Реферат по математике на тему: Парадоксы и софизмы в математике

Муниципальное общеобразовательное учреждение

лицей №1 имени академика Б.Н.Петрова

Реферат по математике

на тему:

Парадоксы и софизмы

в математике

Смоленск

 Содержание

1. Введение…………………………………………………………..........3

2. Математические софизмы…………………………..…….……….….4

             2.1.Что такое софизм…………..………………………..…….….…4

             2.2.Алгебраические софизмы………..……………………….….…4

                         2.2.1. Равенство неравных величин………………….….…4

                        2.2.2. Все ли утверждения математики верны………….…6

                               2.2.3. Неравенство одинаковых величин……………….….6

                        2.2.4. Меньшее превышает большее…….……………....…7

            2.3. Геометрические софизмы.……….…………..…………………9

       2.4. Логические софизмы……..………………..……………….…...9

3. Математические парадоксы…………………….……………………10

           3.1.Что такое парадокс……..……………….……….…………….10

           3.2.Логические парадоксы………...………………….…..……….11

                               3.2.1. Парадокс лжеца……………..………………………11

                         3.2.2. Парадокс кучи……………..….………………….…12

                                3.2.3 Парадокс пути…………………..……………………13

            3.3. Математические парадоксы…………..……………………….13

  4.Заключение………………………………………….…………….…..15

  5.Литература………………………………………………………….…16

1.Введение

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?

Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в своей работе, название которой – парадоксы и софизмы в математике. Неслучайно мы выбрали именно эту тему - она очень интересна и занимательна, дает возможность логически мыслить и находить объяснения порой самым невероятным умозаключениям!

Цель и задачи.

Цель: изучить данную тему и создать презентацию с последующим использованием ее на уроках.

Задачи:

1. Познакомиться с парадоксами и софизмами; узнать, в чем их отличие.
2. Понять, как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях.
3. Узнать, как проклассифицировать «парадоксы» и «софизмы», по каким критериям?
4. Обобщить найденный материал.
5. Выступить по данной теме на одном из уроков математики в своем классе.
6. Составить компьютерную презентацию в помощь учителю для применения на уроках математики.

2. Математические софизмы

2.1. Что такое софизм?

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова). Софизм происходит также от греческого слова ("софизм" означает "измышление", "хитрость"). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их ошибки допускаются сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками.

Софизм (от греч. Sophisma) – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка), доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого караются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

2.2. Алгебраические софизмы.

2.2.1.  Равенство неравных величин

Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество

a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим    a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. Поэтому его можно записать в виде , откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a+a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения. Деление же обеих частей этого равенства на неравное нулю число a-a приводит к бессмыслице.

 Если одно число больше другого, то эти числа равны

Возьмем два произвольных числа m и n, такие, что m>n, и другие три произвольных числа a, b и c, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n,получим ma + mb + mc = md,  na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства  ma + mb + mc = md,   nd = na + nb + nc,  получим   ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем ma + mb + mc – md = na + nb + nc - nd,   а вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению   m(a + b + c -d) = n(a + b + c - d), откуда, разделив обе части последнего равенства на (a + b + с – d), находим, что  m  = n

Разбор софизма. Преобразования, посредством которых получено равенство, абсолютно верны, тогда как переход к m=n уже неверен. Легко заметить, что исходное условие a+b+c=d равносильно равенству a+b+c-d=0, откуда заключаем, что при переходе от равенства  к m=n произведена запрещённая операция, а именно деление на нуль. Равенство  равносильно равенству , из которого следует, что m и n могут быть любыми числами, отнюдь не равными друг другу.

Неравные числа равны.

Возьмем два неравных между собой произвольных числа a и b. Пусть их разность равна c, т.е. a-b=с. Умножив обе части этого равенства на a-b, получим , а раскрыв скобки, придём к равенству , из которого следует равенство  вынося общий множитель a слева и общий множитель b  справа за скобки, получим  Разделив последнее равенство на ,получаем, что a=b, другими  словами, два неравных между собой произвольных числаa и  b равны.

Разбор софизма. Здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство  выполняется при любых  a и b.

2.2.2.  Все ли утверждения математики верны?

Чётное число равно нечётному

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

Всякое положительное число является отрицательным

Пусть n-положительное число. Очевидно, 2n-1<2n.Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a<0, доказывающее, что всякое положительное  число является отрицательным.

Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю

Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=. Прибавляя к обеим частям последнего равенства  и перенеся член  влево с противоположным знаком, получим , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

, или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.  

3. Неравенство одинаковых величин.

Один нуль не равен другому нулю.

Возьмём числа a, b, c, d, x, y, m и n, такие, что имеют место равенства                                      a=b, c=d, x=y и неравенство  m и, прибавив почленно последнее равенство к неравенству m    Далее, умножив обе части этого неравенства на (a-b)(d-c), получим неравенство x(d-c)+m(a-b)(d-c)

Разбор софизма. В этом софизме совершена стандартная ошибка, а именно произведена незаконная операция деления на нуль.

Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Число равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его

Возьмём два произвольных положительных равных числа a и b и напишем для них следующие очевидные неравенства: a>-b и b>-b. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство  >, а после его деления на b, что вполне законно, так как по условию b>0, придём к выводу, что a>b. Записав же два других верных неравенства b>-a и a>-a, аналогично предыдущему получим, что ba>, а разделив на a>0, придём к неравенству a

2.2.4.  Меньшее превышает большее.

  4 больше 12

Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно, дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на

-4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12.

Всякое отрицательное число больше положительного,

имеющую ту же абсолютную величину

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: если две дроби  и  равны  и в первой  дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше  знаменателя, т. е. если a>b и то и c>d. Запишем теперь очевидные равенства (число)  и Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать   .  Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А>-A), то, следовательно, и во второй  дроби числитель должен быть больше  знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство. Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

Разбор софизма. Для положительных чисел данное утверждение правильное. Так, если все числа а, b, с и d положительны и имеет место равенства дробей, то из того, что a>b, действительно следует, что c>d. Для чисел неположительных это утверждение может быть и неверным, что и получилось в данном софизме.

Софизм Перрона: единица есть наибольшее натуральное число

Нижеследующий софизм приписывается Перрону. Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим  натуральным числом является единица. Пусть число k>1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, если k>1,то , значит . Последнее показывает, что принятое нами  в качестве наибольшего натурального числа число , больше этого числа k. Следовательно, никакое целое число k>1 не может быть наибольшим целым. Значит, наибольшим натуральным числом является 1,так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

Разбор софизма. Доказательство в софизме не закончено, и его надо продолжить.

Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>1 не может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в софизме делается такое заключение: «остаётся принять, что наибольшим натуральным является число 1». Здесь «доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1, очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то отсюда следует, что наибольшего натурального числа не существует.

2.3. Геометрические софизмы 

Возьмём два колеса с радиусами R и r, где R>r, и представим себе, что они насажены на общую ось. Будем катить колесо радиуса R без скольжения по прямой DE (рисунок). Когда точка A на окружности этого колеса,

находившаяся в начальный момент на

прямой  DE,совершит полный оборот  и

снова окажется на прямой DE, совпав

с точкой , то путь ,

пройденный за это время  центром окружности C, будет равен отрезку , который равен длине окружности колеса . Если меньшее колесо насажено на общую ось с первым и наглухо с ним закреплено, то оба колеса совершат один полный оборот одновременно. Но можно считать, что, в то время как первое колесо катится по прямой DE, второе колесо катится по прямой FG. Совершив один полный оборот, второе колесо пройдет путь , равный длине своей окружности, т. е. . Но =, а потому = т. е. длины двух окружностей разных радиусов оказываются равными!

2.4. Логические софизмы

 Софизм учебы.

Не философия, а мечта лентяев!

Софизм Кратила

Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

 Софизм Эватла

Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что внесет плату за обучение тогда, когда, после окончания школы, выиграет свой первый процесс. Школу он окончил, время шло, но он и не думал браться за ведение процессов и, вместе с тем, считал себя свободным от уплаты за учебу. Тогда Протагор, разозлившись, пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл ему заплатит: если судьи приговорят к оплате, то в силу решения суда, если не присудят, то по их договору. Однако Эватл возразил, что не станет платить в любом случае: если присудят к уплате, то процесс будет проигран, и согласно их условию, платить не будет. А если не присудят, то уже из-за судейского вердикта.

3.Математические парадоксы

3.1. Что такое парадокс?

Паралогизм - непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышлении.

Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Парадокс - явление, кажущееся невероятным и неожиданным (словарь Ожегова). Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить и желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации. Парадокс коренится глубже и свидетельствует об объективно сложившемся противоречивом состоянии дел, в котором никто не виноват  (А.К.Сухотин. Парадоксы науки).  Парадокс принято также называть антиномией (греческого αντινομια, буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами).  Парадокс – высказывание, истинность которого не очевидна, справедливое, но неожиданное утверждение. Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

3.2. Логические парадоксы.

Мы расскажем о парадоксах, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер, а другой - Филипп Клосский - покончил жизнь самоубийством.

3.2.1.Парадокс лжеца

Древнегреческий пример простого логического парадокса имеет множество вариаций.

Вариант 1.

Что, истина или ложь, слетает с уст человека, который произносит "Я лгу" и больше ничего? С одной стороны, он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает истину, а, следовательно, лжет.

Вариант 2 (вариант Эвбулида).

 Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Он сам критянин, соответственно, лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т.е. правдивы. Значит, все критяне лжецы.

Вариант 3. Парадокс из "Дон Кихота" Сервантеса

"Первым делом явился к нему Санчо Панса один приезжий, который в присутствии народа обратился к Санчо с такой просьбой:
- Я прошу у вас, сеньор, совета по очень запутанному делу. По владениям одного вельможи протекает река; через нее переброшен мост, а около него стоит виселица и воздвигнуто здание, где заседают четверо судей. Эти судьи должны наблюдать за строгим выполнением закона, изданного владельцем поместья. Закон этот гласит: "Каждый, кто проходит по этому мосту, обязан под присягой указать, куда он идет и с какой целью. Если он скажет правду, его пропускают дальше, если солжет, тогда его осуждают на смерть и вешают на стоящей рядом виселице". С тех пор много людей переходило через мост, и, как только выяснялось, что они говорили правду, судьи отпускали их на все четыре стороны. Но недавно какой-то прохожий показал под присягой, что он явился сюда для того, чтобы его повесили на этой виселице. Клятва эта смутила судей, они рассуждали так: "Если мы отпустим этого человека на свободу, то выйдет, что он поклялся ложно, а в таком случае, согласно закону, он должен быть казнен. Но если мы приговорим его к виселице, то тогда окажется, что он говорил правду, поклявшись, будто явился сюда для того, чтобы его повесили, - и, следовательно, согласно тому же закону он должен быть отпущен на свободу". Так вот я и спрашиваю вас, что делать судьям с этим человеком, потому что они и по сей час пребывают в смущении и нерешительности..."  Санчо отпустил того человека.

Вариант 4. Два слова, спасшие жизнь.

Во время франко-прусской войны произошел следующий случай. Один офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью. Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был, покорится своей участи, судьям пришло в голову оказать осужденному снисхождение, правда, несколько странного свойства.

- Вам, молодой человек, - сказали они офицеру, - предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешенье, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную ложь или явную правду. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.

Все это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но странное дело! По мере того как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснилось все более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнес: «Меня расстреляют».

3.2.2. Парадокс кучи

Вариант 1.

Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе. Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс - сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей. Существует также и обратный парадокс.

Вариант 2.

Имеется утверждение: один элемент не составляет кучи. Если n элементов не составляют кучи, то и n + 1 элемент не составляет кучи. Отсюда, никакое количество элементов не есть куча. Другой вариацией этого парадокса является парадокс лысого.

3.2.3. Парадокс пути

Вы никогда не дойдете туда, куда вам нужно!

Вариант 1.

Пусть вам надобно дойти от этого компьютера до двери или противоположной стенки. Вы встаете и начинаете идти. За некоторое время вы пройдете расстояние, равное половине пути, потом половину от оставшегося, т.е. одну четверть целого, потом еще половину, т.е. одну восьмую, и так далее. Расстояние между вами и вашей целью будет каждый раз сокращаться вдвое, но вы ее никогда не достигнете.

Вариант 2. Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от места, откуда начала свое движение черепаха, то в этом месте Ахиллес ее уже не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого нового места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, поэтому что она успеет пройти расстояние равное шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.  

3.3. Математические парадоксы.

Самое парадоксальное - это то, что в математике вообще есть парадоксы.

Парадокс Рассела. (Парадокс связан с теорией множеств).

Уильям Рассел (1872 - 1970) сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента). Парадокс имеет несколько вариаций.

Вариант 1 . Каталог всех нормальных каталогов.

Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов. Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен быть упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.

Вариант 2. Парадокс парикмахера

В некой деревне, в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?

Вариант 3. Парадокс «генерал и брадобрей».

Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей?

 Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют. Если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Вариант 4. Парадокс "мэр города"

Каждый мэр города живет или в своем городе, или вне него. Был выделен один специальный город, где бы жили мэры, не живущие в своих городах. Где должен жить мэр этого специального города? Возможным разрешением этого парадокса может служить упразднение поста мэра в этом городе, т.к. там будут жить только одни мэры (!). Но с другой стороны, если мэр не пожелает жить в своем городе, то он все равно должен жить в нем т.к. этот город предназначен для тех мэров, которые не живут в своих городах,  значит, парадокс исчерпан.

4.Заключение

Итак, мы познакомились с увлекательной темой, узнали много интересного, научились решать задачи на парадоксы и софизмы, находить в них ошибки. Этот проект открыл нам еще одну страничку в математике.

Помимо основных целей, поставленных в начале работы, мы преследовали еще одну: прикосновение к тому, с чем сталкивались наши далекие предки, к  теме, которая имеет исторические корни. Нами были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов.

В процессе работы над проектом мы встретили много софизмов и парадоксов, разобраться в которых не смогли из-за недостаточного багажа знаний по математике. Мы с нетерпением будем  ждать того момента, когда эти знания пополняться на уроках математики, и мы вернемся к этим вопросам. Поэтому тема нашей  работы далеко не исчерпана. Мы рассмотрели лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Мы продолжим изучение этой темы в будущем.

5.Литература.

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.

2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.

4. «В царстве смекалки». Автор: Е. И. Игнатьев. 1984.