Совершенные числа

Х городская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку»

Возрастная категория: «Юный исследователь»

Секция: математика

Название работы:

«Совершенные числа»

Автор работы:

Автонеев Юрий Александрович

г.о. Тольятти, МБУ СОШ № 59, 6 класс

Научный руководитель:

Колова Елена Валерьевна,

учитель математики, МБУ СОШ № 59

Тольятти

2014

                                                      ВВЕДЕНИЕ

Основная цель работы: исследование совершенных чисел и их истории.

Данная тема интересна тем, что она еще не до конца исследована ученными. При работе над этой темой были поставлены следующие задачи:

1) выяснить, что такое совершенные числа и как их найти;

2) узнать, какая существует формула и показать способы ее применения;

3) узнать, кто открыл первые совершенные числа.

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод подбора и проб; чтение дополнительной литературы; метод обобщения.

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1. Понятие совершенного числа

Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

2. Формула вычисления Евклида

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число P = ( ‒ 1) является совершенным, если число q =  ‒ 1 является простым числом Мерсенна. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Часть 2. Постановка и решение задач

исследования

2.1. Доказательство теоремы Евклида.

Пусть у числа 2n-1 (2n-1) множитель в скобках простой. Тогда делителями этого числа, отличными от самого числа, будут

1, 2, 4, . . . , 2n-1, (2n-1), 2 (2n-1), 4 (2n-1), . . . , 2n-2, (2n-1).

Возьмем сумму всех этих делителей:

(1 + 2 + 4 + 8+...+ 2n-1) + (1 + 2 + 4 + 8+...+ 2n-2) (2n-1)= (2n-1) + (2n-1-1) (2n-1)= =2n-1 (2n-1).

Следовательно, число 2n-1 (2n-1) - совершенное.

Спустя 2000 лет Леонард Эйлер доказал, что формула Евклида определяет все четные совершенные числа. Любопытно, что до сих пор никому не удалось найти нечетное совершенное число, и, возможно, такого вообще не существует. Удивительная формула Евклида тесно связана с обычной геометрической прогрессией со знаменателем   2 (1, 2, 4, 8, 16, . . . ). Вспомним древнюю историю о персидском царе и авторе шахматной игры. Восхищенный этой игрой, царь предложил автору самому выбрать себе награду. Тот, на первый взгляд, изъявил очень скромное желание, попросив положить на первую клетку .шахматной доски одно зернышко пшеницы, на вторую — два зернышка, на третью — четыре и таким способом заполнить все 64 клетки. Оказалось, что число зерен в последней клетке равно 9 223 372 036 854 775 808, а удвоенное это число без 1 равно суммарному числу зерен на доске, что в несколько тысяч раз превышает годовой урожай пшеницы во всем мире. Написав в каждой клетке шахматной доски число зерен, которое должно быть в ней, и забрав из каждой клетки по одному зернышку, увидим, что оставшееся в клетке число зерен в формуле Евклида определяется выражением 2n ‒ 1. Если это число простое, то, умножив его на число зерен в предыдущей клетке, то есть на 2n ‒ 1, получим совершенное число, (см. рис.1).

Рис.1

Простые числа ряда 2n ‒ 1 называют числами Мерсенна по имени французского математика XVII века, занимавшегося их изучением. На рисунке 1 закрашены те клетки, в которых после вычитания 1 получаются числа Мерсенна. Таких клеток на доске 9 — им соответствуют первые девять совершенных чисел.

2.2. Свойства совершенных чисел

Совершенные числа обладают рядом таинственных и вместе с тем замечательных свойств. Например, все совершенные числа «треугольные». Это означает, что если взять, допустим, шарики в количестве, равном совершенному числу, то их можно расположить так, что они образуют равносторонний треугольник.

А вот еще одно свойство совершенных чисел: сумма обратных значений делителей совершенного числа, включая и само число как делитель, всегда равна 2. Так, для числа 28 имеем

До сегодняшнего дня остаются без ответа два важных вопроса: существует ли нечетное совершенное число и существует ли наибольшее четное совершенное число? До сих пор не найдено ни одного нечетного совершенного числа, но вместе с тем и не доказано, что такого числа не существует. Ответ на второй вопрос зависит от того, является ли ряд простых чисел Мерсенна бесконечным, так как каждое простое число этого ряда приводит к совершенному числу. Было замечено, что при подстановке первых четырех чисел Мерсенна (3, 7, 31, 127) вместо п в формулу 2n ‒ 1 снова получаются числа Мерсенна. Более 70 лет математики надеялись, что такая закономерность должна привести к заключению о бесконечности ряда простых чисел Мерсенна. Однако в 1953 году вычислительная машина разрушила их надежды. Было обнаружено, что в случае n=213 ‒ 1 = 8191 (простое число Мерсенна) число 28191 ‒1 не просто. Так до сих пор и не известно, является ли ряд Мерсенна бесконечным или в нем имеется самое большое число.

Оре в книге «Теория чисел и ее история» цитирует забавное высказывание Питера Барлоу из его книги «Теория чисел», вышедшей в 1811 году. Барлоу, вычислив девятое совершенное число, заявил, что «это наибольшее число, которое когда-либо будет найдено, потому что совершенные числа не более чем любопытны и вряд ли кому-либо придет в голову пытаться найти большее совершенное число». 2127 – 1 - наибольшее число .Мерсенна, найденное без помощи вычислительной машины. В таблице 1 приведены выражения по формуле Евклида для 23 известных совершенных чисел, выписаны первые восемь из них (дальнейшие числа содержат слишком много знаков) и указано число десятичных знаков для каждого из этих чисел. Последнее известное совершеннее число, которое имеет 22 425 делителей, появилось на свет в 1963 году после того, как вычислительная машина Иллинойского университета обнаружила 23-е число Мерсенна.

Таблица 1.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для n = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Заключение

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Все совершенные числа, которые найдены на данный момент являются четными.
2. Все совершенные числа являются «треугольными».
3. До сих пор и не известно, является ли ряд Мерсенна бесконечным или в нем имеется самое большое число.

Литература:

1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел– 2-е изд . – М. : Эдиториал УРСС, 2007 . – 176 с.

2. Варпаховский А.С.  Тайны совершенных и дружественных чисел // Квант, 1973.- №10. С. 71-74.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. С.89-90.

4. Депман И.Я.  Совершенные числа //Квант, 1971. №8. С. 1-6.

5. Жуков А. Узы дружбы в мире чисел // Квант, 1996. № 6. С. 32-33.

6. Оре О. Приглашение в теорию чисел: Пер. с анг. Л.А. Савиной и А.П. Савина. –М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. лит-ры, 1980. (Б-чка «Квант». Вып. 3).
С.42-44.