Вписанные многоугольники изучаются с 8 класса. В основном преобладают задачи на вписанный треугольник, так как любой треугольник можно вписать в окружность. Задачи на вписанный четырехугольник чаще встречаются в олимпиадных заданиях. Очевидно, что около прямоугольника, квадрата, равнобедренной трапеции можно описать окружность. В остальных случаях имеет место признак вписанного четырехугольника, который говорит о том, что сумма противолежащих углов должна равняться 180˚.
«Вписанный четырехугольник в задачах возникает как-то «вдруг», демонстрируя взаимосвязь, гармонию геометрических объектов» (Г.И.Саранцев).
Вписанные углы, угол между касательным и секущим, внешние углы все взаимосвязаны со вписанным четырехугольником.
Проблема заключается в том, что в задачах эти и другие объекты комбинированы по-разному, поэтому увидеть нужную ситуацию бывает сложно.
Вложение | Размер |
---|---|
проектная работа ученика | 124.5 КБ |
zadachi_o_mnogotsvetnoy_raskraske.doc | 80 КБ |
Применение вписанного четырехугольника в решении задач
1. Актуальность проблемы
Вписанные многоугольники изучаются с 8 класса. В основном преобладают задачи на вписанный треугольник, так как любой треугольник можно вписать в окружность. Задачи на вписанный четырехугольник чаще встречаются в олимпиадных заданиях. Очевидно, что около прямоугольника, квадрата, равнобедренной трапеции можно описать окружность. В остальных случаях имеет место признак вписанного четырехугольника, который говорит о том, что сумма противолежащих углов должна равняться 180˚.
«Вписанный четырехугольник в задачах возникает как-то «вдруг», демонстрируя взаимосвязь, гармонию геометрических объектов» (Г.И.Саранцев).
Вписанные углы, угол между касательным и секущим, внешние углы все взаимосвязаны со вписанным четырехугольником.
Проблема заключается в том, что в задачах эти и другие объекты комбинированы по-разному, поэтому увидеть нужную ситуацию бывает сложно. В поисках решения данной проблемы нужно вокруг задачи о вписанном четырехугольнике конкретизировать и обобщить необходимые сведения в виде блока полезных фактов для решения задач на данную тематику. В блоке задачи опираются на решение предшествующей задачи, дополняя его новыми действиями.
2. Цели и задачи
Цель работы: изучение методов решения задач с применением свойств вписанного четырехугольника.
Для этого необходимо:
Задача 3.1.
Доказать, что:
АМВ = ½ (ˇCLD +ˇAKB )
Решение:
Проведём хорду ВС. Так как АМВ – внешний угол треугольника ВМС, то АМВ =
1 + 2 . По теореме о вписанном угле 1 = ½ ˇCLD, 2 = ½ ˇAKB, поэтому АМВ = ½ (ˇCLD +ˇAKB).
Задача 3.2
Доказать, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность тогда и только тогда, когда ..ABD = ACD.
Решение:
ABD = ACD - вписанные углы, опирающиеся на дугу AD.
Около треугольника АВС можно описать
окружность. На дуге ВС возьмем любую точку
С. Получаем вписанный угол, опирающийся на дугу АД, который равен вписанному углу АВД.
Отсюда четырехугольник АВСД – вписанный.
Задача 3.3
Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника АВСО можно описать окружность.
Решение:
В + А = 90˚ + 90˚ = 180˚
В + А + С + О = 360˚
С + О = 180˚
По свойству вписанного четырехугольника АВСО является вписанным.
Задача 1
Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Решение:
Допустим обратное. Необязательно параллелограмм прямоугольник. Значит, какие то противолежащие углы в сумме дают меньше 180˚. Пусть это будут углы В и D.
D + B < 180˚
Так как параллелограмм вписанный:
D + B = ½ˇADC + ½ˇABC = ½ (ˇADC+ˇABC )
D + B = ½ 360˚ = 180˚
Противоречие. Аналогично, если вместо данных углов брать углы А и С.
Значит, параллелограмм прямоугольный. Что и требовалось доказать.
Задача 2
Докажите, что если ромб можно вписать в окружность, то этот ромб – квадрат.
Решение:
Допустим обратное. Этот ромб не является квадратом, но, тем не менее, вписан в окружность. Т. е. углы не равны 90. Значит:
D + B < 180˚
Так как ромб вписанный:
D + B = ½ˇADC + ½ˇABC = ½ (ˇADC+ˇABC )
D + B = ½ 360˚ = 180˚
Противоречие. Аналогично, если вместо данных углов брать углы А и С.
Значит, стороны ромба равны 90˚. У ромба все стороны равны.
Значит, ромб является квадратом.
Задача 3
Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Решение:
Допустим обратное. Трапеция неравнобедренная.
Углы САВ и DCA равны. Также и углы BDC и ABD.
С другой стороны, углы с общими дугами равны: DAC и DBC, ADB и ACB. Так как трапеция вписана, углы ABD и ACD обязательно равны.
Углы D и С равны и трапеция ABDC равнобедренная.
Задача 4
Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180˚, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение:
Пусть в четырёхугольнике ABCD
А + С = 180˚.
Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: A, B и D – и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника. Предположим что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай. В этом случае С = ½(ˇDAB + 8 ˇEF), и, следовательно, С > ½ˇDAB. Т. к. А = ½ˇBED, то А + С > ½(ˇBED + ˇDAB) = ½ * 360˚ = 180˚.
Задача 5
Докажите, что около выпуклого четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции можно описать окружность.
Решение:
Из предыдущих задач нам известно, что если противоположные углы в сумме дают 180˚, то четырёхугольник можно вписать.
Докажем, что в данном четырёхугольнике углы дают в сумме 180˚.
5 = 180˚ - 3 - 4
6 = 180˚ - 2 - 1
5 + 6 = 360˚ - 180˚ = 180˚
Задача 6
Внутри параллелограмма АВСD выбрана точка М, а внутри треугольника АМD – точка N таким образом, что МNА + МСВ = МND + МВС = 180˚. Докажите, что прямые МN и АВ параллельны.
Решение:́
Пусть при параллельном переносе на вектор ВА точка М перешла в точку М ́, при этом ∆ ВМС → в ∆ АМ ́D.
АМD + AND = BMC + AND + (180˚ - MCB - MCB) + (360˚ − MNA - MND) = 180˚ + 360˚ - ( MNA + MCB) – ( MND + MBC) = 180˚
Четырёхугольник ANDM ́ – вписанный. Поэтому M ́ND = M ́AD (вписанные углы), и MND + M ́ND = MND + MA ́D = MND + MBC = 180˚
Значит точки M, N и M ́ лежат на одной прямой, и MN || MM ́ = BA.
Задача 11
Диагонали четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Е. На прямой АС взята точка М, причём DМЕ = 80˚, АВD = 60˚ , СВD = 70˚ . Где расположена точка М : на диагонали или на её продолжении? Ответ обосновать.
Решение:
Рассмотрим все возможные варианты расположения точки М.
Ответ: на диагонали
Задача 12
Пусть точки А, В, С лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке В. Из точки Р, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры РА¹ и РС¹ на прямые АВ и ВС соответственно (точки А¹ и С¹ лежат на отрезках АВ и ВС). Докажите, что А¹С¹ АС. (Л. Емельянов)
Решение:
Поскольку РС¹В = РА¹В = 90˚, четырёхугольник РА¹С¹В вписанный. Значит, СС¹А = 180˚ - А¹СВ = А¹РВ = 90˚ - А¹ВР . С другой стороны, А¹ВР = АСВ = ½ АВ. Поэтому СС¹А¹ = А¹РВ = 90˚ - АСС¹ , то есть прямые А¹С¹ и АС пересекаются под прямым углом.
Предисловие ко второму изданию
Весною 1945 г. одному интересующемуся математикой московскому семикласснику выпал счастливый жребий встретиться со студентом-математиком последнего, пятого курса Московского университета. Отдаленным результатом этой встречи стала эта книга, вышедшая первым изданием более полувека назад. Сама же встреча произошла в одной из больших аудиторий одного из старых зданий Московского университета на Моховой улице (а новых зданий на Ленинских горах, торжественно открытых 1 сентября 1953 г., тогда и в помине не было).
Семиклассник пришел на лекцию для школьников. В аудиториях МГУ такие лекции читались тогда ведущими московскими математиками в течение учебного года, раз в две недели. Объявления о лекциях давались в расклеенных по городу афишах, одна из коих – в том учебном году уже, к сожалению, последняя – и привлекла внимание нашего семиклассника. После лекции школьников пригласили задержаться, и перед ними выступили руководители ежегодно работающих при Университете математических кружков для школьников. Формально – уж не упомню, по каким причинам, - считалось, что при МГУ действует один Школьный математический кружок, а все реально работающие кружки являются секциями этого единого Кружка. Каждая секция проводила занятия раз в неделю, в одной из университетских аудиторий.
В выступлениях каждый из руководителей рассказывал, чем его секция (кружок) предполагает заниматься в будущем учебном году. Секции различались тематикой; были кружки по алгебре, по геометрии, иногда даже по теории множеств. Различались они и тем, для каких классов были предназначены. Среди объявленных той весной на предстоящий учебный год кружков была и так называемая «Секция общего типа» для восьмиклассников, не ограничивающая себя какой-либо специальной тематикой. Упомянутый выше студент-пятикурсник выступал в качестве руководителя этой секции. Его выступление понравилось нашему семикласснику больше других. После выступлений всем присутствующим была предоставлена возможность тут же, на месте, поговорить с любым из выступивших. Наш школьник воспользовался этой возможностью, поговорил со студентом и получил приглашение посещать Секцию общего типа в предстоящем учебном году.
В 1945/46 учебном году, будучи восьмиклассником, и в 1946/47 учебном году, будучи девятиклассником, наш школьник занимался в названной секции. А бывший пятикурсник, ставший теперь аспирантом Университета, продолжал этой секцией руководить.
Ежегодная работа Университета с интересующимися математикой московскими школьниками состояла из трех считавшихся взаимосвязанными частей: лекции, кружки, олимпиада – и проводилась под эгидой двух легендарных институций, первая из которых была частью Московского университета, а вторая при нем состояла: механико-математического факультета (мехмата) МГУ и Московского математического общества. Фактически эта работа организовывалась и управлялась группой энтузиастов, оформленной в виде оргкомитета очередной олимпиады. Об этой триединой работе сказано и написано достаточно много, но больше об олимпиадах, чем о кружках.
Меж тем в 40-е и 50-е годы ХХ в. именно математические кружки были наиболее примечательным явлением. Само посещение старого университетского здания под стеклянным куполом по адресу Моховая, дом 11 (сейчас этот дом имеет номер 9, и в нем находится факультет журналистики), вызывало у школьника невольное волнение. Обстановка в кружках выгодно отличалась от привычной школьной своим уважительным демократизмом. Демократические традиции тщательно оберегались. К участникам обращались только на «Вы»; в школах такое обращение было редкостью. К руководителю обращались по уменьшительному имени (Саша, Женя, Гриша), а не по имени и отчеству,
2
как к учителю (в подавляющем числе случаев – к учительнице) ). Математика – и в этом с
ней могли сравниться, скажем, шахматы – представляла собой благодатное поле для взращивания и процветания идей равенства: ведь в ней наглядным для всех образом прав не тот, кто старше по возрасту или по положению, а тот, кто утверждает истину. (В биологии, например, дело обстояло уже иначе: эксперименты подтверждали теорию Менделя, но их в те годы приказано было трактовать как подтверждающие безумное учение академика Лысенко.)
В сталинское время, приходя в Университет на математический кружок, школьник (разумеется, не отдавая себе в этом отчета) ощущал себя как бы на изолированном острове, в совершенно необычной атмосфере свободного творчества, чуждой какой бы то ни было идеологической фальши. В не меньшей степени эта атмосфера была важна и для самоощущения руководителей кружков: она давала им возможность делать что-то разумное, и притом по собственному усмотрению, без бюрократических указаний. (Сказанное отчасти объясняет, почему наибольшего расцвета в середине ХХ в., т. е. в послевоенные годы, достигли в СССР именно математика и шахматы.)
Таким образом, Школьный математический кружок при МГУ служил жизнеутверждающей поддержкой как для участников, так и для руководителей его секции и, несомненно, оказывали определенное влияние на развитие личности и тех, и других. Столь же несомненно, что личность руководителя оказывала решающее влияние на работу секции. К числу наиболее ярких руководителей, оказавших влияние на деятельность не только своей секции, но и всего Школьного кружка при МГУ в целом, принадлежал руководитель Секции общего типа. Настало время назвать его имя: Женя Дынкин.
Его просто назвали «Женя» - так, как называли его участники кружка. Теперь имя Евгения Борисовича Дынкина хорошо известно в мировой математики. Дынкин стал выдающимся ученым, работающим одновременно в двух областях математики: в алгебре и в теории вероятностей – редчайшее сочетание математических специальностей! С 1954 по 1968 г. Е. Б. Дынкин, он же Eugene B. Dynkin, состоит профессором одного из крупнейших и известнейших американских университетов – Корнеллского университета; с 1985 г. он является членом Национальной академии наук США.
3
Предисловие к первому изданию
Эта книга написана по материалам одной из секции школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, работавшей в 1945/46 и 1946/47 учебных годах. Один из авторов был руководителем этой секции, другой – ее участником. Секция называлась секцией общего типа. На ее занятиях рассматривались вопросы из различных областей математики. Основной целью было не столько сообщить участникам новые сведения, сколько научить их активному, творческому отношению к математике. Наиболее удачные темы складывались в процессе самой работы секции. В предлагаемую книгу вошли – в значительно переработанном и расширенном виде – три такие темы: задачи о многоцветной раскраске карт, задачи из теории чисел, решаемые с помощью арифметики вычетов, и задачи из теории вероятностей, связанные с так называемыми случайными блужданиями.
Каждой из этих тем была посвящена целая серия последовательных занятий секции. Она начиналась обычно с задач, которые не требовали никаких новых понятий по своей формулировке, но решение которых должно было сразу ввести участников секции в новый круг вопросов. И в дальнейшем беседы руководителя тесно переплетались с задачами, которые давались в ходе самой беседы, иногда решались на месте, а чаще оставлялись для домашнего решения до следующего занятия. Значительная часть всего материала темы предлагалась в виде циклов связанных между собой задач. На каждом занятии секции определенное время отводилось разбору решений, которые служили затем материалом для обобщений и выводов, делавшихся руководителем. В своих беседах руководитель излагал также более трудные вопросы, менее поддающиеся расчленению на отдельные задачи.
Форма беседы, прерывающейся постановкой задач, решение которых существенно для дальнейшего изложения, принята и в этой книге.
Для чтения первых двух разделов достаточно знания математики в объеме 7 классов средней школы; третий раздел требует несколько большей математической культуры. Книга рассчитана в основном на школьников старших классов, но может быть использована также в студенческих кружках на младших курсах.
Мы пользуемся случаем выразить нашу благодарность А. Н. Колмогорову, советы которого способствовали значительному улучшению книги. Мы приносим также благодарность Э. Э. Балашу, задачи которого легли в основу &2 и 3 гл. IV второго раздела. Наконец, мы признательны М. А. Наймарку и И. М. Яглому, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд замечаний. В заключение нам хотелось бы отметить тщательную работу нашего редактора А. З. Рывкина.
4
ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ
Различные страны на географической карте окрашиваются для удобства в разные цвета. При этом обычно не требуется, чтобы каждая страна имела свой особый цвет. Достаточно, чтобы в различные цвета были окрашены соседние страны S1 и S2 на рис. 1.
Рис. 1
Такую раскраску карты мы будем называть правильной. Естественно поставить вопрос, какое число красок нужно иметь для того, чтобы правильно раскрасить данную карту. Ясно, что нас устроит число красок, равное числу стран карты; в этом случае мы просто каждую страну выкрасим в свой цвет. Однако мы не удовлетворимся таким решением: нас будет интересовать минимальное число красок, достаточное для правильной раскраски данной карты. Легко построить карту, для которой таким минимальным числом красок является 2 (рис. 2).
Рис.2
Карта на рис. 2 является картой острова, расположенного в море, которое показано штриховкой. Море мы не закрасили ни одной из красок a и b. Однако обычно море на картах также закрашивается, причем требуется, чтобы прибрежные страны, т.е. страны, граничащие с морем, были окрашены в отличный от моря цвет. Море, таким образом,
5
ничем не отличается для нас от простой страны. То, что оно не ограничено, для нас не существенно. Поэтому в дальнейшем мы не будем выделять море особо, а включим его в число стран. Карты, которые мы будем рассматривать, не будут, таким образом, картами островов; мы будем считать их распространенными на всю плоскость. При такой точке зрения карта на рис. 2 уже не может быть правильно раскрашена двумя красками.
Рис.3
Вернемся теперь к вопросу о минимальном числе красок, достаточном для правильной раскраски карты. На рис. 3 изображены карты, для которых такими числами являются соответственно 2, 3, 4. На этом наши примеры обрываются. До сих пор не построена карта, для которой минимальное число красок было бы 5 или больше, иными словами, которую нельзя было бы правильно раскрасить четырьмя красками. Есть предположение, что всякую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками (в требовании доказать или опровергнуть это предположение состоит знаменитая «проблема четырех красок»). Однако это никем еще не доказано. С другой стороны, доказано, что всякую карту можно правильно раскрасить пятью красками. Таким образом, мы можем высказать только следующие два утверждения, досадный пробел между которыми ничем не заполнен:
Не всякую карту можно правильно раскрасить тремя красками (см. рис. 3, в).
Всякую карту можно правильно раскрасить пятью красками.
6
§1. Задача о двух красках
1.На плоскости проведено n прямых. Доказать, что карту можно правильно раскрасить двумя красками (рис.4).
Рис.4
2.На плоскости проведено n окружностей. Доказать, что карту можно правильно раскрасить двумя красками (рис.5)
Рис.5
7
§2.Трехцветная раскраска
3.На плоскости нарисовано n окружностей. В каждой окружности проведено по хорде так, что хорды двух различных окружностей имеют между собой самое большее одну общую точку. Доказать, что такую карту всегда можно правильно раскрасить тремя красками (рис.6).
Рис.6
8
§3. О проблеме четырех красок.
Теорема Волынского
В этом параграфе рассмотрим вопрос о четырехцветной раскраске карт.
Для решения общей задачи о четырех красках достаточно рассмотреть нормальные карты, ибо если мы умеем правильно раскрашивать четырьмя красками все нормальные карты, то мы можем раскрасить и все вообще карты. Действительно, окружим в произвольной карте каждую вершину, кратность которой более чем 3, маленьким кружочком, сотрем все границы, попавшие внутрь этого кружочка, и присоединим его внутренность к одной из прилегающих стран (рис.7). Мы получим некоторую нормальную
Рис.7
карту, причем, если ее можно правильно раскрасить четырьмя красками, то, очевидно, то же можно сделать и с первоначальной картой. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только нормальные карты.
До сих пор мы рассматривали только правильную раскраску стран и правильную нумерацию вершин.
Две границы называются соседними, если они имеют общую вершину.
Нумерация границ называется правильной, если любые две соседние границы получают различные номера. Пример правильной нумерации границ приведен на рис.8.
Рис.8
9
Проблема четырех красок эквивалента задаче о правильной нумерации границ тремя цифрами. Эта эквивалентность устанавливается теоремой Волынского:
Нормальную карту можно правильно
раскрасить четырьмя красками в том
и только в том случае, если ее границы
можно правильно занумеровать тремя
цифрами.
Вывод:
В заключение посоветуем читателю не жалеть времени на решение задач. Каждый цикл задач, каждая задача, решенные самостоятельно, будут обогащать арсенал средств, которыми располагает читатель. Одна самостоятельно найденная идея стоит десятка идей, усвоенных с чужих слов. Даже в том случае, когда настойчивые попытки решить задачу не приведут к успеху, потраченное время не пропадет даром: основательно поработав над задачей, вы будете читать ее решение совершенно другими глазами, будете искать причины своей неудачи и сумеете выделить среди рассуждений вспомогательного характера ту основную идею, которая обеспечивает успех.
10
Содержание:
Содержание 1
Предисловие ко второму изданию 2
Предисловие к первому изданию 4
Задачи о многоцветной раскраске 5
§1. Задача о двух красках 7 §2. Трехцветная раскраска 8
§3. О проблеме четырех красок. Теорема Волынского 9
Вывод 10
1
Мегино – Кангаласский улус
МБОУ «Майинский лицей»
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ: ЗАДАЧИ О МНОГОЦВЕТНОЙ РАСКРАСКЕ
Выполнила ученица 9-1
класса Потапова Куннэй
Преподаватель: Стручкова
Любовь Дмитриевна
с.Майя, 2012г.
Любимое яичко
Самый главный и трудный вопрос
Мальчик и колокольчики ландышей
Будьте как солнце!
Нора Аргунова. Щенята