изучению математики через рассмотрение исторических фактов;
4) научиться обобщать полученную информацию.
Слайд 4

Объект исследования – математика.
Предмет исследования – обыкновенные дроби.

Гипотеза: повседневная жизнь человека не обходится без дробей.

Актуальность и значимость моей работы вижу в том, что будет интересной для учащихся и интересной на уроках  математики в качестве дополнительного материала ( при проведении уроков и внеклассных  мероприятий).

Ход работы.

Слайд 5

История развития обыкновенных дробей.

2.1 Появление обыкновенных дробей.

Что может быть проще счёта? Говорить подряд: один, два, три, четыре, пять и т.д. может всякий. Счёт вошёл в наш быт так прочно, мы с ним так сжились, что не можем себе представить человека, не умеющего считать. И всё же было время, когда люди считать не умели. Наши отдалённые предки, населявшие землю тысячи веков тому назад, не знавшие огня, не знали и счёта.
В старинных сказаниях упоминаются пророки и герои, которым боги открыли или которые сами отняли у богов огонь и число. Таких пророков и героев, разумеется, никогда не было. Люди научились считать сами, постепенно в течение сотен веков, передавая свой опыт и свои знания из поколения в поколение, развивая и совершенствуя искусство счёта.
На древних гробницах, на развалинах старых храмов находят иногда странные, причудливые письмена. Учёные сумели их прочесть и узнали, как жили люди четыре-пять тысяч лет назад. Из этих надписей видно, что и тогда наши предки считали неплохо. Но как считали они ещё раньше, когда не умели писать? Об этом я могу только догадываться.  

В те отдалённые времена, когда люди едва научились говорить и пользоваться огнём, они знали только два числа: один и два. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. Если перечисляемых предметов было больше двух, то люди говорили просто «много». «Много» было звёзд на небе, но и пальцев на руке было тоже «много».
Постепенно к первым двум числам прибавлялись новые и новые. Люди научились считать до пяти и соединять два «пятка» в десяток. На первых ступенях развития общества люди считали с помощью десяти пальцев рук. Поныне существует высказывание «Перечесть по пальцам». Так постепенно увеличивался набор чисел, которые употребляли при счёте предметов, т.е. появились натуральные числа.
В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага. Появление дробей связано у многих народов с делением добычи на охоте. В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин.

Слайд 6

2.2 Дроби в древнем Египте.

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/3, затем и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей.

Например, .
В древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Об этом свидетельствуют сохранившиеся до наших дней египетские пирамиды. Разумеется, для того чтобы строить их, чтобы вычислить длины, площади и объёмы фигур, необходимо было знать арифметику.
Египтяне писали на папирусах, то есть на свитках, изготовленных из стебля крупных тропических растений, носивших такое же название.
Важнейшим по содержанию является «папирус Ахмеса», по имени одного из древнейших писцов, рукой которого он был написан. Его длина 544см, а ширина 33см; хранится он в Лондоне, в Британском музее. Этот старинный математический документ озаглавлен так: «Способы, при помощи которых можно дойти до понимания всех тёмных вещей, всех тайн, заключающихся в вещах». В этом папирусе имеются таблицы для представления некоторых дробей в виде суммы единичных дробей.

Слайд 7

2.3 Дроби в древнем Риме.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли части известных величин. Медленным и длительным был переход от конкретных к отвлечённым дробям, не связанным с определёнными мерами. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть и т. д.

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо римляне говорили «одна унция», – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Для дробей, знаменатель которых получался путём деления долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит слово «скрупулёзно» от римского названияасса – «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семис» - половина асса, «секстане» - шестая его доля, «семиунция» - полунции и т.д.
Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей и таблицу сложения, и таблицу умножения. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.
Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Слайд 8

2.4 Дроби в Вавилоне

Около 4 тысяч лет назад в Месопотамию – долину между Тигром и Ефратом на территории нынешнего Ирака – пришли два кочевых народа: сумерийцы и аккадяне. Через два века они слились в одно мощное государство – Вавилон.
Ко времени слияния каждый из этих народов имел свои весовые и денежные единицы. Основной единицей у сумерийцев была «мина», а у аккадян – «шекель». «Шекель» была приблизительно в 60 раз меньше «мины». Следующей весовой единицей установили «талант», она была в 60 раз больше «мины».
Происхождение 60-еричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают учёные, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель

Раскопками, проведённым в 20 веке среди развалин  древних городов южной части Двуречья, обнаружены клинописные математические таблички.  Письменная 60-еричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и углового знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной 60-еричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введён знак , заменяющий «0», для отделения разрядов между собой.
60-ые доли были привычны в жизни вавилонян, они записывали все дроби со знаменателем 60 или его степени.
Например:

- Следы вавилонской 60-еричной системы счисления удержались и в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд; окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
- Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. 60-еричными дробями пользовались в астрономии учёные всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями.

- В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Слайд 9

2.5 Нумерация и дроби в древней Греции

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных.

 Например:

- ГENТЕ  (генте или пенте) – пять, ΔЕКА (дека) – десять. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была заменена более удобной алфавитной нумерацией и быстро распростронилась  по всей Греции.
- Греческие учёные считали, что математика должна заниматься только целыми числами.      

- Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам и другому «чёрному люду».

 Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.
Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби.  

Слайд 10

2.6. Нумерация и дроби на Руси

 В  1136году,  учёным  монахом  Кириком  Новгородцем,  на славянском языке было написано сочинение о календаре(Старейший арифметический памятни Киевской Руси) «Учение им же ведати человеку числа всех лет», то есть «Наставление, как человеку познать счисление лет».  в этом труде  Кирик пользуется конкретными дробями.
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

  Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века.  

При  Петре I в страну прочно проникла десятичная позиция счисления и вытеснила славянскую нумерацию.

Мой эксперимент

Слайд 11

Применение дробей в моей  повседневной жизни.

1) Дроби и музыка.
Яркая наглядность дроби - ноты.Ноты отличаются по длительности их звучания.

В этих примерах на сложение дробей, видно, что у них одинаковый знаменатель и мы складываем числители этих дробей.
От  длительности нот в произведении зависит и темп и ритм и даже настроение музыки.

Слайд 12

2. Золотое сечение.
   Деление отрезка при котором длина всего отрезка так относится к  длине его большей части, как длина большей части к меньшей - математики древности называли золотым сечением. Это отношение приближённо равно 0,618 . Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.
   Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения.

Слайд 13

3. География
   Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Слайд 14

4) В строительстве.

Слайд 15

5)..Дроби и Я: ..

а) ...в моей семье 4 человека

Я = 1/4 части семьи, это если каждого члена считать за 1 долю, а если разделить - родители и дети, то  как дети, мы с братом  это уже 1/2 доля семьи. Вот как интересно получается. В первом случае 1/4 потому, что 1/4 это мама, 1\4 - папа, 1/4 Артем, и 1/4 это я.

  Во втором случае 1/2-родители +1/2 дети=2/2=1 и тоже семья.

Слайд 16

Б) у меня дома 2 попугая , если их двое, значит 1= 1/2+1/2, каждый попугай это 1/2 часть.

Слайд 17

В) в 5 классе 10 учебников, значит  1(целая часть ) будет равна 10/10. Я посмотрел  расписание на неделю и у меня получилось, что в понедельник   я приношу по 4 учебника, перевожу в дробь и получаю 4/10 всех учебников (четвёртая часть), во вторник  у меня 5 учебников это 5/10 (пятая часть),  среду  5 учебников - 5/10 (пятая часть), в четверг - 5 учебников - 5/10 (пятая часть), пятница- 5 учебников (пятая часть).    

А теперь можно сложить эти дроби:

24/10= 2 целых 4/10

 При сложении дробей с одинаковыми знаменателями мы складываем числители, а знаменатель оставляем тот же. В моем случае числитель получился больше знаменателя, это потому, что некоторые учебники я приношу не один раз. Дроби у которых числитель больше знаменателя называются неправильными. Эта дробь читается как: 24 десятых или 2 целых 4 десятых.

Слайд 18

Г) у моего папы есть тример для ухода за придомовой территорией, на упаковочной коробке есть таблица -инструкция и вот в графе «тип и характеристика аккумуляторной батареи» написано - 12В/2000мА.ч, мне было совсем не понятно, а теперь понятно - это значит из 2000микро Ампер в час батарейка имеет заряд 12 Вольт; в графе «топливо» написано АИ92 и масла двухтактных двигателей в пропорции: 30мл/1л бензина - значит на 1 литр бензина нужно налить 30мл масла,  и такую смесь нужно заливать в бачок для топлива.

Слайд 19

Д) Моя мама часто пользуется рецептами и раньше я все время спрашивал, что означают цифры с «палочкой».  А сейчас я знаю- это дробь.например я видел как было написано на 1 стакан муки взять 1/2 сахара, 1/5 часть изюма.итак: 1/2 часть масла значит стакан муки это 1/2+1/2=1, вот 1/2 часть, то есть половина, нужно взять масла. 1/5 часть изюма это значит стакан нужно приблизительно разделить на 5 равных частей и 1 такую взять, т.к 1/5+1/5+1/5+1/5=1/5=5/5=1.  Надо заметить, что мы складываем числители, а знаменатели оставляем прежним.

Слайд 20

Для подтверждения или опровержения своей гипотезы, я, провёл  анкетирование среди учащихся школы.

 Меня интересовало 2 вопроса:

1.Приходилось ли тебе в повседневной жизни пользоваться дробями? (если да, то в каких случаях).результаты получились вот какие:

 Практиченски все пользуются дробями, для расчётов (на уроках физики, химии, при приготовлении блюд по рецептам).

2. Во втором вопросе я раздал по 2 не очень сложных примера, было интересно сколько будет правильных ответов:

 С примером справились все.

Слайд 21

4. Заключение

В результате работы над проектом я узнал историю развития обыкновенных дробей,  привёл и  рассмотрел  задачи с практическим содержанием. В ходе их решения, я закрепил алгоритмы выполнения действий над дробями, сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Разнообразие предложенных задач и результаты анкетирования убедили меня в необходимости применения дробей в повседневной жизни и для многих профессий.
Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке для примеров, так и для проведения внеклассных мероприятий по математике.

Слайд 22

Спасибо за внимание.

Слайд 23

5. Список использованных источников информации:

1. 2. Гельфанд М.Б., Павлович В.С. Внеклассная работа по математике. – М.: Издательство «Просвещение», 1965г.
3. Григорьева Г.И. Математика. Предметная неделя в школе. –
.: Глобус, 2008г.
4. Перельман Я.И. Живая математика. – ОГИЗ, Гостехиздат, Москва, 1946г.
5. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5-6 классах: Книга для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 2005г.
6. Шейнина О.С., Соловьёва Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М. Издательство НЦ ЭНАС, 2007г
7. http://funnymath.ru

8. http://udivit-matem.narod.ru

Приложение№1

1. Приходилось ли тебе в повседневной жизни пользоваться дробями? (если да, то в каких случаях).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Умеешь ли ты пользоваться  дробями?

=

1. Приходилось ли тебе в повседневной жизни пользоваться дробями? (если да, то в каких случаях).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Умеешь ли ты пользоваться  дробями?

=

=

1. Приходилось ли тебе в повседневной жизни пользоваться дробями? (если да, то в каких случаях).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Умеешь ли ты пользоваться  дробями?

=

=