Министерство образования и науки

РЕСПУБЛИКИ  КАЛМЫКИЯ

ЦЕЛИННЫЙ РАЙОН

МОКУ «ХАР – БУЛУКСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА»

Учебно-исследовательская работа:

«ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДРОБЕЙ»

Автор: Коксунова Иляна

ученица  8  класса.

Руководитель: Мучкаева Елена Чудеевна, учитель математики.

Содержание.

Но несть тон арифметик,

Уже в целых ответчик,

А в долях ничтоже

Отвечати возможе.

Тамже о ты радеяй,

Буди в частях умеяй.

Л.Ф. Магницкий

I. Введение.

Дроби возникают, когда натуральное число делят на равные части: надвое, на три части, на десять частей и т. д. Но мало знать, что такое дробь. Нужно уметь сравнивать их, выполнять  над дробями действия, решать всякие задачи с дробями.

С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести  расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби. В  практической  жизни дроби совершенно необходимы. По мере возникновения представлений о натуральных числах возникли представления и о долях единиц, вернее, о долях целого конкретного предмета. Так, возникновение представления о числе 2 повлекло за собой представление о половине, половине половины и т.д. Появление натурального числа n повлекло за собой представление о дроби вида  которую теперь называют аликвотной, или родовой, или основной.

II. Цели и задачи исследования.

Цель:  1. Изучить историю возникновения дробей.

           2. Изучить историю системы записи и названия дробей в различных  странах.

Для достижения этой цели я поставила перед собой следующие задачи:

1. Собрать материал  об истории возникновения дробей.
2. Изучить историю   классификации  дробных чисел.
3. Выявить названия дробей применимы и в настоящее время..

III.  Место и продолжительность исследования: 1 год.

п. Хар – Булук

4. Методы исследования:

1. Метод работы с научно - популярной  литературой, документами.
2. Метод сравнения.

5. История возникновения обыкновенных дробей.

Людям часто приходится делить целое на доли. Самая известная доля — это, конечно, половина. Слова с приставкой «пол» можно услышать, пожалуй, каждый день: полчаса, полкилограмма, полбулки.

Но есть и другие употребительные доли. Например, четверть, десятая, сотая. Когда образуются доли? Тогда, когда один предмет (буханка хлеба, лист бумаги) или единица измерения (час, килограмм) делятся на равные части. Доля это каждая из равных частей единицы. Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу. Разделили на две части название доли «половина», на три — «треть», на четыре — «четверть». А если на пять, на шесть, семь  частей, то  пользуются словами «пятая, шестая, седьмая» и т. д.  Четверти по-другому называют четвертыми, трети — третьими, а половины — вторыми долями.

Для записи любой доли используют горизонтальную черточку. Ее называют дробной чертой. Над ней ставится единица, а под чертой пишется число равных частей, на которые единица делится. Например, вторая, двадцать первая, сто пятая доля записываются: , .  Читают: «одна вторая», «одна двадцать первая», «одна сто пятая». Если число равных частей, на которые поделена единица, обозначено буквой n, то эту букву и пишут под дробной чертой:  . Читают: «одна энная».

Зачем нужны доли? Ответить очень просто: при измерении величин часто бывает невозможно обойтись только целыми единицами. Представьте, например, что для измерения длины нам разрешили пользоваться только целыми метрами. Как тогда мы бы смогли измерить рост человека? Или спортивные результаты в прыжках? В таких случаях пользуются сантиметрами.

А в технике часто нужны более мелкие доли метра — тысячные. Они, как вы знаете, называются миллиметрами. И более крупные доли метра бывают полезны, например, десятые. Как из долей получаются дроби? Возьмем, например, число «две девятых». Это не натуральное число, но не доля единицы. Это сумма двух  одинаковых долей. Для чисел, которые являются или долями, или суммами долей, используют общее название — дробные числа. Дробные числа называют и просто дробями.

ДРОБЬ — ЭТО ИЛИ ДОЛЯ, ИЛИ СУММА НЕСКОЛЬКИХ ОДИНАКОВЫХ ДОЛЕЙ. Так, что число «две девятых» - это дробь. Цифрами она записывается:  . Дробь  равна сумме двух одинаковых девятых долей:   = .

Для записи дроби используют дробную черту и два натуральных числа. Под дробной чертой пишут знаменатель дроби. Он показывает, из каких долей складывается дробь. Над чертой пишется числитель дроби. Он показывает, суммой скольких долей является дробь.

В самых древних дошедших до нас письменных источниках – вавилонских глиняных табличках  и египетских папирусах встречаются не только натуральные числа, но и дроби.

Дроби были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, массы, площади в случаях, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз.

Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. Названия этих новых единиц измерения и стали первыми названиями дробей. Например, дробь    до сих пор называется «половина»; у римлян слово «унция» сначала было названием двенадцатой доли единицы массы, но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины (говорили: «Семь унций пути», т.е. семь двенадцатых пути).

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходило от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых  учебниках математики  (в XVII веке) дроби так и назывались – «ломаные числа». У других народов называние дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в ХII – XIV веках было заимствовано европейцами. В начале в записи дробей не использовалась дробная черта; например, числа  было  2 записывали так                         . черта дроби стала постоянно  использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо  Пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввёл в ХIII веке Максим Плануд – греческий монах, ученый – математик.

6. Возникновение дробей.

Появление аликвотных дробей весьма характерно для начального развития понятия числа в любой древней цивилизации. Это первое появление дробей в результате процесса дробления целого на части; этим можно пояснить возникновение аликвотных дробей вида   при небольших n (например, n= 2, 3, 4, 6, 8,10), т.к. деление единицы на большее число в практике того времени вряд ли встречалось.

Другой  (основной) источник возникновения дробей – процесс измерения, появившийся наряду со счетом. В основе всякого измерения всегда лежит  некоторая величина (длина, объем, вес и т.д.). Выбор  той или иной единицы, служащей основанием системы мер, обусловливается конкретной исторической обстановкой.

Меры в своём развитии прошли примерно те же этапы, что и числа. На первых стадиях развития человеческого общества измерения производились на «глаз». С дальнейшим развитием общества появились некоторые натуральные меры: длина ступни, ширина ладони и т.п.

О существовании таких древнейших мер говорят названия мер длины, сохранившиеся и до наших дней. Такими мерами являются фут (длина ступни), дюйм (ширина большого пальца руки при его основании), ярд^[1], локоть (расстояние от конца пальцев до локтя),  пальма (ширина ладони).

Из всех мер длины  в быт русского народа прочнее всех вошёл аршин^[2]. (Следует отметить, что  длина мер колебалась в зависимости от местности и условий применения).  Об этом свидетельствует большое количество поговорок и оборотов народной речи: «мерить на свой аршин», «словно аршин проглотил» и т.п. Потребность  более точного измерения привела к тому, что первоначальные единицы мер стали раздроблять на две, три и т.п. части. В результате раздробления более мелкие единицы меры получили индивидуальные названия, и величины стали измеряться уже в этих более мелких единицах.

Так возникли первые конкретные дроби как части некоторых определенных мер. Лишь много позднее названия этих конкретных дробей стали служить для обозначения таких же частей величин, а затем и для отвлеченных дробей.

1. От конкретных дробей к основным.

Есть все основания предполагать, что первоначально существовали только двоичные дроби. Позднее к ним была присоединена    и её двоичные подразделения. Так, деление аршина на 16 вершков отвечает требованию, чтобы , , ,   доли выражались бы целыми числами вершков. Такая двоичная система деления основной единицы ясно выражена ещё в старой русской системе измерения полей и некоторых других величин. Так, в XV в. в качестве единицы измерения площадей полей стали пользоваться сохой (соха = 800 четвертей; четверть =  десятины), а также полсохой, пол - полсохой (четь сохи), пол-четь сохой и т.д.

В связи с делением различных единиц измерения на части на Руси были широко распространены дроби вида: половина = , четь = , полчеть = , пол – полчеть = , пол – пол – полчеть или малая четь = , треть= , полтреть =  , пол- полтреть = , пол- пол- полтреть, или малая треть=   и т.д.

2. Шестидесятеричные дроби.

В Древнем Вавилоне были дроби шестидесятеричными,  т.е записывались, например, в виде 4; 52; 03. Это означало: 4+ + .

Вавилоняне работали только с шестидесятеричными дробями. Т.к. знаменателями таких дробей служат числа 60, 602 , 603  и т.д., то такие дроби, как  , нельзя было точно выразить  через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Т.к. система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

 Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Сейчас ЭВМ используют двоичные дроби, которые когда-то применяли и на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т. д.

3. Система дробей Древнего Рима.

Интересная система дробей была в Древнем Риме - двенадцатеричная.  Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс^[3]. Медную монету, а впоследствии единицу веса - асс римляне делили на двенадцать равных частей - унций. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью – весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций  книги. Имелось в виду, что пройдено   пути или прочтено   книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

 Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулезно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулезно» от римского  названия асса  - «скрупулус».  В ходу были  и такие названия: «семис» - половина асса, «секстанс» - шестая его доля, «семиунция» - полунции, т.е.  асса, и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса ( асса) и секстанса получается семис, а приумножении беса ( асса) на сескунцию ( унции, то есть  асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Из-за того, что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или  100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асс на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не «лихва составит 16 сотых суммы долга», а «на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». И сказано тоже самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчетах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли еще и промилли - так называли тысячные доли (по-латыни «про милле» - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %,  промилли обозначают ‰.

4. Запись дробей  у греков.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «черному люду». Но старая пословица говорит: «Гони природу в дверь – она влетит в окно». Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали с «заднего хода». Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть  в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

Из-за того, что греческие ученые не признавали дробных чисел, у них возникли затруднения с измерением величин. Греческий математик не мог сказать, что длина одного отрезка втрое больше длины другого. Ведь эти длины могли оказаться дробными числами, а то и вообще не выражаться известными грекам числами, а потому применять к ним операцию умножения было нельзя. Пришлось греческим ученым придумывать способ, как обходиться в науке без того, чтобы выражать длины, площади и объёмы числами (купцы и ремесленники спокойно делали это, не обращая внимания на умствования ученых). Для этого пришлось создать учение об отношениях величин, о равенстве таких отношений и т.д. Равенство   двух отношений стали потом называть латинским словом «пропорция» (греки применяли для этого греческое слово «аналогия»).

5. Современная запись обыкновенных  дробей.

Следует отметить, что отдел арифметики о дробях долгое время был одним из самых запутанных. Так, кто не знал дробей, не признавался сведущим в арифметике. Освоить же дроби было тяжело. Даже самые образованные люди средневековья считали действия с дробями весьма трудными. Это происходило потому, что общих приёмов действий с дробями и записи дробей не было, их складывали, умножали и делили по различным «рецептам».

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя было принято в Индии еще в VIII веке до н.э. однако без дробной черты. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

7. Десятичная дробь.

Началом нового этапа в истории дробей явились десятичные дроби. Введение десятичных дробей, наряду с десятичной системой счисления, является одним из самых важнейших моментов в истории арифметики, а следовательно, всей математики в целом. Уже в III в. у народов Китая, пользовавшихся десятичной системой мер, начали появляться десятичные дроби, которые выступали в виде именованных чисел – единиц десятичной системы мер.

Некоторые намеки на десятичные дроби встречались у народов Индии, а потом у народов Среднего Востока. Ал – Уклидиси (Х в.) был первым математиком стран ислама, применявших десятичные дроби и понимавшим их важность. У ан- Насави (ум. Ок. 1030 г.) встречаются намёки на десятичные дроби при извлечении квадратного корня (при извлечении квадратного корня в случае, если он не извлекается нацело, приписывали к подкоренному выражению столько нулей, сколько нужно было получить лишних знаков в корне). В Европе подобный способ извлечения квадратных корней был впервые применён испанским монахом Иоанном Севильским (XII в.). Десятичные дроби  применял в своём трактате багдадский учёный ал-– Багдади (1002 - 1071).

В конце ХVI века появились десятичные дроби. При вычислениях с десятичными дробями получались очень числа с очень большим числом цифр. Такое число знаков не было нужно для практики. Поэтому приходилось округлять полученные ответы, вести приближенные вычисления. Много сделал для развития приближенных вычислений русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863 - 1945). Сейчас для облегчения вычислений построили машины, которые считают удивительно быстро. За одну секунду эти машины могут выполнить миллионы арифметических действий (сложений, вычитаний, умножений и делений) над многозначными числами.

В науке и промышленности, в сельском хозяйстве при расчётах десятичные дроби используются значительно чаще, чем обыкновенные.

Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья аль- Каши Джемшд Ибн Масуд, живший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале ХV века.

Записывал аль - Каши десятичные дроби так же, как принято  сейчас, но не пользовался запятой: дробную часть записывал красными чернилами или отделял  вертикальной чертой.

Но об этом  в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби  были заново изобретены фламандским инженером  ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.

Например, число 24,56 выглядело так: 2405162 или 2456 – вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3, …, помечалось положение остальных знаков.

Запятая или точка для отделения  целой части от дробной стали использоваться с ХVII.

В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович  Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

Наша нумерация десятичная. Такое название произошло от правила: единица каждого разряда в 10 раз больше единицы предыдущего младшего разряда.

Разряд единицы самый младший в записи натуральных чисел. Единица предшествующего младшего  разряда должна быть в 10 раз меньше единицы каждого разряда.

Вот люди  и договорились правее разряда единиц помещать разряд десятых долей. А чтобы указать, где кончаются единицы и начинаются десятые доли, перед десятыми долями ставят запятую.

Например, запись 34,2 обозначает число . Число 5  можно записать: 5,9.

Разряды справа от запятой можно продолжать и дальше. Что будет обозначать единица второго такого раз ряда? Чтобы сохранялось правило, она должна быть в 10 меньше, чем . Значит, это : 10, т.е. .

1-й разряд после запятой – десятые доли,

2-й разряд после запятой – сотые доли,

3-й разряд после запятой – тысячные доли.

Дробь, записанную с помощью цифр и запятой,  называют десятичной дробью, дробь, записанную с помощью дробной черты, называют обыкновенной дробью.

Как и натуральные числа, всякую десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Например, 27, 8056 = 20+7+.

В таблице изображены несколько первых разрядов после запятой и записаны в неё цифры, обозначающие разрядные слагаемые числа 27, 8056.

попробуем записать обыкновенную дробь  десятичной дробью. Для этого надо числитель делить на знаменатель. Вычислив, несколько цифр частного увидим закономерность, с которой эти цифры появляются. Видно, что будут получаться одни 6. Но ведь так можно продолжать без конца. Поэтому получающуюся дробь и называют бесконечной десятичной дробью. Записать ее полностью невозможно. Так что где-то придется оборвать запись и поставить многоточие. Надо только, чтобы была понятна закономерность, с которой цифры идут друг за другом. Для дроби   мы обнаружили выше такую закономерность. Можно записать:  =0,6666...

Бесконечные десятичные дроби — это тоже числа. Их можно складывать и вычитать, умножать и делить, сравнивать между собой. Сравнивают их по тому же правилу, что и конечные (т. е. обычные) десятичные дроби. Например, 10,63186318... > 10,631846318…, так как в разряде стотысячных долей у первого числа стоит цифра 6, а у второго - 4.

Давайте отбросим в бесконечной десятичной дроби все цифры, начиная с некоторого разряда. У нас получится конечная десятичная дробь. Например, из дроби 0,666666... можно получить конечные дроби 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 Говорят, что каждая из них — приближение с недостатком данной бесконечной десятичной дроби. Из этих приближений можно выстроить бесконечную цепочку неравенств: 0,6<0,66<0,666<… . Каждая дробь в цепочке меньше данного числа 0,666666...;  и чем больше цифр содержит дробь, тем она б л и ж е к этому числу.

Теперь снова отбросим в бесконечной десятичной дроби все цифры, начиная с некоторого разряда, но последнюю цифру увеличим на единицу. Тогда мы опять получим конечную десятичную дробь. Она будет больше данной бесконечной десятичной дроби. Ее называют приближением с избытком. Например, для числа 0,666666,.. дроби 0,7; 0,67; 0,667; ... — приближения с избытком. Каждая из этих дробей больше числа 0,666666...; и чем больше цифр содержит дробь, тем она ближе к этому числу.

Чем больше цифр взято в приближении данного числа, тем ближе получающаяся конечная десятичная дробь к данному числу.

Помня, что  =0,6666... мы можем получить много приближенных равенств.

Легко заметить, что  при переводе некоторых обыкновенных дробей получаются бесконечные десятичные дроби, где одна или группа  цифр начинает повторяться  с некоторого места. Такую повторяющуюся группу цифр называют периодом бесконечной десятичной дроби, а саму дробь называют периодической. Конечную десятичную дробь тоже можно считать периодической – её период состоит из нуля.

Каждое рациональное число можно записать периодической десятичной дробью. И, наоборот, если число записано периодической  десятичной дробью, то оно  рациональное. Но, кроме рациональных чисел, есть ещё другие числа. Именно это обнаружил Пифагор. Он доказал удивительную вещь: оказывается, длину диагонали единичного квадрата нельзя записать рациональным числом! А бесконечной десятичной дробью можно. Точно также нельзя записать периодической дробью числа π, e.

8. Заключение.

В науке и промышленности, в сельском хозяйстве десятичные дроби используются гораздо чаще, чем обыкновенные. Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами.

При выполнении работы я выяснила, что

1.История дробей имеет древнее происхождение.

2. Правила вычислений десятичных дробей описал знаменитый ученый средневековья аль- Каши Джемшид Ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века.

3. В Европе десятичные дроби были заново изобретены фламандским ученым и инженером Симоном Стевином в  конце XVI  начале XVII века.

4. В России  учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

А также узнала, историю системы записи и названия дробей в различных  странах и их применение в современной математике.

Работа по истории происхождения и записи чисел очень интересна и многогранна,  и можно искать и находить много интересной информации, как о происхождении чисел, так и о применении их на практике.

9. Литература.

1. Виленкин Н.Я.  и другие. Математика 6 класс. М.: Просвещение, 1993.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.:  Просвещение, 1989 .
3. Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994.
4. Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990.
5. Шеврин Л.Н. и другие. Математика: Учебник - собеседник  для   5 – 6 кл. М.: Просвещение, 1989.
6. Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996.