Исследовательский проект ученика 8 класса "Золотое сечение"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение культуры    "Гимназия "Арт-Этюд"

Исследовательский проект

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»

Автор: Борзенков Иван

обучающийся 8 «А» класса

Руководитель: Лобова О.И

учитель математики

Екатеринбург

 2020

Оглавление

Введение………………………………………………………………………3

    Глава 1. История возникновения «Золотого сечения» ………………….3

    Глава 2. «Золотое сечение» в математике………………………………..4

    Глава 3. «Золотое сечение» - в окружающем нас мире природы ………7

    Глава 4. «Золотое сечение» - в искусстве………………………………...8

Практическая часть…………………………………………………………...9

Заключение…………………………………………………………………..15

Список литературы………………………………………………………….16

Приложение………………………………………………………………….17

ВВЕДЕНИЕ

   Актуальность изучения «Золотого сечения» заключается в том, что многие окружающие нас предметы несут в себе пропорциональность золотого деления. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время помнят и используют это сечение. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле.

Объекты исследования: золотое сечение

Методы исследования:наблюдение, измерения

Гипотеза:высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Цель:раскрыть суть понятия «золотое сечение», показать теоретическое и практическое значение золотого сечения, широкое использование его в различных областях жизни и во многих научных дисциплинах, 

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ»

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифа-гор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что он своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.

При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

ГЛАВА 2.«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» В МАТЕМАТИКЕ

«Золотым сечением» и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

а :b = b : c или с : b = b : а

Итак, золотая пропорция = 1 :1,618. Это отношение приближенно равно 0,618 ≈ 5/8.В алгебре это число обозначается греческой буквой фи (φ).Полученное значение есть знаменитое число «фи», названное так американским математиком Марком Баром по первой букве имени великого скульптора Фидия, который, по преданию, использовал «золотое сечение» в своих работах.

В геометрии есть понятия: «деление отрезка в золотом отношении», «золотой треугольник», «золотой прямоугольник», «золотая логарифмическая спираль». Мне захотелось научиться строить эти фигуры. Я разобрал три задачи.

Задача №1 «Деление отрезка в золотом отношении»

Дано: отрезок АВ.

Построить: «золотое сечение»

отрезка АВ, т.е. точку Е так,

чтобы, отношении.

Построение.

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС=  .

Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB,

и наконец, AE=AD.

Точка Е является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ.

Задача №2и №3. Построение «золотого треугольника» и «золотого прямоугольника».

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой «золотой пропорцией». Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой «золотой треугольник». Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции «золотого сечения». Длины биссектрис углов основания равны длине самого основания.

ГЛАВА 3.ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ОКРУЖАЮЩЕМ НАС МИРЕ ПРИРОДЫ

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда.

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют «золотой пропорции»

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Паук плетет паутину спиралеобразно.

Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

ГЛАВА 4. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ИСКУССТВЕ        

Под «правилом золотого сечения» в архитектуре и искусстве обычно понимаются асимметричные композиции, не обязательно содержащие золотое сечение математически. Многие утверждают, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Начиная с Леонардо да Винчи

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Часть 1

Цель: узнать, есть ли в строении человека «золотое сечение»

В эксперименте приняли участие двое взрослых и один обучающийся 8 класса.

Измерили рост(С), расстояние до талии (B) и от талии до макушки головы(а)

Нашли отношение В:А и С:В, В:С

 «Золотое сечение» составляет 0,618

Вывод: пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению.

Часть 2

Цель: проверить применение человеком «золотого сечения» при изготовлении различной продукции.

Мною были исследованы: пластиковая карта, телефон и ноутбук.

Вывод: пропорции «золотого сечения» были больше соблюдены пластиковой картой. Во всем мире платежные пластиковые карты одинакового размера. В какой бы стране не оказался человек, в любом банкомате он сможет получить деньги, используя карту.

ЧАСТЬ 3

Цель: проверить наличие пропорций «Золотого сечения» в архитектуре России.

Мною были рассмотрены:

1. Исаакиевский Собор в городе Санкт – Петербург.
2. Дом Советов на Московской площади в городе Санкт – Петербург.
3. Главное здание Московского Государственного университета.

Во всех исследуемых зданиях ученица обнаружила Золотое сечение, сохраняющее гармонию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

В ходе своего исследования, проводя эксперименты, я выявил закономерности «золотого сечения» в окружающих предметах, в частях тела человека. В результате была подтверждена гипотеза, что «золотое сечение – это отображение окружающего нас мира.

Изучив материалы интернет-сайтов, я пришёл к выводам:

1.«Золотое сечение» – вовсе не математический вымысел, на самом деле, это продукт закона природы, основанный на правилах пропорциональности.

 2. Человек - венец природы, золотые пропорции можно найти в частях его тела. Человеческое представление о красивом сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

3. Применение знаний о «золотом сечении» в различных сферах деятельности людей прослеживается уже в течение нескольких столетий и в дальнейшем изучение и применение «золотого сечения» будет двигать развитие науки и всего человечества в целом.

Мы исследовали предметы, окружающие нас и пропорции своего тела и обнаружили сами Золотую пропорцию в окружающем нас мире.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бернштейн, С.Н. Аналитическая природа решений дифференциальных уравнений эллиптического типа / С.Н. Бернштейн. - М
2. Выучейский, Владислав "Золотое сечение" в историческом наследии Республики Беларусь / Владислав Выучейский. - М.: LAP LambertAcademicPublishing, 2011.
3. Тимердинг, Г. Е. Золотое сечение / Г.Е. Тимердинг. - Москва: Высшая школа, 2009.
4. Фридман Л.М. «Изучаем математику», Москва, «Просвещение», 1995
5. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1985

Интернет сайты:

https://ru.wikipedia.org/wiki/

https://pearative.ru/stati/chto-takoe-zolotoe-sechenie/

https://oformitelblok.ru/zolotoe-sechenie.html

https://news.rambler.ru/other/41031725-zolotoe-sechenie-zachem-ono-nuzhno/

ПРИЛОЖЕНИЕ

Практическая часть

1часть

Борзенкова Т.

63,5

98,5

164

0,601

0,644

Борзенков Д.

77

105

182

0,576

0,733

Борзенков И.

71

100

170

0,588

0,71

Часть 2

Пластиковая карта

Ширина-53мм

Длинна-85мм

0,623

Телефон

Ширина-70мм

Длинна-155мм

0,452

Ноутбук

Ширина-260мм

Длинна-385мм

0,680

Часть 3

Исаакиевский собор

Первый ряд определён шириной здания, которая принята за 400 ед. и представляет такие цифры 400, 247, 153, 94, 58…

Если 400 разделим на число ≈1,618, то получим приблизительно 247; повторяем действие со следующим числом: 247: 1.618≈153.

И так находим все числа. Теперь смотрим на рисунок. Основная часть с колоннами вписывается в прямоугольник со сторонами 400 и 247. Поскольку стороны находятся в соотношении Ф≈1.618, то они образуют Золотой прямоугольник.

Следующий ряд представлен высотой здания: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Эти размеры заложены в более мелкие детали. По вертикали Исаакиевский собор делится Золотым сечением у основания купола, что делает соотношение основной части и купола гармоничным.

Третий ряд размеров начинается со 113, и являет ширину основания главного купола: 113, 69, 42, 26, 16. Числа этого ряда встречаются в размерах окон, в высотах колонн и других деталей собора.

Золотые прямоугольный и равнобедренный треугольники имеют место в здании Исаакиевского собора.

Дом Советов на Московской площади

По бокам симметрично расположены пятиэтажные корпуса. Длина Дома достигает 1472 ед., из которого методом деления на число Ф получается ряд размеров элементов здания: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50 (Приложение 21): высоты сооружения, высоты входа и др.

Вершина Золотого равнобедренного треугольника совпадает с вершиной здания, а его стороны проходят через верхние точки главного входа. Прямоугольный золотой треугольник образован вершинами в верхушке здания и в конце внутренней части бокового крыла.

Московский Государственный Университет

Длина здания равна 1472 ед. и начинает ряд: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Золотому сечению подчиняются, в основном высотные размеры. Из ширины башни проистекает другой ряд: 538, 332, 205, 126, который видим в широтных размерах.

Золотой прямоугольный треугольник гипотенузой проходит через угол здания и захватывает пристройки.