Вычисление некоторых конечных сумм

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «ПОРТФОЛИО»

Тема работы:

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КОНЕЧНЫХ СУММ

                                      Выполнила: Садыков Ильшат, ученик 9 класса Крындинской

                                      средней    общеобразовательной  школы Агрызского

                                      муниципального района      республики Татарстан

                                       Научный руководитель: Вахитова Альбина Миннахметовна,

                                        учитель математики первой категории Крындинской СОШ

                                      Бурганиев Ринат Габдрахманович, учитель физики и математики

                                      первой  категории Крындинской СОШ

2010

Рассмотрим примеры на вычисление  сумм некоторых дробных выражении.  Помимо того, что они интересны сами по себе, при их разборе мы познакомимся с некоторыми приемами, которые пригодятся и дальнейшем.

    Пример 1. Вычислите сумму

    Понятно, что приводить дроби к общему знаменателю - трудоемко и бесполезно. Заметим, что не случайно знаменатели всех членов ряда заданы в виде произведений двух соседних натуральных чисел. При каких операциях с дробями нам приходится перемножать знаменатели? Чаше всего, при выполнении сложения или вычитания дробей. Так как числитель каждой дроби равен 1, то вряд ли мы сможем получить такую дробь путем сложения дробей, а вот вычитание дробей может привести к успеху. Действительно, обозначим искомую сумму S, тогда:

   Другими словами, мы ввели следующее соотношение

Обратите внимание, что в данном случае n – натуральное число, но полученное равенство                       справедливо для любых дробных выражений, знаменатель которых отличен от нуля!

   Пример 2. Вычислите сумму

    Ситуация похожая, потому имеет смысл попробовать сходный метод, т.е. попытаться получить некоторое представление дроби, знаменатель которой является произведением трех последовательных натуральных чисел, в виде разности двух других дробей. Можно попробовать несколько вариантов, пока не возникнет естественная гипотеза

Проверим её, выполнив вычитание в правой части равенства. Увидим, что наша гипотеза неверна, но полученный результат сразу позволит ее скорректировать. Оказывается, что выполняется равенство

Обозначим искомую сумму  S и воспользуемся полученным отношением

Пример 3. Вычислите сумму

(Напомним, что для любого натурального n его факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. n!=1•2 •…• (n - 1)n.)

Сразу понятно, что прием, использованный уже

дважды, здесь не поможет. При суммировании такою ряда чисел «срабатывает» другой метод, с которым мы еще встретимся в дальнейшем. Обозначим искомою сумму S и прибавим к ней дробь          причем сложение начнем выполнять с конца. Последовательно получим

Таким образом,  , т.е.               . Использованное нами соотношение в общем виде выглядит так:                        

Отметим также, что исходное задание можно было сформулировать иначе: «Докажите, что сумма такого ряда меньше 1».

Пример 4. Вычислите сумму

     Вычисление таких сумм, по-видимому, знакома многим школьникам 8-9 классов, но без этого примера «картина» будет явно не полной.  

     В таких случаях выручает основное свойство дроби: можно умножить числитель и знаменатель каждого слагаемого на одно и то же число, отличное от нуля, а именно, на число, сопряженное знаменателю. Другими словами, можно использовать соотношение

Тогда искомая сумма S равна

Отметим, что и в этом случае задание можно сформулировать в виде неравенства, попутно обобщив его, например, так: «Докажите, что для ,любого натурального n выполняется неравенство

В заключение следует сказать, что при вычислении многих сумм можно поступать совсем по-другому. А именно, рассматривая частные случаи, пытаться угадать результат для случаи п слагаемых, а затем доказывать полученною гипотезу пользуясь методом математической индукции. Но это, как принято говорить, «совсем другая история».

Литература.

1. А.Д. Блинков,  ЛМШ «Интеллектуал»
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Дополнителҗные главы к школҗному учебнику.
3. 1. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ.
4.  М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: «Просвещение», 1992.

5.  Л.Ф. Пичугин. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7 – 9 классов средней школы. – М.: «Просвещение», 1990.