Математика на шахматной доске

Министерство образования и науки Республики Бурятия

МБОУ «Хоринская средняя общеобразовательная школа №1 имени Д.Ж.Жанаева»

Республиканская НПК «Шаг в будущее»

 «Математика на шахматной доске»

Секция: математика

Автор: Безызвестных Никита Алексеевич,

ученик 8В класса МБОУ «ХСОШ №1

 им. Д.Ж.Жанаева»

Научный руководитель:

Садовская Светлана Георгиевна,

учитель математики МБОУ «ХСОШ №1

им. Д.Ж.Жанаева»

2013 год

Оглавление

Введение…………………………………………………………………..………………………..….3

Основная часть

§1 Историческая справка.......................................................................................................................4

§2. Задачи на раскрашивание шахматной доски..................................................................................5

§3 Задачи на разрезание шахматной доски ……………………………………………………….…5

§4 Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур..6

§5 Шахматы и геометрия…………………………………………………………………………..….7

Заключение.............................................................................................................................................7

Список литературы ...............................................................................................................................9

Приложения

Введение

"В юности у меня было два любимых занятия:

математика и шахматы. Причина, по которой

я предпочел шахматы математике, может

 показаться непосвященному странной, а то и

парадоксальной: в шахматах больше жизни,

чем в математике "

Рихард Рети, гроссмейстер.

Я начал играть в шахматы с 6 лет, мне привил любовь к этой интеллектуальной игре мой дедушка. «Игра в шахматы существовала еще до появления на Земле человека и, может быть, даже до сотворения мира. Если мир впадет в хаос, игра в шахматы останется вне пространства и времени свидетельством вечного существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы Бонтемпелли.

Но вот я решил взглянуть на шахматы несколько с другой стороны – математической. Конечно, между математикой и шахматами много  родственного. Выдающийся математик Г.Харди, проводя параллель между этими видами человеческой деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы это как бы насвистывание математических мелодий.

Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.

Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, теории графов, теории чисел и комбинаторике. Важное место занимают шахматы в развитии современных методов программирования.

В математических задачах и головоломках, дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный объект. 

Объект  изучения: шахматная доска и шахматные фигуры.

Предмет исследования: математические задачи, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами.

     Цель работы: изучить математику на шахматной доске.

     Задачи:

• Исследовать связь математики и шахмат;
• Рассмотреть математические решения задач, связанных с шахматной доской;
• Рассмотреть математические решения задач, связанных с шахматными фигурами;
• Собрать и решить математические задачи, сюжетом которых является шахматная доска и шахматные фигуры.

Гипотеза: «Шахматы - это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ развития мышления, памяти, познания себя и окружающего мира».

При работе над  докладом я пользовался следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в привлечении учащихся  к  решению логических математических задач, повышении их интереса к математике. Особенностью моей работы является то, что я попытался не просто решить задачи, а разделил их по типам.

§1 Историческая справка

Шахматы  — древняя интеллектуальная игра, имеющая многовековую историю. Сейчас — одна из наиболее распространенных настольных игр.

В разных странах эта игра имеет свое название: в Англии — чесс (chess), в Испании — ахедрес (el axedres), в Германии — шах (Schach), во Франции — эшек (echecs). Русское название происходит от персидского "шах мат" — властитель побежден. Существует несколько видов шахмат (см. приложение 1).

Шахматы были изобретены около 1000 г. до н.э., индийским математиком, который также изобрел математическое действие возведения в степень. Существует также и легенда:

Когда индийский царь Шерам впервые познакомился с шахматами, он был восхищён их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрёл игру, является его поданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку.

Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе  - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Мудрец скромно потребовал 1 + 22 + 23 + 24 + … + 263 = 264 – 1 зерен.

 Счетоводы магараджи работали всю ночь и только утром сообщили своему господину, что его повеление невыполнимо: такого количества зерна просто не было не только во всей Индии, но и на всей земле. Всего грозному владыке нужно было достать 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 миллиарда 709 миллионов 551 тысячу 615 зерен. Для выполнения этой скромной просьбы мудреца потребовалось бы 280 000 лет подряд собирать весь выращенный урожай в Индии или же в течение 8 лет засеивать и собирать зерно со всей поверхности Земли. А если построить амбар дня него высотой четыре и шириной десять метров, то он был бы длиной в 300 000 000 километров, или от Земли до Солнца и обратно.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

§2 Задачи на раскрашивание шахматной доски

Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд!

Решение: Можно закрасить 42 клетки, закрасить 43 клетки невозможно. Примеры ответов изображены на рис.1 а,б.

Задача 2. Поля клетчатой доски размером 8х8 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить: а) 26; б) 28 клеток. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 26 или до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)                                                                                                     

Задача 3. Отметьте на доске 8х8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Задача 4. В квадрате 7х7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

Вывод: при решении задач на раскрашивание шахматной доски нет какого-то определенного используемого математического метода, нужно просто быть внимательным при решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения.

 §3 Задачи на разрезание шахматной доски

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.

     В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Поэтому рассказ о шахматной математике я начну с задач о шахматной доске. Прежде всего  уместно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов. Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n х n, заполненную целыми числами от 1 до n2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 .

     Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства. Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Первая из них также связана с легендой.

     Задача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис., где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни. Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.

 Задача 2. На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается. Максимальное число частей равно 18. На рис. 3 представлены два вида разрезов. Особенность решения на рис. 3а состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис. 3б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис. 3а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

          Задача 3. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля? Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис. 5).

Вывод: задачи на раскрашивание и разрезание доски, по-моему, самые легкие математические шахматные задачи. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужны небольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгие логические рассуждения.

§4 Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,

числа путей передвижения фигур

     Рассмотрим задачи, связанные с шахматными фигурами.

Король – самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать только на соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король.

Задача 1. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

Решение: Разобьем доску на 16 квадратов. Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного

из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8х8 равно 16.

Ладья – строгая, прямолинейная фигура. Она тоже часто встречается в математических задачах.

Задача 2. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски nхn?

Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n–2)+1+1=2(n–1). Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из маршрута, приведенного на рис. 1; при n=8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис.2).

Вывод: задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске и числа путей передвижения фигур более сложные, чем задачи на раскрашивание и разрезание доски. Для их решения нужны более сложные расчеты и умение найти математическую закономерность в найденном ряде чисел. Здесь уже большую помощь в решении задачи может оказать умение играть в шахматы.

§5 Шахматы и геометрия

Обсуждая математические свойства доски,  нельзя не упомянуть об одном старинном доказательстве на шахматной доске - доказательстве теоремы Пифагора. Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис 1). На рис. 2 изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь, и следовательно ту же самую площадь занимают оставшиеся части без треугольников. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!

Заключение

Шахматная математика - один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс. Интересно, что «шахматные» увлечения Эйлера относятся к 18-му столетию, а Гаусса — к середине 19-го. С тех пор в течение целого века крупные математики не занимались шахматами. Ситуация резко изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибернетики и вычислительной техники. Шахматы — одна из наиболее удобных моделей, используемых математиками при разработке современных методов программирования. К шахматам постоянно обращались в своих работах такие выдающиеся ученые, как Винер, Тьюринг и Шеннон.

В результате нашего исследования были сделаны следующие выводы: древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека. «В шахматах,- говорил великий русский писатель Л.Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными  комбинациями». Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам.

Этим и я объясняю свой интерес к данной теме.

У меня получилась следующая классификация найденных математических задач на шахматную тему:

• задачи на раскрашивание шахматной доски;
• задачи на разрезание шахматной доски;
• задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур;

В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того, чтобы показать, что шахматная математика привлекательна . Многие шахматные задачи до сих пор не решены и заслуживают пристального внимания и приложения интеллектуальных сил.

В работе выявлены следующие математические методы, используемые при решении задач на шахматную тему: метод раскраски, метод разрезания фигур.

Проделанная мною работа для меня очень полезна, она обогатила мои знания как в математике, так и в игре в шахматы. Во-первых, почти в каждом сборнике олимпиадных задач, в многочисленных книгах, посвященных математическим головоломкам, содержатся красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур (см. приложение 2). Надеюсь, что после тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у меня особых затруднений. Во-вторых, при игре в шахматы я могу использовать некоторое математическое видение ситуации. По возможности, буду не только просчитывать будущие шахматные ходы, но и пытаться понять принцип выигрыша.

Думаю, что собранный мною  материал можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков, для подготовки к олимпиадам, а также  для общего развития. Моё предложение – учить  играть в шахматы! Эта удивительная, древнейшая игра доставляет много радости, удовольствия, в то же время оказывает огромное влияние на умственное развитие.

В дальнейшем, в этом направлении более подробно можно исследовать  следующие темы: «Шахматы в олимпиадных задачах», «Комбинаторика на  шахматной доске», «Математика шахматных турниров», «Шахматы и ПК» и т.д..

Список литературы

1. Береславский Л.Я., Береславский М.Л. Шахматы. – М.: Астрель: АСТ, 2001. – 240с.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 511 с.
3. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
4. Гик Е.Я. Шахматы и математика. – М.: Наука, 1983. – 176 с.
5. Математический клуб «Кенгуру», выпуск №17 (8-10 классы). – Санкт-Петербург: Левша. Санкт-Петербург, 2007. – 28 с.
6. http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2015&Itemid=40
7. http://www.gambiter.ru/chess/item/1-pravila-shahmat.html
8. http://battlechess.ru/index/library/types/

Приложение 1

Виды шахмат

Чатуранга - древне-индийская игра, предшественница современных шахмат; возникла, предположительно, в первые века нашей эры. Чатуранга символизировала битву с участием четырёх видов войск, которыми руководил предводитель (раджа). Войска располагались по углам 64-клеточной прямоугольной доски (аштапады); в игре участвовали четыре человека, по-видимому, по 2 партнёра с каждой стороны. Ходы почти всеми фигурами совершались в чатуранге так же, как и в современных шахматах, только слон ходил иначе - на третье поле по диагонали, перепрыгивая (как конь) через фигуры.

Шахматы махараджа - игра имеет новую фигуру по имени Махараджа, которая комбинирует короля, ферзя и коня. Это означает, что ходит Махараджа как ферзь и рыцарь вместе, не может переместиться на клетку, которая находится под шахом (на эту клетку нападает фигура соперника), она должна просто походить или сбить фигуру соперника

Японские шахматы (Сёги, Shogi) - играется на доске 9x9. Каждый игрок начинает игру со следующими фигурами: 1 король, 1 ладья, 1 слон, 2 золотых генерала, 2 серебряных генерала, 2 коня, 2 улана и 9 пешек. В отличие от западных шахмат все фигуры одного цвета и одной пятигранной формы. Принадлежность к игроку определены заголовками на фигурах.

Шахматы Фишера - правила совпадают с классическими шахматами, за исключением первоначальной расстановки фигур и правил рокировки. Пешки расставляются, как в обычных шахматах. Расстановка фигур выполняется случайным образом, с условием, что два слона игрока должны занять разные по цвету клетки, а король должен стоять где-нибудь между ладьями. Чёрные фигуры ставят в точной зеркальной позиции к белым.

Китайские шахматы (Сянцы, Xiangqi) - играется на прямоугольной доске 9x10. В отличие от западных шахмат, фигуры помещены в пересечения линий, а не в поле. Каждый игрок начинает игру со следующими фигурами: 1 король (или генерал), 2 охранника (или советники), 2 слона, 2 коня, 2 ладьи (или колесницы), 2 пушки и 5 пешек.