Комбинаторика в лоскутной технике

СЕКЦИЯ «Математика»

Комбинаторика в лоскутной технике

Автор:  Борисова Карина,

учащаяся  6а класса

Государственного бюджетного общеобразовательного учреждения

 Самарской области

средней общеобразовательной школы №1 п.г.т. Суходол

муниципального района Сергиевский

Научный руководитель: Мынькова Наталья Викторовна,

учитель математики

Суходол, 2021 г.

Содержание

Ведение…………………………………………………………………………………………..3

Глава 1. История развития комбинаторики…………………………………………………...5

Глава 2.  Комбинаторные задачи и методы их решения………………………………...……7 Глава 3. История развития «Лоскутной техники»:…………………………………..………13

 3.1. История развития «Лоскутной техники»………………..………………………………13

 3.2. История развития лоскутного шитья…………………..…………………………...……13

 3.3. Лоскутное шитье в России…………………………...…..……………...………………..14

Глава 4. Изготовление одеяла………..………………………...…………………………...….16

Заключение………………………………………...…………………………………...……….18

Литература…………………………………………………………………………...….………18

Введение

«Творчество, конечно, состоит не в том,

чтобы составить бесконечные комбинации, а в

том, чтобы создавать полезные, а таких не

особенно много. Творить – это значит различать,

выбирать».

Анри Пуанкаре

    В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

Актуальность:

Сегодня выбором объектов и расположением их в том, или ином порядке приходится заниматься всем. Современный человек должен самостоятельно мыслить, сопоставлять факты, уметь находить различные варианты решения проблем, складывать их в различные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопрос: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Тема моей проектной работы «Комбинаторика в лоскутной технике». Незаслуженно забытые изделия ручного труда в нашей стране вновь обретают свою ценность и превосходство над серийными промышленными образцами. В народе всегда ценили ручную работу как источник творчества и эмоциональной духовности. Среди таких известных видов рукоделия, как вышивание, вязание, плетение и др., особое место занимает шитье из лоскута. Лоскутное шитье во времена экономического кризиса помогает многим людям экономить семейный бюджет. Комбинации лоскутков различной геометрической формы применяются для создания одежды и предметов интерьера. Накопление опыта решения комбинаторных задач расширяет кругозор, показывает использование комбинаторики в других предметах, быту и на практике.

Гипотеза:

Комбинаторика имеет широкую практическую направленность в лоскутной технике.

Объект исследования:

Область математики «Комбинаторика» и вид прикладного искусства «Лоскутное шитьё».

3

Цель:

Показать широкое применение комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «Лоскутной техники». Выяснить какие комбинаторные методы применяются для перебора вариантов построения комбинаций геометрического узора.

Выяснить какие комбинаторные методы применяются для перебора вариантов построения комбинаций геометрического рисунка.

Задачи:

- подобрать и изучить литературу об истории развития комбинаторики.

- изучить историю развития «Лоскутной техники».

- изучить простые способы решения комбинаторных задач.

-провести перебор вариантов построения комбинаций цветочного рисунка при изготовлении коврика.

4

Глава 1.  История развития комбинаторики.

    Человек часто встречается с задачами, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Решая подобные задачи, приходится перебирать различные варианты, переставлять заданные элементы, комбинировать их. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой. Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам.

      С комбинаторными задачами люди имели дело ещё в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона (II век до н.э.). А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Долгие века комбинаторика развивалась внутри арифметики, алгебры и геометрии. Например, древнегреческие ученые большое внимание уделяли и комбинаторике чисел – составлению и изучению магических квадратов, и геометрической комбинаторике – разрезанию фигур.

    Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. Блез Паскаль и Пьер Ферма разработали начало двух ветвей математики: комбинаторики и теории вероятности. Впоследствии этими науками занимались многие великие математики тех времен: Готфрид Вильгельм Лейбниц, Якоб Бернулли, Леонард Эйлер и др. Немецкий учёный Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г., впервые выделил комбинаторику как самостоятельный раздел математики. Он также впервые ввёл термин «комбинаторика».

     Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке.

     5

     Дальнейшее развитие комбинаторики связано с трудами Б. Паскаля (1623 – 1662 гг.) и П. Ферма (1601 – 1665 гг.) по теории азартных игр. Позднее крупный вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем (1646 – 1716 гг.), Я. Бернулли (1654 – 1705 гг.) и Л. Эйлером (1707 – 1783 гг.). В их работах были даны определения основных понятий комбинаторики, развиты первые комбинаторные методы и указаны их применения, а также прослежена связь комбинаторики с исчислением вероятностей.

Именно комбинаторика послужила фундаментальной основой началам теории вероятностей.

      В 50-х годах XX века интерес к комбинаторике возрос. Это связано с развитием кибернетики и дискретной математики. Возможность использовать компьютеров активизировала интерес к комбинаторным задачам.

      Использование комбинаторики в настоящее время очень разнообразно. Одно из них – кодирование и расшифровка. В реальной  жизни комбинаторные  задачи решают  конструкторы при создании новой модели  механизма, агрономы при планировании размещения культур; химики при изучении  строения органических молекул. В биологии комбинаторика служит для подсчета клеточных структур ДНК и РНК, в физике – для описания свойств кристаллов.

6

Глава 2.  Комбинаторные задачи и методы их решения.

     В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или   хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными

    Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами…?» или «Сколько вариантов…?»

По характеру получаемых соединений комбинаторные задачи можно разделить на 3 группы:

1. Если соединения отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, то это перестановки.
2. Если соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом либо состоят из одних и тех же, но расположенных в разном порядке элементов, то это размещения.
3. Если соединения отличаются составом, но не порядком элементов, то это сочетания.

     Методы решения комбинаторных задач

    «Особая примета» комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: «Сколькими способами».

Комбинаторные задачи можно решать несколькими способами: методом перебора, перестановок, использованием определенных правил комбинаторики и с помощью построения графов, таблиц и так называемого «дерева вариантов».

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 ?

Решение.    1 способ.  Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7:

11,14,17,41,44,47,71,74,77.

7

2 способ.  Решим теперь первую же задачу составлением таблицы 3х4.

3 способ.  Решение этой же задачи с помощью графов выглядит так.

4 способ.  Правило умножения.

На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место – тоже тремя способами. Значит, всего таких чисел по правилу умножения будет 3 х 3 = 9.

5 способ.  Для решения задачи построим специальную схему, которая называется «дерево вариантов». Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева — различные варианты решения. При правильном построении дерева ни один из вариантов решения не будет потерян.

   Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для этого есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7. Затем надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел.

Задача 2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 9, 7 и 0 ?

Решение:  Полученные числа:  99, 97, 90, 79, 77, 70

Вывод: на первое место цифру можно выбрать двумя способами, кроме нуля, после чего на второе место – тремя способами.

Значит всего таких чисел по правилу умножения будет 2 х 3 = 6

Задача 3.  Перед выпуском группа учащихся из 25 человек, обменялись открытками с пожеланиями. Сколько всего было роздано открыток. Каждый человек из группы должен раздать по 24 открыток. 
Решение:  24 · 25 = 600 (отк.) – Столько открыток было роздано.
Ответ: 600 открыток.

Задача 4.  Наверное, вы знаете фильм «Кин-дза-дза». Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «ку». А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?

Решение:  Можно составить слова: «Ку», «Кк», «Уу», «Ук».

Задача 5. У жителей планеты АХО в алфавите три буквы: А,О,Х. Слова в языке состоят из трех букв. Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты?

Решение:  «Аох», «Ахо», «Оах», «Оха», «Хао», «Хоа».

Задача 6. Из  цветных полосок  белой, синей и  красной составить флаг Российской Федерации.

-Что означает каждый цвет нашего флага? ( белый – мир, чистота, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергия, сила, кровь, пролитую за Отечество.) 

                                                        9

    Оказывается, не только флаг РФ имеет три цвета. Есть государства, где также флаги с такими цветами. Это страны Европы.

                                            Нидерланды Франция Югославия

   Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение:

1. Перебор возможных вариантов:

КБС    КСБ

БСК    БКС

СБК    СКБ

2.   Дерево вариантов:

красный         белый             синий

        Б  С               С   К                Б    К

Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b. 

              10

    Задача 7. Подобные задачи могут нам встретиться в любом предмете. Например, в литературе. Возьмем произведение русского писателя, баснописца, журналиста Ивана Андреевича Крылова – «Квартет».

Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки, —

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

Я, прямо, сяду против фторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет;

Он все-таки на лад нейдёт.

«Постойте ж, я сыскал секрет? —Кричит Осёл,

— мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдёт на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры, кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

«Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи лишь, как нам сесть!» —

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, — Им отвечает Соловей, —

А вы, друзья, как ни садитесь;

Всё в музыканты не годитесь».                               11              

- Кто участники этого музыкального коллектива? (козел, осел, мартышка, мишка).

- Что они делали? (играли на музыкальных инструментах)

- Получалась у них музыка? (нет)

- Что они для этого делали? (пересаживались)

- Сколько существует различных способов посадки этих животных? Используя правило умножения, как решить эту задачу? Давайте рассуждать:

- Почему назвали басню «Квартет»? (квартет – это исполнители из 4 человек)

- Мишка может сесть на одно из 4 мест,

Козел может сесть на одно из 3 мест,

Осел может сесть на одно из 2 мест,

Мартышка может сесть на оставшееся 1 место.

Итого: 4 х 3 х 2 х 1 х =24 варианта.

Задача 8.   Даже сказочные герои нам задают похожие задачи.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать. Дошел он до Кикиморы. От Кикиморы до Бабы Яги три дорожки ведут, а от Бабы Яги до Кощея – две.

Вопрос: Сколько вариантов есть у Ивана – царевича, чтобы дойти до Кощея?

Решение: 3 х 2 = 6

12

Глава 3. История развития «Лоскутной техники»

 3.1. История развития «Лоскутной техники»

     Гурама... Пэчворк.. . Квилт. .. Все это - лоскутная техника, корни которой в очень далеком прошлом. Некоторые исследователи считают, что лоскутное шитьё появилась в девятом веке. Однако, как бы там ни было, мы знаем, что «лоскутная техника» - это один из видов прикладного искусства, чрезвычайно востребованный сегодня.

     Это практичное изобретение человечества было связано, прежде всего, с бедностью большей части населения, которая пыталась таким образом решить свои житейские проблемы. Изобретательницей техники сшивания из лоскутков была женщина, потому что домашними делами больше всего занимались именно они. Решая домашний вопрос - во что одеть мужа и детей, женщина додумалась до очень экономичного и оправданного действия: из лоскутков старой, вышедшей из обихода одежды, создавать новую, а также предметы домашнего обихода в виде одеял, навесов, сумок, подушек и занавесей.

     Многие из исследователей считают, что впервые этот метод применили англичанки; сшивая из кусочков кожи одежду. Другие утверждают, что этот вид творчества возник все-таки на Востоке и был известен в Японии и Китае много тысячелетий назад. Понятно, что в Африке, Японии или Древней Руси все это выглядело абсолютно по-разному. Но все же объединяющие моменты существуют. Например, практически во всех техниках отмечено наличие геометрического рисунка: квадрат, круг, прямоугольник, треугольник и т.д.

3.2. История развития лоскутного шитья.

    Лоскутное шитьё или лоскутная техника - вид рукоделия, при котором по принципу мозаики сшивается цельное изделие из кусочков ткани (лоскутков). В процессе работы создаётся новая вещь с новым цветовым сочетанием и узором.

     Лоскутная мозаика известна очень давно. Ее применяли вместе с другими технологиями шитья, когда создавали одежду и предметы интерьера из ткани.

     Были найдены аппликации, сделанные 3000 лет назад. Однако лоскутная техника как самостоятельный вид декоративно-прикладного искусства начало развиваться в Англии в первой половине восемнадцатого века. В семнадцатом веке в Англию начали привозить индийские хлопчатобумажные ткани прекрасных расцветок и узоров.  Иметь в доме одеяло индийского производства, богато декорированное вышивкой или набивным рисунком, стало считаться признаком достатка.

                                                                                                          13

    Экономные хозяйки, выкроив из дорогого ситца одежду, стали использовать его остатки для других изделий. Так, яркие элементы узора ткани шли на аппликации: их нашивали на льняные или шерстяные полотна. А из мелких лоскутков разноцветных тканей создавали единое полотно по принципу мозаики.

    Таким образом, лоскутная техника первоначально возникла как способ изготовления рукодельницами модных текстильных предметов интерьера (например, парадных одеял) в домах без большого достатка. Этот вид рукоделия вместе с переселенцами попал в Америку, и там лоскутная техника постепенно стала национальным видом декоративно-прикладного искусства.

     За последние два столетия американские мастерицы разработали множество прекрасных узоров, ставших традиционными, и выработали определенные технологии изготовления лоскутных изделий. Любопытно, что лоскутная техника особенно развита в странах, где населению свойственна психология первопоселенцев: сочетание бережливости с любовью к обустройству и украшению дома. Естественно, что в Европе работой с тканями больше занимались женщины, поэтому и в современном декоративно-прикладном искусстве лоскутной техники преобладают женщины – мастерицы и художницы.

3.3. Лоскутное шитье в России

    Первоначально это было не столько лоскутное шитье в современном понимании этих слов, сколько перешивание, подновление одежды и предметов убранства жилища из лоскутков, отслуживших свой срок вещей. Старые вещи разрезались, лоскутки сортировались. Все, что годилось для шитья, шло на лоскутные одеяла, занавески. А из очень поношенного плели дорожки, шили махровые коврики – половички.

    Поскольку «мелкоте» - так на Руси называли мальчиков и девочек до шести – восьми лет – новый одежды не полагалось, то русские крестьянки перешивали старые рубашки, на рубашечки для самых маленьких. Да и одежды более взрослых детей шили преимущественно из старой одежды родителей или просто давали донашивать свою. Такая традиция была распространена не только в бедных семьях, но и в зажиточных и даже богатых. Сейчас это может показаться странным, но если учесть, что вся одежда состояла только из натуральных волокон и шилась натуральными нитками, то становится понятным, почему вещи, послужившие одному поколению, не только не выбрасывались, но и могли пригодиться детям и внукам.                                                                                                                                          

   14

     Следует сказать, что до восемнадцатого века одежда на Руси была в основном домотканой, то есть изготавливалась из полотна, сотканного на ткацком станке, который был почти в каждой избе. Долгая и трудоемкая работа от выращивания льна, до производства ткани не позволяла расточительно относиться к сотканному полотну.

     Поэтому сам крой народной одежды и прием ее шитья предполагали безотходное использование материала. Все это давало бережливому и расчетливому крестьянскому уму толчок к лоскутному творчеству, позволяя находить все новые и новые способы использования старых вещей. Однако с появлением первых фабричных ситцев в восемнадцатом веке, а также благодаря изобретению швейной машины, появились новые возможности для развития и существенного обогащения лоскутной традиции. Дешевые, практичные, красочные ситцы охотно использовали не только в крестьянских, но и в городских домах. Из них шили одежду, а из разноцветных остатков ситцев лоскутные одеяла. В двадцатом веке, во времена кризисов, падения производства и воин, лоскутное шитье помогало многим людям выжить, сохраняя семейный бюджет и обеспечивая самым необходимым.

     В послевоенное время традиции лоскутного шитья отошли на второй план, уступая место промышленному производству одежды и предметов быта. Продолжали заниматься лоскутным шитьем лишь редкие энтузиасты – художники в городах, да в деревнях по старинке продолжали шить лоскутные одеяла и плести разноцветные половички. Музеи России начинают собирать и изучать лоскутное шитье как вид современного искусства. С этого времени появляется и постепенно растет интерес к этому виду художественного творчества.

    Сейчас лоскутным шитьем занимаются самодеятельные мастера и художники – профессионалы. Они увлеченно трудятся над созданием лоскутных одеял, черпая вдохновение в национальном искусстве. Современное лоскутное шитье тесно переплетается с народной швейной традицией, а через нее культурным наследиям прошлого. Лоскутные работы в русском стиле отличаются особой яркостью, весельем красок. Для них характерно многоцветье, гармоничное сочетание пёстрого с пёстрым, а также умелое использование в одном изделии тканей разных фактур.

    Во многих городах России образуются курсы любителей лоскутного шитья, проводятся встречи, фестивали, совместные акции, реализуются международные проекты.

15

Глава 4. Изготовление одеяла.

    В каждом доме найдутся лоскутки ткани, которые остались после пошива чего-нибудь и, конечно же, лоскутки старой, вышедшей из обихода одежды, постельного белья. У нас они тоже имеются. Я решила сшить из таких лоскутков одеяло. При изготовления рисунка нужно было скомбинировать лоскутки по цвету и выбирать для основы одеяла один из тканей, а остальные чтобы формировали аппликацию из геометрических фигур - квадратов.

Шаг 1. С помощью мамы подобрала исходный материал: один для основы и лоскутки трёх расцветок. Условно назовём их так: голубой (Г), фиолетовый (Ф), розовый (Р).  

Шаг 2. Далее передо мной стояла задача: как же из этих лоскутков изготовить продукт, не испортив их. При изготовлении рисунка решила комбинировать лоскутки по цвету. Мне стало интересно, сколькими способами я могу составить рисунок для будущего одеяла.

Шаг 3. Для подсчета всех возможных комбинаций составила схему: 

Решение:

1. Перебор возможных вариантов:

ГФР      ГРФ

ФРГ      ФГР

РФГ      РГФ

2.   Дерево вариантов:

 голубой          фиолетовый       розовый

            Ф  Р               Р   Г                Ф    Г

2. Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b.

Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок.

16

  Возьмем фиолетовую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем розовую полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем голубую полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6                                                                                                                          

Итак, у меня вышло шесть способов изготовления рисунка на одеяле.                         

Шаг 4.     Заключительный этап – изготовление продукта.

В итоге у меня получилась вот такая красота.

17

Заключение.

     Работая над этим проектом, я расширила свои знания о комбинаторике и лоскутной технике. Рассмотрела, как можно комбинировать рисунок из нескольких лоскутков разного цвета геометрической формы. Я приобрела практический опыт решения комбинаторных задач при изготовлении коврика шестиугольной формы из круглых лоскутков разного цвета.

      Рассмотрев использование комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «лоскутной технике», показала практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, подтвердила гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность в лоскутной технике.

     Я надеюсь, что моя работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора, мышления, будет способствовать развитию творчества и умению решать комбинаторные задачи в разных ситуациях в жизни.

Литература

1. Айгенер М. Комбинаторная теория. М.:Мир,1982.
2. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных организаций / под ред. С. А. Теляковского. – М. Просвещение,2014.
3. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе// Математика.-2004.-№31.
4. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004- №15.
5. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.

       6. Интернет – ресурсы.

18