Проценты в заданиях государственной итоговой аттестации (презентация)

Слайд 1

Выполнила ученица 10 класса Ланцева Влада Андреевна Научный руководитель: Майонова Галина Петровна учитель математики 1 категории Проценты в заданиях государственной итоговой аттестации ЗАПАДНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа № 12 г. Сызрани г. о. Сызрань Самарской области

Слайд 3

Актуальность Данная тема актуальна в наше время. Прикладное значение процентов очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.

Слайд 4

Цель исследования Формирование понимания необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни и других предметах.

Слайд 5

Задачи исследования ● Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. ● Систематизировать задачи на проценты по типам. ● Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. ● Выявить практическое применение таких задач. ● Определить план дальнейшей работы над темой.

Слайд 6

Методы исследования анализ теоретической литературы; математические расчеты пропорциональных отношений; сопоставление полученных данных.

Слайд 7

● Важным и полезным ресурсом для выпускника является Открытый банк заданий (ФИПИ). ● Обучающая система Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ». ● alexlarin.com Ресурсы

Слайд 9

Из истории процентов. Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Долгое время под процентами понимались прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем их область применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Слайд 13

Понятие процента. Одну сотую часть величины называют процентом этой величины (1%). Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%. Чтобы обратить число в проценты, надо его умножить на 100. Чтобы перевести проценты в число, надо разделить число процентов на 100

Слайд 14

Типы задач на проценты 1. Базовые задачи 2. Задачи, решаемые с помощью диаграмм. 3. Задачи на смеси и сплавы 4.Задачи на простые и сложные проценты. 5. Экономические.

Слайд 15

Базовые задачи, связанные с понятием процента.

Слайд 16

1. Нахождение заданного числа процентов от данного числа. Чтобы найти заданное число процентов от данного числа, надо это число разделить на 100 ( т. е. найти 1% от числа) и полученное частное умножить на заданное число процентов. p % от а составляет

Слайд 17

2. Нахождение числа по данной величине его процентов . Чтобы найти все число по данной величине его процентов, надо разделить эту величину на заданное число процентов (т. е. найти 1% искомого числа), и полученное частное умножить на 100. Если р % от х равны b , то х =

Слайд 18

3. Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел (т. е. узнать, сколько процентов одно число составляет от другого), надо одно число разделить на другое (на то, которое принимается за 100%), и результат умножить на 100 . а от b составляет

Слайд 19

Указание. При решении задач на проценты необходимо твердо помнить, что: 1 ) при нахождении нескольких процентов от числа данное число принимается за 100% ; 2) при нахождении числа по данным его процентам искомое число принимается за 100% ; 3) при нахождении процентного отношения двух чисел за 100% принимается число, с которым сравнивается другое.

Слайд 20

Задачи на проценты можно решить разными способами: ● по действиям; ● применяя пропорцию; ● уравнением; ● составлением таблицы; ● используя правила.

Слайд 21

Геометрический способ Задача. В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка (если учесть, что каждый житель города знает хотя бы один из двух языков)? Решение. Разместим всех жителей города на отрезке так, что знающие английский язык стоят на отрезке слева, а знающие французский - справа. Если этот отрезок – 100%, то общая часть этих множеств отрезок [30%; 80%] «протяженностью» в 50%. французский язык 70% 30% английский язык 80%

Слайд 23

Выбор диаграммы Задача. Выберите номер диаграммы, на которой правильно показано распределение территории парка, если 50% его площади отвели под детскую площадку, 25% оставшейся площади – под посадку деревьев. Остальную – под газон и дорожки. 1 2 3

Слайд 24

Решение. Круговые диаграммы получают с помощью распределения площади круга на сектора, площади которых отвечают величинам данных, выраженных в процентах. Так как площадь всего круга принимается за 100%. Заметим, что на диаграммах 1 и 2 показано, что под детскую площадку отведено 50% всей площади. Из этих диаграмм надо выбрать ту, на которой показано, что 25% оставшейся площади отведено под посадку деревьев. Найдем 0,25 от 0,5, получим 0,125, т. е. 12,5% - такой сектор указан на диаграмме 2. Ответ: 2.

Слайд 25

Задачи на сплавы и смеси В основном задачи на проценты решаются методом последовательных вычислений с составлением пропорции, с последующим нахождением ее неизвестного члена или алгебраически - составлением уравнения.

Слайд 26

Задача. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй – 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Масса сплава % никеля Масса никеля 1 сплав х 5% 0,05 2 сплав у 20% 0,2у 3 сплав 225 15% 33,75 х + у = 225 0,05х + 0,2у = 33,75 х = 75 у = 150 у – х = 150 – 75 = 75 Ответ: на 75 кг.

Слайд 27

Правило креста В задачах на сплавы и смеси иногда лучше прибегнуть к диагональной схеме правила смешения двух растворов, называемого в аналитической химии «правилом креста» «Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами. Слева, на концах отрезков, записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху - большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы. (Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.)

Слайд 28

Задача. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято? Решение . Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема: 5 10 30 40 25 Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного – 25 частей, т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного – 100 г. Ответ: 40 г и 100 г.

Слайд 29

Задачи на сложные проценты. Если число а увеличено на р % , то оно увеличено в (1 + p /100) раз, а если число а уменьшено на t % , где 0 ≤ t ≤ 100, то оно уменьшено в (1 – t /100) раз. Значит, получаются соответственно следующие числа а (1 + р /100) и а (1 – t /100). Если имеется некоторая величина А 0 , которая увеличивается на р % за некоторый промежуток времени. Затем ее новое значение опять увеличивается на р %. При этом процесс содержит n этапов, то А n = А 0 (1 + р /100) n . Если на каждом этапе происходит уменьшение на р %, то А n = А 0 (1 – р/100) n .

Слайд 30

Задача. Если положить на вклад «Молодежный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 12% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик собирается положить на этот вклад деньги на два года подряд и не пополнять и не снимать со счета. Сколько рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 1272 рубля? Решение. Применим формулу «сложных процентов» А n = А 0 (1 + р /100) n , где Аn =А 0 + 1272; р = 12; n = 2. Следовательно, А 0 + 1272 = А 0 (1 + 0,12) 2 ; А 0 + 1272 = 1,2544 А 0 ; 0,2544 А 0 = 1272; А 0 = 5000. Вкладчик должен положить 5000 рублей. Ответ: 5000 рублей.

Слайд 31

Задача. 31 декабря Александр взял кредит на сумму 4641000 руб. под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%). Затем Александр делает ежемесячный платеж. Найдите сумму ежегодного платежа, если известно, что Александр выплатил долг четырьмя равными ежегодными платежами . Решение. 1 шаг : Заметим, что увеличение какой-либо суммы на 10% эквивалентно умножению этой суммы на 1,1. Таким образом, в конце каждого года долг Александра умножается на 1,1.

Слайд 32

в конце 1-го года: в конце 2-го года: в конце 3-го года: в конце 4-го года: 3 шаг: После четырех платежей долг оказался полностью выплаченным, значит, он стал равен нулю: Ответ: 1464100 рублей. 2 шаг: Пусть Александр каждый год платит х рублей. Значит, в конце каждого года его долг уменьшается на х рублей. Найдем долг Александра в конце каждого года: в конце текущего года 4641000:

Слайд 33

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость. Я считаю, и, надеюсь, вы со мной согласитесь, что каждый уважающий себя человек должен иметь хотя бы элементарные знания, умения, навыки по теме “Проценты”.

Слайд 34

Список литературы Выгодская В. В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. – М.: ВАКО, 2012. Минаева С. С. Дроби и проценты. 5 – 7 классы / С. С. Минаева. – 3-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. Математика в школе. Научно-методический журнал. 1 январь-февраль / 1997 Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием: учебно-методическое пособие. / Под. ред. Ф. Ф. Лысенко и С. Ю. Кулабухова . – Ростов-на-Дону: Легион, 2015. Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ». www.reshuege.ru Открытый банк заданий ЕГЭ. – Электронный ресурс. – Режим доступа: http://www.fipi.ru/ Открытый банк заданий по математике. – Электронный ресурс. – Режим доступа: http://mathege.ru/ Попова Л. П. Сборник практических задач по математике: 5 класс. – М.: ВАКО, 2012. Шноль Д. Э. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В1. Арифметические задачи. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. 3-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2012. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / под ред. И. В. Ященко. М.: Издательство «Экзамен», 2016 Ященко И. В. И др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания /И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин – М.: МЦНМО, 2015

Слайд 35

Спасибо за внимание