История развития математики

Районная научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Направление: Математика

Название работы: История развития математики.

Автор работы: Шахова Юлия .

Место выполнения работы: с. Обильное

                                                   МКОУ «Обильненская СОШ»

Руководитель: Шахова Л.П., учитель математики.

2015 г.

Введение.

                                                                                                «Математика - это то, посредством чего

                                                                                             люди управляют природой и собой»

  Математика проникает во все сферы человеческой деятельности. Трудно назвать хотя бы

 один раздел науки или какую-либо профессиональную область, где не присутствовала бы математика или ее методы. Образы математических объектов окружают нас и в повседневной жизни. Поэтому необходимость математического образования для успешного формирования личности не вызывает сомнений.

   Содержание современного школьного курса математики тесно связано не только с задачей получения фундаментального естественно-научного образования, но и с задачей формирования представлений о математике как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса.

   «Математика является не просто областью знаний и универсальным инструментом, все шире проникающим и в гуманитарные разделы науки, но, прежде всего неотъемлемой частью цивилизации, существенным элементом общей культуры, языком научного восприятия мира», — считает Н.Х.Розов.

   Важной частью общей культуры является набор знаний, которые человек активно использует в быту, в профессиональной деятельности на протяжении всей жизни. Умение применять полученные теоретические знания на практике может служить критерием оценки уровня культурного развития человека.

Поэтому в моей работе я хочу описать прикладную направленность математических знаний на протяжении всей истории её развития. Я затронул эту тему из-за того, что многие считают, что математические знания в жизни не нужны. В этом они глубоко заблуждаются.

Математика

Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

История математики до 18 века.

Зарождение математики.

 Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых  не только деление, но и ещё долг представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта (1-я половина 2-го тысячелетия до н. э.) состоят  по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, так как математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик (см. Папирусы математические). Математических текстов, позволяющих судить о М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тысячелетия до н. э. до возникновения и развития греческой М. Вавилония этого времени получила от более раннего шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему счисления, заключавшую в себе уже позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. Кроме таблиц обратных чисел, имелись таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые начатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

Древняя Греция.

Развитие М. в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраического характера и разработки математических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчётливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 век до н. э.) первых греческих геометров и философов Фалеса  Милетского и Пифагора Самосского.        

                                                                                                    Фалес

                                                                                         Пифагор.

 В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности, 1 + 3 + 5+ ... + (2n — 1) = n2], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (например, разыскание так называемых совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим, магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек "пифагоровых чисел", то есть троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a2 + b2 = c2. В области геометрии задачи, которыми занимались греческие геометры 6—5 веков до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации.

Эллинистическая и римская эпоха.

        С 3 века до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математических исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греческой образованности и научных интересов во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её "музеем", являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 век до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен Аполлоний Пергский.                                                                                    

                                                                                                                 Евклид.

В своих "Началах" Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. "Начала" Евклида). Вместе с тем в "Началах" же Евклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрических работ Евклида, не вошедших в "Начала", и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 веке до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристических приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 века до н. э. к отказу от математической строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно

доказанных неравенств

где р — длина окружности с диаметром d. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть "нестрогая" М., было позднее надолго забыто.

Китай.

 Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже "Арифметика в девяти главах", составленная по более ранним источникам во 2—1 веках до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном. В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 веками) и более полно Цинь Цзю-шао (13 век) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 века), который показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах

3,1415926 < p < 3,1415927.

Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 века). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математиков 13—14 веков Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе.

Индия.

       Расцвет индийской М. Относится  к 5—12  векам (наиболее известные индийские математики Ариабхата,  Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь "арабскими", не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 веке) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Средняя Азия и Ближний Восток.

Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 веков учёные Средней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского полуострова пользовались арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 веке деятельность Улугбека, который при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т. п.

В западноевропейской науке длительное время господствовало мнение, что роль "арабской культуры" в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий древнего мира и Индии. (Так, сочинения греческих математиков впервые стали известны в Западной Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й половине 9 века Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин "алгебра" производят от начала названия сочинения Хорезми "Аль-джебр", по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их

классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конических сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).

Россия до 18 в.

        Математическое образование в России находилось в 9—13 веках на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 веках в связи с укреплением Русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности общества в математических знаниях. В конце 16 века и особенно в 17 веке появились многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в которых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).

       В Древней Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите  (см. Славянские  цифры). Славянская нумерация в русской математической литературе встречается до начала 18 века, но уже с конца 16 века эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

      Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца 16—17 веков содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметические операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практического использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания, и излагался так называемый дощаный счет — прототип русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметическая часть знаменитой "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрических рукописях, в большинстве своём преследовавших также практические цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и

объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.                                                                                

 Л.Ф.Магницкий

Заключение.

     На протяжении всей жизни человека его деятельность была так или иначе связана с математикой.

        Начиная со счета предметов, который привел к созданию натурального ряда чисел на ранней ступени развития культуры , и заканчивая знаменитой «Арифметикой» Л.Ф.Магницкого ( 1703 г.), где содержалось изложение правил определения площадей фигур и объемов тела и использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.  Здесь тоже преследовались  практические цели.

       Можно также  привести  пример с землемерами Древнего Египта, которые  на основе некоторых знаний математики  и обычной бечевки  выводили прямые углы  на различных поверхностях . Суть этого метода заключалась в том, что  веревку делили на 12 равных частей, связывали и  растягивали на данном участке земли  так, что получался треугольник со сторонами 3, 4  и 5  делений. Угол , противолежащий стороне с 5-ю делениями был прямой. Этот способ построения прямого угла  иногда называют  египетским.

                                                         Список литературы.

1.  Колмогоров А. Н, Философия и история математики. Математика в книге: Большая  Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954.

2.  История математики в XVI и XVII веках, перевод с немецкого, 2 изд., М. — Л 1938.

3.  Рыбников К. А., История математики, т. 1—2, М., 1960—63.

4.  Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961.

5.  Ресурсы интернета www.wikipedia.org и www.yandex.ru (Раздел-словари)