Учебно-исследовательская работа "Математика и музыка"

Учебно-исследовательская работа

«Математика и музыка»

Выполнила: ученица 4в класса
Ижак Полина

Руководитель: Панкратова Надежда Константиновна

Нижний Новгород

2013

Введение

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."

                                                                                                     Г. Нейгауз

Актуальность темы

Я учусь в 4 «В» классе школы №85 с углубленным изучением отдельных предметов. Мне нравятся многие школьные предметы, но одним из самых интересных, хоть многим и  нелегко дающихся, является математика – царица всех наук. Как же здорово иногда поломать голову над задачками и головоломками! Математические знания  для меня нужны и важны, так как я собираюсь продолжить обучение в специализированном физико-математическом классе.

А еще я учусь в музыкальной школе, и музыка - это мое самое любимое увлечение. Порой мне кажется, что она каким - то образом помогает мне в изучении математики, и наоборот,  математика помогает мне  быстрее и успешнее развиваться в музыке. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая  математические  задачи,  мы погружаемся  в  строгое  пространство  чисел и   не  задумываемся  о  том,  что  мир  звуков  и  пространство  чисел  издавна  тесно  связаны  друг  с  другом. В  математике  красота  и  гармония  ведут  за  собой  творческую  мысль  так  же,  как и  в  музыке.

Искусство - отвлеченная от математики область, но связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства. (Развернуть подробнее)?! Думаю,

В какой же связи находятся эти, казалось бы, на первый взгляд несовместимые, но мои самые любимые предметы?

Ни один человек в мире не может прожить без математики и без музыки. Может ли быть между ними какая-то связь? В своей работе я постараюсь найти ответ на этот вопрос и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.

Цели и задачи

Основными целями моей работы являются:

• доказательство того, что связь между музыкой и математикой существует;
• доказательство того, что занятия музыкой помогают изучению математики.

Для достижения поставленных целей мне потребовалось решить следующие   задачи:

• проанализировать литературу по теме исследования;
• сравнить материал, изучаемый в музыкальной школе, с материалом который изучают ученики в школьном курсе математики;
• через литературные источники проанализировать, как музыка влияет на математические способности.

3.  Математические и музыкальные понятия

3.1. Счет

Почему на протяжении многих веков музыка так привлекательна для большинства людей? Почему она пленяет умы, способна организовать, способна создать весёлое настроение или, наоборот, умиротворить?

Оказывается, музыкальные произведения соединяют, на первый взгляд, несовместимые вещи: высокие чувства и математический расчёт. Да, именно благодаря математике мы можем услышать высокий и низкий звук, протяжное и отрывистое звучание, мы можем двигаться вверх и спускаться вниз по ступенькам звукоряда, пропевая гамму. Звуки любят счет!

На первых  уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты в музыкальной школе – ученики сразу же сталкиваются с математикой. В музыке нужно все считать, как и в математике:  7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. И нотки все разные: одни коротенькие, другие длинные. При записи мелодии, звуки имеют свою длину - длительность. Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби. Так в 5-6 лет ребята, которые занимаются музыкой, узнают, что ноты или что-нибудь другое может делиться. А ведь деление школьники начинают изучать только в 8-9 лет, в конце второго класса.

             Сопоставление целого числа и целой длительности (наглядно показываем, как целое делят на части, например иллюстрация – торт)

Ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность определяется длительностями, математическим счетом. 

Математические истоки музыки очень хорошо ощущаются в танце. В танце мы можем менять скорость – двигаться быстро и медленно, двигаться вперёд-назад, вправо-влево, по кругу, прыгать вверх-вниз. Если быть изобретательным, каждый танец можно использовать для изучения пространства – двигаться по прямоугольной, квадратной, овальной траектории, двигаться по прямой и по кривой линии.

Равномерный ритм музыкального произведения позволяет нам совершенствоваться в освоении счёта. Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. Но стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. На уроке сольфеджио мы обычно при изучении произведения «прохлопываем» ритм. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4 (размер вальса).                  

3.2. Параллельности

    В музыке, как и в математике, есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются.

В древности музыканты записывали музыку по-разному: при помощи букв, графическими знаками. Они передавали общее направление интонации, но они не могли выразить длительность звучания, изменение по высоте вверх или вниз. Ведь музыканту надо знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки.

Параллели можно найти не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно двумя голосами, т.е. в унисон (например, мужским и женским голосом). Женский будет звучать в верхнем регистре, а мужской голос - в нижнем, а звучать они будут параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.

3. 3. Последовательность

 Очень часто в математике мы встречаемся с понятием – последовательность. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной  последовательности. На занятиях в музыкальной школе, ребята, в качестве распевок и для развития артикуляционного аппарата, разучивают скороговорки и считалки. Во многих из них перечисляется натуральный числовой ряд, а ритм, присутствующий в них, способствует их запоминанию. Происходит тренировка памяти и одновременно закрепление последовательности чисел.

3.4. Противоположность

В математике существуют противоположности:

• Отрицательное число – положительное число,
• Плюс – минус,
• Деление – умножение,
• Четное число – нечетное число,
• Больше – меньше,
• Простое число – составное число и т.д.

В музыке так же существуют пары противоположностей, основной из которых является «медленно – быстро». Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.

Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.

3.5. Симметрия

Очень часто в музыке используется симметрия. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.

4. Историческая справка. Знаменитые математики и музыканты

У истоков музыкальной грамотности стоял великий математик Пифагор. И не случайно! Система знаний Пифагора включала в себя: арифметику, геометрию, музыку, астрономию. Представить себе математику и музыку, стоящими рядом, трудно, однако именно в музыке Пифагором обнаружена таинственная связующая роль чисел в природе и заодно арифметика обогатила основу музыкального построения – музыкальные гаммы.

Пифагору принадлежит и математическое объяснение основ гармонии. Суть гармонии такова: наиболее естественно воспринимаются ухом частоты, которые находятся между собой в простых числовых соотношениях.

Древние философы (пифагорейцы) считали, что музыка является частным проявлением математики. Они создали учение о Космосе, как о музыкально звучащем теле. По их мнению, Космос – это ряд небесных тел, каждое из которых при вращении издает свой музыкальный звук; расстояния между сферами и издаваемые ими звуки соответствуют гармоничным музыкальным интервалам.

Удивительно, но сегодня, спустя 2600 лет, ученые считают, что “отношения характерных точек теоретической кривой зависимости теплового излучения Солнца от длины световой волны образуют звукоряд 1/2, 2/3, 3/4 – октаву, квинту, кварту, которые были открыты еще Пифагором”.

Триста лет назад И.С. Бах предложил пользоваться темперированным строем, который, как установили математики, удовлетворяет уравнению логарифмической спирали. Такие явления мы можем наблюдать и в окружающей природе: закручивающаяся галактика, домик улитки, расположение семян в головке подсолнечника или листьев на побегах вьющихся растений – все это соответствует логарифмической спирали.

В истории развития человеческой мысли математика и музыка предстают как взаимосвязанные.

Демокрит, наблюдая за игрой на музыкальных инструментах, установил, что высота тона звучащей струны меняется от ее длины. Исходя из этого, он определил, что интервалы музыкальной гаммы могут быть выражены отношением простых целых чисел.

Композиторы часто признаются, что их метод немногим отличается от математического.  О том же пишет выдающийся дирижер Эрнест Ансерме: «Между музыкой и математикой существует безусловный паралеллизм. И та и другая представляют собой действие в воображении, освобождающее нас от случайностей практической жизни». Многие выдающиеся музыканты блистали математической одаренностью: только что упомянутый Эрнест Ансерме–профессиональный математик и лучший исполнитель Стравинского, Леонид Сабанеев – выпускник математического факультета Московского университета, прекрасный пианист, композитор и друг Скрябина.  Композитор Эдисон Денисов преподавал математику в Томском университете. Выдающийся виолончелист К.Давыдов закончил физико-математический факультет, и как вспоминают современники, имел «блистательные способности к чистой и прикладной математике: в квартире его долго сохранялась модель железнодорожного моста, им изобретенного и по словам специалистов вполне достойного внимания».

4. Обзор экспериментальных результатов

Как же музыка помогает развивать математические способности?

В грандиозном исследовании 25000 американских школьников, занимающихся по арт-программам, было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах более высокие баллы, чем дети, музыке не учившиеся. Исследователь Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты: ученики восьмого класса, которые занимались игрой на музыкальных инструментах, показали себя гораздо лучшими математиками, чем остальные ученики. Особенно отличились пианисты, которые выиграли по тестовым баллам конкурс по математике. Ведь, тренируя свои пальчики, они одновременно тренируют и свой мозг!

Совпадение музыкальной и математической одаренности сделало эту тему предметом внимания психологов. Им хотелось понять психологические механизмы, стоящие у истоков музыкально-математической близости. Сущность психологических связей между музыкальными и математическими способностями стала яснее, когда ученые обратили внимание на повышенно абстрактный характер восприятия музыкантов. Привыкнув замечать пропорционально-симметричные отношения внутри музыкальной формы, привыкнув охватывать в своем сознании разнообразные структуры, не имеющие явных предметных аналогов, музыканты переносят навыки пространственно-геометрического восприятия на реальную действительность.

Огромный эксперимент по выявлению зон ответственности отделов мозга за те или иные музыкальные функции предприняла международная группа из восьми психологов под руководством Эрве Плателя. Испытуемыми были шесть французов, молодых мужчин-немузыкантов, слушающих музыку и музыкальные элементы — небольшие мелодии, ритмические фигуры и звуковые последовательности. Музыкальное восприятие на нейропсихологическом уровне оказалось весьма аналитичным: обработкой музыкальной информации занимались отделы мозга, традиционно отвечающие за логические операции. Этот эксперимент произвел большое впечатление на психологическое сообщество; его результаты были опубликованы в журнале «Brain» в феврале 1997 года.

В исследовании 1992 года, в котором участвовали 117 взрослых музыкантов и 120 музыкантов-подростков, Марианна Хасслер отметила общее превосходство музыкантов по сравнению с немузыкантами в качестве пространственного мышления: пространственные тесты музыканты выполняли значительно лучше. Эти выводы были сделаны на основании восьмилетнего наблюдения над всеми испытуемыми.

Данные современной нейропсихологии подчеркивают повышенную аналитичность восприятия и высокое качество пространственных операций «музыкального мозга». Это объясняет частое совпадение музыкальной и математической одаренности у одних и тех же людей. Когда Мария Мантуржевска в одном из своих исследований сравнила математические успехи лучших и худших студентов-музыкантов, то результаты первых были многократно выше результатов вторых: самые одаренные музыканты оказались и самыми одаренными математиками.

Еще одним практическим доказательством близости музыкальных и математических склонностей является любопытный факт, который сообщает П. Вернон в диссертации на звание доктора философии Кембриджского университета: в 1927-28 году 60% профессоров-физиков и математиков Оксфордского университета были одновременно членами университетского музыкального клуба, и только 15% всех остальных профессоров посещали тот же самый клуб. Одаренным математикам музыка была нужна гораздо больше, чем всем остальным вместе взятым.

Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение которых в наш прагматический век оспаривать невозможно.

Музыка облагораживает эмоционально, обогащает умственно; музыка способствует росту основных человеческих способностей — способности к логическому мышлению и способности к овладению языком и речью. Музыка со стороны психологических механизмов, ею управляющих, чрезвычайно близка базовым интеллектуальным навыкам человека, которые во многом сложились благодаря музыке и в недрах музицирования. Музыка способствует развитию социально ценных качеств человека, делая его более либеральным и способным воспринимать «чужое» как «свое». Огромно число выдающихся и просто успешных людей, которые не стали музыкантами, но тем не менее любят музыку и музицируют. Среди них короли и президенты, видные политики и бизнесмены, известные художники и артисты. Многие авторитетные фирмы и компании, среди которых Microsoft и крупные западные банки, предпочитают сотрудников с музыкальным образованием. Они правы: музыка расширяет и усиливает все духовные и интеллектуальные возможности человека. Музыка настолько многогранна и требовательна ко всем человеческим качествам, что не может быть музыканта, который бы не преуспел в любой сфере деятельности. Музыкант означает лучший: самый дисциплинированный, самый быстрый, самый четкий, самый мыслящий. Широкое внедрение музыкального образования — в детском саду, в школе, в вузе и на любом уровне — позволит каждому человеку максимально раскрыть и умножить все свои способности.

Заключение

Связь музыки и математики – тема довольно емкая. Мне еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества – математики и музыки. Однако материал, с которым я познакомилась, убедил меня в том, что «математика и музыка - сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать.

О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.

Музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Между математикой и музыкой размещается вся творческая духовная деятельность человека. Музыкальная логика и математика развивают мышление, даже упражнение пальцев при игре на музыкальных инструментах укрепляет мозговые клетки.

Данное исследование доказывает, что музыка помогает изучать математику. Ребятам, которые занимаются музыкой легче справляться с математикой в школе. И я с огромным  интересом буду продолжать заниматься моими любимыми предметами!

Список литературы

1. «Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.

2. Р.Глиэр  О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8

3. INTERNET http://www.ug.ru/97.24/t8_1.htm http://www.agnuz.info/book.php?id=391&u rl=page25.htm http://exlibris.ng.ru/masscult/2001-03- 15/4_dances.html

4. Электронная энциклопедия.

5. С. Газарян  «В мире музыкальных инструментов». Москва. «Просвещение». 1985г.