Проект "Фрактал Коллатца"

Опубликовано Канахина Мария Владимировна вкл 03.06.2022 - 14:44

Автор:

Давтян Арман

Геометрия, которую мы изучаем и пользуемся восходит к Евклиду. Фигуры, которые всем широко известны из школьной программы относятся к классической геометрии, и они или их части часто используются в объектах, созданных человеком. Однако в природе такие фигуры встречаются крайне редко. Природа демонстрирует нам совершенно иной уровень сложности, то есть почти все природные объекты имеют фрактальную структуру. Что же такое фрактал?

Скачать:

Вложение	Размер
fraktal_kollattsa_1.docx	34.28 КБ

Предварительный просмотр:

ЧОУ «Лотос»

Проектная работа

«Фракталы. Фрактал Коллатца»

по математике

Выполнил: ученик 11 класса Давтян А.

Руководитель: Канахина М.В.

Москва, 2022 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 2

1. Понятие Фрактала 2

1.1 История возникновения 3

1.2 Классификация фракталов 3

2. Фрактал Коллатца. 5

2.1. Особенности фрактала 5

2.2. Закон Бенфорда 5

3. При каких случаях гипотеза может быть опровергнута 6

3.1 При каких случаях гипотеза будет доказана 6

4. Вывод 7

4.1. Конечный продукт 7

4.2. Источники 7

Актуальность темы: гипотеза Коллатца уже более ста лет никем не доказана и не опровергнута, а попытки учёными со всего мира хотя бы приблизиться к её разгадке не прекращаются и по сей день.

Цель проекта: исследовать фрактал и его свойства. Расширить заданный диапазон условий и рассмотреть все возможные комбинации циклов при заданных условиях.

Задачи проекта:

1) Понять, что такое фрактал.

2) Изучить историю их открытия.

3) Рассмотреть некоторые виды фракталов, найти их в окружающей среде.

4) Понять их значимость в мире.

5) Создать собственный фрактал.

Методы проекта: сбор информации касаемой темы в интернете, литературе и других источниках; анализ и обработка полученной информации; проведение исследования; создание презентации, иллюстрирующей собранный материал.

Введение

1. Понятие Фрактала

Фрактал – множество, обладающее свойством самоподобия, то есть объект в точности или приближённо схожий с частью себя самого (целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Слово фрактал употребляется не только в качестве математического термина, также фракталом можно назвать предмет, обладающий одним из указанных свойств:

1. Увеличение масштаба фрактала не ведёт к упрощению фигуры, она остаётся одинаково сложной во всех масштабах.

2. Является самоподобным или приближённо самоподобным.

3. Они создаются с помощью простой повторяющейся процедуры.

1.1 История возникновения

Первые идеи возникновения фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких объектах, без какой-либо попытки систематизации, так было пока за них не взялся Мандельброт – учёный математик, отец современной геометрии и слова фрактал. Само понятие фрактала вошло в науку вошло в прошлом столетии, когда в 1983 году Мандельброт выпустил свою книгу “Фрактальная геометрия природы”. В ней автор описывает особенности фракталов, показывая, что обычные геометрические фигуры неспособны описать формы различных природных явлений, в отличие от фракталов, а также то, что они буквально нас окружают, например: расположение ветвей дерева фрактально, фракталы – узоры листьев, капиллярная система растений, кровеносная, лимфатическая, нервная система животных, даже поверхность облаков и линий морских побережий фрактальны.

1.2 Классификация фракталов

Фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы по-другому также называют классическими, так как являются самыми наглядными, обладают жёсткой самоподобностью, не изменяющейся при увеличении масштаба. Строится же он поэтапно: сначала изображается основа, затем части основы заменяются на подобные этой части фрагменты и так продолжается до тех пор, пока визуальные изменения становятся незаметными. Геометрические фракталы уникальны тем, что они применимы не только в математике, но и в других областях, например художники с помощью геометрических фракталов могут воссоздавать природные объекты.

Алгебраические фракталы получили своё название из-за того, что строятся они на основе алгебраических формул, иногда даже самых простых. Делятся они на линейные и нелинейные алгебраические фракталы. Первые определяются линейными функциями, а вторые соответственно нелинейным. Их уникальность состоит в том, что некоторые алгебраические фракталы удивительным образом напоминают животных, растений и других биологических объектов, за что и получили своё название – биоморфы.

Стохастические фракталы – это фракталы, которые получаются в том случае, если в процессе объединения частей фрактала в целое случайным образом изменять какие-либо параметры. Самым распространённым стохастическим фракталом является плазма. Особенностью таких фракталов является то, что с их помощью можно точно изобразить рельеф какой-либо поверхности, так как фигуры из Евклидовой геометрии этот параметр не учитывают, например, предположим, что нам требуется изобразить гору и в точности передать особенности рельефа, в этом случае на обычный конус накладывают плазму, таким образом добиваясь нужного эффекта.

Применение фракталов:

1) Компьютерная графика. С помощью них можно создать поверхности очень сложной формы, а изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения.

2) Радиотехника. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном.

3) Экономика. В последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

4) Литература.

«Вот дом. Который построил Джек.

А вот пшеница. Которая в тёмном чулане хранится

В доме, Который построил Джек

А вот весёлая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме, Который построил Джек…».

Итак, узнав про все возможные виды фракталов, хочу вернуться к фракталу Коллатца. К какому же виду фракталов его можно отнести? Ответить на данный вопрос мы попытаемся после подробного с ним знакомства.

2. Фрактал Коллатца.

В 1932 году немецкий математик Лотар Коллатц выдвинул гипотезу о том, что можно взять любое целое число больше нуля и если оно чётное, то делим его на два, а если нечётное, то умножаем на три и прибавляем единицу. Это и есть формулировка фрактала Коллатца.

2.1. Особенности фрактала

Первая особенность фрактала Коллатца заключается в его названии. Фрактал также называют гипотезой Коллатца, числами-градинами, сиракузской последовательностью, а также математики часто, в своей профессиональной деятельности, используют название 3n+1.

Второй, одной из ключевых особенностей является то, что любая последовательность чисел во фрактале Коллатца, в ходе n-го кол-ва соответствующих действий замыкается в цикл 4-2-1.

Третьей особенностью, не менее важной, и одной из самых интересных является сперва непонятный парадокс: если представить любое число во фрактале в виде графика, то можно наблюдать, что он зигзагообразный, а также приводит любое число к единице, хотя, казалось бы, учитывая то, что всех чётных и нечётных чисел поровну, а также, что нечётные возрастают почти втрое, а чётные вдвое уменьшаются, последовательность должна постоянно линейно возрастать, но если более внимательно рассмотреть закономерность, то можно увидеть, что когда мы умножаем нечётное число на три и прибавляем единицу, то оно превращается в чётное, следовательно следующим шагом делится на два, соответственно нечётные числа не увеличиваются втрое, а умножаются на 3/2, то есть 1,5 это максимальный рост для нечётного числа. Предлагаю проследить путь от одного нечётного числа к другому нечётному; если взять определённую последовательность нечётных чисел, то умножая их на три и прибавляя один, они превратятся в чётные, а дальше мы сможем проследить определённую закономерность: половину из этих чисел достаточно поделить единожды, чтобы вернуться к нечётным, каждое четвёртое дважды, то есть деление идёт на четыре, и следовательно каждое четвёртое нечётное число это 3/4 от предыдущего нечётного, каждое восьмое число делим на восемь и т. д. Взяв среднее геометрическое, можно заметить, что для того, чтобы перейти от одного нечётного числа к другому, в среднем, нужно умножить его на 3/4, а это меньше одного, следовательно фрактал чаще падает, чем растёт.

2.2. Закон Бенфорда

Данный закон также частично объясняет почему график фрактала стремится к единице и в долгосрочной перспективе во всех случаях падает. Закон Бенфорда проще объяснить на гистограмме. На основе чего она составляется? Возьмём, к примеру, один миллиард чисел, для более точной гистограммы, на ней видно, что числа с наименьшой цифрой в начале преобладают над числами с наибольшей, следовательно график фрактала постоянно, в долгосрочной перспективе, падает.

3. При каких случаях гипотеза может быть опровергнута

Всего таких случаев два. Первый: если можно будет найти такое число, подставив которое в алгоритм получится бесконечность. Второй: если есть такая последовательность, которая замыкается в свой собственный цикл, например, таким циклом может являться круг.

3.1 При каких случаях гипотеза будет доказана

Гипотеза Коллатца может быть доказана только в одном случае, если любое исходное число будет иметь сколь угодно малое значение, но почему же до сих пор никому не удалось её доказать?

Для того, чтобы это понять нужно построить график со всеми положительными значения по x и со всеми положительными значениями по y и ограничить их функцией, и если все числа x при любом ограничении функции будут иметь сколь угодно малое значение и стремиться к единице. Доказать этого до сих пор не удалось, однако в 1976 годы математик Рихо Террас пришёл к выводу, что почти все последовательности будут иметь значение ниже исходного x, а в 1979 показали на сколько именно ниже – до , позднее в 1994 степень уточнили до , но ближе всех к разгадке оказался математик Терри Тао, в 2019 году доказал, что фрактал Коллатца подчиняется более строгим ограничениям, он показал, что почти все числа будут меньше, чем значение любой функции f(x), при этом функция может расти сколь угодно медленно. Это позволяет утверждать, что сколь угодно малые числа есть в последовательности почти любого исходного числа, но доказать, что почти все числа стремятся к единице, не значит доказать, что все числа стремятся к единице. Вручную уже были проверены все числа до двух в шестьдесят восьмой степени, но в масштабе бесконечного множества чисел это практически ничего. Возникает вполне логичный вопрос: почему нельзя подставить множество даже самых больших чисел в программу и найти то самое число, которое опровергает гипотезу или же доказывает её? Проблема в том, что любое, даже самое большое множество имеет конечный результат, а если же в такую программу подставить бесконечность, то она будет производить бесконечные вычисления, не давая никакого результата.

4. Вывод

Из всего выше сказанного можно сделать вывод о том, что любые фракталы не только имеют практическое применение практически во всех сферах деятельности человека, но и буквально окружают нас ежедневно, что же касается самого фрактала Коллатца: данная гипотеза является одной из самых простых, но при этом невозможных как для опровержения, так и для доказательства гипотез.

4.1 Конечный продукт

Продуктом моей работы является проведение уроков в старших классах нашей школы для того, чтобы познакомить ребят с таким удивительным явлением как фрактал и, в частности, гипотезой Коллатца, чтобы вместе порассуждать над возможностью или невозможностью доказательства данной гипотезы. Чтобы другие ребята, заинтересовавшиеся этой темой , смогли о ней узнать подробнее наш урок я загрузил на ютуб, с данным видео можно ознакомиться по ссылке: https://youtube.com/watch?v=GHjcOB4F4-k&feature=share