Лекция №3. Моделирование физических явлений и процессов.

Лекция №3

План:

1. Моделирование физических явлений и процессов.
2. Практика реализации идей.

1 Моделирование физических явлений и процессов.

   Изучение физики никогда не обходится без компьютера. Использование различных компьютерных технологий позволяет нам понять очень сложные физические процессы: заглянуть внутрь атома, рассмотреть процесс кипения жидкости, смоделировать прохождение электрического тока в проводнике, решать сложные задачи.

Реальные объекты и явления материального мира чрезвычайно сложны. Человеческое сознание не в состоянии охватить все свойства этих объектов и связи между ними. По этой причине в процессе описания и изучения реальных объектов человек вынужден упрощать их свойства, т. е. заменять реальные объекты их моделями. В широком смысле любой образ какого-либо объекта, в том числе и мысленный, называют моделью.

Моделированием называется целенаправленное исследование явлений, процессов или объектов путем построения и изучения их моделей.

   Любой метод научного исследования базируется, по существу, на идее моделирования. При этом различают теоретические методы, для которых используются различного рода знаковые, абстрактные модели, и экспериментальные методы, для которых используют предметные модели. Предметное моделирование предполагает проведение реального физического эксперимента или построение макета, имитирующего реальный эксперимент. В ряде случаев предметное моделирование требует создания сложных и дорогостоящих установок, что не всегда оправдано.

На всем пути теоретического моделирования, начиная от выбора модели и интерпретации результатов, существует целая группа сложных проблем. Основные проблемы следующие:

1.   Создание    физической   модели    путем    идеализации содержания реальной задачи.

2.   Создание    математической    модели,    описывающей физическую модель.

3.   Исследование математической модели.

4.   Получение, интерпретация и проверка результатов.

 Физические модели.

Физика как наука о природе, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира, также базируется на моделях объектов материального мира. Эти модели характеризуются определенными понятиями: пространство, время, система отсчета, масса, скорость, импульс, электрическое или магнитное поле, температура, влажность и другие.

При построении физической модели необходимо в системе материальных объектов выделить и "идеализировать" физические тела, поля, условия движения, взаимодействия, ввести физические величины, характеризующие свойства объектов, сформулировать физические законы, описывающие связь между этими понятиями и взаимодействия между материальными объектами. При построении физических моделей можно выделить три этапа.

Этап 1. Моделирование полей и вещества.

• рассматриваемый объект представляет собой материальную точку;

 • рассматриваемое тело является абсолютно твердым;

 • рассматриваемое тело является абсолютно упругим;

• электрическое поле, в котором расположены тела, является постоянным и однородным;

• жидкость, текущая в трубе является несжимаемой и не имеет вязкости;

 • газ в данном объеме является идеальным газом.

Этап 2. Моделирование условий движения и взаимодействий реальных объектов в рамках выбранных моделей полей и вещества для рассматриваемых реальных систем.

Например:

• движение происходит в инерциальной системе отсчета;

 • удар является абсолютно упругим;

• тело движется при условиях, когда трение отсутствует;

• сила трения не зависит от скорости;

• материальная точка движется прямолинейно, равноускоренно;

• деформации тела являются линейными;

 • силы взаимодействия консервативны;

• система взаимодействующих тел замкнута;

• процесс расширения газа является адиабатическим;

 • электромагнитная волна является плоской и монохроматической.

Этап 3. Формулировка физических законов, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, входящих в рассматриваемую физическую систему.

Например:

 • движение тела подчиняется второму закону Ньютона;

• взаимодействие материальных точек подчиняется закону Всемирного тяготения;

 • деформации тела подчиняются закону Гука;

• сила, действующая на движущийся электрический заряд, описывается законом Лоренца.

Подобного рода теоретические модели, включающие в себя модели вещества, поля, условия движения и взаимодействий, а также законы этих взаимодействий будем называть физическими моделями объекта или процесса.

Решение любой физической задачи теоретическим путем есть математическое моделирование. Однако возможность теоретического решения задачи ограничивается степенью сложности ее математической модели. Математическая модель тем сложнее, чем сложнее описываемый с ее помощью физический процесс, и тем проблематичнее становится использование такой модели для расчетов.  В простейшей ситуации решение задачи можно получить "вручную" аналитически. В большинстве  же практически важных ситуаций найти аналитическое решение не удается из-за математической сложности модели. В таком случае используются численные методы решения задачи, эффективная реализация которых возможна только на компьютере.

  Иначе говоря, физические исследования на основе   сложных математических моделей производятся путем компьютерного математического моделирования. В связи с этим в XX веке наряду с традиционным делением физики на теоретическую и экспериментальную возникло новое направление —  "вычислительная физика".

   Исследование на компьютере физических процессов называют вычислительным экспериментом. Тем самым вычислительная физика прокладывает мост между теоретической физикой, из которой она черпает математические модели, и экспериментальной физикой, реализуя виртуальный физический эксперимент на компьютере. Использование компьютерной графики при обработке результатов вычислений обеспечивает наглядность этих результатов, что является важнейшим условием для их восприятия и интерпретации исследователем.

 В физике существует достаточное количество процессов, которые не могут быть рассмотрены на уровне математического аппарата, используемого в школе, но, тем не менее, они представляют интерес для изучения и понятны для большинства школьников. В первую очередь речь идет о процессах, в которых с течением времени меняются обычно неизменные параметры.

Примерами являются: затухающие механические и электромагнитные колебания, выравнивание темпера тур при теплообмене, истечение жидкости при изменяющемся уровне этой жидкости и др.

Моделируются такие явления с помощью метода, при котором изменения физических величин рассмат риваются за достаточно малый промежуток времени, когда отдельные изменяющиеся параметры можно считать постоянными. При этом, используя возможности электронной таблицы, можно шаг за шагом рассчитать все необходимые характеристики процесса.

Такой подход предполагает следующие этапы расчета:

1.  Составление математических уравнений процесса.
2.  Определение начальных условий.
3.  Составление алгоритма и цикла расчета.
4.  Оформление расчета в таблице.
5.  Построение диаграмм.
6.  Исследование адекватности модели и границ ее применимости.

1. Практика реализации идей.

Модель физического процесса.

Определение температуры воды при ее нагревании в зависимости от времени. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

(см. вложения к лекции (excel, лист 1, лист 3))

Предлагаю решить задачу о нагревании воды, используя моделирование процесса с помощью тренда в Excel .

Введем таблицу значений температуры воды при нагревании в зависимости от времени.

Необходимо вычислить температуру воды, которая была через 6 минут после начала нагревания.

6 минут – это промежуточное значение, которого нет в таблице, поэтому нам нужно рассмотреть значение температуры как значение некоторой функции дискретного ряда.

 Представим этот ряд графически плавной кривой, т. е. определим аналитическую зависимость температуры от времени, например в виде полинома, экспоненты, линейной зависимости и т. д.  Полученная аналитическая зависимость называется уравнением регрессии, а ее график – линией тренда. 

Создадим диаграмму в виде графика. Нанесем на диаграмму – график линию тренда.

(Диаграмма,     Добавить линию тренда)

Excel  дает возможность использовать несколько типов линий тренда: линейный, логарифмический, полиномиальный, степенной, экспоненциальный. В нашем случае лучшим вариантом будет полиномиальная зависимость 6-й степени.

(Вкладка -     Тип,       Полиномиальная зависимость 6-й степени)

(Вкладка – Параметры,  Показывать уравнение на диаграмме,   Поместить на диаграмму величину достоверности.)

Далее: полученную формулу копируем в соседнюю ячейку. Вводим необходимое время 6 мин, компьютер нам выдает значение температуры.  

Все очень просто!!!

   Кроме того можно смоделировать любой процесс, например, для механического движения и на основе этой модели решить любую задачу. Вот одна из них. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

- Задаем исходные данные: начальную скорость и угол.

- Строим график движения.

     - Изменяя скорость и угол, мы можем увидеть, какие изменения произойдут при движении данного тела.

Опять задача решается быстро и просто!

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое математическое моделирование в физике?
2. Виды компьютерных моделей.
3. Как производятся физические исследования на основе моделей?
4. Что подразумевается под моделированием движения какого-либо тела?
5. Этапы создания физической модели.
6. Этапы создания модели в электронных таблицах.

Приложение №3.  

  Моделирование свободного падения тела.

Примем, что тело массой m падает с высоты h с начальной скоростью V0.

На тело действует сила тяжести F=mg, направленная вниз и сила сопротивления среды Fc= k1v+k2v2. Падение тела описывается 2 законом Ньютона: ma=mg-Fc  в одномерной системе координат с осью х, направленной вниз, и с началом в точке начального падения тела.

Сила сопротивления среды Fc= k1v+k2v2 зависит от скорости тела и его сечения, k1 - коэффициент Стокса, зависит от вязкости среды, большая величина; k2 - коэффициент лобового сопротивления, зависит от площади сечения тела, маленькая величина. Если скорость не очень большая, то доминирует линейная составляющая, квадратичной же составляющей можно пренебречь, при более высоких скоростях напротив, резко возрастает квадратичная составляющая, а линейной составляющей можно пренебречь.

   Что подразумевается под моделированием движения какого-либо тела? Это означает, что в каждый момент времени ti мы должны знать положение тела в пространстве или пройденный им путь x=x(t), его скорость v=v(t) и ускорение a=a(t), которые будут являться функциями от времени.

В начальный момент времени

 t0=0, x0=0, v0=0, a0=g

  Для построения расчетной модели предположим, что в течение малого промежутка времени Δt=τ движение равноускоренно, тогда можно использовать известные законы прямолинейного равноускоренного движения.

x=x0+v0τ +aτ2/2

 v=v0+aτ

 a=const

Теперь можно построить такой вычислительный процесс:

t0=0,        x0=0,        v0=0,        a0=g

t1=t0+τ,        x1=x0+v0+a0τ2/2        v1=v0+a0τ        a1=(mg-k1v1-k2v12)/2                          

и т.д., далее пошли итерации, в i момент времени

ti=t0+iτ,        xi=xi-1+vi-1+ai-1τ2/2        vi=vi-1+ai-1τ        ai=(mg-k1vi-k2vi2)/2

Процесс закончен, когда xi=h

Осталось определить задачи исследования и соответственно определить параметры модели для этих целей.

     Задача о безопасности парашютиста. Пусть парашютист прыгает с высоты h м. Определить необходимый радиус парашюта, другими словами, нам нужно подобрать коэффициент сопротивления k2, при котором имеем безопасное приземление. Кстати, оценить скорость безопасного приземления можно из следующих соображений. С какой высоты прыжок человека на землю безопасен? С первого этажа даже ребенку не страшно, а со второго надо постараться удачно приземлиться. Значит, можно взять среднюю высоту между первым и вторым этажом, скажем, 3 метра. Тогда при свободном падении тела за время

 t=v2h/g=0.8 сек

 величина скорости приземления

 Vp=g*t=10*0.8=8 (м/сек.)

 Другими словами, скорость безопасного приземления - 8-10 м/с.

Таким образом, параметрами модели будут являться:

статические параметры модели:

h - высота, с которой падает тело;

Vн - начальная скорость падения, в частности, Vн=0;

m - масса тела;

g - ускорение свободного падения;

динамические параметры для моделирования:

τ - шаг по времени,

k - коэффициент сопротивления.

   Быстрее всего протекает процесс без сопротивления (нижняя оценка), и наоборот, самый медленный процесс, когда ускорение равно нулю, т. е. движение, установившееся и происходит с постоянной скоростью, например Vp. В качестве теста зададим k=0, тогда расчеты должны совпадать с формулами закона равноускоренного движения при a=g. Если k=mg, то практически мгновенно движение устанавливается (а=0) и тело либо зависает (V=0), либо медленно опускается с постоянной скоростью.

  Подобное проверочное тестирование в случае удачи дает основания к уверенной работе с моделью. Теперь можно проводить эксперименты с моделью. Попытаемся подобрать k таким образом, чтобы скорость установления была близка к значению 10 м/с.

Такая модель легко срабатывает в программе  Excel.

                                              ПРИЛОЖЕНИЕ №4.

     ПРИМЕР ПРОВЕДЕНИЯ УРОКА ПО ТЕМЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА  в Microsoft Excel»

На первом этапе объясняется суть математической модели (см. выше). Ученики 9 — 11-х классов хорошо знакомы с силой упругости и достаточно легко смогут принять и силу сопротивления, зависящую от скоро сти. Также они знакомы со вторым законом Ньютона и с формулами для определения координаты и скоро сти, когда промежуток времени достаточно мал. Пос ле этого определяем постоянные параметры т — 1 кг, к = 1Н/м, (3 = 0,03 Н • с/м, начальные значения ус корения, скорости (нулевые) и координаты (0,1 м) и задаем промежуток времени t = 0,25 с. Затем разра батываем алгоритм расчета:

1. Нахождение ускорения.
2. Определение скорости.
3. Определение координаты.
4. Нахождение ускорения и т.д. После этого переходим к работе в ЭТ.

В ячейки Al: G1 вводим имена ячеек соответствен но ttt, ааа, vvv, ххх, mmm, kkk, bbb — будущие имена ячеек второй строки. Через меню ЭТ присваи ваем ячейкам второй строки в диапазоне А2 : G2 эти имена. Затем в эти же ячейки вводим соответст вующие значения.

В третьей строке соответственно по столбцам рас ставляем заголовки: t, a, v, х.

В четвертой строке оформляем расчет для момента времени t = 0. В ячейки этой строки вводим следую щие значения и формулы (напомним, что формула в Microsoft Excel начинается значком "=" ).

А4:    О

В4: =kkk/mmm*xxx-bbb/mmm*vvv

С4: =vvv+B4*ttt

D4: =xxx+C4*ttt

В пятую строку ЭТ записываем формулы для расчета физических величин в очередной промежуток времени и копируем их вниз примерно до 105-й строки, орга низуя повторяющиеся, цепочные вычисления.

На этом этапе целесообразно использовать такие возможности ЭТ, как показ зависимых и влияющих ячеек. (Вменю "Сервис"|"Зависимости".)

После того как сформирована область вычислений (прямоугольник А4 : D105 ), можно выделить эти ячей ки вместе с заголовками третьей строки и построить точечный сглаженный график.

Мастер диаграмм автоматически построит три гра фика, иллюстрирующие зависимость ускорения, скоро сти и координаты от времени (см. рис. 1).

Далее можно обсудить полученные результаты и про вести несколько "экспериментов". Например, можно из одной диаграммы получить несколько путем копи рования исходной и удаления лишних рядов. Удалив ряды для а и v, можно исследовать поведение коорди наты в зависимости от массы тела, коэффициента жес ткости и коэффициента сопротивления.

Рис. 1. Построение графиков изменения ускорения, скорости и координаты

Как известно из курса физики, период колебаний

пружинного маятника T= 2*n*SQR(k/m). Меняя значение т или к, можно получить наглядное подтверждение та кой зависимости.

Очень интересно исследовать зависимость характера колебаний от коэффициента трения, когда они изме няются от гармонических до затухающих за один пе риод. Меняя значение шага времени (параметр ttt), можно определить границы применимости модели и выяснить, что при достаточно большом промежутке вре мени модель перестает работать. Если же одну диа грамму разделить на три и положить Ь = 0 (гармони ческие колебания), то можно проследить за фазами ко ординаты, скорости и ускорения.

В качестве закрепления навыков работы с ЭТ можно предложить учащимся, например, продлить диапазон расчета (увеличить число строк) и соответственно уве личить область построения диаграммы.

Применение Visual Basic for Application при моделировании в ЭТ Microsoft Excel, или "Живая физика" своими руками.

ЭТ Microsoft Excel обладает рядом преимуществ, по зволяющих во многих случаях обойтись без програм мирования при создании различных вычислительных мо делей процессов и явлений, изучаемых в различных школьных дисциплинах.

К таким преимуществам относятся, во-первых, мощный вычислительный аппарат, во-вторых, возмож ность построения самых разнообразных видов диа грамм и, в-третьих, возможность использования Visual Basic for Application (далее — VBA). Грамотное при менение этих преимуществ позволяет достаточно быстро создавать "живые картинки", иллюстрирую щие различные процессы.

Действительно, при использовании ЭТ нет необхо димости разрабатывать интерфейс программы, органи зовывать вычисления с использованием сложных про цедур для построения графиков и создания рисунков.

При построении диаграмм в качестве исходных дан ных достаточно создать несколько расчетных рядов, ос нованных на уравнениях, описывающих какое-нибудь физическое явление. Затем для оживления этой диа граммы можно каким-либо образом изменять парамет ры, занесенные в ЭТ.

Это легко сделать, используя VBA. В качестве иллюс трации к сказанному предлагается методика создания модели наложения двух волн и модели атома. Обе мо дели могут быть созданы учащимися в течение одного-двух уроков, в зависимости от уровня подготовки клас са. Учащиеся должны знать вычислительные возмож ности ЭТ, уметь строить диаграммы и, разумеется, знать элементарные команды языка Basic или Visual Basic.

Модель волнового движения. Наложение волн

Известно, что гармонические колебания точки опи сываются уравнением

у = Yo • sin(wt) = Yo • sin(2nt/T),

где у — координата точки,

Y0  — амплитуда колебаний,

 t — время,

w — частота колебаний, Т — период колебаний. Особенность волнового движения заключается в том, что вследствие упругого взаимодействия колебания со седних точек происходят по такому же закону, но с оп ределенным запаздыванием, причем степень запаздыва ния зависит от расстояния х этих точек от исходной.

Этому факту уравнение обязано дополнительным слагаемым, а именно: для каждой точки, находящейся на расстоянии х, уравнение колебаний имеет вид:

у = Уо* sin(2rt£/T — 2тсх/Х), где X — длина волны.

Таким образом, для какого-либо момента времени всегда можно найти значение у для любой точки волны, находящейся на расстоянии х от источника. Пусть t имеет фиксированное значение. Тогда в ЭТ можно построить столбцы для формирования волны на диаграмме. Для этого:

1. в строке 1 вводим обозначения ячеек (dx — шаг расчета, ttt — текущее время, пока оно постоян но, Т — период, "Длина 1", "Длина 2" — длины двух волн, одна из которых будет двигаться впра во, другая — в обратную сторону),
2. в строку 2 вводим соответствующие числовые значе ния, а именно: dx=0 . 01, ttt=0 (начальный момент времени), Т=2,"Длина  1"  =  "Длина  2"  =  0,5,
3. в строке 3 напечатаем обозначения расчетных столб цов: абсциссы точек, "1 волна", "2 волна" — ординаты первой и второй волн соответственно, "Сумма" — результат наложения двух волн,
4. в ячейке А4 ставим 0,
5. в ячейки А5: А10 4 вводим формулу = Верхняя ячей ка + шаг (например, для А7 должно быть =А6+$А$2),
6. в четвертой строке, начиная со столбца в, вводим следующие формулы:

столбец В:

=10*Sin(6,2 8*$B$2/$C$2-6,2 8*A4/$D$2),

столбец С:  

=10*SIN(6,28*$B$2/$C$2+6,28*A4/$E$2),

столбец D:

=СУММ(В4:С4) .

• Затем полученные формулы дублируем вниз до 104-й строки.

Выделив диапазон A3 : D104, строим диаграмму типа "Точечный сглаженный график" и получаем график трех волн, одна из которых является суммой двух других.

Следующий этап — "оживление" графика. Для этого необходимо в ячейке В 2 менять время. В этом случае будет происходить перерасчет по столбцам и соответствен но меняться изображение на диаграмме. Изменение вре мени в определенном интервале и с фиксированным ша гом будем производить с помощью VBA. Используя команду меню "Вид"|"Панели инструментов", извлекаем панель "Элементы управления" и помещаем на лист кноп ку CommandButtonl. Дважды щелкнув по кнопке, попа даем в окно для написания кода процедуры

Private   Sub  CommandButtonl_Click()

Здесь и пишется несложная программа на Visual Basic, смысл которой достаточно ясен. Она выглядит следую щим образом:

1. Private Sub CommandButtonl_Click()
2. For i = 1 To 100
3. t = 0.05 * i
4. Cells (2, 2) = t
5. DoEvents
6. Next i
7. End Sub

Нумерация строк введена нами только для обсужде ния операторов.

В четвертой строке происходит передача значения t в ячейку В 2 (вторая строка, второй столбец), а в пятой строке находится команда, которая дает возможность ЭТ произвести перерасчет листа и изменить изображе ние на диаграмме.

Вернувшись через панель задач в лист ЭТ, выключаем в панели элементов управления режим конструктора и щелкаем по кнопке запуска процедуры (см. рис. 2). Волны приходят в движение. Модель ожила.

                              Модель атома

При создании этой модели необходимо с помощью диаграммы изобразить орбиты электронов, ядро и элек трон, движущийся по одной из орбит. Для этого лучше всего использовать точечный график.

Сначала заполним ряды ЭТ для формирования ор бит, используя область ячеек А4 :1 2 5. Известно, что изображение окружности можно получить с помощью уравнения х = Rcosf, у = Rsinf, где х и у — координа ты точки, R — радиус орбиты, f— угол. Задавая значе ние утла от 0 до 2n с шагом n/10, вычисляем при опре деленном значении радиуса значения х и у. Поэтому в ячейки А 4 : А2 5 заносим значения угла f

Прямоугольник В4:125 предназначен для вычисле ния рядов х и у для четырех орбит с радиусами 1, 4, 9, 16 (что соответствует теории атома Бора).

Чтобы изобразить ядро, в ячейки Е1 и F1 заносим нули.

Для задания координат электрона используем ячей ки А1: В1. Значения этих координат будем определять с помощью уравнения окружности, а их изменение осуществлять с помощью VBA. Таким образом, поря док заполнения таблицы следующий:

1. в ячейки El: F1 вводим 0;
2. в ячейки А4 :14 вводим заголовки — f, xl, yl, х2, у2, хЗ, уЗ, х4, у4;
3. в ячейку А5 вводим 0, а в ячейку А6 — формулу

 =А5+6.2 8/20 и дублируем эту формулу до 25-й строки;

4. в ячейки пятой строки вводим следующие формулы:

    В5:        =COS(A5)

С5:        =SIN(A5)

D5:        =В5*4

Е5:        =С5*4

F5:        =В5*9

G5:        =С5*9

Н5:        =В5*16

15:        =С5*16

•        Дублируем эти формулы до 25-й строки.

Затем, выделив диапазон ячеек В5:С25, строим то чечный график для одного ряда (для одной орбиты) и, используя опции меню диаграммы, добавляем в этот график ряды для других орбит.

Изображения ядра и электрона формируются отдель ными рядами и представляют собой точки, которые можно, изменив их размеры и форму маркера, сделать похожими на сферы.

Кроме того, необходимо изменить формат осей, уб рав в опции "шкала" режим автоподбора минимума и максимума, и установить эти значения равными соответственно —16 и 16.

Рис. 3. Таблица движения электрона с соответствующей диаграммой

Теперь надо заставить электрон двигаться по одной из орбит, например, по второй. Ей соответствует ряд (А1:В1). Используя панель элементов управления на рабочем листе, создаем элемент CommandButtonl и, дважды щелкнув по элементу, переходим в окно VBA. Процедура должна выглядеть следующим образом:

Private   Sub  CommandButtonl_Click()

For   f  =   0   To   6.28   Step   0.1

Cells (1,   2)   =   4   *   Sin(f)

Cellsd,    1)   =   4   *   Cos(f)

DoEvents        ,

Next   f

End  Sub

Как видим, в процедуре формируется цикл для пере менной f и вычисляются координаты окружности, по которой будет двигаться электрон. Значения этих координат пересылаются в соответствующие ячейки ЭТ. В дальнейшем, используя коды VBA, можно изобразить переход электрона с орбиты на орбиту, а на другом графике показать энергетические уровни с соответствую щими переходами. Возможны и другие улучшения на шей "живой модели".

                                                 ПРИЛОЖЕНИЕ №5.       

 Учебные проекты    на Macromedia Flash.

Иллюстрация механических колебаний на примере математического маятника.        

Маятник Фуко служит для демонстрации вращения Земли вокруг своей оси. На длинном тросе подвешен тяжелый шар. Он качается над круглой площадкой с делениями. И когда проходит некоторое время, зрители видят, что маятник качается уже над другими деления ми круга. Создается впечатление, что маятник повер нулся, стал качаться в другой плоскости. На самом же деле это впечатление ошибочное. Маятник качается в прежней плоскости, никуда он не повернулся, он строго сохраняет плоскость своего качания, ведь никакие по сторонние силы не пытались сдвинуть его в сторону со своей дороги. Почему же все-таки он очутился над дру гими делениями круга? Потому что повернулся сам круг, повернулся вместе с Землей.

Модель маятника Фуко

Вашему вниманию предлагается модель математического маятника.  С помощью  программного обеспечения

" Macromedia Flash" можно создать наглядные электронные пособия к некоторым темам, входящим в школьные учебники. Такой учебный проект можно разрабатывать с учениками в помощь колле гам - учителям-предметникам.

И тут я увидел Маятник.

Шар, висящий на долгой нити, опущенной с воль ты хора, в изохронном величии описывал колебания.

Я знал — но и всякий ощутил бы под чарами мер ной пульсации, — что период колебаний определен от ношением квадратного корня длины нити к числу n, которое, иррациональное для подлунных умов, пред лицом божественной Рацио неукоснительно сопряга ет окружности с диаметрами любых существующих кругов, как и время перемещения шара от одного полюса к противоположному представляет резуль тат тайной соотнесенности наиболее вневремен ных мер: единственности точки крепления — двой ственности абстрактного измерения — троичнос ти числа п — скрытой четверичности квадратного корня — совершенства круга.

Еще я знал, что на конце отвесной линии, восста новленной от точки крепления, находящийся под маятником магнитный стабилизатор воссылает команды железному сердцу шара и обеспечивает вечность движе ния: это хитрая штука, имею щая целью перебороть сопро тивление Материи, но которая не противоречит закону Фуко, напротив, помогает ему проя виться, потому что помещен ный в пустоту любой точеч ный вес, приложенный к концу нерастяжимой и невесомой ни ти, не встречающий ни сопро тивления воздуха, ни трения в точке крепления, действи тельно будет совершать регу лярные и гармоничные колеба ния — вечно.

Умберто Эко. "Маятник Фуко"

повернулся вместе с Землей.

Проделайте такой опыт. При вяжите к карандашу нитку с гру зиком — например, с гайкой. Положите на стол линейку и, дер жа карандаш горизонтально, под толкните маятник, чтобы он ка чался вдоль линейки. Начните по степенно поворачивать карандаш в горизонтальной плоскости. Вы убедитесь, что поворот каранда ша не повлиял на маятник, он будет по-прежнему качаться вдоль линейки. Во время этого опыта не должно быть ветра, сквозняка, которые могли бы оказать влияние на маятник.

А теперь сделайте модель маятника Фуко. Можно пе ревернуть вверх ногами табуретку и укрепить на концах двух ее ножек, по диагонали, какую-нибудь деревянную палку или металлическую трубку, а к середине ее привя зать маятник. Заставьте его качаться так, чтобы плоскость его качания проходила между ножек табуретки. Медлен но поворачивайте табуретку вокруг ее вертикальной оси, и вы заметите, что теперь маятник качается уже в другом направлении. На самом деле он качается все также, а изменение произошло из-за поворота самой табуретки, которая в данном опыте играет роль нашей Земли.

Можно и в домашних условиях проделать опыт не только с моделью, но и с настоящим маятником Фуко. Но где найти помещение с потолком не ниже хотя бы пяти метров?

Самым известным таким помещением до 1987 года был Исаакиевский собор в Ленинграде.

Вот как это описывается в заметке Дмитрия Шериха в "Санкт-Петербургских ведомостях" (см. http:// www.spbvedomosti.ru ).

Начало всей этой истории положил француз Жан Бернар Леон Фуко, живший в середине XIX века. Имен но он решил доказать и продемонстрировать враще ние Земли. И придумал устройство, которое затем в гигантских размерах было повторено в Исаакиевском соборе. Маятник качается из стороны в сторону — и постепенно отклоняется от первоначальной оси своего движения. Отклоняет его сила вращения Земли.

Ленинградцы наверняка слышали о вращении Зем ли и до 1931 года. Однако все ли в это верили? В городе было множество действующих храмов, религиоз ное воспитание имело серьезное влияние на горожан. И многие были убеждены, что Земля плоская.

Немудрено, что власти, упорно боровшиеся с религи ей, стремились развеять предрассудки. Потому маятник Фуко в Исаакии ( отданном под антире лигиозный музей) было решено использовать на полную катушку. В первую апрельскую ночь опыт сопровождала лекция профессора Каменщикова, которую передавали по радио в другие города. А уж потом людской поток в Исаакий не иссякал: наверное, все ленинградцы хоть по разу, да наблюдали этот опыт. Одна из экскурсионных групп — на нашем снимке, сделанном в 1948 году.

В Исаакиевском соборе маятник Фуко висел до 1987 года. Облик его время от времени менялся: можно сравнить снимки 1948-го и 1936 годов, чтобы убедить ся в этом. Однако суть опыта оставалась прежней.

А потом в храме снова начались службы, и уникаль ный экспонат был перенесен в запасники. Так что нынешнее поколение молодых горожан этого опыта в Исаакии уже не увидит.

Теоретический минимум.

Приступая к созданию флэш-модели маятника, не лишне будет вспомнить о соответствующем теорети ческом материале из учебника физики.

Механические колебания — движения тел, повто ряющиеся точно или приблизительно через одинако вые промежутки времени. Колебания бывают:

1. Свободные — под действием внутренних сил ко лебательной системы. Например: математический маят ник, пружинный маятник.
2. Вынужденные — под действием внешних сил. Например: игла швейной машины, поршень двигателя внутреннего сгорания.

Для возникновения механического колебания силы трения должны быть малы (в физике "силы малы" означает, что ими можно пренебречь).

Гармонические колебания — периодическое изме нение физической величины в зависимости от време ни, происходящее по закону синуса или косинуса.

х = xmcos(wt + ф0)

Характеристики гармонических колебаний;

х — некоторая физическая величина в данный мо мент времени (в нашем случае это будет смещение);

хm — амплитуда — максимальное значение физи ческой величины;

w — циклическая частота — число колебаний за 2л: секунд;

v — частота колебаний — число колебаний за 1 с;

Т — период колебаний — промежуток времени, за который совершается одно полное колебание;

    ф — фаза колебаний определяет положение тела в данный момент времени;

ф0 — начальная фаза определяет положение тела в момент времени t = 0.

Эти физические величины связаны между собой сле дующим образом:

l. v= 1/Т

1. w = 2пw = 2п/Т

1. ф = wt + ф0

Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити. Имен но его модель мы и будем создавать.

Для математического маятника циклическая частота вычисляется по формуле: w = SQR(g/l) , где g — ускоре ние свободного падения, которое примерно равно g~ 9.8 м/с, 1 — длина нити математического маятни ка. Ну и соответственно период тоже можно вычислять по специальной формуле:

Т =2n/w=2n*SQR(l/g)   .

Теперь у нас есть все соотношения между физичес кими величинами, кроме амплитуды. Ее можно рас считать по формуле: х = Vm /w, где Vm — максималь ная скорость колебания. В свою очередь, максималь ная скорость ищется по формуле: Vm =SQR(2gb) , где b — высота, с которой сбрасывают тело (см. рис. 1).

Чтобы описать процесс колебания во флэш-презен тации, необходимо задать какой-нибудь интервал вре мени, в течение которого меняются кадры анимации. Естественно, что чем меньше. этот промежуток, тем более плавно будет двигаться маятник.

Далее необходимо определиться, какие параметры объекта будут изменяться. В частности, постоянно из меняется угол.

Чтобы определить угол поворота, обратимся к рис. 1. Угол а — это интересующий нас угол. Синус этого угла — это отношение противолежащего катета х к гипотенузе 1: sina = х/l. Значит, сам угол будет равен арксинусу отношения противолежащего катета х к ги потенузе V. а = arcsin(x/l), где х — смещение в дан ный момент времени, a l — длина нити.

Модель математического маятника в Macromedia Flash

Откройте программу Macromedia Flash и создайте новую сцену.

1. Панель управления маятником.

Колебания маятника зависят от длины нити и от еще какого-нибудь параметра (начальной кинетической энер гии или скорости, переданной маятнику; или от высоты сброса маятника). Чтобы можно было изменять ука занные параметры в самом мультике, сделаем "панель управления" (см. рис. 3). Кнопочки "+'/ —" (рис.

2) будут изменять соответствующие значения на величину, указанную в последней колонке.

1. Выберите инструмент Rectangle Tool, задайте толщину каемки равной 1. Нарисуйте черный прямо угольник с черной каемкой. Внутри прямоугольника проведите линию белого цвета от нижнего левого угла до верхнего правого с помощью инструмента Line Tool.
2. С помощью инструмента Text Tool создайте две надписи белого цвета с размером шрифта 20: "+ " и " —" и разместите их, как показано на рис. 2.

     1.3.Выберите текст "+" и преобразуйте его в сим вол Button. Зайдите в этот символ, выберите текст "+ "и сделайте из него форму, выбрав в меню Modify ||

Break Apart или нажав Ctrl+B. Вернитесь обрат но на главную сцену.

1. Сделайте то же самое для текста " —".
2. Далее выберите прямоугольник с символами и преобразуйте все в символ Movie Clip с именем "ButtonL".
3. Нам понадобится еще одна такая кнопка, поэ тому зайдите в библиотеку символов и сделайте дубли кат кнопки с новым названием "ButtonH". Перетащи те созданную кнопку на главную сцену и закройте биб лиотеку.

1. Создайте две надписи черного цвета: "Длина нити: " и "Высота сброса: ".
2. Создайте текстовое поле. Введите в него значе ние "0.1". В установках текста поставьте "Input Text"(поле ввода), в поле "Var: " поставьте значение "VPML". Создайте еще одно такое же поле, только в качестве переменной "Var:" укажите "VPMH".
3. Создайте текстовое поле. Введите в него значе ние "5". В установках текста поставьте "Dynamic Text" (динамически изменяющееся поле), в поле "Var: " поставьте значение "T_L". Создайте еще одно такое же поле, введите в него "0.7", в поле "Var:" укажите "Т_Н".

1.10.        Расположите элементы панели управления, как
показано на рис. 3.

Рис. 3. Панель управления маятником

1.11. Сделайте в этом слое 3 кадра. 2. Маятник.

2.1,        Создайте новый слой и выберите его. Встаньте

на 2-й кадр и создайте в нем ключевой кадр (F6 или

Insert || KeyFrame). То же сделайте и для 3-го кадра.

2.2.        Далее выберите 2-й кадр и нарисуйте круг с черной
каймой с помощью инструмента Oval Tool. В качестве
закраски круга задайте радиальный градиент (рис. 4).

Рис. 4. Радиальный градиент (цвет первого флажка "#FFFFFF", второго "#000000")

2.3. Теперь нарисуйте небольшую "веревочку" — линию от самой верхней точки круга. На другом конце нарисуйте небольшой крестик (рис. 5).

Рис. 5. Математический маятник

1. Теперь выберите нарисованный маятник и пре образуйте его в символ Movie Clip с именем "mat". Выберите полученный объект и во вкладке Properties в поле Instance Name укажите "mat".
2. Зайдите в этот символ. На рабочей области есть крестик "+" — это центр символа, вокруг которого производится вращение символа. Постарайтесь совме стить крестик маятника и центр символа (рис. 6). Вер нитесь обратно на главную сцену.

Рис. 6. Символ "mat" 3. Скрипты.

3.1.        Скрипт 1-го кадра в слое с маятником.

g   =   9.8;

q   =   0;

Data   =   new  Date () ;

SecOld   =   Data.getTime();

3.2.        Скрипт 2-го кадра в слое с маятником.

1    =   Т_1;

h   =   T_h;

Data   =   new  Date();

SecNew = Data.getTime();

time = (SecNew - SecOld)/1000;  

w = Math.sqrt(g/1);

Vm = Math.sqrt(2 * g * h);

xm = Vm/w;

x = xm * Math.cos(w * time + q);

a = Math.asin(x/l)/(Math.PI/180);

setProperty(_root.mat,    _rotation,    a);

3.3.        Скрипт 3-го кадра в слое с маятником.

prevFrame () ;.

3.4.        Скрипт кнопки "buttonL" для "+".
on    (press){

_root.T_L   =   Math.abs(„root.T_L)    + Math.abs (_root.VPML) ;

)

3.5.        Скрипт кнопки "buttonL" для " — ".

on   (press)    {

_root.T_L   =   Math.abs(_root.T_L)    - Math.abs(_root.VPML); if   (Math.abs(_root.T_h)   > Math.abs(_root.T_l)/2)   ( _root.T_l  = Math.abs(_root.T_h)   *   2;

)

)

3.6.        Скрипт кнопки "buttonH" для "+".
on   (press)    {

_root.T_h   =  Math.abs(_root.T_h)    + Math.abs(_root.VPMH);

 if    (_root.T_h   >   _root.T_l/2)    ( _root.T_h   =   _root.T_l/2;

)

)

3.7.        Скрипт кнопки "buttonH" для " — ".

on   (press)    {

if    (_root.T_h   -   Math.abs(_root.VPMH)    <=   0)    ( _root.T_h   =   0;

        _root.T_l   =   0;

 )   else   {

_root.T_h  =   Math, abs (_root..T_h)   — Math.abs(_root.VPMH);

)

Вот и все. Протестируйте проект и не забудьте его сохранить.