Мы не случайно захотели рассмотреть данную тему. В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами - уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Такие задачи - незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .
С учётом этого был разработан проект «Задачи с параметрами». Изучили теоретический материал по теме, обработали и систематизировали. В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .
Цель работы: Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.
Задачи работы:
1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.
Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.
Вложение | Размер |
---|---|
tvorcheskiy_proekt._zadachi_s_parametrami.doc | 312.5 КБ |
prezentatsiya_zadachi_s_parametrami.ppt | 739.5 КБ |
Творческий проект
«Задачи с параметрами»
Автор работы: Куликова Олеся
Место выполнения работы:
г. Новоалександровск,
МОУ СОШ №12, 10 класс
Руководитель: Полянская Нина Николаевна
учитель математики МОУ СОШ № 12
г.Новоалександровск, 2014 г
Содержание
I. Введение………………………………………………………………………………………3
II. Основная часть………………………………………………………………………………4
1. Знакомство с параметром …………………………………………………………………4
2. Что значит решить задачу с параметрами ?......................................................................5 3. Основные типы задач с параметрами……………………………………………………….5 4. Алгоритмы решения задач с параметрами………………………………………………….6
5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА………………………………………….8
III. Выводы и заключения………………………………………………………………………10
IV. Библиографический список………………………………………………………………..11
Приложение 1. Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени.
Приложение 2. Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a).
Приложение 3. Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а)х + В(а)х + С(а) =0.
Приложение 4. Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х2+В(а)х+С(а) 0.
Введение
В последние годы на ГИА предлагались так называемые задачи с параметрами - уравнения, неравенства или системы уравнений, содержащие параметры . При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи . Основная трудность их решения состоит в том, чтоб внимательно следить за возникающим ветвлением и аккуратно учитывать все возможности. Поэтому такие задачи - незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров , задачи .
Данный вопрос изучен всесторонне, но каждый заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами .
Исследование поможет учителям и учащимся 7- 9х классов в подготовке к ГИА.
Главной особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.
В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:
- решение линейных уравнений; - решение линейных неравенств; - решение квадратных уравнений; - решение квадратных неравенств; - решение системы уравнений, неравенств.
В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа поможет учащимся привить интерес к решению задач с параметрами в процессе самоподготовки.
В связи с этим вытекает следующая цель и задачи: .
Цель работы: Сформировать умения и навыки решения задач с параметрами для подготовки к ГИА.
Задачи работы:
1. Изучить алгоритм решения некоторых задач с параметрами. 2. Научиться выбирать способ решения задач с параметрами. 3.Развивать свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
В качестве примера рассмотрим уравнение: в(в – 1)х=в+в+2
в этом уравнении х обозначено неизвестное число, а буква в выполняет роль известного фиксированного числа. Это уравнение является линейным уравнением с параметром в.
Придавая в различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. При различных в получаем различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром в.
в =2 2х=4 имеет единственный корень
в = – 0,5 0,75х = – 2,25 также имеет единственный корень
в = 1 0х = 0 множество корней
в = 0 0х = – 2 корней нет
Итак, решая уравнение в(в – 1)х=в +в+2, мы должны рассмотреть случаи:
1) когда
2) когда
3) когда В результате получаем следующие возможные решения:
При уравнение имеет единственный корень
При уравнение корней не имеет
При в=1 уравнение имеет бесконечное множество корней
2. Что значит решить задачу с параметрами ?
Решить уравнение с параметрами означает
1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения. 2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
3. Основные типы задач с параметрами.
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
4. Алгоритмы решения задач с параметрами.
4.1. Решение линейных уравнений с параметрами
Определение. Уравнение вида аx=b , где х – переменная , а и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Алгоритм решения уравнения с параметром первой степени. (Приложение 1)
Задание №1. Решите уравнение ax =1.
Решение: если а = 0 , то нет решения ; если а 0 , то х = Ответ: если а 0 , то х = ; если а = 0 , то нет решения.
Задание №2. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения ах=8. Рассмотрим уравнение: а =
у = а - семейство горизонтальных прямых;
у= - графиком является гипербола.
Ответ: Если а = о, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ о, то одно решение.
Задание №3. При каких значениях а, уравнение не имеет решений?
Решение : х -2 , дробь равна нулю, когда х =а , значит уравнение не имеет решение если а = -2.
Ответ: при а = -2 нет решений
4.2.Решение линейных неравенств с параметром
Алгоритм решения неравенства к(х) >b(a) (Приложение 2)
Задание №4 .Решите неравенство: (а-4) х +а-5>0.
Решение: (а-4) х>5-a. если а>4,то х > если а<4, то х<
если то х – любое из R . если , то нет решений .
Задание №5.Для каждого значения параметра а найдете решение неравенства ax +1 >0.
Решение: если а=0,то 0х +1>0, 0x>-1 при любом х.
если а>0, то х>- если a<0, то х<-
Ответ: при а=0 , х любое ; при а>0, х>- ; при a<0, то х<-
4.3.Решение систем линейных уравнений с параметрами
Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными х и у называется система вида
Решение данной системы - это пары чисел (х; у), являющиеся решениями одновременно и первого, и второго уравнения .
Если , то система имеет единственное решение. Если , то система не имеет решений. Если , то система имеет бесконечно много решений. |
Задание №6. При каких значениях параметра а система а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение?
Решение: а) , а=4; б) , а4 .
Ответ: а) если а =4, то система имеет множество решений; б) если а 4 , то одно решение.
4.4.Решение квадратных уравнений с параметрами
Уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х1; х2 причем х1 х2. Дискриминант квадратного уравнения D = b2–4ac Теорема Виета: х1+ х2 = -, х1х2 = .
Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром А(а) х +В (а) х +С(а) =0 (Приложение 3).
Задание №7..Найти все значения параметра а, при которых уравнение
x2 –2(а-2)х +а2 –2a-3=0 имеет два различных положительных корня.
Решение: D> 0, 4(а-2) 2 –4(а2-2а-3)>0, а< 3,5
По теореме Виета условием положительности корней будет a>3
Ответ: а(3;3,5).
4.5.Решение квадратных неравенств параметрами
Алгоритм решения квадратных неравенств А(а)х2+В(а)х+С(а) 0 (Приложение 4)
Задание №8.. При каких значениях параметра а неравенство (а+6)х2-(а+3)x+1<0 не имеет решений?
Решение: если нет решений
если нет решений
Ответ: при а.
5. Решение заданий с параметрами по текстам ГИА.
Задание № 9 . Найдите значения р, при которых парабола у=-2х2+рх-50 касается оси х. Для каждого значения р определите координаты точки касания.
Решение: Парабола у=-2х2+рх-50 касается оси х значит квадратный трехчлен -2х2+рх-50 имеет единственный корень. Следовательно дискриминант этого квадратного трехчлена равен 0: D=p2-400, p2-400=0, p= ±20.
При p= -20, у=-2х2-20х-50, у=-2(х+5)2, х=-5 – абсцисса точки касания параболы с осью х, (-5;0) – координаты точки касания.
При p= 20, у=-2х2+20х-50, у=-2(х-5)2, х=5 – абсцисса точки касания параболы с осью х, (5;0) – координаты точки касания.
Ответ: при p= -20, координаты точки касания – (-5;0); при p= 20 - (5;0).
Задание № 10 . Найдите все отрицательные значения параметра а, при которых неравенство ах2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений.
Решение: Неравенство ах2 + (а-6) х + а ≥ 0 не имеет решений при отрицательных а, если дискриминант уравнения ах2 + (а-6) х + а ≥ 0 меньше нуля, т.е. D = (а-6)2 -4а∙а<0. Получаем:
Решая методом интервалов получим а< -6.
Ответ: а < -6.
Задание № 11. Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает ровно в двух различных точках график функции, заданной условиями:
Решение: Построим график данной функции
у=
Прямая у= kx пересекает график функции в двух различных точках, если:
Угловой коэффициент прямой у=0 равен 0. Получаем: 0 < k ≤ 0,5.
Ответ: ( 0; 0,5 ] U [ 1; 3).
Заключение
Итак, в ходе данного исследования я узнала, что такое параметры, параметрические уравнения и неравенства, что значит решить задачу с параметрами, мною изучен алгоритм решения наиболее распространенных задач с параметрами. Познакомилась с четырьмя основными типами задач с параметрами. Определены сложности, возникающие при решении этих задач. Причем самым трудным в их решении является выбор способа решения и отслеживание возникающих ветвлений.
Проделанная работа по созданию проекта не только обогатила меня новыми знаниями и умениями, требовала самостоятельности, способствовала развитию логического мышления, но и помогла при подготовке к ГИА.
Библиографический список
1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68
2. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы.- М.: Дрофа. 1999 г. – 382 с.
3. Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач. – М., Математика в школе, №3/96 с.45-49
4. Кожухов С.К Различные способы решений задач с параметрами. – М., Математика в школе, №6/98 с.9-12
5. Крамар В.С. Примеры с параметрами и их решения. Пособие для поступающих в вузы. – М.:АРКТИ 200 – 48 с.
6. Мещерякова Г.П. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. М., Математика в школе, №5/2001 с.60-62
7. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972г.
Рецензия
Рецензируемая работа посвящена актуальной проблеме – решению задач с параметрами для подготовки к государственной итоговой аттестации. Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Автор работы понимает, что данный вопрос в математике изучен всесторонне, но ученица заново открывает для себя искусство решения задач с параметрами.
Основная часть рецензируемой работы представляет собой изучение теоретических сведений о задачах с параметрами.
В работе задачи сформированы по основным темам алгебры 7-9 классов:
- решение линейных уравнений;
- решение линейных неравенств;
- решение квадратных уравнений;
- решение квадратных неравенств;
- решение системы уравнений, неравенств.
В каждой теме в начале дан алгоритм решения и представлено решение некоторых задач. Работа написана живо и хорошим математическим языком. Автором изучен алгоритм решения некоторых задач с параметрами. Она научилась выбирать способ решения задач с параметрами. Автор работы проявила личную заинтересованность и самостоятельность в проделанной работе, научилась отдельным приёмам исследовательской работы. В конце работы приведён довольно большой список использованной литературы.
Работа представляет практический интерес, поскольку может быть использована как пособие для элективных курсов и факультативных занятий. Главной методической особенностью работы является ориентированность её на возможность самостоятельного овладения учащимися содержанием.
Рецензировала учитель математики Полянская Н.Н
Выбери путь
Как я избавился от обидчивости
По морям вокруг Земли
Центральная часть Млечного пути приоткрывает свои тайны
А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?