Презентация "Первые шаги в изучении производной"

Слайд 1

Слайд 2

Понятие о производной Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование.

Слайд 3

История Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах . Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь , Бернулли, Лангранж и др.

Слайд 4

«Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники»

Слайд 5

Производная в физике При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.

Слайд 6

Мгновенная скорость как физический смысл производной Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t0 – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю. Мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной.

Слайд 7

В электротехнике В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы. Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока. Задание Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону Найти силу тока в момент времени t=5 cек . Сила тока равна 2 А Сила есть производная работы по перемещению, т.е. F=A /(x) Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q/(t) d(l)=m/(l) - линейная плотность K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения ω (t)= φ/(t) - угловая скорость а (t)= ω/(t) - угловое ускорение N(t) = A/(t) - мощность

Слайд 8

В географии Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Слайд 9

В химии Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени. Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной. Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество вещества в момент времени t 0 c = c(t) Функция Интервал времени ∆t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение количества вещества ∆c = c(t+ t ) – c(t) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆c/∆t Отношение приращённой функции к приращёному аргументу

Слайд 10

Формула производной в химии Если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной: V (t) = p ‘(t)

Слайд 11

Понятие производной очень важно в химии при определении скорости течения реакции

Слайд 12

Это важно помнить!

Слайд 13

Немного порешаем!

Слайд 14

Задача №1 Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением: s = A+Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2. Решение: v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2; 1,8 = 0,18t; t = 10 c

Слайд 15

Задача№ 2 Вычислить количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 градусов до t градусов (по Цельсию). Решение Пусть Q=Q(t). Рассмотрим малый отрезок [ t; t+∆t], на этом отрезке ∆Q=c(t) • ∆t c(t)= ∆Q/∆t При ∆ t − 0 lim ∆Q/∆t =Q′(t) ∆t − ∆ 0 c(t)=Q′(t)