Проект на тему: «Применение параметров в графике»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Первомайский ЦО»

Проект на тему:

«Применение параметров в графике»

                                                        Работу выполнила:

                                                        Шароварова Дарья Артемовна,

                                                        ученица 9 А класса

                                                        научный руководитель:

Гаврилова Ольга Петровна,

учитель математики

п. Первомайское, 2017

Оглавление:

Введение……………………………………………………………….…….3
Глава 1. Теоретическая часть …………………………….……….….….5

    1.1  Виды функций ……………………………………..……..………….5

    1.2  Свойства некоторых функций и их графики……………………….8
   1.3  Преобразования графиков функций………………...…………......14
Глава 2. Практическая часть

    2.1. Применение параметра в графике при решений задач ОГЭ……..16

    2.2. Создания анимированных изображений в среде Desmos………...18

Заключение………………………………………………………………...22

Список источников и литературы……………………….………..........23

Введение

Школьная математика – это не наука, а предмет, основная цель которого – изучение реальных ситуаций с помощью математических моделей. Математика изучает реальные ситуации, а первичная математическая модель – функция, поэтому функции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме составляют стержень школьного курса математики.  

И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Актуальность моей работы заключается в том, чтобы разнообразить получаемые изображения используя графики функций. При этом повышается интерес к данной теме, развиваются художественные способности, которые лежат в основе различных профессий: архитектора, дизайнера, скульптора и т.д. А также рассмотреть применение параметра в графике.

Изучая различные функции с 7 по 9  класс, мы выполняли преобразования графиков этих функций. В результате этих преобразований построение графика выполнялось легко и просто. И очень часто полученные изображения,  напоминали какие-то реальные предметы.  Конечно, давно известно, что с помощью графиков можно рисовать многие реальные объекты, а изменяя параметры создавать анимационные эффекты.

Поэтому я выбрала тему своей работы:  «Применение параметра в графике».

Гипотеза: Изменяя параметры различных  функций, можно рисовать изображения реальных объектов и создавать анимационные эффекты.

Цель исследования:  выявить, влияние параметра функций на виды графиков, с помощью которых можно нарисовать изображение различных объектов и создавать анимационные эффекты.

Для исследования мною поставлены следующие задачи:

- систематизировать знания по определениям функций, их графикам и методов построения;

- исследовать влияние параметров на поведение функции;

- изучить среду Desmos, для построения графиков;

- научиться создавать анимационные эффекты, используя параметр;

- оценить проделанную работу и сформулировать выводы.

Методы и приемы, которые мы использовали:

• Анализ знаний о известных функциях и их графиков.
• Изучение и анализ дополнительной литературы.
• Практический метод.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1  Виды функций

Прежде чем дать точное определение функции, поговорим немного об этом понятии. Описательно говоря, функция – это когда каждому значению некоторой величины, которую математики называют аргументом и обозначают обычной буквой x, отвечает значение другой величины y.
         Так, например, величина смещения земной поверхности при землетрясении в каждый момент времени имеет определенное значение – величина смещения есть функция времени. Сила тока в полупроводниковом элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения соответствует определенное значение силы тока.

Таких примеров можно привести много: площадь круга есть функция его радиуса, высота, на которую поднимается вертикально брошенный вверх камень, есть функция его начальной скорости и т.д.

Еще одно существенное замечание. Когда говорят, что величина y есть функция величины x, то, прежде всего, указывают, какие значения может принимать x. Эти «разрешенные» значения аргумента x называют допустимыми значениями, а множество всех допустимых значений величины называется областью определения функции y.

Например, если мы говорим, что площадь круга есть функция его радиуса, то областью определения функции будут все числа, больше нуля, поскольку величина радиуса круга может быть только положительным числом.
        Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция.
Функция – это зависимость y = f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная), x – значение аргумента (независимая переменная).

Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика.
График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

               В таблице представлены графики и уравнения, задающие эти функции.

Таблица простейших функций и их графиков

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но я использовала эту кривую в своей работе. Уравнение окружности радиуса  R  с центром в точке О (х0; у 0) имеет вид: .

1. 2. Свойства некоторых функций и их графики 

1. Линейной функцией называется функция вида

y = kx+b, где  k  и  b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b)  и параллельная прямой  у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3.  Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид  у = b  и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у=0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции  у = b  является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b  совпадаете осью Ох.

4. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если  и у < 0, если .

2. Функция y = x2

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.

График функции y = x2 называется параболой.

Свойства функции у = х2

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

3.Фунуция  

Область определения этой функции - промежуток  [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.  Множеством значений функции    является промежуток [0;+∞).

4. Функция  не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция  возрастающая в области определения.

6.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. 

4. Функция y = x3

Область определения этой функции - множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х3 называется кубической параболой. 

Свойства функции y = x3

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в первом и третьем координатном углах.

3.  Множеством значений функции у =  х3 является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х3 - нечетная).

5.Функция у = х3 возрастающая в области определения.

      5. Функция y = |x|

Область определения этой функции - множество R  действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

 6.  Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции:  у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

          - Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0, [-D/(4a); ∞)

при а < 0, (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0, функция четная;

при b≠0, функция не является ни четной, ни нечетной.

- Нули:

при D > 0, два нуля: ;

при D = 0, один нуль:

при D < 0, нулей нет.

- Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то          

если, а > 0, D = 0, то          

если, а > 0, D < 0, то           

если, а < 0, D > 0, то            

если, а < 0, D = 0, то           

если, а < 0, D < 0, то           

    Промежутки монотонности

при а > 0 

при а < 0 

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.

 Координаты вершины параболы определяются по формулам:

Или ;   (х0; у0) – вершина параболы.

1.3  Преобразования графиков функций

            В чистом виде основные элементарные функции встречаются не  часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных при помощи различных преобразований. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).

Таблица основных преобразований графиков функций

Глава 2. Практическая часть

2.1. Применение параметра в графике при решений задач ОГЭ

Пример 1. Постройте график функции

и определите, при каких значениях параметра m прямая  имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Ответ: 4; 5.

Пример 2. Постройте график функции  и определите, при каких  значениях параметра m прямая  имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Ответ: 0; 0,25.

Пример 3. Постройте график функции  и определите, при каких  значениях параметра m прямая  имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Ответ: -4; 9.

2.2. Создания анимированных изображений в среде Desmos

МАСКА

При изменении параметра с происходит перемещение маски вертикально.

МАЛЬЧИК

При изменении параметра k мальчик движет ртом («разговаривает»).

УЛИТКА

При изменении параметра а происходит перемещение улитки в горизонтальном направлении.

Заключение

Подводя итог, можно с уверенностью сказать, что если к любому делу относиться творчески, с интересом, то даже такая сложная наука, как математика становиться более понятной, доступной и интересной, что очень важно.

Выводы:

• были повторены определение функции, основные функции, которые  изучались на уроках алгебры и способы преобразования их  графиков;
• мне удалось систематизировать знания, умения и навыки по построению, исследованию функций, изучаемых в школе;
• составлены рисунки с помощью графиков различных функций, созданы анимационные эффекты изменяя параметры.

Гипотеза, которую я ставила в начале работы,  подтвердилась. Изменяя параметры функций различных  функций, можно рисовать изображения реальных объектов и создавать анимационные эффекты. Думаю, что эти картинки могут украсить  нашу жизнь в прямом смысле!

Не прав тот, кто считает математику скучной и сухой наукой. Еще С. Пуассон сказал: «Жизнь украшается двумя вещами: знанием математики и ее преподаванием».

Список источников и литературы:

1. matematikam.ru Построение графиков онлайн
2. desmos.com Графический калькулятор Десмос
3. fipi.ru
4. В. С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / М.: Просвещение, 2008 г., 416 с.
5. Руководство пользователя Desmos (версия онлайн)