Реферат ученицы 11а класса средней школы № 41 Седовой Светланы Тема: Построение математической модели (Или как рассчитать вероятность победы).

 Реферат ученицы 11а класса средней школы № 41

Седовой Светланы

                Тема: Построение математической модели

                        (Или как рассчитать вероятность победы).

СОДЕРЖАНИЕ:

I. Введение…………………………………………………………………..2

II Основная часть

      1. Аксиомы тенниса……………………………………………………..4

      2. Арифметика тенниса…………………………………………………5

      3. Начальные понятия теории вероятностей…………………………..7

      4. Модель игры – марковская цепь…………………………………….9

      5. Начнем вычисление

            а) Игра до гейма…………………………………………………….12

            б) Игра до сета………………………………………….…………...17

            в) Завершение матча………………………………………………..24

III. Заключение……………………………………………………………...27

Список литературы………………………………………………………….28

Введение

 Математика и спорт, казалось бы, далеки друг от друга. Но это только на первый взгляд. В спорте и в спортивных играх ум, образование, расчет – вещи далеко не лишние. Так, например, хороший теннисист должен обладать разнообразной и тонкой техникой ударов. Это требует огромного труда, сравнимого с трудом скрипача. Но, выходя на корт, теннисист встречается с соперником, который, как правило, не уступает ему в технике. И здесь уже все решают тактика, сметка, расчет и предвиденье. Недаром подавляющая часть хороших теннисистов – образованные и умные люди, недаром среди ученых теннис – широко распространенная игра. Но теннис не исключение, аналогичные соображения можно было бы высказать относительно других спортивных игр: по мнению крупных авторитетов современный спорт вообще становится в последние годы все более интеллектуальным. Следует также  иметь в виду, что не только шашки, шахматы, карточные игры или биллиард служат источником многих задач. Их можно встретить в спорте повсюду. Математические методы все шире используются в спорте.

Известно, что методами математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов. Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта (горнолыжным, настольным теннисом и др.). Математика и физика помогают изыскать наиболее удачные формы гребных судов и весел.

21 января 2002 года состоялся матч 1/8 финала Открытого чемпионата Австралии между российским теннисистом Маратом Сафиным и американским теннисистом Питом Сампрасом. Большой неожиданностью для всех стала победа М. Сафина над некогда непобедимым П. Сампрасом. Почему же столь удивительна победа М. Сафина?

В своей работе, используя элементы линейной алгебры, теории вероятностей, исследование операций и конечные цепи Маркова, я ответил на этот вопрос. Наряду с выше сказанным в своей работе я использовал книгу Л. Е. Садовского «Математика и спорт»^[1]1), в которой приведены различные примеры применения прикладной математики к спорту и, в частности, к расчету вероятности победы теннисиста в матче.

В газете «Советский спорт» от 23 января 2002 года в статье «Даже Пит бывает бит»^[2]2) приводятся характеристики матча Сампрас – Сафин. Используя приведенные характеристики, я рассчитал какова была вероятность победы Сафина над Сампрасом.

1. Аксиомы тенниса

В теннис играют на ровной площадке (корте) определенных размеров с нанесенными не ней линиями и разделенной пополам сеткой (рис. 1).

Рис. 1

Игра начинается одним из играющих с подачи мяча в поле подачи противника (согласно правилам до удара по мячу подающий не должен переступать задней линии). Подают по диагонали: стоя на первой позиции подачи (1) – в первое поле подачи противника (I), стоя на второй (2) – во второе (II). Первая подача проводится с первой позиции подачи, а последующие – поочередно с каждой из позиций. Мяч, введенный в игру ударом ракетки, должен перелететь через сетку и удариться о площадку в пределах соответствующего поля подачи противника или коснуться линии, его ограничивающих (если при этом мяч задевает сетку, он переигрывается). С неправильно поданной подачи розыгрыш мяча не начинают. Если первая подача была неправильной, игрок должен подать мяч в тоже поле. После второй неправильной подачи мяч считается для подающего проигранным.

Поданный мяч должен быть отражен ударом ракетки принимающего после первого (но до второго) приземления мяча. После приема подачи (во время розыгрыша) мяч разрешается отражать не только между первым и вторым приземлением, но и «с лета». Розыгрыш мяча состоит в том, что каждый из противников поочередно отражает направленный к нему мяч, не позволяя ему приземлиться на своей стороне более одного раза. Мяч находится в игре до первой ошибки какого-либо из противников. Ошибка тотчас фиксируется счетом. Если отражающий послал мяч в сетку или за пределы площадки, он его проиграл. Теннисная встреча разделена на сеты (партии), сеты на геймы (игры), геймы формируются в результате розыгрыша отдельных мячей. В пределах одного гейма игра ведется до выигрыша одной из сторон не менее четырех мячей при условии, что эта сторона получила перевес не менее, чем на два мяча.

В последние годы введено новое правило: tie-break («тай-брейк» – нарушение равновесия), согласно которому розыгрыш сета не продолжается до достижения одной из сторон преимущества минимум в два гейма. По этому правилу при счете геймов 6 : 6 играется тай-брейк (решающий тринадцатый гейм), в котором, однако, счет очков ведется иначе, чем при розыгрыше обычного гейма: для победы в нем требуется выиграть не менее семи мячей с преимуществом не менее, чем в два.^[3]*)

2. Арифметика тенниса

Счет мячей в гейме имеет особенности, сохранившиеся с тех времен, когда игра велась «на интерес». Во Франции ценой игры являлась монета в 60 су: она разменивалась на четыре по 15 су. Эти последние, по-видимому, составляли цену четырех ударов: 15, 30, 45, 60. Правда, в XX веке судьи стали лаконичнее, выкрикивая «сорок» вместо «сорок пять».

При выигрыше какой-либо стороной первого в гейме мяча счет становится 15 : 0 (или 0 : 15), при выигрыше той же стороной второго мяча добавляется еще 15 и счет становится 30:0 в ее пользу. При выигрыше

третьего мяча счет становится 40:0, выигрыш четвертого мяча дает 60:0

и приносит завершение гейма в пользу этой стороны.

Если одна из сторон после выигрыша первого мяча второй мяч проиграла, то 15 засчитывается противнику, и т. д. Следовательно, счет (первым всегда указываются очки подающего) в гейме может быть только одним из следующих: 15 : 0, 30 : 0, 40 : 0, 0 : 15, 0 : 30, 0 : 40, 15 : 15, 30 : 15, 40 : 15, 15 : 30, 1 5: 40, 30 : 30, 40 : 30, 30 : 40, «ровно», «больше», «меньше», «игра».

Счет «ровно» имеет место при равенстве очков у противников, начиная с шестого разыгранного мяча; «больше» («меньше») – начиная с седьмого мяча, если подающий выиграл (проиграл) мяч после счета «ровно». «Игра» подающего имеет место, если при счете «больше» он выиграл следующий мяч; «игра» принимающего – если при счете «меньше» подающий проиграл следующий мяч.

По завершении первого гейма начинается розыгрыш второго гейма, при котором подача переходит к противной стороне, и т. д. до завершения сета (партии). Сет считается завершенным, если один из противников выиграл не менее шести геймов и получил перевес над другой стороной не менее, чем на два гейма. Следовательно, сет заканчивается, как только счет становится равным одному из следующих: 6 : 0, 6 : 1, 6 : 2, 6 : 3, 6 : 4, 7 :5 , 8 : 6 и т. п. По окончании сета разыгрывается второй сет и т. д., пока одна из сторон не выигрывает встречи – двух (из трех) или трех (из пяти) сетов в зависимости от условий соревнований. При выигрыше одной из сторон подарят двух (трех) сетов ей присуждается победа и остальные сеты не играются. Следовательно, счет выигранной встречи может быть 2 : 0, 2 : 1 (соответственно 3 : 0, 3 : 1, 3 : 2).

Требования иметь преимущество не менее, чем в два мяча (при завершении гейма), не менее, чем в два гейма или два очка(при завершении сета) ставят обе стороны в равные условия (при этом надо учесть атакующий характер подачи, право которой переходит по завершении каждого гейма к ранее принимавшему подачу игроку, а также попеременную реализацию ее в разные поля). При этом розыгрыш каждого мяча имеет существенное (а иногда – решающее) значение для встречи, тогда как ее ход колеблется, подобно тарелкам рычажных весов, благоприятствуя то одной, то другой стороне.

3. Начальные понятия теории вероятностей

Построим математическую модель игры в теннис и с ее помощью разберемся в некоторых вопросах, касающихся структуры теннисного матча. Здесь нам придется воспользоваться рядом понятий и элементарных фактов теории вероятностей.

В качестве испытания J рассмотрим розыгрыш отдельного мяча. Это испытание может иметь для рассматриваемого игрока два взаимно исключающих выхода: мяч выигран (событие А) или мяч проигран (событие В).

Частотой случайного события А (соответственно В) в рассматриваемой серии из n испытаний принято называть отношение m/n числа m тех испытаний, в которых наступило событие А (соответственно В), к их общему n. Естественно, что розыгрыш различных мячей осуществляется в различных условиях. Но даже если эти условия оказались бы одинаковыми, трудно было бы найти закономерность по результату розыгрыша отдельного мяча (испытание J). В то же время, как показывают эксперименты, при рассмотрении каждой достаточно длинной последовательности из n испытаний частота m/n появления некоторого исхода А мало отличается от некоторой величены Р(А). В этом факте проявляется свойство так называемой статистической устойчивости частоты. При этом величина Р(А) принимается за вероятность события А. Чем больше число испытаний n проводится, тем меньше частота m/n отклоняется от вероятности Р(А).^[4]*)

Вот почему при проведении большого числа испытаний частоту m/n принимают за приближенное значение вероятности Р(А). Заметим, что всегда 0≤ Р(А)≤ 1.

Будем считать, что для каждого игрока известны вероятность Р(А) того, что мяч им будет выигран, и вероятность Р(В) того, что мяч будет проигран.

Естественно, что:

                                      Р(А) + Р(В) = 1                                                    (1)

Суммой (объединением) А + В событий называют событие, которое реализуется как при исходах, приводящих к А, так и при исходах, приводящих к В. При этом исходы, которые приводят к А и В одновременно, считаются один раз.

Произведением (пересечением) АВ двух событий называют событие, реализующиеся при тех и только тех исходах, которые приводят как к А, так и к В.

События А и В несовместны, если их произведения является событием невозможным: его вероятность равна 0.

В нашем случае испытание J приводит лишь к двум несовместным исходам (выигрыш или проигрыш мяча). Их сумма А + В – событие достоверное: его вероятность равна 1: Р(А + В) = 1, а произведение АВ – событие невозможное: Р(АВ) = 0.

Формула (1) – частный случай теоремы сложения вероятностей: если исходы А и В испытания J несовместны, то вероятность суммы А + В исходов А и В равна сумме вероятностей этих исходов:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Теорема сложения вероятностей обобщается на тот случай, когда испытание приводит к любому конечному числу В1, …, ВК попарно несовместных исходов:

Р(В1 + В2 + … + ВК) = Р(В1) + Р(В2) + … + Р(ВК).

Для дальнейшего важно понятие условной вероятности Р(А/В) событие А при условии, что имеет место событие В: условной вероятностью Р(А/В) называют отношение числа тех исходов испытания J, приведших к А, которые приводят и к В, числу всех исходов, приводящих к В. из определения следует, что:

 Р(А/В) = Р(АВ) / Р(В).

Событие А называется независимым от события В если условная вероятность Р(А/В) равна безусловной вероятности Р(А) т. е. Р(А/В) = Р(А). Из предыдущего вытекает, что для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей:

                                                                                                     (1.1)

Для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).

Напомним, наконец, необходимую нам в дальнейшем формулу полной вероятности. Пусть событие В1, …, ВК попарно несовместны и событие А имеет место, когда возникает по крайней мере одно какое-либо из событий В1, …, ВК . Тогда справедливо тождество:

А = А(В1 + … + ВК) = АВ1 + … + АВК

И формула полной вероятности:

Р(А) = Р(АВ1) + Р(АВ2) + … + Р(АВК),

Или:

                                                                                                          (1.2)

4. Модель игры – марковская цепь.

Теперь перейдем к построению математической модели игры в теннис между Питом Сампрасом (А) и Маратом Сафиным (В), используя при этом вероятности Р(А) и Р(В) выигрыша мяча Сампрасом и Сафиным соответственно, подсчитанные при помощи пункта III–3 и таблицы характеристик матча из газеты «Советский спорт». Я получил, что:

Р(А) = 0, 55

Р(В) = 0, 45

Не случайно, что:

 Р(А) + Р(В) = 0, 55 + 0, 45 = 1 (проигрыш мяча одной стороной означает выигрыш его другой стороной).

                                   0, 55                     0, 45                                

                      0, 55                      0, 45   0, 55                      0, 45

  0, 55                      0, 45   0, 55                      0, 45   0, 55                      0, 45

           0, 45           0, 55                                               0, 45           0, 55

                                                  0, 45        0, 55

 0, 55                                                                                                         0, 45

     0, 55                   0, 45                                           0, 55                    0, 45

                                          0, 45                       0, 45        

           0, 55                                                                                     0, 45

                                          0, 55                       0, 55

Рис. 2

На рис. 2 показано, как последовательно может изменятся счет в гейме. Числа рядом со стрелками указывают, с какой вероятностью может произойти соответствующее изменение счета. Например, при счете 15 : 15 с вероятностью 0, 55 мяч выиграет Сампрас, т. е. счет станет 30 : 15, а с вероятностью 0, 45 мяч выиграет Сафин, т. е. счет станет 15 : 30.

Будем говорить, что мы имеем систему – игру в теннис. Состояния системы определяются счетом в пределах гейма. При этом переход из одного состояния (счета) в последующее зависит только от настоящего состояния и, конечно от вероятности перехода (от чисел у стрелок), однако он не зависит от предшествующих состояний. В данной ситуации я не учитываю некоторые иные обстоятельства, например, фактор подачи, психологические факторы, адаптацию к стилю игры партнера, т.е. процесс "обучения" в ходе игры.

Любая система, в которой переход из одного состояния в другое не зависит от предыстории процесса, а зависит только от текущего состояния, называется в теории вероятностей марковской цепью или цепью Маркова^[5]3). В общем случае конечную марковскую цепь можно задать в виде геометрической схемы (так называемого ориентированного графа), где прямоугольники (вершины графа) изображают соединения, а соединяющие их стрелки (ребра графа) указывают на переходы из одного состояния в другое. Рядом с каждой стрелкой записана вероятность соответствующего перехода. Следовательно, рис. 2 дает нам конкретный пример графа конечной марковской цепи, описывающего состояния системы – игры в теннис в рамках гейма.

На рис. 2 по понятным причинам счет 40 : 30 объединен со счетом «больше», счет 30 : 30 – со счетом «ровно», а счет 30 : 40 – со счетом «меньше».

В марковской цепи могут существовать состояния различных типов. Во-первых, невозвратное состояние, т. е. такое, выйдя из которого система вновь попасть в него не может. В нашем случае таких состояний довольно много, среди них, например, состояния 15 : 30 или 40 : 0 и т. п. Во-вторых, возвратное состояние – всякое состояние, не являющееся невозвратным. Такими у нас являются состояния «больше», «равно», «меньше». Следующий важный тип состояний – поглощающее. Состояние называется поглощающим, если, попадая в него, система и впредь остается в нем, не имея возможности перейти ни в какое иное состояние. В нашем примере таких состояний два: «игра Пита» и «игра Марата».

5. Начнем вычисления

А) Игра до гейма

Из пункта III–4 возьмем вероятности:

Пит Сампрас                                                Марат Сафин

Р(А) = 0, 55                                                   Р(В) = 0, 45

Итак, счет 0 : 0. Происходит розыгрыш первого мяча:

Для того чтобы найти вероятность счета, отмеченного на марковской цепи (рис. 2) в каком-либо прямоугольнике, надо составить сумму произведений вероятностей, проставленных у стрелок, входящих в этот прямоугольник, на вероятности счета, указанные в соответствующих прямоугольниках, из которых эти стрелки выходят.

Р(15 : 0) = 0, 55

Р(0 : 15) = 0, 45

Теперь определим вероятности счета после розыгрыша второго мяча:

Чтобы определить вероятности Р(30 : 0) и Р(0 : 30) я использую формулу умножения вероятностей(1.1):

Р(30 : 0) = Р(А)Р(А)

Р(30 : 0) = 0, 55 * 0, 55 = 0, 3025

Р(0 : 30) = Р(В)Р(В)

Р(0 : 30) = 0, 45 * 0, 45 = 0, 2025

А для нахождения вероятности Р(15 : 15) нужно использовать формулу полной вероятности(1.2):

Р(15 : 15) = Р(15 : 0)Р(В) + Р(0 : 15)Р(А)

Р(15 : 15) = 0, 55 * 0, 45 + 0, 45 * 0, 55 = 0, 495

Обобщим результаты:

Р(30 : 0) = 0, 3025  Р(15 : 15) = 0, 495  Р(0 : 30) = 0, 2025

Определим вероятности счета после розыгрыша третьего мяча:

Используем формулу (1.1) для вычисления вероятностей Р(40 : 0) и Р(0 : 40):

Р(40 : 0) = Р(А)Р(А)РА)

Р(40 : 0) = 0, 55 * 0, 55 * 0, 55 = 0, 1664

Р(0 : 40) = Р(В)Р(В)Р(В)

Р(0 : 40) = 0, 45 * 0, 45 * 0, 45 = 0, 0911

Используем формулу (1.2) для вычисления вероятностей Р(30 : 15) и Р(15 : 30):

Р(30 : 15) = Р(30 : 0)Р(В) + Р(15 : 15)Р(А)

Р(30 : 15) = 0, 3025 * 0, 45 + 0, 495 * 0, 55 = 0, 1361 + 0, 2723 = 0, 4084

Р(15 : 30) = Р(15 : 15)Р(В) + Р(0 : 30)Р(А)

Р(15 : 30) = 0, 495 * 0, 45 + 0, 2025 * 0, 55 = 0, 2227 + 0, 1114 = 0, 3341

Обобщим  результаты:

Р(40 : 0) = 0,  1664  Р(30 : 15) = 0, 4084  Р(15 : 30) = 0, 3341 Р(0 : 40) = 0, 0911

Завершаем розыгрыш гейма

После розыгрыша четырех или пяти мячей наша «система» обязательно окажется в каком-нибудь из состояний, указанных в нижней строке рис. 2

Определим вероятности счета после розыгрыша четвертого мяча:

Используем формулу (1.1) для вычисления вероятностей Р(Игра Пита) и

Р(Игра Марата):

Р(Игра Пита) = Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)

Р(Игра Пита) = 0, 55 * 0, 55 * 0, 55 * 0, 55 = 0, 0915

Р(Игра Марата) = Р(В)Р(В)Р(В)Р(В)

Р(Игра Марата) = 0, 45 * 0, 45 * 0, 45 * 0, 45 = 0, 041

Используем формулу(1.2) для вычисления вероятностей Р(40 : 15), Р(30 : 30) и Р(15 : 40):

Р(40 : 15) = Р(40 : 0)Р(В) + Р(30 : 15)Р(А)

Р(40 : 15) = 0, 1664 * 0, 45 + 0, 4084 * 0, 55 = 0, 0749 + 0, 2246 = 0, 2995

Р(30 : 30) = Р(30 : 15)Р(В) + Р(15 : 30)Р(В)

Р(30 : 30) = 0, 4084 * 0, 45 + 0, 3341 * 0, 55 = 0, 1838 + 0, 1837 = 0, 3675

Р(15 : 40) = Р(15 : 30)Р(В) + Р(0 : 40)Р(А)

Р(15 : 40) = 0, 3341 * 0, 45 + 0, 0911 * 0, 55 = 0, 1504 + 0, 0501 = 0, 2005

Обобщим результаты:

Р(Игра Пита) ≈ 0, 0915  Р(40 : 15) = 0, 2995  Р(30 : 30) = 0, 3675

Р(15 : 40) = 0, 2005  Р(Игра Марата) = 0, 041

По известному уже правилу находим вероятности после розыгрыша пятого мяча:

Р01 = Р(Игра Пита) = 0, 2562

Р02 = Р(«больше») = 0, 1312

Р03 = Р(«равно») = 0, 3676

Р04 = Р(«меньше») = 0, 1103

Р05 = Р(Игра Марата) = 0, 1312

В дальнейшем ситуация несколько усложняется, ибо возможно так называемое случайное блуждание (в пределах трех состояний), а попросту говоря, игра на «больше – меньше». Поэтому, чтобы окончательно выяснить, каковы же вероятности выигрыша гейма П. Сампрасом и М. Сафином, рассмотрим отдельно нижнюю строку на рис. 2, где проставлены номера соответствующих состояний.

Составим следующую таблицу:

        1        2                 3        4       5

1      1       0       0       0      0

2   0,55     0    0,45     0      0

3      0   0,55     0    0,45     0   

4      0       0   0,55      0     0,45

5      0       0      0        0      1                   

        В таблице на пересечении i-й строки и j-го столбца указана вероятность перехода из состояния i в состояние j.

Например, единица на пересечении первой строки и первого столбца означает, что состояние «Игра Пита» – поглощающее, т. е. гейм уже разыгран и счет меняться в нем не будет. На пересечении третьей строки и второго столбца стоит 0, 55, т. е. с вероятностью 0, 55 счет из «ровно» станет «больше», число  0, 45 на пересечении той же строки с четвертым столбцом показывает, что счет с вероятностью 0, 45 из «ровно» станет «меньше». Естественно, что сумма вероятностей, записанных в одной строке, равна единице, так как после розыгрыша каждого мяча счет должен измениться в пользу одного из игроков.

Перепишем таблицу в так называемой матричной форме:

 1       0       0       0      0

                              0,55     0    0,45     0      0

                     Т =          0    0,55     0    0,45     0   

 0       0    0,55      0   0,45

 0       0       0        0      1                   

Матрицу Т называют матрицей переходов марковской цепи, изображенной на рис. 3

                  0,55                     0,55                      0,55                        0

                    0                        0,45                      0,45                     0,45                    

Рис. 3

Вероятности состояний после розыгрыша пяти мячей примем в качестве компонент вектора р0 = (р01, р02, р03, р04, р05) и назовем его вектором начального (до периода случайного блуждания) распределения вероятностей соответствующих состояний. В нашем расчете игры числовые значения         р0i(i = 1, …, 5) уже подсчитаны.

Теперь воспользуемся векторными операциями.

Пусть х = (х1, …, х5) – некоторый пятимерный вектор, а А – заданная матрица пятого порядка. Произведением вектора х на матрицу А называют (по определению) вектор-строку х’ = (x’1, …, x’5), в которой каждая координата х’i равна скалярному произведению вектора х на i-й вектор-столбец матрицы А. Например, при умножении вектора х на нашу перехода Т получим:

x’1 = x1 * 1 + x2 * 0, 55 + x3 * 0 + x4 * 0 + x5 * 0

x’2 = x1 * 0 + x2 * 0 + x3 * 0, 55 + x4 * 0 + x5 * 0

x’3 = x1 * 0 + x2 * 0, 45 + x3 * 0 + x4 * 0, 55 + x5 * 0

x’4 = x1 * 0 + x2 * 0  + x3 * 0, 45 + x4 * 0 + x5 * 0

x’5 = x1 * 0 + x2 * 0 + x3 * 0 + x4 * 0, 45 + x5 * 1

Пусть, далее, р0 = (р01, …,р05) – наше начальное распределение вероятностей для состояний, показанных на рис. 3, а Т – матрица переходов. Какова вероятность того, что после первого шага (розыгрыша первого очередного мяча) счет станет, например, «ровно» ?

Из состояния «Игра Пита» в состояние «ровно» переход осуществляется с вероятностью 0 (гейм завершен), из состояния «больше» – с вероятностью       0, 45, из «ровно» – с вероятностью 0, из «меньше» – с вероятностью 0, 55, из «Игра Марата» – с вероятностью 0. По формуле полной вероятности находим, что после первого шага:

р12 = Р(«ровно») = р01 * 0 + р02 * 0, 45 + р03 * 0 +  р04 * 0, 55 + р05 * 0

Таким образом, р(1)3 оказывается скалярным произведением вектора р0 начального распределения на третий столбец матрицы Т.

Проводя аналогичные рассуждения для остальных четырех состояний, заключаем, что после первого разыгранного мяча вероятности вновь возникающих состояний можно найти как соответствующие компоненты вектора:

р0 Т = р(1) = (р(1)1, р(1)2,  р(1)3, р(1)4, р(1)5)

Повторяя те же операции над векторами р0Т = р(1), р(2) = р(1)Т, …получаем, что после n разыгранных мячей соответствующие вероятности окажутся компонентами (р1(n), р2 (n), р3(n), р4(n), р5(n) вектора).

р(n) = р(n – 1)Т = (р0Т)Т …Т = р0Тn

Теперь мы можем найти так называемые предельные вероятности р1* и р5* (вероятности выигрыша гейма Сампрасом и Сафиным при неограниченном возрастании  n).

Х1 = 1 * 0, 2562 + 0, 1347 * 0, 55 = 0, 33

Х2 = 0, 3676 * 0, 55 = 0, 2022

Х3 = 0, 45 * 0, 1347 + 0, 55 * 0, 1103 = 0, 1213

Х4 = 0, 45 * 0, 3676 = 0, 1654

Х5 = 0, 1103 * 0, 45 + 0, 1312 * 1= 0, 1808

В итоге у меня получились вероятности Р(Гейм Пита) = 0, 6535 и          Р(Гейм Марата) = 0, 3462

Б) Игра до сета

Сначала я составляю новую марковскую цепь для вычисления вероятностей выигрыша сета обоими теннисистами.

                                                                                                                       Рис.4.

После составления марковской цепи (рис. 4), я с помощью формулы сложения вероятностей (1.1) и  формулы полной вероятности (1.2) как и в пункте «Игра до гейма» последовательно подсчитываю вероятности различных вариантов счета после выигрыша одного гейма той или иной стороной. За исходные данные я беру выше подсчитанные результаты:

Гейм Пита                  Гейм Марата

Р(С) = 0, 6535        Р(Е) = 0, 3462

Итак счет по геймам 0 : 0. Завершается первый гейм в чью-то пользу.

Р(1 : 0) = 0, 6535

Р(0 : 1) = 0, 3462              

Определим вероятности счета после завершения второго гейма:

Р(2 : 0) = Р(С)2 

Р(2 : 0) = 0, 65352 = 0, 4013      

Р(0 : 2) = Р(Е)2 

Р(0 : 2) = 0, 34622 = 0, 1199

Р(1 : 1) = Р(1 : 0) * Р(Е) + Р(0 : 1) * Р(С)

Р(1 : 1) = 0, 6535 * 0, 3462 + 0, 3462 * 0, 6535 = 0, 4525

Обобщим результаты:

Р(2 : 0) = 0, 4013 Р(0 : 2) = 0, 1199 Р(1 : 1) = 0, 4525  

Определим вероятности счета после завершения третьего гейма:

Р(3 : 0) = Р(С)3

Р(3 : 0) = 0, 65353 = 0, 2791

Р(0 : 3) = Р(Е)3

Р(0 : 3) = 0, 34623 = 0, 0415

Р(2 : 1) = Р(2 : 0) * Р(Е) + Р(1 : 1) * Р(С)

Р(2 : 1) = 0, 4013 * 0, 3462 + 0, 4525 * 0, 6535 = 0, 1389 + 0, 2957 = 0, 4346

Р(1 : 2) = Р(1 : 1) * Р(Е) + Р(0 : 2) * Р(С)

Р(1 : 2) = 0, 4525 * 0, 3462 + 0, 1199 * 0, 6535 = 0, 1567 + 0, 0784 = 0, 2351

Обобщим результаты:

Р(3 : 0) = 0, 2791 Р(0 : 3) = 0, 0415 Р(2 : 1) = 0, 4346 Р(1 : 2) = 0, 2351

Определим вероятности счета после завершения четвертого гейма:

Р(4 : 0) = Р(С)4

Р(4 : 0) = 0, 65354 = 0, 1824

Р(0 : 4) = Р(Е)4

Р(0 : 4) = 0, 34624 = 0, 0144

Р(3 : 1) = Р(3 : 0) * Р(Е) + Р(2 : 1) * Р(С)

Р(3 : 1) = 0, 2791 * 0, 3462 + 0, 4346 * 0, 6535 = 0, 0966 + 0,2840 = 0, 3806

Р(2 : 2) = Р(2 : 1) * Р(Е) + Р(1 : 2) * Р(С)

Р(2 : 2) = 0, 4346 * 0, 3462 + 0, 2351 * 0, 6535 = 0, 1505 + 0, 1536 = 0, 3041

Р(1 : 3) = Р(1 : 2) * Р(Е) + Р(0 : 3) * Р(С)

Р(1 : 3) = 0, 2351 * 0, 3462 + 0, 0415 * 0, 6535 = 0, 0814 + 0, 0271 = 0, 1085

Обобщим результаты:

Р(4 : 0) = 0, 1824 Р(0 : 4) = 0, 0144 Р(3 : 1) = 0, 3806 Р(2 : 2) = 0, 3041

Р(1 : 3) = 0, 1085

Определим вероятности счета после завершения пятого гейма:

Р(5 : 0) = Р(С)5

Р(5 : 0) = 0, 65355

Р(0 : 5) = Р(Е)5

Р(0 : 5) = 0, 34625

Р(4 : 1) = Р(4 : 0) * Р(Е) + Р(3 : 1) * Р(С)

Р(4 : 1) = 0,1824 * 0, 3462 + 0, 3806 * 0, 6535 = 0, 0631 + 0, 2487 = 0, 3118

Р(3 : 2) = Р(3 : 1) * Р(Е) + Р(2 : 2) * Р(С)

Р(3 : 2) = 0, 3806 * 0, 3462 + 0, 3041 * 0, 6535 = 0, 1318 + 0, 1987 = 0, 3305

Р(2 : 3) = Р(2 : 2) * Р(Е) + Р(1 : 3) * Р(С)

Р(2 : 3) = 0, 3041 * 0, 3462 + 0, 1085 * 0, 6535 = 0, 1053 + 0, 0709 = 0, 1762

Р(1 : 4) = Р(1 : 3) * Р(Е) + Р(0 : 4) * Р(С)

Р(1 : 4) = 0, 1085 * 0, 3462 + 0, 0144 * 0, 6535 = 0, 0376 + 0, 0094 = 0, 047

Обобщим результаты:

Р(5 : 0) = 0, 1192 Р(0 : 5) = 0, 005 Р(4 : 1) = 0, 3118 Р(3 : 2) = 0, 3305

Р(2 : 3) = 0, 1762 Р(1 : 4) = 0, 047

Определим вероятности счета после завершения шестого гейма:

Р(Сет Пита) = Р(С)6

Р(Сет Пита) 0, 65356 = 0, 0779

Р(Сет Марата) = Р(С)6

Р(Сет Марата) = 0, 34626 = 0, 0017

Р(5 : 1) = Р(5 : 0) * Р(Е) + Р(4 : 1) * Р(С)

Р(5 : 1) = 0, 1192 * 0, 3462 + 0, 3118 * 0, 6535 = 0, 0413 + 0, 2038 = 0, 2451

Р(4 : 2) = Р(4 : 1) * Р(Е) + Р(3 : 2) * Р(С)

Р(4 : 2) = 0, 3118 * 0, 3462 + 0, 3305 * 0, 6535 = 0, 1079 + 0, 216 = 0, 3239

Р(3 : 3) = Р(3 : 2) * Р(Е) + Р(2 : 3) * Р(С)

Р(3 : 3) = 0, 3305 * 0, 3462 + 0, 1662 * 0, 6535 = 0, 1144 + 0, 1151 = 0, 2295

Р(2 : 4) = Р(2 : 3) * Р(Е) + Р(1 : 4) * Р(С)

Р(2 : 4) = 0, 1762 * 0, 3462 + 0, 047 * 0, 6535 = 0, 061 + 0, 0307 = 0, 0917

Р(1 : 5) = Р(1 : 4) * Р(Е) + Р(0 : 5) * Р(С)

Р(1 : 5) = 0, 047 * 0, 3462 + 0, 005 * 0, 6535 = 0, 0163 + 0, 0033 = 0, 0196

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 0779 Р(Сет Марата) = 0, 0017 Р(5 : 1) = 0, 2451

Р(4 : 2) = 0, 3239 Р(3 : 3) = 0, 2295 Р(2 : 4) = 0, 0917 Р(1 : 5) = 0, 0196

Определим вероятности счета после завершения седьмого гейма:

Р(Сет Пита) = Р(Сет Пита) + Р(5 : 1) * Р(С)

Р(Сет Пита) = 0, 0779 + 0, 2451 * 0, 6535 = 0, 0779 + 0, 1602 = 0, 2381

Р(Сет Марата) = Р(Сет Марата) + Р(1 : 5) * Р(Е)

Р(Сет Марата) = 0, 0017 + 0, 0196 * 0, 3462 = 0, 0017 + 0, 0068 = 0, 0085

Р(5 : 2) = Р(5 : 1) * Р(Е) + Р(4 : 2) * Р(С)

Р(5 : 2) = 0, 2451 * 0, 3462 + 0, 3239 * 0, 6535 = 0, 0849 + 0, 2117 = 0, 2966

Р(4 : 3) = Р(4 : 2) * Р(Е) + Р(3 : 3) * Р(С)

Р(4 : 3) = 0, 3239 * 0, 3462 + 0, 2295 * 0, 6535 = 0, 1121 + 0, 15 = 0, 2621

Р(3 : 4) = Р(3 : 3) * Р(Е) + Р(2 : 4) * Р(С)

Р(3 : 4) = 0, 2295 * 0, 3462 + 0, 0917 * 0, 6535 = 0, 0795 + 0, 0599 = 0, 1394

Р(2 : 5) = Р(2 : 4) * Р(Е) + Р(1 : 5) * Р(С)

Р(2 : 5) = 0, 0917 * 0, 3462 + 0, 0196 * 0, 6535 = 0, 0317 + 0, 0128 = 0, 0445

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 2381 Р(Сет Марата) = 0, 0085 Р(5 : 2) = 0, 2966

Р(4 : 3) = 0, 2621 Р(3 : 4) = 0, 1394 Р(2 : 5) = 0, 0445

Определим вероятности счета после завершения восьмого гейма:

Р(Сет Пита) = Р(Сет Пита) + Р(5 : 2) * Р(С)

Р(Сет Пита) = 0, 2381 + 0, 2966 * 0, 6535 = 0, 2381 + 0, 1938 = 0, 4319

Р(Сет Марата) = Р(Сет Марата) + Р(2 : 5) * Р(Е)

Р(Сет Марата) = 0, 0085 + 0, 0445 * 0, 3462 = 0, 0085 + 0, 0154 = 0, 0239

Р(5 : 3) = Р(5 : 2) * Р(Е) + Р(4 : 3) * Р(С)

Р(5 : 3) = 0, 2966 * 0, 3462 + 0, 2621 * 0, 6535 = 0, 1027 + 0, 1713 = 0, 274

Р(4 : 4) = Р(4 : 3) * Р(Е) + Р(3 : 4) * Р(С)

Р(4 : 4) = 0, 2621 * 0, 3462 + 0, 1394 * 0, 6535 = 0, 0907 + 0, 0911 = 0, 1818

Р(3 : 5) = Р(3 : 4) * Р(Е) + Р(2 : 5) * Р(С)

Р(3 : 5) = 0, 1394 * 0, 3462 + 0, 0445 * 0, 6535 = 0, 0483 + 0, 0291 = 0, 0774

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 4319 Р(Сет Марата) = 0, 0239 Р(5 : 3) = 0, 274

Р(4 : 4) = 0, 1818 Р(3 : 5) = 0, 0774

Определим вероятности счета после завершения девятого гейма:

Р(Сет Пита) = Р(Сет Пита) + Р(5 : 3) * Р(С)

Р(Сет Пита) = 0, 4319 + 0, 274 * 0, 6535 = 0, 4319 + 0, 179 = 0, 6109

Р(Сет Марата) = Р(Сет Марата) + Р(3 : 5) * Р(Е)

Р(Сет Марата) = 0, 0239 + 0, 0774 * 0, 3462 = 0, 0239 + 0, 0268 = 0, 0507

Р(5 : 4) = Р(5 : 3) * Р(Е) + Р(4 : 4) * Р(С)

Р(5 : 4) = 0, 274 * 0, 3462 + 0, 1818 * 0, 6535 = 0, 0949 + 0, 1188 = 0, 2137

Р(4 : 5) = Р(4 : 4) * Р(Е) + Р(3 : 5) * Р(С)

Р(4 : 5) = 0, 1818 * 0, 3462 + 0, 0774 * 0, 6535 = 0, 0629 + 0, 0506 = 0, 1135

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 6109 Р(Сет Марата) = 0, 0507 Р(5 : 4) = 0, 2137

Р(4 : 5) = 0, 1135

Определим вероятности счета после завершения десятого гейма:

Р(Сет Пита) = Р(Сет Пита) + Р(5 : 4) * Р(С)

Р(Сет Пита) = 0, 6109 + 0, 2137 * 0, 6535 = 0, 6109 + 0, 1397 = 0, 7506

Р(Сет Марата) = Р(Сет Марата) + Р(4 : 5) * Р(Е)

Р(Сет Марата) = 0, 0507 + 0, 1135 * 0, 3462 = 0, 0507 + 0, 0393 = 0, 09

Р(5 : 5) = Р(5 : 4) * Р(Е) + Р(4 : 5) * Р(С)

Р(5 : 5) = 0, 2137 * 0, 3462 + 0, 1135 * 0, 6535 = 0, 074 + 0, 0742 = 0, 1482

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 7506 Р(Сет Марата) = 0, 09 Р(5 : 5) = 0, 1482

Определим вероятности счета после завершения одиннадцатого гейма:

Р(Сет Пита) = 0, 7506

Р(Сет Марата) = 0, 09

Р(6 : 5) = Р(5 : 5) * Р(С)

Р(6 : 5) = 0, 1482 * 0, 6535 = 0, 0968

Р(5 : 6) = Р(5 : 5) * Р(Е)

Р(5 : 6) = 0, 1482 * 0, 3462 = 0, 0513

Обобщим результаты:

Р(Сет Пита) = 0, 7506 Р(Сет Марата) = 0, 09 Р(6 : 5) = 0, 0968

Р(5 : 6) = 0, 0513

Определим вероятности счета после завершения двенадцатого гейма:

Р01 = Р(Сет Пита) = 0, 7506

Р02 = Р(«больше») = 0, 0633

Р03 = Р(«равно») = 0, 067

Р04 = Р(«меньше») = 0, 0178

Р05 = Р(Сет Марата) = 0, 09

В дальнейшем ситуация несколько усложняется, ибо возможно так называемое случайное блуждание (в пределах трех состояний), а попросту говоря, игра на «больше – меньше». Поэтому, чтобы окончательно выяснить, каковы же вероятности выигрыша сета П. Сампрасом и М. Сафином, рассмотрим отдельно нижнюю строку на рис. 4, где проставлены номера соответствующих состояний.

Составим матрицу переходов:

 1        0          0          0          0

                              0,6535  0          0,3462 0          0

                     Т =          0        0,6535 0          0,3462 0   

 0        0          0,6535 0          0,3462

                          0        0          0          0          1                   

После этого воспользуемся векторными операциями:

x’1 = x1 * 1 + x2 * 0, 6535 + x3 * 0 + x4 * 0 + x5 * 0

x’2 = x1 * 0 + x2 * 0 + x3 * 0, 6535 + x4 * 0 + x5 * 0

x’3 = x1 * 0 + x2 * 0, 3462 + x3 * 0 + x4 * 0, 6535 + x5 * 0

x’4 = x1 * 0 + x2 * 0  + x3 * 0, 3462 + x4 * 0 + x5 * 0

x’5 = x1 * 0 + x2 * 0 + x3 * 0 + x4 * 0, 3462 + x5 * 1

Теперь мы можем найти так называемые предельные вероятности р1* и р5* (вероятности выигрыша сета Сампрасом и Сафиным при неограниченном возрастании  n).

Х1 = 1 * 0, 7506 + 0, 6535 * 0, 0633 = 0, 792

Х2 = 0, 6535 * 0, 067 = 0, 0438

Х3 = 0, 3462 * 0, 0633 + 0, 6535 * 0, 0178 = 0, 0335

Х4 = 0, 3462 * 0, 067 = 0, 0232

Х5 = 0, 3462 * 0, 0178 + 0, 09 * 1= 0, 0962

В итоге у меня получились вероятности Р(Сет Пита) = 0, 8693 и          

Р(Сет Марата) = 0, 1194

В) Завершение матча

Сначала я составляю новую марковскую цепь для вычисления вероятностей выигрыша матча обоими теннисистами.

Рис. 5

После составления марковской цепи (рис. 5), я с помощью формулы сложения вероятностей (1.1) и  формулы полной вероятности (1.2) как и в пункте «Игра до гейма» последовательно подсчитываю вероятности различных вариантов счета после выигрыша одного сета той или иной стороной. За исходные данные я беру выше подсчитанные результаты:

Сет Пита                  Сет Марата

Р(К) = 0, 8693        Р(М) = 0, 1194

Итак счет по сетам 0 : 0. Завершается первый сет в чью-то пользу:

Р(1 : 0) = Р(К)

Р(1 : 0) = 0, 8693

Р(0 : 1) = Р(М)

Р(0 : 1) = 0, 1194

Определим вероятности счета после завершения второго сета:

Р(2 : 0) = Р(К)2

Р(2 : 0) = 0, 86932 = 0, 7557

Р(0 : 2) = Р(М)2

Р(0 : 2) = 0, 11942 = 0, 0143

Р(1 : 1) = Р(1 : 0) * Р(М) + Р(0 : 1) * Р(К)

Р(1 : 1) = 0, 8693 * 0, 1194 + 0, 1194 * 0, 8693 = 0, 1038 +0, 1038 = 0, 2076

Обобщим результаты:

Р(2 : 0) = 0, 7557 Р(0 : 2) = 0, 0143 Р(1 : 1) = 0, 2076

Определим вероятности счета после завершения третьего сета:

Р(Матч Пита) = Р(К)3

Р(Матч Пита) = 0, 86933 = 0, 6569

Р(Матч Марата) = Р(М)3

Р(Матч Марата) = 0, 11943 = 0, 0017

Р(2 : 1) = Р(2 : 0) * Р(М) + Р(1 : 1) * Р(К)

Р(2 : 1) = 0, 7557 * 0, 1194 + 0, 2076 * 0, 8693 = 0, 0902 + 0, 1805 = 0, 2707

Р(1 : 2) = Р(1 : 1) * Р(М) + Р(0 : 2) * Р(К)

Р(1 : 2) = 0, 2076 * 0, 1194 + 0, 0143 * 0, 8693 = 0, 0248 + 0, 0124 = 0, 0372

Обобщим результаты:

Р(Матч Пита) = 0, 6569 Р(Матч Марата) = 0, 0017 Р(2 : 1) = 0, 2707

Р(1 : 2) = 0, 0372

Определим вероятности счета после завершения четвертого сета:

Р(Матч Пита) = Р(Матч Пита) + Р(2 : 1) * Р(К)

Р(Матч Пита) = 0, 6569 + 0, 2707 * 0, 8693 = 0, 6569 + 0, 2353 = 0, 8922

Р(Матч Марата) = Р(Матч Марата) + Р(1 : 2) + Р(М)

Р(Матч Марата) = 0, 0017 + 0, 0372 * 0, 1194 = 0, 0017 + 0, 0045 = 0, 0062

Р(2 : 2) = Р(2 : 1) * Р(М) + Р(1 : 2) * Р(К)

Р(2 : 2) = 0, 2707 * 0, 1194 + 0, 0372 * 0, 8693 = 0, 0323 + 0, 0323 = 0, 0646

Обобщим результаты:

Р(Матч Пита) = 0, 8922 Р(Матч Марата) = 0, 0062 Р(2 : 2) = 0, 0646

Определим вероятности счета после завершения пятого сета:

Р(Матч Пита) = Р(Матч Пита) + Р(2 : 2) * Р(К)

Р(Матч Пита) = 0, 8922 + 0, 0646 * 0, 8693 = 0, 8922 + 0, 0562 = 0, 9484

Р(Матч Марата) = Р(Матч Марата) + Р(2 : 2) * Р(М)

Р(Матч Марата) = 0, 0062 + 0, 0646 * 0, 1194 = 0, 0062 + 0, 0077 = 0, 0139

В итоге у меня получились вероятности Р(Сет Пита) = 0, 9484 и          

Р(Сет Марата) = 0, 0139

Заключение

        Итак, ответ на вопрос почему удивительна победа Марата Сафина, получен.

        Проделав большое количество вычислений, я рассчитал, что вероятность победы Марата Сафина была значительно ниже вероятности победы Пита Сампраса. Конечно, метод обсуждения системы игры в теннис с позиции теории марковских процессов не совершенен, так как он не учитывает психологические, физиологические особенности спортсменов.

        В процессе работы, изучив большое количество литературы по данному вопросу, я понял как многообразно применение математики в спорте. Например, необходимость принимать решение возникает во многих спортивных ситуациях: в организации тренировок и соревнований, в комплектовании спортивных команд, в распределении игроков команды, в выборе тактики игры и т.д.

        Решить эти проблемы, провести предварительный количественный и качественный анализ можно математическими методами исследования операций.

        Перспективы продолжения работы над выбранной мной темой, огромны.

        Путем существенного усложнения математической модели игры в теннис можно учесть, например. что игрок во время игры усиливает внимание, собранность после проигранного мяча, т.е. учесть психологические, эмоциональные и им подобные факторы.

        Известно. что оптимальная стратегия в выигрыше может включать и такой вариант, как поражение в отдельных матчах. Подобную ситуацию можно описать с помощью марковских цепей. Анализ ситуации позволяет выдать рекомендации о том, когда следует стремиться к победе, а когда смириться с поражением.

        Вообще, применение математики в спорте – область, которая еще ждет должного внимания как представителей точных наук, так и спортивных.

Список литературы

1. Садовский Л. Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. Москва. Наука. 1985.

2. Кемени Д., Снелл Д. Конечные цепи Маркова. Москва. Наука. 1970

3. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. Москва. Наука. 1980.

4. Гнеденко Б.В. Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Москва. Наука. 1983.

5. Теннис, правила соревнований. Москва. Физкультура и спорт. 1983.

6. Советский спорт. 2002 - № 12