ПОСЛОВИЦЫ и ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

« Шаттинская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа

« ПОСЛОВИЦЫ и  ИССЛЕДОВАНИЕ  СВОЙСТВ  ФУНКЦИИ»

                                                                                        Выполнили работу: Самбаева Алтана, 11 класс                                                                                                                              Ларкин Алтын , 11 класс  

П. ШАТТА, 2011г

                  ЦЕЛЬ РАБОТЫ: проиллюстрировать характерные свойства функции, обратившись к пословицам.

          1.Введение

              Раздел « Исследование функции» - это  раздел , содержащий

                         математические  термины, содержание и смысл которых важно

                         и нужно знать и понимать, тем более задания этого раздела «  

                         сидят» в ЕГЭ. Чтобы лучше усвоить термины и их определения, характерные свойства функции, обратимся к пословицам . Ведь пословицы- это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

                        Думаем, что аналогия с пословицами поможет   вам лучше понять и запомнить определенные свойства функции.

2. Поиграем?!     (вашему вниманию предложен текст,

       впишите  вместо пропущенных строк математическое явление( термин)

        и воспроизведите профиль дороги, соответствующий описанию).

       Цель игровой ситуации состоит в том, что « водитель» из каждой команды должен « проехать» дорогу и объяснить все ее участки языком водителя и математика.

… Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из города А в город В. Будем внимательно приглядываться к рельефу дороги. Ровный участок дороги естественно ассоциируется с термином «…». Дорога идет под уклон- это «…». Кончился спуск, и водитель включает газ, отмечая тем самым «точку …».

Дорожный знак указывает подъем, а у математика наготове свой термин- «…».Перевалили через гребень холма – пройдена « точка …». И снова началось «…», т. е спуск. На холмах дорога « …», в ложбинках «…». Не отмеченные дорожными знаками стыки таких участков дороги математик отметит про себя как точки « …»…

( ответ: « константа- монотонное убывание- точка минимума- монотонное возрастание- точка максимума- монотонное убывание- выпукла- вогнута-перегиба).

Вывод: математические понятия, о которых шла речь в этом описании, можно разделить на 2 группы:  одна описывает поведение функции в окрестности некоторых характерных точек ( максимум, минимум, перегиб), другие--- в некоторых промежутках( выпуклость, вогнутость, возрастание, убывание).

3. Исследование пословиц:

Пословица 1: « ЧЕМ  ДАЛЬШЕ  В  ЛЕС, ТЕМ  БОЛЬШЕ  ДРОВ»

                         ( дайте математическое толкование пословицы)

                     Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере

                     продвижения  в глубь леса. Горизонтальная ось графика- это

                      лесная дорога. По вертикали отложим количество дров на

                      данном километре. График представляет собой количество дров

                      как функцию пути.

                      Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает.

                      Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней

                       ( чем дальше в лес…) значение функции будет больше (… тем

                      больше дров). Такое свойство функции называют монотонным

                       возрастанием. Математически это записывается так:

                       (………………………………………………………………………….)

                        В чем отличие между монотонным возрастанием и монотонным

                         убыванием?

                         - возрастание – это движение только вверх

                         - неубывание- это движение либо вверх, либо ни вверх ни вниз

                         - возрастание – частный случай неубывания.

                         - например, всюду постоянная функция принадлежит к числу

                            неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области

                             определения не возрастает.

ПОСЛОВИЦА 2: « ВЫШЕ  МЕРЫ  КОНЬ  НЕ СКАЧЕТ»

                             ( объясните смысл пословицы математическим      

                                языком)

                            Если изобразить траекторию скачущего коня

                            графически, то высота скачков в полном соответствии

                           с пословицей будет ограничена сверху некоторой

                           мерой. Это свойство присуще функциям sin и cos. Здесь

                           тоже есть своя «мера», за пределы которой не

                           вздымаются волны синусоиды и косинусоиды. Графики

                           этих функций находятся в полосе между прямыми У =-1

                            и У= 1.

ПОСЛОВИЦА 3: « Пересев  хуже  недосева»

                             Почему так говорят?

                             Вековой опыт агрономии показывает:

                             Урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эту характерную особенность можно наблюдать , если изобразить ее графически, где урожай представить как функцию плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни. Максимум здесь локальный. Математически это значит: существует некоторая / а- б, а+б/- окрестность точки Х= а такая, что для всех Х из области определения функции, входящих в эту окрестность, выполняется условие / х- а/ < б ===== f(х)< f(а).

Есть у максимума антипод- минимум. Минимум- это как бы впадина, из которой куда ни шагни- все дороги ведут только вверх, т. е. для всех Х из области определения функции , выполняется условие:

/ х- а/ < б===== f(х) > f(a). Все значения функции из 2б- окрестности точки х= а больше по сравнению с минимумом. Правда, если шагать все дальше, возрастание где-то сменится спадом. Про минимум говорят тогда, что он в точке х= а собственный. Значение абсолютного минимума получим лишь тогда, когда это наименьшее значение функции для всей области определения.

5.ВЫВОД: Мы попробовали объяснить некоторые математические моменты переформулировав их  так, чтобы получить проблемные задачи. После чего, математическая  задача получила некую практическую направленность, которая вводит в знакомую жизненную ситуацию, вызывает интерес и понимание  изучаемого .

6. Предлагаем

         Обсудить примеры природных явлений, примеры из жизни и техники, в которых отчетливо проявлялась бы ПЕРИОДИЧНОСТЬ.

 … периодичностью в обыденной жизни называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Строгим можно считать выражение « периодическая печать». Газеты выходят день за днем. Журналы печатаются из месяца в месяц, из недели в неделю. Однако абсолютной строгости понятие периода тут не достигает. Оно было бы здесь тогда, если бы время выхода соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты полностью совпадали.

Функции, любые значения которых начинают в точности повторяться через вполне определенный промежуток изменения аргумента в одной и той же последовательности для всех Х из области определения, относят к периодическим.

Безупречные примеры периодичности способна дать только математика:   Функция f называется периодической, если существует такое число Т неравное нулю, что для любого Х из области определения f значение этой функции в  точках Х и Х+ T равны, т.е. f(х+T)= f(х), где  T- называют периодом.

Для периодической функции нет меньшей по сравнению с T величины аргумента того же свойства. Тригонометрические функции являются примерами периодических функций

ВЫВОД:  Если задача непонятна, полезно иногда  переформулировать ее  так, чтобы получить проблемную задачу, перевести задачу на язык  « понятной, знакомой» жизненной  ситуации, уловить практическую направленность задачи.