Использование метода рационализации при решении неравенств.

Ежегодная районная конференция

 «Молодость – науке» памяти А.Л. Чижевского»

Математика

Использование метода рационализации при решении неравенств.

                                                  Автор:  

Бонько Александра Дмитриевна

ученица 11 А класса МКОУ «Хвастовичска средняя

общеобразовательная школа».

                                                                                       Научный руководитель:

                                                                                            Петракова Марина Викторовна, учитель                      математики МКОУ «Хвастовичская средняя                                                                            общеобразовательная школа»

Хвастовичи, 2017

Содержание

Введение………………………………………………………….……………………………..3

Глава 1. Метод рационализации при решении неравенств

1.1. Методы решения неравенств………………………............................................................5

1.2. Теоретическое обоснование метода рационализации………..…………..........................5

1.3. Алгоритм метода рационализации……………………………..................………………6

Глава 2. Решение  неравенств.

2.1. Решение неравенств традиционным методом и методом рационализации…………….7

2.2. Анализ результатов по проблеме исследования…………………………………..………9

Заключение……………………………………………………………………………….…10

Приложение 2. Примеры решения логарифмических, показательных и иррациональных неравенств методом рационализации……………………………………………………….…..

Введение

      Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства. Нередко в заданиях типа №15 на ЕГЭ  требуется решить неравенство, которое достаточно сложно поддается обычному методу интервалов: корни соответствующих уравнений не всегда очевидны, а вычисление значений функции в промежуточных точках может оказаться довольно трудоемким процессом.

     Однако существует способ сведения неравенств к неравенствам для рациональных функций, которые решаются, как правило, существенно проще. Данный метод называется «методом рационализации» или «методом замены множителей». В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.

      На этом основании была выдвинута гипотеза – в решении показательных, иррациональных и логарифмических неравенств целесообразно использование метода рационализации.

Цель работы - практически оценить метод рационализации  при решении иррациональных, логарифмических и показательных неравенств, выявив значимость данного метода с точки зрения экономии времени и объема решения.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить теоретическую часть, которая позволяет заменять сложные выражения на более простые; 
2. Изучить научную литературу и интернет-ресурсы по проблеме исследования.
3. Обработать и систематизировать информацию по поднятой теме.
4. Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических, иррациональных и показательных неравенств.
5. Решить  неравенства, используя свойства функций, и   методом рационализации.
6. Проанализировать результаты.
7. Сделать выводы.

Методы исследования:

1.Синтез.

2. Описание.

3. Сравнение.

3. Анализ.

Актуальность

Тема решения неравенств методом рационализации является актуальной, т. к. ее изучение может быть полезно учащимся школ (преимущественно выпускникам) и педагогам как несколько иной способ решения неравенств.

Объектом исследования является метод рационализации.

Предметом исследования является решение показательных, иррациональных и логарифмических неравенств.

Новизна работы заключается в том, что, несмотря на довольно долгую известность данного метода решения неравенств (систем неравенств), в школьной программе он не изложен, следовательно, не известен ученикам.

Глава 1. Метод рационализации при решении неравенств.

1.1 Методы решения неравенств.

Как известно,  при решении неравенств используются следующие методы:

1) сведение неравенств к равносильной системе или совокупности систем;

      2) расщепление неравенств;

3) метод перебора;

4) метод интервалов;

5) введение новой переменной;

6) метод рационализации;

7) использование свойств функции:  область определения, ограниченность, монотонность.

Метод  рационализации  мы используем реже по сравнению с другими методами.

1.2.Теоретическое обоснование метода рационализации.

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод

рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.

                 Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x)0 равносильно неравенству    F(x)  0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где f, g, h, p, q – выражения с переменной х.

Некоторые следствия  (с учётом области определения неравенства)

1)(h - 1)(f - 1) (p - 1)(g - 1);

2)+g(f ∙g - 1)(h - 1) ;

 3);                                                                                                                                       4)

1.3.Алгоритм метода рационализации

1. Выписать условия, задающие ОДЗ и решить их.
2. Привести исходное неравенство к виду второй колонки таблицы ( см. приложение 1).
3. Провести преобразования всех множителей (упростить, привести к общему знаменателю и т.д.)
4. Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.
5. Записать ответ исходного неравенства, учитывая ОДЗ.

Глава 2. Решение  неравенств.

2.1. Решение неравенств традиционным методом и методом рационализации.

Теорема: Для любого  действительного, а>0, a≠1 неравенство

        .

Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию  всегда имеет тот же знак, что и произведение  при всех допустимых значениях переменных.

Начнём с простых примеров.

1. Решите неравенство  .

1 способ. Применим метод равносильного перехода:

2 способ.  Проведём рационализацию по п.1 таблицы, представив  2 в виде логарифма с основанием :

Ответ:

Решения этого неравенства методом равносильных переходов и методом рационализации практически ничем не отличаются, поэтому в данном случае не имеет значения, какой из способов применять в решении неравенства.

2. Решить неравенство  

способ. Решим данное неравенство,  используя свойства монотонности логарифмической функции.

Неравенство равносильно совокупности систем:

                                                      -3          -2        -1         0           1                      x

Итак, решением для этого случая будут являться промежутки: (-2;-1)(-1;0).

                   Отсюда следует, что x(-3;-2)

     Объединив ответы   и    случая, получим окончательный результат:

 способ. Решим данное неравенство методом рационализации,  избавимся от логарифмов и, включив область допустимых значений, решим систему:

                        -3            -2             -1             0              1                          

 Таким образом,    

       Рассмотренный пример ярко отражает удобство обнаруженного способа решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: он позволяет не определять характер монотонности соответствующей функции, поэтому решение неравенства значительно упрощается.

Метод рационализации применим не только к логарифмическим уравнениям, но и к показательным, и иррациональным (см. приложение  2).

                               2.2. Анализ результатов по проблеме исследования.

     В процессе работы над этой темой и анализа результатов решения задания № 15 на ЕГЭ выпускниками РФ на основе материалов ФИПИ за 2013 год имеем:

                   Как видно из таблицы только треть выпускников приступают к решению этого задания, а справляются с ним всего 3 %. Эта проблема существует не один год (см. приложение 3).

Поэтому было проведено следующее исследование: учащимся 11 класса были даны показательное, логарифмическое и иррациональное неравенства (см. приложение 4), которые они должны были решить известными им способами. Как видно из таблицы (см. приложение 5), с этими неравенствами справились 20% учащихся. После знакомства с методом рационализации с эти неравенства решили уже более 70%.

Заключение.

Умение решать показательные, иррациональные и логарифмические неравенства очень важно для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

    В процессе изучения литературы по данному вопросу был обнаружен такой способ решения неравенств,  как метод рационализации, который позволяет заменить сложные неравенства, на рациональные неравенства. Поэтому целью работы стало выявление преимуществ метода рационализации в сравнении с традиционным методом решения. Для достижения цели был поставлен ряд задач и проведен эксперимент  с учениками 11 класса. Результаты эксперимента отражены в таблицах ( приложение 3).

     По результатам исследования можно сделать вывод, что метод рационализации позволяет большему количеству выпускников  решить задание № 15.

   Практическое применение способа рационализации актуально, так как такие неравенства, кроме заданий ЕГЭ, часто встречаются в олимпиадных задачах.

Таблица перехода иррациональных и трансцендентных выражений к рациональным.

Где f ˃0, g ˃0, h ˃0, h, p ˃0, p/

f, g – функции от х, h, p – функции или число, V – один из знаков ˃,˂, ≥, ≤.

Примеры решения логарифмических, показательных и иррациональных неравенств методом рационализации.

1. Решите неравенство

Решение.

Ответ:

2. Решите неравенство  

Решение.

                                              +                    -             +                   -            +                                                                            -2            -1     1                 2

Ответ:

3.Решите систему неравенств     

Решение.

1.  Пусть. Тогда неравенство принимает вид t2-30t+125Последнее равносильно неравенству(t-5)(t-25) .  Применяя метод интервалов, получим

 откуда

2.

Запишем в систему все ограничения для  переменной х и рационализируем неравенство, используя следствие 1 (см.  таблицу)

3. Общим решением совокупности и системы     есть число 2.     Ответ: 2.

4.Решите неравенство   .

Воспользуемся свойствами логарифмов и разделим обе части неравенства на 3:

1)

2)

3) (по формуле перехода от одного основания логарифма к другому в обратном порядке).        

4)

Применим к полученному неравенству метод рационализации: (п.2б)

5)

Решим каждое из неравенств системы 5):

1)

            +                 -                      +

                              1                           y

2)

3) D=1-5<0.

4) Отсюда

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

        Так как , то  .

Значит, система неравенств 5) равносильна смешанной системе

        -3           0            1      

   Ответ: