Свойства ленты Мёбиуса

Моя классная руководительница и учительница математики, Елена Владимировна, рассказала нашему классу  сюжет популярного научно-фантастического рассказа Дейча “Лента Мёбиуса”: в одном городе находился огромных размеров метрополитен. И вот однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Поезда один за другим начали исчезать, появляясь только через несколько месяцев, потому что они как бы оказывались с внутренней стороны ленты.

Я заинтересовалась лентой Мёбиуса, Елена Владимировна снабдила меня литературой и я смогла изучить основные свойства ленты Мёбиуса: односторонность, непрерывность и связность.

Я сейчас вам их продемонстрирую.

Как получить ленту Мёбиуса? Перекрутим на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклеим его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют «лист Мёбиуса».

Лента Мёбиуса односторонняя (раскрашиваешь краской).

Чтобы доказать связность ленты Мёбиуса, я провела вот такой эксперимент: разрезала обычную цилиндрическую поверхность и лист Мёбиуса по средней линии. «Нормальное» кольцо при этом распалось  на два куска, а лист Мёбиуса превратится в одно перекрученное кольцо, причём оно перекручено дважды и вдвое длиннее, но уже. 

Еще удивительнее то, что полученное кольцо уже двустороннее.

Проведём ещё эксперимент: приготовим лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрезаем его так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мёбиуса дважды). Получаем два кольца: одно - лист Мёбиуса,
другое – перекрученное на 360 градусов.

Вновь возьмём бумажную полоску; один ее конец перекрутим на полный оборот (на 360 градусов), приклеим к другому концу и разрежем получившуюся модель по средней линии. Получаем два одинаковых, сцепленных кольца, каждое из которых повёрнуто на 360 градусов.

Проделываем в полосе щель и проденем сквозь неё один конец полосы.

Получили два отдельных листа Мёбиуса.  

Чтобы доказать непрерывность ленты Мёбиуса, я провела вот такой эксперимент: склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. У нас получилась квадратная рамка! Круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность.

Следующая задача появилась после доказательств свойств ленты Мёбиуса: какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно бóльшим отношением длины к ширине.

Примем ширину полоски за 1. Введем такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ – нельзя. На практике мы получили, что для того чтобы склеить ленту Мёбиуса отношение ширины плоской полоски к её длине должно быть не меньше чем ⅓. (показываешь в коробочке уже готовые ленты).

В процессе сбора материала я нашла много интересных фактов из жизни Августа Фердинанда Мёбиуса.

Если бы я училась в 10 или в 11 классе, то смогла бы определить хроматический номер ленты Мёбиуса, найти наименьшее значение длины бумажной полоски (λ), из которой можно склеить ленту Мёбиуса, если считать её ширину равной 1, используя свойства развёртывающихся поверхностей.

Мне понравилось заниматься исследованиями!