Исследовательская работа по теме: "Последовательность Фибоначчи"

Исследовательская работа «Числа Фибоначчи».

Работу выполнила:

Молькова Алена

Ученица 9-В класса

Работу проверила:

Шаркова М.А.

Учитель высшей

квалификационной

категории

2013г.

План:

1. Введение
2. Числа Фибоначчи

1. Леонардо Пизанский и его время
2. Последовательность Фибоначчи
3. Связь чисел Фибоначчи с золотым сечением
4. Прямоугольники Фибоначчи
5. Особенности чисел Фибоначчи
6. Числа Фибоначчи в природе

1. Заключение.

1. Введение.

     Математика постоянно имеет дело с бесконечностью. Так, самое простое понятие как натуральный ряд чисел 1,2,3,…-бесконечен. С его помощью описывают бесконечные объекты, в частности числовые последовательности.

Числовая последовательность элементов   задана в том случае, когда каждому натуральному числу поставлен в соответствие элемент аn некоторого множества. Так как an – это числа, то и последовательности числовые.

      Числовые последовательности можно задавать различными способами:

-описательным, когда мы просто объясняем из каких элементов и в каком порядке построена рассматриваемая нами последовательность;

-формульный, когда необходимо приводить одну или несколько формул для  вычисления элементов последовательности

-рекуррентный, когда первые k членов задаются явно, а для нахождения остальных задают способ, например, формулу.

      Третий способ меня заинтересовал больше остальных, т.к. на уроке  он прозвучал, а примером задания была последовательность Фибоначчи, которой в учебнике нет.

1. Числа Фибоначчи.

1. Леонардо Пизанский и его время.

      Леонардо(1180-1240) родился в большом итальянском городе-республике Пизе. Его называют Фибоначчи, т.е. сын Боначчи (Доброго). Отец Леонардо был нотариусом. После рождения сына его отправили со служебным поручениями в Буджи(ныне Алжир), где он выполнял обязанности консула. В 12-летнем возрасте отец познакомил Леонардо с делами, в первую очередь с коммерческими расчётами.

      Леонардо путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии и Провансу и везде старался познакомиться со способами счёта. Вернувшись в Пизу Леонардо самым серьёзным образом занялся математикой.  Среди современников ему не было равных. И в последующие три столетия нельзя назвать ни одного учёного такого масштаба. Он познакомился с «началами» Евклида и, соединив эти знания с полученными в путешествиях, написал в 1202 г. «Книгу абака», в которой рассмотрел вопросы   алгебры, геометрии и теории чисел. Именно в этой книге впервые приведено решение известной задачи о кроликах.

          2.2. Последовательность Фибоначчи.

      Задача: Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

      Ответ даётся в виде суммы ряда: 1+1+2+3+5+8+…+141.

      Каждый член этого ряда, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих:

аn+1=аn+an-1.

Последовательность в дальнейшем стали называть последовательностью Фибоначчи, а способ задания – рекуррентный.

          2.3. Связь чисел Фибоначчи с золотым сечением.

      Эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на два сегмента так,  что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом.

Этот коэффициент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение. В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Если взять последовательные пары из ряда Фибоначчи и  делить большее число из каждой пары на меньшее, то результат вычислений будет постепенно приближаться к золотому сечению.    

                                                      и т. д.

      Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Примером может быть число костей туловища, черепа и конечностей. Так, в скелете туловища различают 3 костных системы: позвоночник, реберный его отдел и грудину. Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; от них отходят 12-13 пар ребер. Мозговой череп состоит из 8 костей. В верхней и нижней челюстях с каждой стороны имеется по 8 альвеол и соответственно - корни 8 зубов. Скелет верхней конечности состоит из 3 частей (плечевой, костей предплечья и костей кисти). Кисть включает 8 костей запястья, 5 пястных костей и кости 5 пальцев. Каждый палец, кроме большого, имеет по 3 фаланги. Таким образом, морфогенез кисти, включающей два соседних члена числового ряда Фибоначчи - в частности, 8 костей запястья и 5 костей пясти - приближается к золотому сечению 1,618, поскольку 8/5=1,6.

        2.4. Прямоугольники Фибоначчи .

      Но самое интересное начинается, если объединить полученные знания.

аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.

2.5. Особенности чисел Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…

                                                      144                   610

1. каждое третье число Фибоначчи четно; 
2. каждое четвертое кратно 3; 
3. каждое пятнадцатое оканчивается нулем; 
4. два соседних числа Фибоначчи взаимно просты. 

         2.6. Числа Фибоначчи в природе .

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них  филлотаксис (листорасположение) — правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой - против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

      Числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую ряду Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Спиралью закручивается ураган.

Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

1. Заключение.

      На этом, пожалуй, я завершу своё исследование, хотя точно понимаю, что его можно продолжить. Например, понимая связь последовательности Фибоначчи с золотым сечением, можно проанализировать создание скрипки или произведения  великих композиторов, или строение Солнечной системы и астрологию. Абсолютно уверена, что математика – интереснейшая наука. Мне есть, что учить, исследовать, понимать, а значит  я смогу реализовать свои цели и способности.

Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред. М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. Стр.75, 454-456.
2. 1001 вопрос для очень умных (с подсказками для остальных). – М.:РИПОЛ КЛАССИК, 2002.
3. Интернет-ресурсы.