Исследовательский проект "Теорема Пифагора"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Мангутская средняя общеобразовательная школа »

Называевского муниципального района Омской области

Проект по математике на тему:

« Теорема Пифагора »

Выполнил: Козлов К.Е., ученик 11 класса

Руководитель: Нагибина Л.М., учитель математики

С. Мангут 2022 г.

Паспорт работы

МБОУ " Мангутская СОШ"

Адрес: с. Мангут

Автор работы: Козлов К.Е.

Название работы: «Теорема Пифагора».

Основной предмет: математика

Руководитель: Нагибина Людмила Михайловна

Способ представления работы на защите:

                                                                                                                                                                               Подпись  руководителя: __________________ /Л.М.Нагибина/

План работы над проектом

Содержание

Введение………………………………………………………………………...5

Глава I. Основное содержание………………………………………………..7

1.1 Биография Пифагора………………………………………………….7

1.2 История теоремы и её формулировка…………………………………8

1.3 Различные доказательства теоремы Пифагора……………………...10

Глава II. Практическая часть…………………………………………………18

2.1 Исследование знаний о теореме……………………………………...18

2.2 Применение теоремы в различных областях жизни………………..19

2.3 Личная практика………………………………………………………25
Заключение…………………………………………………………………….26

Используемая литература и интернет – ресурсы…………………………..27

Приложение…………………………………………………………………..28

Введение

Актуальность темы.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора это её простота, красота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о её широком применении, однако не все знают о нём. Поэтому я заинтересовался и решил провести исследование.  

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: практическое применение теоремы в современной науке и повседневной деятельности человека.

Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать её в широком диапазоне.

Цель работы – показать значение теоремы Пифагора не только в математике, но и в нашей повседневной жизни.
Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:
1. Найти в различных источниках и проанализировать найденную информацию о теореме и биографии Пифагора.
2. Изучить историю появления и развития теоремы .
3. Провести опрос среди учащихся в виде анкетирования для выявления знаний о теореме Пифагора .

4. Установить какое значение имеет открытие теоремы в развитии математики.
5. Выяснить, где может применяться теорема в повседневной жизни.
6. Обработать полученные данные и сделать вывод.

Методы исследования.

1. Интернет-источники.
2. Изучение дополнительной литературы по данному вопросу.
3. Результаты опроса  учеников.

Глава I. Основное содержание

1. Биография Пифагора.

Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 570 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.

В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами.
Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было около 80 лет. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.

Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно.

Имя Пифагора всегда было окружено большим количеством легенд даже при жизни. Считалось, что он мог управлять духами, умел прорицать, знал язык животных, общался с ними, птицы под влиянием его речей могли изменить вектор полета. Предания приписывали Пифагору и умение исцелять людей, в том числе с помощью прекрасного знания лекарственных растений. Его влияние на окружающих было сложно переоценить. Рассказывают такой эпизод из биографии Пифагора: когда однажды он рассердился на ученика, тот от горя покончил жизнь самоубийством. С тех пор философ взял за правило больше никогда не выплескивать на людей свое раздражение.

1.2 История теоремы и её формулировка.

Теорема хоть и называется «теоремой Пифагора», но сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой - доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начало» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также мне оказался интересен тот факт, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-бисуаньцзинь».

Во времена Пифагора теорема звучала так: «доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «площадь квадрата,  построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В современных учебниках теорема гласит: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

1.3 Различные доказательства теоремы Пифагора.

1. ДРЕВНЕКИТАЙСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

a2 +b2 = c2                                               Теорема доказана.

2.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ЕВКЛИДА

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

        Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Donsasinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.         Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

3.СТАРЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

c2 =4ab / 2+ ( a – b )2

c2 = 2ab + a2 - 2ab + b2

c2 = a2 + b2.  

Теорема доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДРЕВНИХ ИНДУСОВ

а)                                        б)

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные,  т.е.     с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не  записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ХОУКИНСА

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2
SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c²
Теорема доказана.

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВАЛЬДХЕЙМА

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства, основанного на вычислении площадей двумя способами. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2

 Sтрапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана.

8.  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ДЖ. ГАРДФИЛДА

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции  находится как        произведение полусуммы  оснований на высоту

        S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

 Приравнивая данные выражения, получаем:

     или      с2 = a2 + b2

Теорема доказана.

9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭЙНШТЕЙНА

Его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. Точки E, C и F лежат на одной прямой. Продолжим вверх левую и правую стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF, и продолжим сторону ЕА до пересечения с CD. Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы .

Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 900 , т.е. они равны. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси  EFи параллельном переносе, т.е. они тоже равны.

При параллельных переносах   и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.

Из этого всего следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.  Теорема доказана.

10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

Доказательство, основанное на теории подобия.  В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющиеся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол А, треугольники CBD и АВС - общий угол В. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику.

АС: АН= АВ:АС = ВС:СН ;

АВ:ВС= ВС:ВН + АС:СН;

Получим верные равенства:  

АСАС= АВ АН                      ВСВС= АВВН

b b= c                               a  a = c  BH,

складывая эти два верных равенства, получим

с2 = a2 + b2

Теорема доказана.

Глава II. Практическая часть.

2.1 Исследование знаний о теореме.

В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы рассматривается крайне редко. Теорема Пифагора самая известная теорема в геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. В связи с этим, мне стало интересно проанализировать знания по этому вопросу среди 20  учащихся. Я  провел в школе опрос на тему: «Знаете ли Вы теорему Пифагора?» Были получены следующие результаты:

2.2 Применение теоремы в различных областях жизни

Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Ещё в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам, но ценность теоремы в современном мире также велика, поскольку она применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при производстве окон некоторых архитектурных стилей, при строительстве домов и коттеджей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

2.2.1. При решении геометрических задач

Теорема Пифагора помогает нам найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, она позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

2.2.2. Строительство, архитектура

Окно.

Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве: в зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Крыша.
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки определённой длины.

Лестница.

При строительстве дома необходимо рассчитать длину лестницы от пола до окна.

Парник
Размер парника играет большую роль – от него зависит температура и влажность, а значит, сам процесс созревания урожая. Размеры в мм.

2.2.3. Дизайн одежды.
При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину выточек.

2.2.4.  Мобильная связь.

Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в её качестве. А качество, в свою очередь, зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать в каком радиусе можно принимать передачу, применяют  теорему Пифагора.

2.2.5.В технике. Молниеотвод.

Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных и других сооружений от ударов молнии. Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

2.2.6. Астрономия.

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса световой сигнал  в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора,  имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

2.2.7. Искусство, театр.

Изображение луны в живописи, в театре и даже в кино часто изображается луна, размер и расположение которой представлены ошибочно. Как правило, чем ниже луна находится к горизонту, тем больше она кажется. Правильные размеры можно определить с помощью простых расчетов с использованием прямоугольных треугольников.

2.3. Личная практика

Недолго думая, я выбрал направление, так как именно здесь можно наиболее наглядно представить теорему Пифагора. Мне пришла в голову идея создать деревянный макет крыши частного дома, но для этого мне сначала пришлось сделать чертёж, который  соответствует этой самой теореме.

62+82=102

Заключение

В ходе работы над проектом я разрешил, поставленные перед собой задачи. Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Теорема имеет огромное практическое значение: она применяется в нашей жизни буквально везде. В своём проекте я показал связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её практическую значимость. Попытался собрать и обобщить информацию по данной теме. Мною было прочитано, изучено некоторое  количество литературы, посещено множество сайтов, кроме того, я пополнил свои знания о теореме Пифагора, убедился, что значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно решить множество интересных и важных задач, как на уроках математики, так и практической жизни. Я считаю, что проведя такую большую работу, я достиг своей цели и думаю, что результаты моей работы будут полезны и интересны моим сверстникам и всем школьникам.

Используемая литература и интернет – ресурсы

1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2002г.
2. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11», М.«Просвещение»1992г.
3. Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993г.
4. Литцман В. «Теорема Пифагора» М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960г.
5. Руденко В.Н. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»1992г.
6. https://www.livelib.ru/selection/767476-pifagor
7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор
8. https://24smi.org/celebrity/4884-pifagor.html

Приложение

Приложение №1

Заповеди, откровения Пифагора.

- Мысль - превыше всего между людьми на земле.

- Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).

- Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).

- По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).

- Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).

- Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).

- В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

Приложение №2

Великие тайны Пифагора

Первая тайна заключается в таком множестве названий: «теорема бабочки», «т. невесты», «т. нимфы», « т. 100 быков», «бегство убогих», «мост ослов», «ветряная мельница». Думаю, что не найти другой теоремы, которая имела бы столько всевозможных названий!

Вторая тайна – точно неустановленное количество доказательств знаменитой теоремы Пифагора Самосского. Большинство людей старшего поколения согласны с существованием 250 доказательств, хотя мне из дополнительных источников известно, что существует более 350 доказательств этой теоремы, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса! Но, конечно же, принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.

Третья тайна – это то, что теорема Пифагора является сегодня символом математики.

Четвёртая тайна – теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления, которым в совершенстве владеют многие учёные. Здесь можно добавить, что от теоремы Пифагора можно перейти к другим теоремам.

Пятая тайна заключается в том, что некоторые исследователи приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл (математик V в.) утверждал, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду. Но всё-таки сегодня способ доказательства Пифагора остаётся неизвестным.

Шестая тайна – легенды о самом Пифагоре, человеке, который первым доказал эту теорему. Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.