Исследовательская работа "Дроби и проценты"

                       МОУ «Старотимошкинская средняя школа»

Аксубаевского района РТ

                               Исследовательская работа на тему

ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ

                                                                                    Выполнила : ученица 8 а класса

                                                                                                     Тихонова Инна                                                                                                                                                                                                            

                                                                                         Руководитель:

                                                                                                    учитель математики

                                                                                         Харитонова Зинаида Алексеевна

                                    С. Старое Тимошкино

                                            Содержание

Цели и задачи исследования_____________________________________ 3

Введение _____________________________________________________ 4

История дробей разных стран____________________________________ 5

Глава 1.Дроби и проценты_______________________________________ 6

 1.1.Где и кем были созданы дроби и проценты______________________6

 1.2. Из истории десятичных дробей_______________________________ 8

 1.3. Что такое дроби и проценты_________________________________ 10

Глава 2. Практическое применение дробей и процентов______________ 15

 2.1 Основные типы задач на проценты____________________________ 16

 2.2 Дидактический материал по решению задач на проценты_________ 19

 2.2 Примеры применения дробей и процентов в решении задач_______ 21

Заключение___________________________________________________ 26

Приложение        

     Цель  исследования – выявление целесообразности применения дробей и процентов при решении повседневных задач.  

     Для достижения поставленной цели  в нашей работе, нам необходимо решить следующие  задачи:

1.Изучить историю дробей и процентов.

2.Выяснить, сколько действий существует с ними.

3.Провести социологический опрос среди учащихся 6 класса по теме.

4.Рассмотреть использование дробей и  процентов в быту.

     Гипотеза – при условии существования дробей и процентов и умения ими пользоваться, решение практических задач становится более точным и наглядным.

     Методы исследования:

- изучение литературы по теме;

- наблюдения;

- проведение социологического опроса.

                          Введение

С самых древних времен для решения практических жизненных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы "Сколько?": сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от села до уездного центра и т.д. Так появились числа.  Сначала "люди придумали", конечно, знакомые нам натуральные числа - для счета отдельных предметов.

      Однако для ответа на вопрос "Сколько?" натуральных чисел очень часто не хватало. Так, убив мамонта и разделив его поровну, 10 охотников не могли сказать, "сколько мамонта" получил каждый. И еще долгое время после того, как мамонты вымерли, разделив три лепешки поровну на пятерых своих детей, их мама не могла сказать, сколько же лепешек получил каждый. Человечеству понадобилось придумать новые - дробные – числа.

         В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал основатель афинской Академии Платон. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский.  

        Людям понадобились дроби, так как было невозможно узнать, сколько яблока получил каждый, если это яблоко разделили на 4 части.    

         Часть от целого числа стали обозначать процентом или дробями.  

           Дробить – то есть делить на части целое.  

                   История дробей разных стран

     .

                                           Дроби Египта.

      Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида , где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, - это. Иногда вместо деления m : n производили умножение m *. Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.

                                          Дроби Китая.

      Дроби были известны и в древнем  Китае. Некоторые имели даже свои названия. Половина называлась «бань», треть – «шао бань» («малая половина»), две трети – «тао бань» («большая половина»). Позднее появилось специальное наименование для четвёртой части – «слабая половина». Пользовались и десятичными дробями.

                                         Дроби Вавилона.

      Интересно, что вавилоняне предпочитали, постоянный знаменатель (равный 60, потому, видимо, что их система счисления была шестидесятиричной). Римляне тоже пользовались лишь одним знаменателем, равным 12.

      Особое место занимали дроби -1/2, 1/4, 1/8, 1/16 и т.д. Дело в том, что в древности отдельной арифметической операцией полагали удвоение и деление пополам. Числа перемножали при помощи последовательных удвоений (например, 9 * 5  = 2 * 2 * 2 * 5 + 5); деление пополам было не менее важно – как обратное к удвоению действие. Операция удвоения продержалась довольно долго; ещё в XV веке её считали особым арифметическим действием и рассматривали отдельно, наряду с умножением, делением, сложением и вычитанием.

                    Глава 1.    Дроби и проценты

       1.1 Где и кем были созданы дроби и проценты.

       Решая даже простейшие задачи типа «Разделить 3 яблока между четырьмя детьми наполовину», результат нельзя выразить целым числом, придётся делить на доли и подсчитывать их число. В этом случае результат будет выражаться при помощи двух натуральных чисел, одно из которых покажет, на сколько равных долей разделили, а другое - сколько таких долей взяли. Если первое число b, а второе a, то записывают a/b. Выражение такого вида называют дробью.

Дроби появляются не только при делении, а и при измерении величин, так как выбранная единица измерения величины далеко не всегда содержится целое число раз в измеряемом объекте.

Значит, введение дробей, как и целых чисел, продиктовано практическими потребностями.

Один известный философ прошлого говорил, что действительное изображается в мышлении не в целых, а в дробях.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина и двоичные дроби

затем к ним присоединилась дробь 1/3 и её двоичные деления 1/6, 1/12 и т.д. От двоичных дробей египтяне перешли к дробям вида 1/n, которые называли единичными или основными дробями. Другие дроби они представляли при помощи единичных, составляя для этой цели специальные таблицы.

Вавилоняне пользовались шестидесятеричными дробями, знаменателями которых являются степени числа 60.

Римляне пользовались дробями со знаменателем 12, называя 1/12 унцией.

В средние века, как и в древности, учение о дробях считалось самым трудным разделом арифметики. Римский оратор и писатель Цицерон говорил, что без знаний дробей никто не может признаваться знающим арифметику. А у немцев сохранилась такая поговорка «Попасть в дроби», что означает попасть в трудное положение. Трудности при изучении дробей обусловлены тем, что надо было заучивать таблицы и умножения, и сложения дробей зачастую без понимания и выяснения сущности этих действий.

 В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

     Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

   Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Интересное и меткое «арифметическое» сравнение делал Л.Н.Толстой. Он говорил, что человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель – то, что он думает о себе. Чем большего человек о себе мнения, тем больше знаменатель, а значит тем меньше дробь.

С введением десятичной позиционной системы счисления появляются и новые дроби – десятичные. Выполнение действий с такими дробями значительно упрощается, так как они основаны на действиях с целыми числами.

       История процентов такова.

      Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

     Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

    Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда

путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту /, возник современный символ для обозначения процента.

     Как возник знак процента ( % )

pro centum ^ centum ^ cto ^ c/o ^ %

         Существует ещё одна версия возникновения этого знака. Говорят, что он был создан в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком.

        В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

1.2 Из истории десятичных дроби

     Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

     Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:

-   основой общей системы мер должна быть единица длины;

-   меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны между собой;

-   основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной «для всех времен и всех народов»;

-   основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию системы счисления.

    Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

    Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

    Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

     Например, в Китае  в Х веке существовали следующие меры массы:    1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

    Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

   Действия над дробями в средние века считались самой сложной областью математики. Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в 1585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин. Вот как он изображал дробь 14,382:       14 0 3 1 8 2 2 3 .

   Вот еще некоторые способы изображения десятичных дробей:

 14(382- Иоганн Кеплер в 1616 г.

 14 I 382 – английский математик Вильям Оутред в 1631 г.

 14 382’’’ – Пьер Эригон в 1634 г.

      Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

      С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

      Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

            1.3.Что такое дроби и проценты.

     Обыкновенная дробь m/n – результат деления m  на n, где m- целое число, а n- натуральное. При этом, число m называется числителем, а n – знаменателем дроби.

     Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби. Начинать раскрывать смысл понятия процентов следует начинать с осмысливания понятия обыкновенной дроби.

Например . Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.  
1прямоугольник
прямоугольника

      Если прямоугольник  разделен на три равные части, и две из них закрашено, то говорят, что две трети этого прямоугольника закрашено. Для обозначения такой         части использует  специальную «двухэтажную» запись 2 .  

            3                                                                                                                                                                                                         Такую запись называют дробью.                                        

         Число внизу, под чертой, показывает, на сколько равных частей делили. Его называют знаменателем дроби. Число вверху, над чертой, показывает, сколько таких частей взяли. Его называют числителем дроби.

Такие записи , как 3, 4, 8, тоже дроби. Нетрудно понять их   «историю».

                          7  9  12

     В первом случае предмет разделили на 7 равных частей и взяли 3 части, во втором предмет разделили на 9 равных частей и взяли  4 части, в третьем разделили на 12 равных частей и 8 из них взяли.

     Вернемся к прямоугольнику.  Если взять все три части, то получим  3 

                                                                                                                          3

   прямоугольника. Но это весь прямоугольник целиком, т.е.   дробь 3 

                                                                                                                     3

   соответствуют целому прямоугольнику.

     Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной.

Когда числитель больше знаменателя, дробь называют неправильной.

Пример 1.  Емкость бочки 200 л. бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение?
- эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно,
200:5=40,
40•2=80.
В бочку налили 80 литров воды.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа.

     Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 68,5 % избирателей, рейтинг победителя олимпиады равен 95 %, уровень инфляции составляет 8 % в год, и т.д.

      Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum,что буквально     означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятиричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить  и более сложные вычисления с применением процентов.

  Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был

установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

     В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

     Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.

    Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках.

    Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

    Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

   Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Процент- это сотая часть единицы. Запись 1% означает  1.                                                                                                                   100

Действия с дробями и процентами.

 Нам известны следующие действия с дробями:              

Расширение дроби.                                                                                        

Сокращение дроби.

Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю.

Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей.

Деление дробей.

  Расширение дроби.

   Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби.

Например:   умножим числитель и знаменатель дроби 3/5 на число 2, получим равную ей дробь 6/10

Сокращение дроби.

    Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби.

Например:  разделим числитель и знаменатель дроби  9/12 на число 3, получим равную ей дробь 3/4.

Сравнение дробей.

     Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше. Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

Например: из двух дробей  7/8 и 7/9 больше дробь 7/8, так как 8<9.

                   Из двух дробей   5/13 и 9/13 больше дробь 9/13, так как  9>5

                   Сравним дроби  2/3 и 3/4. Приведём их к общему знаменателю       12.

                   Получим  8/12 и 9/12.Тогда дробь 8/12 будет меньше, так как 8<9.

                   И, следовательно, 2/3< 3/4.

Сложение и вычитание дробей.

      Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Например:  5/17 + 2/17 = 7/17

                    9/11 – 3/11 = 6/11

                    1/3 + 3/5 = 5/15 + 9/15 = 14/15

1/8  + 2  3/8  = 6  4/8 = 6  1/2

 5  3/7  -  2 1/7  = 38/7 – 15/7 = 23/7 = 3  2/7

Умножение дробей.

    Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее

правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

 Например:  7 * 3/5 = (7*3)/5 = 21/5 = 4  1/5

                         2/3 * 5/8 = (2*5)/(3*8) = 10/24 = 5/12

Деление дробей.

    Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления.

Например:  5 : 3/7 = 5 * 7/3 = 35/3 = 11  2/3.

                    7/9 :  3/4 = 7/9 * 4/3 = 28/27 = 1  1/27.

С процентами существует немного действий. Это: сложение, вычитание, умножение и деление.

                     Глава 2. Практическое применение дробей и процентов.

      Мы нередко в быту сталкиваемся с дробями и процентами. Часто, готовя  обед, нужно добавить в блюдо одну треть столовой ложки, одну вторую чайной ложки и т.д. Люди, имеющие общий бизнес, делят свою прибыль в соответствии со вложенным процентом. В банке, вкладывая определенную сумму денег, люди не получают всю сумму, так как банк забирает от вложенной суммы 1% или больше.

     В быту люди часто используют знание о дробях и процентах, в банке, на кухне, в налогах, в кредитовании, в подсчетах голосов на выборах и т.д.

Каждому человеку доводилось встречаться с процентами. И каждый знает, что эти данные можно изобразить в графиках и диаграммах. В основном используются столбчатые и круговые диаграммы.

    Столбчатые диаграммы используют в тех случаях, когда необходимо наглядно сопоставить результаты опроса, продемонстрировать динамику процесса, показать, как изменяется со временем интересующее явление и т.д.

Круговые диаграммы используют в тех случаях, когда нужно представить соотношение между частями целого.

   Соотношение процентов и десятичных дробей

0 % = 0;

0,07 % = 0,0007;

45,1 % = 0,451;

100 % = 1;

200 % = 2.

2.1 Основные типы задач на проценты

 Задача 1.        Найти указанный процент от заданного числа.

      Для того, чтобы найти процент от числа, заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

 Пример.         Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько рублей  возрастёт сумма вклада в конце года?

Решение:   10000 · 6 : 100 = 600 (руб.)

    Ответ: 600 рублей

Задача 2.        Найти число по заданному другому числу и его величине в  

                        процентах от искомого числа.

 Для этого, заданное число делится на его процентное выражение, и результат умножается на 100.

Пример.        Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Решение:   1500 : 7,5 · 100 = 20000( руб.)

Ответ:  20000 рублей

Задача 3.        Найти процентное выражение одного числа от другого.

Для этого первое число делится на второе и результат умножается на 100.

Пример.        Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году –  только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

 Решение:   36000 : 40000 · 100 = 90(%) .        

             Ответ : 90%

Нахождение процентов данного числа.

Процентом называется сотая часть  какого-либо числа.     Чтобы найти  а% от в, надо  в .0,01а.

Пример 1. 30% от числа 60 составляет: 60 . 0,3= 18.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

        Ответ: 18.

Пример 2. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько %  увеличится площадь  квадрата?

Решение:  Пусть а сторона квадрата, тогда 1,2а увеличенная сторона квадрата, значит, площадь первоначальная а2, а новая площадь 1,44а2, т.о. площадь увеличилась на 0,44а2, т.е. на 44%.

        Ответ: на 44%.

Пример 3. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найти эти числа.

 Решение: Пусть числа х и у, их произведение ху или 10, а сумма х+у или 10. 0,7=7.

Составим систему:

Решением системы будет пара 2; 5. Это и есть искомые числа.

        Ответ: 2 и 5.

Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а% числа х равно в, то х=в:0,01а.

Пример 1. 3% числа х составляют 150. Найти число х.

     х=150: 0,03;

     х= 5000.

Ответ: 5000.

Пример 2. Определить какую массу сырого картофеля нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20% массы сырья.

Решение:  1) 100- 20 = 80(%) - полуфабриката получится после холодной обработки сырья.

2) 120: 0,8= 150(кг)- сырого картофеля нужно взять.

Ответ: 150 кг.

Пример 3. Ученик прочитал в первый день 15% книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

Решение:  1) 60: 0,15=400(стр.) – в книге всего.

2) 400-200-60=140 (стр.) – осталось прочитать.

Ответ: 140 страниц.

 Нахождение процентного отношения чисел.

 Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%:

.

Пример 1. Сколько процентов составляет 140 от 560?        

 Решение: = 25%

 Ответ:  25%.

Пример 2. Месячный проездной билет для студентов стоит 150 рублей. Сколько процентов от стипендии составляет цена проездного билета, если стипендия – 600 рублей?

 Решение:  

Пример 3. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

 Решение: Пусть на р% надо увеличить число 90.

        120 = 90+ 90 0,01 р,

                   120 = 90 (1+ 0,01 р,)

   (1+ 0,01р) = ,

0,01 р=,

р  =  

  Итак,  на    надо увеличить число 90, чтобы получить 120.

 Ответ: на   .

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.

      1.   Выразить в виде дроби: а) 5%, б) 20%, в) 72%,  г)100%, д) 250%, е) 7,5%,     ж) 0,75% .

Ответ: а) 0,05; б) 0,2; в) 0,72; г) 1; д) 2,5; е) 0,075; ж) 0,0075.

2. Выразить данные дроби в виде числа процентов: а)0,5, б) 2,15, в) 0,007, г) 0,025.

Ответ:  а)50%; б) 215%; в) 0,7%; г) 2,5%.

3. Найти процентное отношение чисел: а) 1 к 4, б) 3 к 5, в)5 к 2, г) 3,2 к 1,28.

Ответ:  а) 25%; б) 60%; в) 250%; г) 250%ю

4. Найти: а) 4% от 75, б) 15% от 84 кг, в) 18% от 330 м, г) 160% от 82р.25к.

Ответ: а) 3; б) 12,6 кг; в) 60,5 м; г) 13 р. 60 коп.

5. Найти число, если: а) 40% его равны 12, б) 1,25% его равны 55, в) 15% его равны 1р.35к., г)16% его равны 2ч.30 мин.

Ответ: а) 30; б) 4400; в) 9 р.; г) 9 ч.

6. На сколько увеличится объем куба, если его ребро увеличить на 10%?

Ответ:  33,1%

7. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, что  бы его площадь  не изменилась?

Ответ:  25%.

8. Завод выпускает 300 изделий в месяц. В связи с модернизацией производства завод стал выпускать на 20 % изделий в месяц больше. На сколько изделий в месяц увеличился выпуск продукции?

Ответ:  60 изделий.

9. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10% , а затем увеличили на 10%. Количество

10. воды во второй бочке сначала увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало больше воды?

Ответ:  воды в бочках осталось поровну.

11.  В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии свою успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе.

Ответ:  33 ученика.

2.2 Примеры применения дробей и процентов в решении задач

Задача 5.

Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?

Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:

Второе снижение происходит от новой цены:

Таким образом, общее снижение цены товара равно:

Цена товара после второго снижения стала равной:

4)100% – 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.

5) = 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.

Задача 6.

Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?

Решение:

1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;

2) Второе откусывание происходит от остатка.
=16% – откусили во второй раз

3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;

4) Т.к 64% равны160 г, имеем
(г) – первоначальная масса пирожка

Ответ: 250г, нет

Задача 7.

В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.

Определите:

1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?

Решение:

1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% – батон в магазине:
= 90%
100%-90%=10% – продается дешевле с лотка

2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
= 111,1%
111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине

Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.

Задача 8.

На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решение:

Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.

2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
= 50(кг)
Ответ: 50 кг

Задача 9 .

      Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

Решение:

1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;
= 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
=2(кг) – сушеных грибов

2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
(кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
(кг)- свежих грибов надо взять

Ответ: 2 кг, 28,9 кг

Задача 10 .

В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)

2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
= 16,7%

Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.

                                                          Заключение

       С математической точки зрения раздел процентов в школьной математике является простейшим. Научиться процентам – это в первую очередь научиться быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку. В таком умении современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно.

      Проценты используются почти во всех сферах деятельности человека и с их помощью можно наглядно показать положительную или отрицательную динамику тех или иных процессов, протекающих в жизни общества.

     Таким образом, в ходе нашей работы нам удалось достичь поставленной цели, выявить целесообразность применения дробей и процентов при решении повседневных задач.    

             Мы провели исследование. Результаты опроса и своих наблюдений по определенной схеме записали не только в виде кратких записей, но и в виде диаграмм.

          В Древнем Египте обычные люди не могли делать вычисления с дробями, такие вычисления могли проводить только жрецы – самые образованные люди того времени.

     Сейчас такие вычисления может сделать шестиклассник, хорошо знающий дроби, значит, каждый шестиклассник – это бывший жрец.                   

                                 Список литературы

     1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. М.: «Ювента», 2004

2. Клименченко Д.В. «Задачи для любознательных по математике». – М.: «Просвещение», 1992.
3. Энциклопедический словарь юного математика. М: «Педагогика»,1985

                                                                                       Приложение

      На первом этапе нашей работы, мы провели опрос, среди учащихся 6-го класса в количестве 24 человек.

Цель: выяснить, как хорошо ребята знают математику по данной теме.      

 Вопросы:

1.Знаешь ли ты что такое дроби и проценты?

2.Знаешь ли ты происхождение дробей?

3.Умеешь ли ты переводить дробь в проценты?

4.Приходилось ли тебе в быту применять действия связанные с процентами?  

     Определяя результативность изучения темы, мы провели повторный опрос, результаты которого отразили в диаграмме 2.

Вопросы:

1.Знаешь ли ты что такое дроби и проценты?

2. Знаешь ли ты происхождение дробей?

3.Умеешь ли ты переводить дробь в проценты?

4.Будешь ли ты применять в быту действия связанные с процентами?

Первый опрос

Второй опрос