Исследовательско-реферативная работа "Это загадочное число пи"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2»  

пгт. Троицко-Печорск Республика Коми

Это загадочное число

Проблемно – реферативная работа

Направление «Культурологическое»

Авторы: Растворова Ангелина и Канева Маргарита, ученицы 6 «а» класса.

Руководитель:  Савиных Ольга Сергеевна, учитель математики.

Троицко-Печорск

2012 г.

Содержание

Введение

Актуальность:  В прошлом учебном году при изучении длины окружности мы встретились с числом π. Учитель сказал нам, что число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается и в других школьных дисциплинах, а также в жизни. С числом π связано много удивительных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению, и мы решили выяснить все загадки нового для нас числа, а потом рассказать об этом всем шестиклассникам школы. Таким образом, тема исследования числа π стала для нас актуальной.

Цель исследования: ознакомление с числом π, расширение знаний по математике.

Задачи:

1. Изучение и анализ информационных источников.
2. Опрос жителей поселка на предмет имеющихся у них сведений о числе.
3. Поиск возможности внести свой вклад в разгадывание тайны числа.

Гипотезы:

1. Число  является десятичной дробью, в которой цифры стоят в определенной закономерности.

2. Число было введено тогда, когда люди стали строить здания.

3. Число ввел греческий ученый Пифагор, и оно названо в его честь.

4. О числе π знают только те люди, чья профессия связана с математикой.

Методы исследования: изучение и анализ информационных источников, опрос.

Основная часть.

Открытие и этимология понятия.

Как считают специалисты, число π было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако недостаточно точное исчисление ими значения числа π привело к краху всего проекта.

Считается также, что число π лежало в основе строительства знаменитого Храма царя Соломона.

История числа π началась в Древнем Египте. Число π выражало отношение длины окружности к её диаметру. Египетские математики определяли значение числа π через площадь круга и  считали примерно равным 3,160...

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата, т.е. квадрата, имеющего такую же площадь, как  круг.

Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 целых 1/7 и больше 3 целых 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя  вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 целых 10/71 и 3 целых 1/7, а это означает, что = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В V в. до н.э. китайским математиком ЦзуЧунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

В первой половине XV в. в Узбекистане в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3·228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1' (1 секунду). Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Спустя полтора столетия в Европе Ф. Виет нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф. Виет первым заметил, что π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом "π" английский математик Уильям Джонсон (1675-1749) в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова περιφέρεια "periferia", что в переводе означает "окружность" и περίμετρος — периметр. Введённое У. Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Леонардо Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

На протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом, т.е.целыми и дробными числами.

В конце XVIII в. А.М. Лажандр на основе работ И.Г. Ламберта доказал, что число π иррационально, т.е. не является ни целым, ни дробным числом. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш. Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки н е в о з м о ж н о построить отрезок, равный по длине окружности.

Таким образом, мы сделали вывод, что древние греки Евдокс и Гиппократ никогда не смогли бы измерить окружность с помощью построения отрезка, равного по длине окружности, также невозможно решить задачу об измерении круга с помощью построения равновеликого квадрата.

Поиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф. Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна ЛудольфванЦейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л. ванКейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления, с которыми мы пока незнакомы и которые будем изучать в десятом и одиннадцатом классах, было найдено много формул, которые содержат число "π". Некоторые из этих формул позволяют вычислить π приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными, т.е. более удобными.

Ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, а также Лейбниц находили число π  с помощью методов тригонометрии, которых мы тоже пока не изучали. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее, их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.

В современной математике число π – это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, которая, как нам объяснил наш руководитель, очень сильно отличается от той геометрии, которая изучается в школе.Неевклидову геометрию мы сможем изучать в институте на физико-математическом факультете.

Наш вклад в открытие тайн числа π.

1. Мы планировали найти 20 первых десятичных знаков, но в наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов. Тогда мы нашли в Интернете и рассмотрели внимательно первую тысячу знаков числа π.

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 …

2. Мы решили внимательно исследовать цифры числа π и определить, имеется ли какая-нибудь закономерность этих цифр, повторяются ли какие-нибудь цифры и пришли к следующим выводам. Цифры расположены в какой-то последовательности. Мы заметили, что есть группы цифр, в которых определенные цифры повторяются через одну. Например,141, через 8 цифр встретилась группа 979, затем сразу 323, через 7 цифр - 383, через 14 цифр - 939, через  13 цифр - 494, через  45 цифр - 808, ещё через 4 цифры - 282 и т.д. Таким образом, мы не выявили закономерности в расположении цифр в числе π.

3. Мы предполагали, что число π – это десятичная дробь, в которой много десятичных знаков, но узнали из истории числа и поняли сами при рассмотрении первой тысячи знаков, что это бесконечная не периодичная дробь и значит, действительно не является целым или дробным числом.

4. Мы постарались проникнуться поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени. Попробовали прочитать число в стихотворном  размере, но не смогли подобрать нужный ритм.

5. Тогда попробовали спеть число на разные мотивы. Наиболее подходящим оказался мотив песни «Солнечный круг» (СД-диск/видеофайл.Песня).

6. Перед нами встал следующий вопрос: как можно запомнить значение числа «пи»? В результате поисков мы познакомились с методами мнемоники, т.е. науки о запоминании.

• Первое мнемоническое правило - стихи.

Сергей Бобров.

• Второе мнемоническое правило: каждой цифре числа можно поставить в соответствие слово с таким же количеством букв, например: 3,1415 = что (3) я (1) знаю (4) о (1) круге (5).
• Мы придумали свое правило запоминания числа: пропеть его на подобранный нами мотив песни «Солнечный круг».

7. Мы решили на практике проверить, действительно ли отношение длины окружности к её диаметру равно числу π. Для этого мы взяли несколько разных окружностей, измерили их длину с помощью нитки, измерили диаметры с помощью линейки, нашли отношение длины окружности к диаметру для каждой окружности и сравнили полученные значения. Сделали вывод, что отношение длины окружности к её диаметру приближенно равно 3,06.

8. В процессе исследовательской работы нас заинтересовал вопрос, действительно ли так знаменито число π, как о нем пишут. Мы решили провести опрос жителей поселка и узнать, знают ли они об этом числе.

В опросе участвовало 42 человека. Приблизительный возраст от 30 до 70 лет. Среди опрашиваемых рабочие леспромхоза, продавцы, 3 учителя, покупатели в магазине, уборщица в отделе образования.

Оказалось, что 21 человек, что составляет 50 % опрашиваемых, знают или слышали, что есть такое число. Больше о числе знают мужчины (2/3 от всех мужчин). Один из мужчин рассказал нам, что число π используется в электронике, астрономии, строительстве. Число π следует учитывать при создании реальных материальных форм. В частности при создании сварных конструкций по типу поршневых.

Учителя ответили, что число π применяется в геометрии, тригонометрии при вычислении углов, космонавтике при расчете скорости и орбиты корабля, а также в других задачах по физике, географии и других науках.

Уборщица в отделе образования услышала по телевизору и была удивлена, что 14 марта празднуют день рождения числа π, о котором она знает со школы.

Молодая женщина сказала, что это первые буквы очень плохой болезни.

И только один человек, к нашему удивлению, ответил, что такого числа вообще не существует.

9. Мы стали искать дополнительную информацию с помощью Интернет-ресурсов и увидели, что число π действительно является очень популярным. И уборщица из отдела образования не ошиблась: у числа π есть День рождения. 14 марта человечество отмечает Международный день числа «пи». Почему 14 марта? Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа «пи» – 3,1415926…

Существуют и Пи-клубы, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о числе Пи и пытаются разгадать его тайну.

Смешное и удивительное о числе π.

• В Индиане в соответствии с законом число π равно 4, а не 3, 1415…

Разве можно считать значение числа по изданному кем-то закону?

• Рекорд запоминания числа Пи принадлежит украинцу Андрею Слюсарчуку, который запомнил 30 миллионов знаков числа после запятой. Поскольку простое перечисление этого заняло бы целый год, то судьи проверяли Слюсарчука следующим образом - они просили его назвать произвольные последовательности числа Пи с любого из 30 миллионов знака. Сверялся ответ по 20-томной распечатке.

•  В 1998 году режиссером ДарреномАрновски был снят психологический триллер, который так и назывался - "Pi ". В фильме рассказывается про талантливого математика, который пытался найти и расшифровать универсальный цифровой код - 216-значное число, согласно которому изменяются все биржевые сводки.Это же загадочное число пытаются узнать преследующие его хасиды и финансовые аналитики Уолл-Стрит.

 •  В 2005 году певица Кейт Буш выпустила песню « Пи». В ней прозвучали 124 цифры из знаменитого числового ряда 3,141… Хотя Кейт Буш вряд ли примут в клуб фанатов Пи. В ее песне неправильно названо 25-е число последовательности, да и потом исчезли куда-то целых 22 цифры. 

Самые новые тайны числа.

• Число π отвечает за код в ДНК!
• Математики начали кампанию по замене числа π «пи» на значение τ «тау»!!!

Число π уже долгое время по праву считается самым важным числом в мире. Но некоторые математики считают, что «пи» уже отслужило свое, и пришло время отправить его на заслуженный отдых. Эксперты заявляют, что это число, константа отношения длины окружности к ее диаметру, ошибочно, и должно быть заменено альтернативой под названием «тау». По их словам, хотя само значение числа 3,14159265 является корректным, но ошибка состоит в приписывании связи этого числа со свойствами круга.

Они настаивают на необходимости изменения школьных учебников на новые, которые будут использовать тау, значение которой в два раза больше пи, и равно приблизительно 6,28.

Кроме того, они сообщили, что 28 июня отныне будет днем тау. "Все эти годы, когда мы использовали пи, то использовали неверное число", - сказал Кевин Хьюстон с математического факультета Лидского университета. "Просто Пи не самое подходящее число для проведения математических операций с кругом. Для этих целей корректней использовать 2π или тау".

Число π используется для вычисления длины окружности (ее можно узнать, если умножить диаметр на число пи), а также для вычисления ее площади (умножением пи на квадрат радиуса). Но сторонники тау утверждают, что поскольку в большинстве формул используется тау (или 2π), то именно оно должно занять место π в качестве константы круга.

"Математики не измеряют углы в градусах, мы измеряем их в радианах, а в круге содержится 2π радиан", - сказал доктор Хьюстон. "Это приводит к путанице и неразберихе. Если вы возьмете четверть круга, то он содержит четверть от 2π радиан, или 0,5π радиан. А если вы захотите подсчитать радианы в трех четвертях круга, то расчеты становятся еще запутанней. Это может вызвать замешательство".

"Насколько все упрощается, если взять тау вместо пи", - добавил доктор Хьюстон. "В круге содержится тау радиан, в полукруге будет половина тау радиан, в четверти круга - четверть тау и так далее. Становятся не нужными дополнительные расчеты".

Хьюстон считает, что это сделало бы высшую математику значительно проще и позволило бы лучше понять такие сложные темы как математический анализ.

Выводы:

• Проводя исследование информационных источников, мы выяснили, что число π не является ни целым, ни дробным. Наше предположение оказалось неверным.
• Нами не выявлена закономерность цифр.
• Подтвердилось наше предположение о том, что число π было введено тогда, когда  люди стали строить здания.
• Не подтвердилось предположение о том, что число π ввел греческий ученый Пифагор и что оно названо в его честь.
• В процессе изучения загадочного числа «пи» мы узнали, что 14 марта у этого необыкновенного числа день появления.
• Мы поняли, как несложно запомнить число, пользуясь некоторыми правилами запоминания.
• В старших классах мы сможем ещё глубже выяснить природу числа π, определить необходимую для вычислений точность числа π в разных сферах, классифицировать задачи с применением числа π, составить свои задачи.

Список литературы

1. Математика. 6 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.- 25-е изд., стер.- М.; Мнемозина, 2009.- 288 с.: ил.
2. htth://globalscierce.ru
3. htth://crow.academy.ru

Представление исследовательской работы

Наша исследовательская работа была представлена ученикам шестых классов школы на уроках математики и вызвала у них огромный интерес.

С результатами исследований мы выступили перед родителями на родительском собрании.

В марте 2012 года приняли участие в школьной учебно-практической конференции «Шаг в будущее».

Наша исследовательская работа заняла второе место в районной научно-практической конференции обучающихся 3 – 11 классов в секции «Юниор» для подростков 12 - 13 лет.