Исследовательский проект "Математика и химия"

Автор: Саралидзе Зарина

Руководитель: Балеева Алла Сергеевна

Учреждение: МКОУ «Ульяновская СОШ» Яшлтинский район Республика Калмыкия

Класс: 10

Оглавление

Введение
1 История математизации науки.
2. Основные методы математизации в науке.
3. Роль классической и прикладной математики в химии и химической технологии.
Заключение      
Использованные материалы  

Введение

Актуальность взаимодействия математики и ее методов в разработке теорий фундаментальных и прикладных наук, в частности в решении различных проблем химии, связана с многовековым развитием и проникновением математических методов в различные области человеческой деятельности, которое со временем только расширяется и углубляется.

В настоящее время мы видим бурный рост числа математических приложений, связанный, прежде всего с развитием компьютерных технологий, появлением глобальной сети Internet. Те математические идеи, которые раньше не покидали области академической науки, сейчас являются привычными в обиходе программистов, физиков, химиков.

История математизации науки

Математика является одной  из древнейших наук. Само слово “математика” имеет древнегреческие корни  и означает “наука” или “знание”. Сейчас предмет изучения математики настолько огромен и разнообразен, что довольно трудно дать определение  математики, как науки, занимающейся тем-то и тем-то. Хотя и узкое, но довольно простое определение все же дается: “Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”.

Почти с самого зарождения математики, она была неразрывно связана  с практической деятельностью человека. Более того, именно из этой повседневной практики и появились первые математические абстракции – натуральные числа  и простейшие действия с ними: сложение, вычитание и умножение. Это произошло  еще в доисторические времена.

С появлением первых государств (Древнего Египта, Вавилона, Китая) возникает  потребности в развитии и углублении математических знаний. Развитие земледелия, архитектуры дает толчок к возникновению  геометрии. Математические знания еще  являлись только эмпирическими фактами, о необходимости их доказательства речи не возникало.

Многие формулы представлялись в виде неких рецептов, следуя которым  можно получить результат. Доказательством  выступала практика и опыт: если какой-либо факт подтверждался практически, хотя бы приближено, но достаточно точно для практических нужд, он считался верным. Поэтому некоторые факты, открытые египтянами, оказались правильными лишь приближенно. Например, они считали, что отношение длины окружности к диаметру равно 3,16.

Древнегреческие философы и  математики очень много сделали  для её развития. Это и практика строгих доказательств, введенная Фалесом, и замечательные теоремы Пифагора, и методы Архимеда вычисления объемов различных тел, и аксиоматическая система геометрии Евклида, и система буквенных обозначений Диофанта.

Пифагор пытался применить  математику для нужд своей философской  системы, согласно которой в основе мироздания – числа. Познать мир  – это значит познать управляющие  им количественные соотношения. Ему  приписывается модель солнечной  системы, в которой планеты движутся по сферическим орбитам, подчиняющимся  некоторым количественным отношениям – так называемая гармония сфер. Также Пифагором и его школой были выявлены интересные числовые закономерности в музыке (высота тона колебания  струны зависит от ее длины). Его  учение дает первый пример целенаправленного  применения математики в объяснении явлений природы, общества и мироздания в целом.

Последующий период, вплоть до 16 в. характеризуется довольно медленным  процессом проникновения математики в другие науки.

Бурное развитие как самой  математики, так и ее приложений наблюдается в Новое время. Переход  к новым капиталистическим отношениям, ослабление влияния церкви на философию  и науку развязывают исследователям руки, делают их мысли смелее.

Одним из первых, кто почувствовал веяние нового времени и начал  по-новому подходить к науке, был  Г.Галилей. Для описания результатов, Галилей впервые применил математический аппарат: начала дифференциального  исчисления.

И.Кеплер примерно в то же время, анализируя скурпулезные наблюдения Т.Браге за движением Марса, приходит к выводу, что планеты движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. При этом он использует теорию конических сечений, открытых более тысячи лет назад древнегреческим математиком Аполлонием Пергским. Это характерный пример того, как математическая теория, не получившая популярности при жизни автора и почти забытая, находит применение в важных вопросах науки спустя много лет.

Р.Декарт известен в математике благодаря методу координат –  связующему между алгеброй и геометрией. Эта плодотворная идея по сути стала основным толчком для последующего развития математики. Он использует методы математики и логики в физике, физиологии, этике, философии. Математика взята за эталон ввиду того, что он считал ее образцом стройности и истинности.

Строго доказав то или иное утверждение, математик полностью убеждает остальных в его истинности и освобождает тем самым свою науку от споров и сомнений. Философия же, например, или мораль имеют много таких вопросов, которые на протяжении всей истории вызывали бурные споры и к окончательному мнению относительно них философы так и не пришли. А почему бы не попробывать их решить, используя математические методы, которые в своей области успешно срабатывают?

Ведь в справедливости доказанных геометрических теорем никто не сомневается, а правильное решение какой-либо задачи не вызывает споров. Свои размышления Декарт изложил в работе “Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках”.

Примерно в то же время  два других французских математика, Б. Паскаль и П. Ферма, закладывают  основы теории вероятности – важной области для математических приложений.

Настоящей революцией в математике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального  исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Это стало началом широкого проникновения  математических методов в физику, механику и астрономию. Основная идея этого метода – идея предела переменной величины – берет свое начало еще  в трудах Архимеда, Демокрита и  других древнегреческих ученых.

Но всю его мощь оценили лишь после  введения удобной системы обозначений  и метода координат – чего у  древних греков не было. Почему же этот метод стал таким плодотворным именно для физических приложений? Дело в  том, что характерной особенностью почти всех физических процессов  является наличие непрерывного движения, изменения во времени некоторых  числовых параметров, а пределы (а  с ними и интегралы и производные) как раз и есть важнейший инструмент для исследования непрерывных функций.

Другой заслугой Ньютона, по сути сделавшей физику самостоятельной  наукой, стала идея аксиоматизации механики. Здесь Ньютон выдвигает несколько фундаментальных законов механического движения, известных сейчас как три закона Ньютона. Опираясь на  “аксиомы”, он, используя математические методы и дедукцию, описывает качественно и количественно многочисленные физические явления.

XVIII век характеризуется  окончательной математизацией физики. Крупнейшие математики того времени:  Л.Эйлер, Ж.-Л.Лагранж, П.С. Лаплас  развивают анализ бесконечно-малых,  делая его основным орудием  исследования в естествознании. Полный успех был достигнут  с его помощью в небесной  механике – описаны движения  планет, Луны в рамках закона  тяготения Ньютона.

Лаплас в  своем капитальном сочинении  “Трактат о небесной механике”  провозгласил тезис, известный  как принцип детерминизма: “Зная  положения всех частиц во вселенной  и их скорости в данный момент, мы можем определить состояние вселенной в любой момент в будущем”. Математическое обоснование ему дается уже в следующем столетии в теореме Коши-Ковалевской о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

XIX век ознаменовался революциями  в точных науках. Новые идеи, родившиеся  в абстрактных недрах математики, такие как понятие группы, неевклидовая  геометрия нашли и до сих  пор находят применение в физике, кристаллографии, химии. Новые  явления в физике – электричество  и магнетизм оказываются хорошо  описываемыми “старыми” методами  дифференциального и интегрального  исчисления с некоторыми дополнениями  из векторного анализа.

Физические приложения продолжали развиваться, не ограничиваясь уже  одним дифференциальным и интегральным исчислениями: в ядерной физике, например, начали широко использовать многомерную геометрию и теорию групп; в теории относительности  замечательные применения нашла  неевклидова геометрия. Теория вероятностей возможно даже обогнала математический анализ по числу приложений: методы математической статистики используют в огромном числе наук, начиная с физики и заканчивая психологией  и лингвистикой.

Развитие математической логики, вызванное программой Гильберта  обоснования математики, привело  к появлению компьютеров, которые  изменили мировоззрение современного человека. Практика ставит новые задачи, которые уже не решаются испытанными  в физике методами анализа непрерывных  функций. Эти дискретные задачи из экономики, генетики, и др. характеризуются  трудоемким перебором огромного  числа вариантов, который не под  силу даже компьютерам.

Основные методы математизации в науке

Важнейший метод математизации – это математическое моделирование. Он состоит в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой области, то есть выделяет существенные для него свойства и количественные характеристики явления, выделяет существенные отношения между ними и пытается найти какой-либо похожий объект в математике.

Основная идея моделирования – некоторое упрощение, отбрасывание лишней, не нужной информации. Конечно в итоге, мы получаем несколько упрощенную картину явления. Важнейшим моментом является то, чтобы при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель настолько, чтобы она перестала достаточно хорошо для нас описывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с появлением мощных ЭВМ, возможности анализа заметно расширились.

Удивительным образом  оказывается, что одна и та же математическая модель может описывать много  разнообразных явлений в различных  областях. Например, одно дифференциальное уравнение может описывать и  рост численности популяции, и химический распад, и цепную ядерную реакцию, и распространение информации в социальной группе.

Возникает вопрос: В чем причина такой всеприменимости математических моделей? Ответа на этот вопрос математика не дает. Но можно дать и следующее некоторое “обоснование” этому факту. Когда исследователь изучает какое-то явление и строит скажем количественную модель, он стремится к простоте модели и выделяет только небольшое число параметров и отношений между ними. В итоге, по огромному количеству явлений получаем модели, связанные скажем с определенными дифференциальными уравнениями.

Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения классифицированы в достаточно небольшое число типов, которые различаются по свойствам и методам их решения. В итоге и получается, что дифференциальные уравнения (а значит и модели) для большого числа явлений попадают в один класс, в котором они практически неразличимы.

Помимо моделей, связанных  с дифференциальными уравнениями, есть еще огромное число других моделей, в том числе и не количественных (то есть не связанных с какими-либо числовыми параметрами). Например, в  математической логике и теории алгоритмов существует модель, описывающая работу человека, решающего какую-нибудь проблему по строго описанной программе (рецепту).

Эта модель называется машиной Тьюринга и придумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в  связи с проблемой формализации понятия алгоритма. Она оказалась  очень полезной для разработки первых ЭВМ, и с тех пор является общепринятой математической моделью современных  компьютеров. Удивительно то, что эта модель, прекрасно описывающая работу современных компьютеров, родилась раньше, чем появились первые ЭВМ.

Итак, основные черты метода математического моделирования заключаются в следующем:

• абстракция, некоторое упрощение  предметной области, выделение только существенных для исследователя  черт рассматриваемого явления
• выявление нужных параметров или характеристик процесса, которые  и составляют предмет дальнейшего  исследования
• выявление существенных взаимоотношений  между этими параметрами
• поиск нужного математического  объекта, который будет описывать  все исследуемые параметры и отношения между ними применение математического  аппарата к этому объекту для  описания исходного явления.

Очень интересен также  следующий вопрос: почему же математические модели, сам математический язык настолько  полезен для изучения многих явлений  в различных науках? Я считаю, что это отчасти связано с  непревзойденной строгостью и точностью  математического языка, отчасти  с его эффективностью и сжатостью.

Также отдельно выделить метод математизации, который неявно является частью математического моделирования: формализация. Он состоит в том, что все изучаемые объекты реальности и отношения между ними заменяются наборами символов и отношений между ними в некотором искусственном языке. Так, в модели машины Тьюринга все объекты – слова в каком-то алфавите, и рассматриваются правила работы с этими словами.

Да и вообще, система удобных обозначений – важная часть любой области математики. Этот искусственный язык должен быть по возможности компактным, недвусмысленным и простым. Это отличает его от естественных человеческих языков, для которых характерна некоторая неоднозначность и неопределенность. Ведь не случайно до сих пор не создано хороших автоматических систем перевода с одного языка на другой. Поэтому важнейшей частью формализации является правильный перевод предметной области на формальный язык.

Выделяют ещё один метод математизации- аксиоматизации. Она состоит в том, что в некоторой области знания из всех истинных утверждений выделяется набор некоторых простейших утверждений или аксиом, из которых посредством логического вывода можно в принципе получить любое утверждение этой области. Конечно, желательно чтобы этот набор был достаточно компактным (хотя бы конечным) и простым. Классическим примером аксиоматически построенной теории является геометрия Евклида (хотя у него список аксиом был неполный).

Со времен Евклида аксиоматический метод построения теории стал эталоном. Аксиоматизировать пытались и такие неточные науки, как этика (Спиноза). Ещё одним примером аксиоматизации является построение механики Ньютоном на основе выделенных им 3 законов. Дальнейшее развитие физики добавляло еще аксиомы: законы термодинамики, электромагнетизма, постулаты Эйнштейна в теории относительности и законы квантовой механики.

Но принцип оставался тот же – добавляются по возможности простейшие и независимые от предыдущих факты, из которых можно объяснить как можно больше новых явлений. Продолжалась и продолжается аксиоматизация в самой математике: с помощью аксиомам в алгебре определяются важнейшие понятия группы, поля и др понятия.

Роль классической и прикладной математики в химии и химической технологии

Сама по себе математика не создает химических продуктов  и не управляет химическим производством. Однако ее использование позволяет резко поднять уровень технологической науки, находить наилучшие технические решения, разрабатывать сложные технологические схемы и системы управления процессами. В полной мере потенциал химической науки раскрывается тогда, когда в ней сочетаются синтетический и аналитический методы, в которых математика используется и как лаконичный, строгий язык, и как мощный инструмент исследования.

Причем, на определенном этапе становятся, при сложных вычислениях, как правило, требуют привлечения не только абстрактных математических понятий, но и быстродействующей компьютерной техники и современных программных средств. В полной мере возможности математики проявляются при анализе химических процессов, когда выявленные математические закономерности позволяют прогнозировать конкретное поведение системы в целом и конкретный результат ее функционирования при заданных условиях.

Например, при нелинейности аррениусовской температурной зависимости констант скоростей реакции химику приходится сталкиваться с трудностями в нахождении функций Ляпунова. А математиками эти задачи решены. Этот пример характеризует ситуацию, когда математик может выступать в качестве консультанта.

Но для некоторых химических задач,  таких как расчет пластинчатого реактора или рассмотрение частиц катализатора, математический аппарат разработан менее  полно, поэтому исследование уравнений, описывающих такие объекты, может  подсказать направление развития данной области математической науки.

Важнейшую роль в химии играет математическое моделирование  с использованием компьютеров. В  связи с этим математическую химию, в узком смысле, иногда называют компьютерной химией. Компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов к химическим задачам фундаментального и прикладного характера.

Исходя из общего определения химии как науки о веществах и превращениях их друг в друга, можно сказать, что вещества (молекулы) моделируются в компьютерной химии молекулярными графами, а превращения веществ (химические реакции) — формальными операциями с графами. Такой формально-логический подход в ряде случаев заметно упрощает алгоритмизацию химических задач, сводя их к типовым задачам комбинаторики и дискретной математики и позволяет искать решения с помощью компьютерных программ. При этом наряду со специальными программами в компьютерной химии могут применяться и универсальные программы: для работы с таблицами, математические программы (например, Maple или Mathematica).

В качестве примера типовых  задач компьютерной химии можно  назвать исследования различных свойств сложных молекул используют методы формирования гипотез «структура-свойство»  еще не синтезированных химических соединений,  основанные на приемах математической логики. К этим методам относятся методы интервального анализа, выделенные в самостоятельную область прикладной математики и позволяющие учитывать конформационную гибкость молекул и получать как качественные, так и количественные прогнозы интересующих исследователя свойств.

Интервальный анализ - теория, предназначенная для учета ошибок округления при проведении расчетов на цифровых вычислительных машина (ЦВМ). Так как результат каждого достаточно сложного расчета содержит некотоpyю ошибку, обусловленную погрешностями округлением входных данных и промежуточных результатов, то для учета этой ошибки можно каждую величину представить парой чисел, которерые ограничивают ее снизу и сверх и имеют точное представление в ЦВМ.

Таким образом каждая величина заменяется нек-рым, содержащим с интервалом. При выполнении арифметич. действий новый интервал вычисляется с помощью специальных операций. Метод комплексных интервальных моделей основан на использовании интервальных оценок квантово химических параметров органических соединений. Использование интервальных методов

позволяет выявлять и анализировать неоднозначные зависимости «структура–активность». Метод был использован при компьютерном решении задач прогнозирования противотуберкулезной активности производных дитиокарбаминовой кислоты; максимума поглощения производных хлорофилла, позволившего из группы соединений отобрать наиболее перспективные  базовые структуры препаратов для  фотодинамической терапии рака.

Компьютерную  химию не стоит путать с  вычислительной химией. Вычислительная химия — ветвь химии, которая использует компьютеры для решения химических проблем. Вычислительная химия использует результаты классической и квантовой теоретической химии, реализованные в виде эффективных компьютерных программ, для вычисления свойств и определения структуры молекулярных систем. В квантовой химии, компьютерное моделирование заменило не только традиционные аналитические методы расчета, но во многих случаях и сложный эксперимент. Вычислительная химия позволяет в некоторых случаях предсказать ранее ненаблюдаемые химические явления.

Вычислительная химия  фактически представляет собой новый  способ проведения научных исследований в химии — компьютерный эксперимент и компьютерное моделирование. Традиционно экспериментаторы проводят химические эксперименты с реальными химическими системами, а затем теоретики объясняют результаты этих экспериментов в рамках развитых моделей и теорий.

Такой подход до последнего времени был успешным, и сейчас мы знаем основные законы, описывающие химические явления и процессы. Однако часто их точное аналитическое описание возможно только в случае очень простых моделей. Приближенные аналитические методы позволяют расширить набор решаемых задач. Развитие компьютеров в течение последних 60 лет дало возможность решать многие проблемы не только в случае упрощенных моделей, но и для реальных химических процессов и структур.

Заключение

Приведенные примеры подтверждают важную роль классической и прикладной математики в химии. Я считаю, что использование математического аппарата, современной компьютерной техники и программных средств для дальнейшего развития теоретических основ химии и химической технологии необходимо, так как на стыке самых разных наук возникают новые направления, позволяющие двигать химическую науку вперед. Я думаю, что дальнейшее сотрудничество математиков и химиков даст еще много новых открытий в химии.

Список использованной литературы

• «Детская энциклопедия», том 2. Издательство «Просвещение», Москва 1965.
• Я познаю мир: Детская энциклопедия: История вещей/ Составители Н. Ю. Буянова и др. - М.: ООО «Издательство АСТ – ЛТД», 1998 – 480 с.
• О. Остапчук . Детская энциклопедия: Шоколад. – ЗАО «Аргументы и факты – детям», 2002 – 63 с.