Великие математики и физики

АРХИМЕД

Величайший древнегреческий математик и механик.

Жизнь Архимеда. Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии - знаменитом научном центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал математикам, связанным с Александрией, например Эратосфену, подтверждает мнение о том, что Архимед являлся одним из деятельных преемников Эвклида, развивавших математические традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед находился там вплоть до своей гибели при захвате Сиракуз римлянами в 212 г. до н.э.

Дата рождения Архимеда (287 г. до н.э.) определяется исходя из свидетельства византийского историка 12 в. Иоанна Цеца, согласно которому он «прожил семьдесят пять лет». Яркие картины его гибели, описанные Ливием, Плутархом и Валерием Максимом, различаются лишь в деталях, но сходятся в том, что Архимеда, занимавшегося в глубокой задумчивости геометрическими построениями, зарубил римский воин. Кроме того, Плутарх сообщает, что Архимед, «как утверждают, завещал родным и друзьям установить на его могиле описанный вокруг шара цилиндр с указанием отношения объема описанного тела к вписанному», что было одним из наиболее славных его открытий. Цицерон, который в 75 г. до н.э. был на Сицилии, обнаружил выглядывавшее из колючего кустарника надгробие и на нем - шар и цилиндр.

Легенды об Архимеде. В наше время имя Архимеда связывают главным образом с его замечательными математическими работами, однако в античности он прославился также как изобретатель различного рода механических устройств и инструментов, о чем сообщают авторы, жившие в более позднюю эпоху. Правда, авторство Архимеда во многих случаях вызывает сомнения. Так, считается, что Архимед был изобретателем т.н. архимедова винта, который служил для подъема воды на поля и явился прообразом корабельных и воздушных винтов, хотя, судя по всему, такого рода устройство использовалось и раньше. Не внушает особого доверия и то, что рассказывает Плутарх в Жизнеописании Марцелла. Здесь говорится, что в ответ на просьбу царя Гиерона продемонстрировать, как тяжелый груз может быть сдвинут малой силой, Архимед «взял трехмачтовое грузовое судно, которое перед этим с превеликим трудом вытянули на берег много людей, усадил на него множество народа и загрузил обычным грузом. После этого Архимед сел поодаль и стал без особых усилий тянуть на себя канат, перекинутый через полиспаст, отчего судно легко и плавно, словно по воде, «поплыло» к нему». Именно в связи с этой историей Плутарх приводит замечание Архимеда, что, «если бы имелась иная Земля, он сдвинул бы нашу, перейдя на ту» (более известный вариант этого высказывания сообщает Папп Александрийский: «Дайте мне, где стать, и я сдвину Землю»). Вызывает сомнение и подлинность истории, поведанной Витрувием, что будто бы царь Гиерон поручил Архимеду проверить, из чистого ли золота сделана его корона или же ювелир присвоил часть золота, сплавив его с серебром. «Размышляя над этой задачей, Архимед как-то зашел в баню и там, погрузившись в ванну, заметил, что количество воды, переливающейся через край, равно количеству воды, вытесненной его телом. Это наблюдение подсказало Архимеду решение задачи о короне, и он, не медля ни секунды, выскочил из ванны и, как был нагой, бросился домой, крича во весь голос о своем открытии: «Эврика! Эврика!» (греч. «Нашел! Нашел!»)».

Более достоверным представляется свидетельство Паппа, что Архимеду принадлежало сочинение Об изготовлении [небесной] сферы, речь в котором шла, вероятно, о построении модели планетария, воспроизводившей видимые движения Солнца, Луны и планет, а также, возможно, звездного глобуса с изображением созвездий. Во всяком случае Цицерон сообщает, что тот и другой инструмент захватил в Сиракузах в качестве трофеев Марцелл. Наконец, Полибий, Ливий, Плутарх и Цец сообщают о грандиозных баллистических и иных машинах, построеннных Архимедом для отражения римлян.

Математические труды. Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты О шаре и цилиндре, Об измерении круга, О коноидах и сфероидах, О спиралях и О квадратуре параболы. Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур, О плавающих телах. К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем, Исчисление песчинок, Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион. Существует еще одна работа - Книга о предположениях (или Книга лемм), сохранившаяся лишь в арабском переводе. Хотя она и приписывается Архимеду, в своем нынешнем виде она явно принадлежит другому автору (поскольку в тексте имеются ссылки на Архимеда), но, возможно, здесь приведены доказательства, восходящие к Архимеду. Несколько других работ, приписываемых Архимеду древнегреческими и арабскими математиками, утеряны.

Дошедшие до нас работы не сохранили своей первоначальной формы. Так, судя по всему, I книга трактата О равновесии плоских фигур является отрывком из более обширного сочинения Элементы механики; кроме того, она заметно отличается от II книги, написанной явно позднее. Доказательство, упоминаемое Архимедом в сочинении О шаре и цилиндре, было утрачено ко 2 в. н.э. Работа Об измерении круга сильно отличается от первоначального варианта, и предложение II в ней скорее всего заимствовано из другого сочинения. Заглавие О квадратуре параболы вряд ли могло принадлежать самому Архимеду, так как в его время слово «парабола» еще не использовалось в качестве названия одного из конических сечений. Тексты таких сочинений, как О шаре и цилиндре и Об измерении круга, скорее всего, подвергались изменениям в процессе перевода с дорийско-сицилийского на аттический диалект.

При доказательстве теорем о площадях фигур и объемах тел, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, Архимед постоянно использует метод, известный как «метод исчерпывания». Изобрел его, вероятно, Эвдокс (расцвет деятельности ок. 370 г. до н.э.) - по крайней мере, так считал сам Архимед. К этому методу время от времени прибегает и Эвклид в XII книге Начал. Доказательство с помощью метода исчерпывания, в сущности, представляет собой косвенное доказательство от противного. Иначе говоря, утверждение «А равно В» считается истинным в том случае, когда принятие противоположного утверждения, «А не равно В», ведет к противоречию. Основная идея метода исчерпывания заключается в том, что в фигуру, площадь или объем которой требуется найти, вписывают (или вокруг нее описывают, либо же вписывают и описывают одновременно) правильные фигуры. Площадь или объем вписанных или описанных фигур увеличивают или уменьшают до тех пор, пока разность между площадью или объемом, которые требуется найти, и площадью или объемом вписанной фигуры не становится меньше заданной величины. Пользуясь различными вариантами метода исчерпывания, Архимед смог доказать различные теоремы, эквивалентные в современной записи соотношениям S = 4πr2 для площади поверхности шара, V = 4/3πr3 для его объема, теореме о том, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника, имеющего те же оcнование и высоту, что и сегмент, а также многие другие интересные теоремы.

Ясно, что, используя метод исчерпывания (который является скорее методом доказательства, а не открытия новых соотношений), Архимед должен был располагать каким-то другим методом, позволяющим находить формулы, которые составляют содержание доказанных им теорем. Один из методов нахождения формул раскрывает его трактат О механическом методе доказательства теорем. В трактате излагается механический метод, при котором Архимед мысленно уравновешивал геометрические фигуры, как бы лежащие на чашах весов. Уравновесив фигуру с неизвестной площадью или объемом с фигурой с известной площадью или объемом, Архимед отмечал относительные расстояния от центров тяжести этих двух фигур до точки подвеса коромысла весов и по закону рычага находил требуемые площадь или объем, выражая их соответственно через площадь или объем известной фигуры. Одно из основных допущений, используемых в методе исчерпывания, состоит в том, что площадь рассматривается как сумма чрезвычайно большого множества плотно прилегающих друг к другу «материальных» прямых, а объем - как сумма плоских сечений, тоже плотно прилегающих друг к другу. Архимед считал, что его механический метод не имеет доказательной силы, но позволяет получить предварительный результат, который впоследствии может быть доказан более строгими геометрическими методами.

Хотя Архимед был в первую очередь геометром, он совершил ряд интересных экскурсов и в область численных расчетов, пусть примененные им методы и не вполне ясны. В предложении III сочинения Об измерении круга он установил, что число π меньше и больше. Из доказательства видно, что он располагал алгоритмом получения приближенных значений квадратных корней из больших чисел. Интересно отметить, что у него приведена и приближенная оценка числа , а именно: . В сочинении, известном под названием Исчисление песчинок, Архимед излагает оригинальную систему представления больших чисел. Эта система потребовалась ему, чтобы сосчитать, сколько песчинок понадобилось бы, чтобы заполнить Вселенную.

В труде О спирали Архимед исследовал свойства т.н. архимедовой спирали, записал в полярных координатах характеристическое свойство точек спирали, дал построение касательной к этой спирали, а также определил ее площадь.

В истории физики Архимед известен как один из основоположников успешного применения геометрии к статике и гидростатике. В I книге сочинения О равновесии плоских фигур он приводит чисто геометрический вывод закона рычага. По сути, его доказательство основано на сведении общего случая рычага с плечами, обратно пропорциональными приложенным к ним силам, к частному случаю равноплечего рычага и равных сил. Все доказательство от начала и до конца пронизано идеей геометрической симметрии.

В своем сочинении О плавающих телах Архимед применяет аналогичный метод к решению задач гидростатики. Исходя из двух допущений, сформулированных на геометрическом языке, Архимед доказывает теоремы (предложения) относительно величины погруженной части тел и веса тел в жидкости как с большей, так и с меньшей плотностью, чем само тело. В предложении VII, где говорится о телах более плотных, чем жидкость, выражен т.н. закон Архимеда, согласно которому «всякое тело, погруженное в жидкость, теряет по сравнению со своим весом в воздухе столько, сколько весит вытесненная им жидкость». В книге II содержатся тонкие соображения относительно устойчивости плавающих сегментов параболоида.

Значение работ Архимеда. В отличие от Эвклида, Архимеда вспоминали в античности лишь от случая к случаю. Если мы что-то знаем о его работах, то лишь благодаря тому интересу, который питали к ним в Константинополе в 6-9 в. Эвтокий, математик, родившийся в конце 5 в., прокомментировал по крайней мере три работы Архимеда, по-видимому, наиболее известные в то время: О шаре и цилиндре, Об измерении круга и О равновесии плоских фигур. Работы Архимеда и комментарии Эвтокия изучали и преподавали математики Анфимий из Тралл и Исидор из Милета, архитекторы собора св. Софии, возведенного в Константинополе в правление императора Юстиниана. Реформа преподавания математики, которую проводил в Константинополе в 9 в. Лев Фессалоникийский, по-видимому, способствовала собиранию работ Архимеда. Тогда же он стал известен мусульманским математикам. Теперь мы видим, что арабским авторам недоставало некоторых наиболее важных работ Архимеда, таких как О квадратуре параболы, О спиралях, О коноидах и сфероидах, Исчисление песчинок и О методе. Но в целом арабы овладели методами, изложенными в других работах Архимеда, и нередко блестяще ими пользовались.

Средневековые латиноязычные ученые впервые услышали об Архимеде в 12 в., когда появились два перевода с арабского на латынь его сочинения Об измерении круга. Лучший перевод принадлежал знаменитому переводчику Герарду Кремонскому, и в последующие три столетия он послужил основой многих изложений и расширенных версий. Герарду принадлежал также перевод трактата Слова сынов Моисеевых арабского математика 9 в. Бану Мусы, в котором приводились теоремы из сочинения Архимеда О шаре и цилиндре с доказательством, аналогичным приведенному у Архимеда. В начале 13 в. Иоанн де Тинемюэ перевел сочинение О криволинейных поверхностях, по которому видно, что автор был знаком с другой работой Архимеда - О шаре и цилиндре. В 1269 г. доминиканец Вильгельм из Мербеке перевел с древнегреческого весь корпус работ Архимеда, кроме Исчисления песчинок, Метода и небольших сочинений Задача о быках и Стомахион. Для перевода Вильгельм из Мербеке использовал две из трех известных нам византийских рукописей (рукописи А и В). Мы можем проследить историю всех трех. Первая из них (рукопись А), источник всех копий, снятых в эпоху Возрождения, по-видимому, была утрачена примерно в 1544 г. . Вторая рукопись (рукопись В), содержавшая работы Архимеда по механике, в том числе сочинение О плавающих телах, исчезла в 14 в. Копий с нее снято не было. Третья рукопись (рукопись С) не была известна до 1899 г., а изучать ее стали лишь с 1906 г. Именно рукопись С стала драгоценной находкой, так как содержала великолепное сочинение О методе, известное ранее лишь по отрывочным фрагментам, и древнегреческий текст О плавающих телах, исчезнувший после утраты в 14 в. рукописи В, которую использовал при переводе на латынь Вильгельм из Мербеке. Этот перевод имел хождение в 14 в. в Париже. Он использовался также Якобом Кремонским, когда в середине 15 в. тот предпринял новый перевод корпуса сочинений Архимеда, входивших в рукопись А (т.е. за исключением сочинения О плавающих телах). Именно этот перевод, несколько поправленный Региомонтаном, был опубликован в 1644 г. в первом греческом издании трудов Архимеда, хотя некоторые переводы Вильгельма из Мербеке были изданы в 1501 и 1543 г. После 1544 г. известность Архимеда начала возрастать, и его методы оказали значительное влияние на таких ученых, как Симон Стевин и Галилей, а тем самым, хотя и косвенно, воздействовали на формирование современной механики.

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

Выдающийся  немецкий  философ  и  математик.  Родился  1 июля 1646 г. в Лейпциге. Его отец, профессор моральной философии Лейпцигского университета, умер, когда сыну было шесть лет. Лейбниц поступил в Лейпцигский  университет в возрасте 15 лет, окончил обучение в 1663 г., защитив  диссертацию  на  степень  бакалавра  О  принципе  индивидуации(Disputatio metaphysica de principio individui), в которой содержатся в зародыше многие позднейшие идеи философа. В 1663-1666 гг. изучал юриспруденцию в Йене и опубликовал работу по вопросам юридического образования. Благодаря последней был замечен бароном Бойнебургом и курфюрстом архиепископом Майнцским, который принял его на службу. Архиепископа весьма занимало сохранение мира в границах Священной Римской империи, а также между Германией и ее соседями. Лейбниц всецело погрузился в планы архиепископа. Он также искал рациональное основание христианской религии, равно приемлемое для протестантов и католиков.

Самой серьезной опасностью для мира в Европе того времени был Людовик XIV. Лейбниц представил королю план завоевания Египта, указав, что такое завоевание более приличествует величию христианского монарха, чем война с мелкими и незначительными европейскими странами. План был настолько хорошо продуман, что Наполеон, как полагают, ознакомился с ним в архивах перед тем, как отправить экспедицию в Египет. В 1672 г. Лейбница вызвали в Париж для объяснения плана, и он провел там четыре года. Ему не удалось увидеть Людовика, однако он познакомился с такими философами и учеными, как Н. Мальбранш, А. Арно, Х. Гюйгенс. Лейбниц также изобрел счетную машину, которая превзошла машину Паскаля, ибо могла извлекать корни, возводить в степень, умножать и делить. В 1673 г. он отправился в Лондон, встретился с Р. Бойлем и Г. Ольденбургом, продемонстрировал действие своей машины Королевскому обществу, которое после этого избрало его своим членом.

В 1673 г. архиепископ Майнцский умер. В 1676 г., за неимением места, более соответствующего его вкусу и способностям, Лейбниц поступил на службу библиотекарем к герцогу Брауншвейгскому. По дороге в Ганновер Лейбниц остановился на месяц в Амстердаме, прочитав все написанное Б. Спинозой - все, что того убедили отдать в печать. В конце концов ему удалось встретиться со Спинозой и обсудить с ним его идеи. Это был последний непосредственный контакт Лейбница со своими собратьями по философскому цеху. С этого времени и до самой смерти он находился в Ганновере, выезжая за рубеж только в связи со своими исследованиями по истории династии Брауншвейгов. Он убедил короля Пруссии основать научную академию в Берлине и стал ее первым президентом; в 1700 г. ему были пожалованы должность императорского советника и титул барона.

В более поздний период Лейбниц участвовал в печально известном диспуте с друзьями Ньютона о первенстве в изобретении исчисления бесконечно малых. Нет сомнения, что Лейбниц и Ньютон работали над этим исчислением параллельно и что в Лондоне Лейбниц встречал математиков, знакомых с работой и Ньютона, и И. Барроу. Чем обязан Лейбниц Ньютону и чем они оба обязаны Барроу - можно только догадываться. Достоверно известно, что Ньютон дал формулировку исчисления, метода «флюксий», не позднее 1665 г., хотя опубликовал свои результаты много лет спустя. Лейбниц, по-видимому, был прав, когда утверждал, что он и Барроу открыли исчисление одновременно. Тогда все математики работали над этим комплексом проблем и знали о результатах, полученных в сложении бесконечно малых. Нет ничего невероятного в одновременном и независимом открытии исчисления, и Лейбницу несомненно следует отдать должное как первому, кто применил бесконечно малые в качестве разностей и разработал символику, оказавшуюся настолько удобной, что ее используют и сегодня.

Не повезло Лейбницу и в том, что касается признания его оригинальных логических идей, более всего ценимых сегодня. Только в 20 в. об этих идеях стало вообще известно; результаты Лейбница пришлось переоткрывать заново, а его собственный труд был похоронен в грудах рукописей королевской библиотеки в Ганновере. Под конец жизни Лейбница о нем забыли. Курфюрстина София и ее дочь королева Пруссии София-Шарлотта, которые очень ценили Лейбница и благодаря которым он написал многие сочинения, умерли соответственно в 1705 и 1714 г. К тому же в 1714 г. Георг Людовик, герцог Ганноверский, был призван на английский трон. По-видимому, он недолюбливал Лейбница и не позволил ему сопровождать его вместе с двором в Лондон, приказав продолжить работу в качестве библиотекаря.

Ложное истолкование сочинений Лейбница принесло ему репутацию «Lovenix», человека, верующего в ничто, и его имя не пользовалось популярностью. Здоровье философа стало ухудшаться, хотя он продолжал работать; к этому периоду относится блестящая переписка с С.Кларком. Лейбниц умер в Ганновере 14 ноября 1716 г. Никто из свиты ганноверского герцога не проводил его в последний путь. Берлинская академия наук, основателем и первым президентом которой он был, не обратила внимания на его смерть, однако год спустя Б. Фонтенель произнес известную речь в его память перед членами Парижской академии. Позднейшие поколения английских философов и математиков воздали должное достижениям Лейбница, компенсировав сознательное пренебрежение его кончиной Королевским обществом.

Среди наиболее важных работ Лейбница - Рассуждение о метафизике (Discours de métaphysique, 1686, опубликовано в 1846); Новая система природы и общения между субстанциями, а также о связи, существующей между душою и телом (Système nouveau de la nature et de la communication des substances, aussi bien que de l'union qu'il y a entre l' âme et le corps, 1695); Новые опыты о человеческом разуме (Nouveaux essais sur l'entendement humain par l'auteur du systme de l'harmonie préétablie, 1704, опубл. в 1765); Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека и начале зла (Essais de théodicée sur la bonté de Dieu, la liberté de l'homme et l'origine du mal, 1710); Монадология (La Monadologie, 1714).

Лейбниц выдвинул столь полную и рационально построенную метафизическую систему, что, по оценкам современных философов, ее можно представить в виде системы логических принципов. Сегодня никто не может обойтись в анализе индивидуальности без знаменитого лейбницевского принципа тождества неразличимых; теперь ему придают статус логического принципа, однако сам Лейбниц считал его истиной о мире. Подобно этому, реляционная трактовка пространства и времени и анализ элементов субстанции как носителей энергии являются фундаментом для разработки понятий механики.

Лейбниц ввел в механику понятие кинетической энергии; он также полагал, что понятие пассивной материи, существующей в абсолютном пространстве и состоящей из неделимых атомов, неудовлетворительно как с научной, так и с метафизической точки зрения. Инерция сама есть сила: наделение движением пассивной материи следовало бы отнести к разряду чудес. Более того, само представление об атомах вещества абсурдно: если они протяженны, то делимы, если не протяженны, то не могут быть атомами вещества. Единственной субстанцией должна быть активная единица, простая, нематериальная, не существующая ни в пространстве, ни во времени. Лейбниц называл эти простые субстанции монадами. Поскольку они не имеют частей, то могут получить существование только с помощью творения и разрушаться только через аннигиляцию. Монады не способны воздействовать друг на друга. Поскольку единственной существенной чертой монады является ее активность, все монады однотипны и отличаются только степенью активности. Существует бесконечный ряд монад, на его низших ступенях - монады, имеющие видимость вещества, хотя ни одна монада не может быть полностью инертной. На вершине лестницы находится Бог - наиболее активная из монад.

Внутренне присущей монадам деятельностью является перцепция, или «зеркальное отражение», и любая монада есть отражение состояния всякой другой монады. Эти перцепции достоверны, поскольку монады так созданы, что их состояния находятся в гармонии друг с другом. Эта «предустановленная гармония» (harmonia praestabilita) доказывается невозможностью взаимодействия между монадами и одновременно актуальным характером перцепции. Отношение между душой и совокупностью монад, образующих тело, - просто один из случаев всеобщего отражения. История каждой из монад есть развертывание ее состояний согласно ее собственному внутреннему принципу. Пространство есть «проявление порядка возможных со-существований», а время - «порядка неустойчивых возможностей». Пространство и время, как их понимают математики, суть абстракции; их непрерывность есть проявление истинной непрерывности, принадлежащей ряду реальных существ и их разветывающихся состояний; их бесконечная делимость есть актуальная бесконечность числа реальных существ. Каждая монада уникальна тем, что ее «место» в мире является местом в бесконечном ряду монад, а ее свойства суть функции этого места. Монада отражает мир именно с данного места, так что невозможно, чтобы существовали два «неразличимых» существа, которые бы не совпадали. Отсюда - тождество неразличимых.

В поддержку этих заключений, основанных на метафизических и научных соображениях, Лейбниц приводил аргументы, которые содержали апелляцию к природе суждений, их истинности и ложности. Подобно тому как не существует взаимодействия между монадами, не существует и относительных суждений; все суждения имеют субъектно-предикатную форму, и как всякая монада содержит все свои состояния, так всякое истинное суждение уже содержит предикат в субъекте. Логическое исчисление Лейбница предполагает, что в своей наиболее удовлетворительной формулировке всякое истинное суждение будет иметь сложное имя в качестве субъекта и один или больше элементов этого сложного имени в качестве предиката, например «ABC есть A», или «ABC есть AB», и т. д. Любое ложное суждение будет представлять собой очевидный абсурд: «ABC не есть A» или «ABC не есть AB» и.т.д. Этот взгляд тесно связан с делом всей жизни Лейбница - поиском языка, characteristica universalis, в котором можно было бы выразить все истины и в котором имена показывали бы «состав» обозначаемых ими объектов. Эти истины затем нашли бы свое место в энциклопедии всего знания, и все дискуссии стали бы ненужными - рассуждения уступили бы место вычислениям c помощью «универсального исчисления».

Арно, возражая Лейбницу, утверждал, что если понятие всякого индивида содержит все, что когда-либо обретет бытие, то человеческая свобода превращается в миф, а Бог теряет всемогущество. Лейбниц отвечал, что Бог сделал свободный выбор, когда создавал Адама и тем самым все последующее, воплотив в этом фактическом состоянии все свободные и спонтанные человеческие действия и приспособив к этим действиям все другие условия существования во Вселенной. Таким образом, необходимость событий в мире имеет не абсолютный, а условный характер. Кроме того, поскольку монады естественно выбирают лучшее в соответствии с тем, насколько отчетливыми являются их перцепции, этот мир является наилучшим из всех возможных миров. В нем воплощено наибольшее количество разнообразия, совместимое с порядком, что является метафизическим совершенством, и поскольку он создан всеблагим, всемогущим и наимудрейшим существом, метафизическому совершенству соответствует и моральное совершенство мира.

В системе Лейбница имеется фундаментальное противоречие, которое проявляется на всех ее уровнях. Лейбниц утверждал, что существует два рода истин: необходимые истины разума, проверить которые можно с помощью принципа противоречия; и случайные истины факта, проверка которых должна опираться на принцип достаточного основания. В то же время он считал, что всякая истина о мире является аналитической и из любого состояния любой монады, если мы способны в достаточной степени в него проникнуть, можно вывести состояние целой Вселенной. Верно, что только Бог обладает способностью такого постижения, и не возникало бы никакой проблемы, если бы Лейбниц хотел сказать, что случайность связана с неполным знанием. Однако он настаивал на фундаментальном различии случайных истин о действительном мире и необходимых истин, которые истинны во всех возможных мирах. Последние зависят от интеллекта Бога, но не от его воли; первые истинны, потому что такова была воля Божия. Истинные утверждения об этом мире образуют систему, так что ни одно из этих утверждений не может быть ложным, если остальные истинны; однако случайно истинно то, что это - система истинных утверждений о действительном мире. Существует только одно необходимо истинное утверждение существования - Бог, необходимое существо, существует. Предполагать обратное - значит предполагать заведомый абсурд - что существо, обладающее всеми совершенствами в наивысшей степени, лишено одного из совершенств, а именно существования. Лейбниц признает, что существование не является предикатом конечных существ, что ничто не прибавляется к понятию «Адам», когда мы говорим, что это понятие о реальном существе. То, что Бог существует, принадлежит только к понятию о Нем.

Это априорное доказательство подкрепляется аргументом, что разум Бога является «местом», в котором пребывают необходимые истины. Этот мир «делает истинными» случайные истины, которым объективно противостоит знание Богом вечных истин. Кроме того, хотя Вселенная сама по себе является завершенной и все должно быть таким, каким оно есть в действительности, уже потому, что одна из частей Вселенной такова, какова она есть, ни одна из ее частей не содержит основания для своего существования. Вселенная предполагает наличие творящей и поддерживающей причины, т.е. необходимого существа, которое содержит в себе основание собственного существования. Именно в этом моменте современные мыслители расходятся с Лейбницем. Ч. Моррис в работе Научный эмпиризм так подытоживал их отношение: «Рационалистическая метафизика Лейбница, порожденная простым превращением формальной логики в метафизику без учета критерия эмпирической значимости, на современный взгляд не является необходимым космологическим следствием его логического учения». Иначе говоря, лейбницевская система понятий, сколь бы интересной она ни была, остается всего лишь системой понятий, и никакой анализ этих понятий не может дать нам знание о действительном мире.

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ

Русский математик. Родился 20 ноября (1 декабря) 1792 г. в Нижнем Новгороде. Отец Лобачевского умер, когда сыну исполнилось 7 лет, и мать вместе с тремя сыновьями переехала в Казань. Окончив гимназию Лобачевский поступил в Казанский университет. В 1811 г. получил степень магистра,  в 1814 г.  стал  адъюнктом,  в 1816 г. - экстраординарным, в 1822 г. - ординарным профессором. Вел научную и педагогическую работу, заведовал университетской библиотекой, был хранителем музея. В 1827 г. Лобачевский был назначен ректором Казанского университета.

Главным достижением Лобачевского является доказательство того, что существует более чем одна «истинная» геометрия. Лобачевский представил свою неевклидову геометрию 23 февраля 1826 г. на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета. Предложенное им сочинение называлось Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных. К сожалению, эта работа в то время не была понята и не получила поддержки. В России при жизни Лобачевского публично оценил его открытие только профессор П. И. Котельников (1842). Европейские ученые узнали о работах Лобачевского лишь в 1840 г., и в 1842 г. по представлению К. Гаусса он был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества. Лобачевскому принадлежит ряд работ по математическому анализу. Ученый дал общее определение функциональной зависимости, позже введенное в науку Дирихле. В алгебре известен его метод приближенного решения уравнений любой степени.

Среди опубликованных работ ученого - О началах геометрии (1829-1830), Воображаемая геометрия (1835), Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836), Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835-1838), Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840).

Умер Лобачевский в Казани 12 (24) февраля 1856 г.

ИСААК НЬЮТОН

Английский математик и естествоиспытатель, механик, астроном и физик, основатель классической физики.

Родился 25 декабря 1642 г. в Вулсторпе (графство Линкольншир). Отец Ньютона умер еще до его рождения, и, когда мальчику было два года, его мать вторично вышла замуж. Воспитанием Исаака занималась бабушка с материнской стороны. В возрасте 10 лет Ньютон был отдан в классическую школу в Грантеме. В 1656 г. мать Ньютона после смерти второго мужа вернулась в Вулсторп и забрала сына из школы с намерением сделать из него фермера. Однако он не проявил никаких наклонностей к фермерскому делу. Уступив настойчивым уговорам учителя Грантемской школы, мать наконец разрешила сыну готовиться к поступлению в Кембриджский университет. В июне 1661 г. Ньютон был принят в Тринити-колледж на правах сабсайзера - студента, в обязанности которого входило прислуживать преподавателям колледжа. Из записных книжек Ньютона того периода явствует, что он изучал арифметику, геометрию, тригонометрию, астрономию и оптику. Несомненно, большим стимулом для него стало общение с выдающимся математиком и теологом И. Барроу. В январе 1665 г. Ньютон получил степень бакалавра.

К тому времени Ньютон основательно продвинулся в разработке «метода флюксий» (анализе бесконечно малых). Когда в Кембридже вспыхнула эпидемия чумы, Ньютон вернулся в Вулсторп, где пробыл почти два года. Именно в этот период он записал свои первые мысли о всемирном тяготении. По словам Ньютона, импульсом к размышлениям о тяготении послужило яблоко, упавшее на его глазах в саду. Как явствует из записи разговора с Ньютоном в преклонном возрасте, в то время он пытался определить, какого рода силы могли бы удерживать Луну на ее орбите. Падение яблока навело его на мысль, что, возможно, на яблоко действует та же самая сила тяготения. Свою догадку он проверил, оценив, какой должна быть сила притяжения, если исходить из гипотезы о том, что она обратно пропорциональна квадрату расстояния (именно такова сила притяжения между Солнцем и планетами).

В Вулсторпе Ньютон поставил первые опыты по исследованию света. В то время белый свет считался однородным. Однако эксперименты с призмой сразу показали, что прошедший через нее пучок солнечного света разворачивается в разноцветную полоску (спектр). Выводы Ньютона, проверенные с помощью остроумных экспериментов, сводились к следующему: солнечный свет представляет собой комбинацию лучей всех цветов, сами же эти лучи монохроматичны, или, как говорил ученый, «гомогенеальны», и разделяются потому, что обладают разной преломляемостью.

В октябре 1667 г., после возвращения в Кембридж, Ньютона избрали младшим членом Тринити-колледжа; шесть месяцев спустя он стал одним из старших членов и вскоре получил степень магистра. Первые же эксперименты с призмами убедили его в том, что дальнейшее усовершенствование телескопа ограничено не столько трудностями вытачивания линз, сколько разной преломляемостью лучей разных цветов, из-за чего пучок белого света невозможно сфокусировать в одной точке. Хроматическая аберрация обусловлена различием в углах, на которые отклоняются при прохождении через линзу лучи света разных цветов и, следовательно, разных длин волн. Сегодня хроматическую аберрацию корректируют подбором линз, изготовленных из стекол с разными показателями преломления (такие комбинации линз называются ахроматами), но во времена Ньютона этот способ еще не был изобретен. Ньютон обратился к единственному практически возможному решению - конструированию зеркального телескопа (телескопа-рефлектора). Схему такого телескопа предложил в 1663 г. шотландский математик Дж. Грегори, но первым его построил Ньютон в 1668 г.

В 1669 г. Ньютон передал Барроу рукопись, известную под сокращенным латинским названием Об анализе (De analysi). Благодаря Барроу этот труд стал известен нескольким ведущим математикам Великобритании и континентальной Европы, но был опубликован лишь в 1711 г. К концу
1669 г. Барроу оставил кафедру в Кембриджском университете и употребил все свое влияние, чтобы его преемником стал Ньютон.

В 1671 г. Королевское общество удостоверило приоритет Ньютона в создании телескопа, опубликовав описание инструмента. В начале следующего года он был избран членом Королевского общества и вскоре получил предложение представить отчет об открытии сложной природы белого света. Отчет ученого произвел сильное впечатление, однако в ряде статей взгляды Ньютона были подвергнуты критике. Большинство возражений пришло из континентальной Европы, часть принадлежала Р. Гуку, куратору Королевского общества. Споры о приоритете усилили нетерпимость к возражениям, столь типичную для Ньютона в конце его жизни.

В последующие годы Ньютон занимался различными математическими, оптическими и химическими исследованиями, а в 1679 г. вернулся к проблеме планетных орбит. Идея о том, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца до планет, которую он проверил приближенными выкладками в Вулсторпе, стала предметом широкого обсуждения. Именно такой закон следовал (для простого случая круговой орбиты) из третьего закона Кеплера, устанавливающего зависимость между периодами обращения планет вокруг Солнца и радиусами их орбит, и формулы центростремительного ускорения тела, движущегося по окружности, которую в 1673 г. вывел Х. Гюйгенс. Обратную задачу - определение орбиты из закона изменения силы с расстоянием, бывшую предметом обсуждения Гука, Рена и Галлея, - Ньютон решил около 1680 г. Ньютон доказал теорему о том, что сферически симметрично распределенная масса притягивает внешние тела так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре.

В августе 1684 г. Галлей посетил Кембридж. Во время беседы о форме орбиты тела, движущегося под действием силы притяжения к неподвижному центру, обратно пропорциональной квадрату расстояния, Ньютон высказал предположение, что орбита будет иметь форму эллипса. Во время второго визита Галлею был показан трактат о движении, по просьбе Галлея представленный Королевскому обществу в феврале 1685 г. Этот трактат о законах движения лег в основу первой книги Математических начал натуральной философии (Philosophiae naturalis principia mathematica). Важную роль в создании Начал сыграл Галлей, который сглаживал разногласия между Ньютоном и Гуком, утверждавшим, что о законе обратной пропорциональности силы квадрату расстояния Ньютон узнал из его, Гука, сообщения. В порыве раздражения Ньютон даже решил было отказаться от издания третьей книги Начал, но Галлею удалось уговорить его не делать этого. Именно Галлей взял на себя все хлопоты, связанные с изданием, и оплатил все издержки. Летом 1687 г. Начала вышли из печати и сразу были признаны научным шедевром.

Несмотря на благосклонный прием труда, потребовалось еще пятьдесят лет для того, чтобы концепция Ньютона смогла ниспровергнуть теорию вихрей Р. Декарта. С самого начала в сочинении Ньютона видели доказательство существования в мироздании единого плана, указывающего на наличие Творца. Позднее идею неукоснительно действующего универсального закона стали связывать с материалистической и агностической философией.

За несколько месяцев до публикации Начал Ньютон приобрел известность  как  защитник  академических свобод. Король Яков II в феврале 1687 г. издал повеление, которым предписывал Кембриджу присвоить степень магистра некоему монаху ордена бенедиктинцев, не требуя от него обычной присяги на верность и послушание. Университет ответил категорическим отказом. Сенат назначил депутацию, в состав которой вошел и Ньютон. После низвержения короля Ньютон был избран представителем от университета в парламент, где заседал с января 1689 г. до его роспуска год спустя.

Работая над задачей о движении Луны, ученый вступил в переписку с Дж. Флемстидом, первым королевским астрономом. Однако отношения Ньютона и Флемстида оказались омраченными непониманием и ссорами. В 1698 г. Ньютон попытался продолжить работу над теорией орбиты Луны и возобновил отношения с Флемстидом, однако возникли новые трения, и Ньютон обвинил Флемстида в том, что тот утаивает часть наблюдений. Вражда между Ньютоном и Флемстидом не прекращалась вплоть до смерти последнего в 1719 г.

В 1696 г. усилиями друзей, пытавшихся подыскать для Ньютона должность на государственной службе, он был назначен смотрителем Монетного двора. Это потребовало от него постоянного пребывания в Лондоне. Ньютону было поручено руководство перечеканкой английской монеты. Имевшие тогда хождение монеты обесценились из-за мошеннической практики обрубания краев. Необходимо было наладить чеканку новых монет с насечкой по краю, имеющих стандартные массу и состав. Эта задача, требовавшая больших технических познаний и административного искусства, была успешно решена к 1699 г. Тогда же Ньютон был назначен на должность директора Монетного двора. Этот хорошо оплачиваемый пост ученый занимал до конца жизни.

В 1701 Ньютон отказался от кафедры в Кембридже и от должности члена совета Тринити-колледжа, а в 1703 г. был избран президентом Королевского общества. В 1704 г., после смерти своего главного оппонента, Гука, Ньютон выпустил свой второй фундаментальный труд - Оптику. В 1717 г. вышло второе издание со специальным приложением, содержащим общие рассуждения в форме Вопросов (Queries).

В 1705 г. Ньютон был возведен в рыцарское достоинство. К тому времени он стал признанным главой не только британских, но и европейских ученых. В последние два десятилетия жизни Ньютон подготовил второе и третье издания Начал (1713, 1726). Были опубликованы также второе и третье издания Оптики (1717, 1721). В эти же годы Ньютон оказался вовлеченным в долгий спор с Г. Лейбницем о приоритете в создании математического анализа. Спор, продолженный после смерти Лейбница его сторонниками, наполнил горечью последние годы жизни Ньютона и ослабил научные связи Великобритании с континентальной Европой, отрицательно сказавшись на развитии математической науки.

В 1664-1665 г. Ньютон предложил новую формулу, которую называют НЬЮТОНА БИНОМ и которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени.

Слава Ньютона неразрывно связана с его приоритетом в систематическом применении математических методов к исследованию природы, а также в открытии закона тяготения. Ньютон упрочил основания динамики как надежной опоры механической картины мира, приложив ее законы к небесным явлениям. Достижения Ньютона в применении бесконечных рядов и в дифференциальном и интегральном исчислениях намного превосходят все, что было сделано до него, и поэтому Ньютона считают основоположником этих методов анализа.

Что касается влияния на развитие физической науки, то его трудно преуменьшить. Только к 20 в. основные положения, на которые опирался Ньютон, потребовали коренного пересмотра. Ревизия привела к созданию теории относительности и квантовой теории.

Ньютону принадлежат также многочисленные сочинения по теологии, хронологии, алхимии и химии.

В 1725 г. Ньютон вынужден был оставить Лондон и переехать в Кенсингтон. Умер Ньютон в Кенсингтоне 20 марта 1727 г.

ПИФАГОР

В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала Иония - группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. По преданию, в Дельфах, куда приехали Мнесарх с женой Парфенисой, - то ли по делам, то ли в свадебное путешествие - оракул предрек им рождение сына, который прославится в веках своей мудростью, делами и красотой. Бог Аполлон, устами оракула, советует им плыть в Сирию. Пророчество чудесным образом сбывается - в Сидоне Парфениса родила мальчика. И тогда по древней традиции Парфениса принимает имя Пифиада, в честь Аполлона Пифийского, а сына нарекает Пифагором, то есть предсказанным пифией.

В легенде ничего не говорится о годе рождения Пифагора; исторические исследования датируют его появление на свет приблизительно 580 г. до н. э. Вернувшись из путешествия, счастливый отец воздвигает алтарь Аполлону и окружает юного Пифагора заботами, которые могли бы способствовать исполнению божественного пророчества.

Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у Мнесарха были. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело - ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам. «Есть еще другая Школа, - говорил Гермодамас, - твои чувствования происходят от Природы, да будет она первым и главным предметом твоего учения».

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте, у жрецов. Попасть в Египет в то время было трудно, потому что страну фактически закрыли для греков. Да и властитель Самоса тиран Поликрат тоже не поощрял подобные поездки. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом - другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет. Оттуда путь Пифагора лежит в Милет - к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. От него принято вести историю греческой философии.

Пифагор внимательно слушает в Милете лекции Фалеса, тогда уже восьмидесятилетнего старца, и его более молодого коллегу и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе. Но Фалес тоже советует ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправляется в путь.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Пока он живет в Финикии, его друзья добиваются того, что Поликрат - властитель Самоса, не только прощает беглеца, но даже посылает ему рекомендательное письмо для Амазиса - фараона Египта. В Египте благодаря покровительству Амазиса Пифагор знакомится с мемфисскими жрецами. Ему удается проникнуть в «святая святых» - египетские храмы, куда чужестранцы не допускались. Чтобы приобщиться к тайнам египетских храмов, Пифагор, следуя традиции, принимает посвящение в сан жреца.

Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени. К этому периоду относится событие, изменившее его дальнейшую жизнь. Скончался фараон Амазис, а его преемник по трону не выплатил ежегодную дань Камбизу, персидскому Царю, что послужило достаточным поводом для войны. Персы не пощадили даже священные храмы. Подверглись гонениям и жрецы: их убивали или брали в плен. Так попал в персидский плен и Пифагор.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой. Эти науки у халдеев в значительной степени опирались на представления о магических и сверхъестественных силах, они придали определенное мистическое звучаний философии и математике Пифагора.

Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ.

С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Энтузиазм населения так велик, что даже девушки и женщины нарушали закон, запрещавший им присутствовать на собраниях. Одна из таких нарушительниц, девушка по имени Теано, становится вскоре женой Пифагора.

В это время в Кротоне и других городах Великой Греции растет общественное неравенство; вошедшая в легенды роскошь сибаритов (жителей города Сибариса) бок о бок соседствует с бедностью, усиливается социальная угнетенность, заметно падает нравственность. Вот в такой обстановке Пифагор выступает с развернутой проповедью нравственного совершенствования и познания. Жители Кротона единодушно избирают мудрого старца цензором нравов, своеобразным духовным отцом города. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Он объединяет лучшее из разных религий и верований, создает свою собственную систему, определяющим тезисом которой стало убеждение в нерасторжимой взаимосвязи всего сущего (природы, человека, космоса) и в равенстве всех людей перед лицом вечности и природы.

В совершенстве владея методами египетских жрецов, Пифагор «очищал души своих слушателей, изгонял пороки из сердца и наполнял умы светлой истиной». В так называемых «Золотых стихах» Пифагор выразил те нравственные правила, строгое исполнение которых приводит души заблудших к совершенству. Вот некоторые из них: не делай никогда того, чего ты не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь; переноси кротко свой жребий, каков он есть, и не ропщи на него; приучайся жить без роскоши.

Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения была сложной, многолетней. Желающие приобщиться к знанию должны пройти испытательный срок от трех до пяти лет. Все это время ученики обязаны хранить молчание и только слушать Учителя, не задавая никаких вопросов. В этот период проверялись их терпение, скромность, Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и, проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Доказанная Пифагором знаменитая теорема, носит его имя. Достаточно глубоко исследовал Пифагор и математические отношения, закладывая тем самым основы теории пропорций. Особенное внимание он уделял числам и их свойствам, стремясь познать смысл и природу вещей. Посредством чисел он пытался даже осмыслить такие вечные категории бытия, как справедливость, смерть, постоянство, мужчина, женщина и прочее.

Пифагорейцы полагали, что все тела состоят из мельчайших частиц - «единиц бытия», которые в различных сочетаниях соответствуют различным геометрическим фигурам. Число для Пифагора было и материей, и формой Вселенной. Из этого представления вытекал и основной тезис пифагорейцев: «Все вещи - суть числа». Но поскольку числа выражали «сущность» всего, то и объяснять явления природы следовало только с их помощью. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики - теории чисел.

Все числа пифагорейцы разделяли на две категории - четные и нечетные, что характерно и для некоторых других древних цивилизаций. Позднее выяснилось, что пифагорейские «четное - нечетное», «правое - левое» имеют глубокие и интересные следствия в кристаллах кварца, в структуре вирусов и ДНК, в знаменитых опытах Пастера с поляризацией винной кислоты, в нарушении четности элементарных частиц и других теориях.

Не чужда была пифагорейцам и геометрическая интерпретация чисел. Они  считали,  что  точка  имеет  одно  измерение,  линия - два,   плоскость - три, объем - четыре измерения. Десятка, может быть выражена суммой первых четырех чисел (1+2+3+4=10), где единица - выражение точки, двойка - линии и одномерного образа, тройка - плоскости и двумерного образа, четверка - пирамиды, то есть трехмерного образа. Ну, и чем не четырехмерная Вселенная Эйнштейна?

При суммировании всех плоских геометрических фигур - точки, линии и плоскости - пифагорейцы получали совершенную, божественную шестерку.

Справедливость и равенство пифагорейцы видели в квадрате числа. Символом постоянства у них было число девять, поскольку все кратные девяти имеют сумму цифр опять-таки девять. Число восемь у пифагорейцев символизировало смерть, так как кратные восьми имеют уменьшающуюся сумму цифр.

Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные - мужскими. Нечетное число - оплодотворяющее, и, если его сочетать с четным, оно возобладает; кроме того, если разлагать четное и нечетное надвое, то четное, как женщина, оставляет в промежутке пустое место, между двумя частями. Поэтому и считают, что одно число свойственно женщине, а другое мужчине. Символ брака у пифагорейцев состоял из суммы мужского, нечетного числа три и женского, четного числа два. Брак - это пятерка, равная трем плюс два. По той же причине прямоугольный треугольник со сторонами три, четыре, пять был назван ими «фигура невесты».

Четыре числа, составляющие тетраду, - один, два, три, четыре - имеют прямое отношение к музыке: они задают все известные консонантные интервалы - октаву (1:2), квинту (2:3) и кварту (3:4). Иными словами, декада воплощает не только геометрически-пространственную, но и музыкально-гармоническую полноту космоса. Среди свойств десятки отметим еще и то, что в нее входит равное количество простых и составных чисел, а также столько же четных, сколько и нечетных.

Сумма чисел, входящих в тетраду, равна десяти, именно поэтому десятка считалась у пифагорейцев идеальным числом и символизировала Вселенную. Поскольку число десять - идеальное, рассуждали они, на небе должно быть ровно десять планет. Надо заметить, что тогда были известны лишь Солнце, Земля и пять планет.

Знаменитая тетрада, состоящая из четырех чисел, повлияла через пифагорейцев на Платона, который придавал особое значение четырем материальным элементам: земле, воздуху, огню и воде. Пифагорейцы знали также совершенные и дружественные числа. Совершенным называлось число, равное сумме своих делителей. Дружественные - числа, каждое из которых - сумма собственных делителей другого числа. В древности числа такого рода символизировали дружбу, отсюда и название.

Кроме чисел, вызывавших восхищение и преклонение, у пифагорейцев были и так называемые «нехорошие» числа. Это числа, которые не обладали никакими достоинствами, а еще хуже, если такое число было окружено «хорошими» числами. Примером тому может служить знаменитое число тринадцать - чертова дюжина или число семнадцать, вызывавшее особое отвращение у пифагорейцев.

Попытку Пифагора и его школы связать реальный мир с числовыми отношениями нельзя считать неудачной, поскольку в процессе изучения природы пифагорейцы наряду с робкими, наивными и порой фантастическими представлениями выдвинули и рациональные способы познания тайн Вселенной. Сведение астрономии и музыки к числу дало возможность более поздним поколениям ученых понять мир еще глубже.

После смерти Пифагора в Метапонте (Южная Италия), куда он бежал после восстания в Кротоне, его ученики обосновались в разных городах Великой Греции и организовали там пифагорейские общества.

В новое время, особенно благодаря бурному развитию естествознания, астрономии и математики, идеи Пифагора о мировой гармонии приобретают новых поклонников. Великие Коперник и Кеплер, знаменитый художник и геометр Дюрер, гениальный Леонардо да Винчи, английский астроном Эддингтон, экспериментально подтвердивший в 1919 г. теорию относительности, и многие другие ученые и философы продолжают находить в научно-философском наследии Пифагора необходимое основание для установления закономерностей нашего мира.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

Русский математик и механик. Родился 14 (26) мая 1821 г. в с. Окатово Калужской губернии в дворянской семье, начальное образование получил дома. В 1837 г. поступил в Московский университет, в 1846 г. защитил магистерскую диссертацию Опыт элементарного анализа теории вероятностей. В 1847 г. был приглашен в Петербургский университет на кафедру математики, где читал лекции по алгебре и теории чисел. В 1849 г. вышла книга Чебышева Теория сравнений, по которой он в том же году защитил докторскую диссертацию в Петербургском университете. В 1850 г. Чебышев стал профессором Петербургского университета. В 1882 г. ушел в отставку и посвятил все свое время научной работе.

Чебышев сумел создать новые направления в разных областях: теории вероятностей, теории приближения функций многочленами, интегральном исчислении, теории чисел и т. д. В теории вероятностей ввел метод моментов; доказал в общей форме закон больших чисел, применив для этого неравенство, названное впоследствии его именем (неравенство Бьенеме - Чебышева). В теории чисел Чебышеву принадлежит ряд работ по распределению простых чисел. В работе 1850 г. Чебышев доказал утверждение, известное как постулат Бертрана, согласно которому между числами n и 2n - 2(n >3) лежит по крайней мере одно простое число. Кроме того, Чебышев является создателем новых методов в теории чисел. Известны работы ученого в области математического анализа.

Среди прикладных задач, которыми занимался Чебышев, - построение точных географических карт, вопросы деформации поверхностей, вопросы теоретической и практической механики. В 1878 г. Чебышев изобрел счетную машину нового типа (хранится в Музее искусств и ремесел во Франции).

Труды Чебышева сделали известным его имя не только в России, но и за рубежом. Ученый состоял членом Петербургской, Берлинской и Болонской академий, одним из членов Парижской Академии наук, членом-корреспондентом Лондонского Королевского общества, Шведской академии наук. Среди учеников Чебышева - А. А. Марков, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и др.

Умер Чебышев в Петербурге 26 ноября (8 декабря) 1894 г.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

(1707–1783)

Немецкий и русский математик, механик и физик. Родился 15 апреля 1707 г. в Базеле. Учился в Базельском университете (в 1720–1724 гг.), где его учителем был Иоганн Бернулли. В 1722 г. получил степень магистра искусств. В 1727 г. переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 г. стал профессором физики, в 1733 г. – профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741–1766 гг. работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II и написал множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 г. по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 г.

Труды Эйлера свидетельствуют о необычайной разносторонности автора. Широко известен его трактат по небесной механике Теория движения планет и комет (Theoria motus planetarum et cometarum, 1774), в котором особое внимание уделено теории движения Луны. Автор книг по гидравлике, кораблестроению, артиллерии. В 1739 г. Эйлер создает новую теорию музыки. Образцом популяризации науки является изложение Эйлером наиболее важных проблем естествознания в его Письмах к одной немецкой принцессе о разных метафизических материях (Lettres a une Princesse d'Allemagne, 1768–1772). Работа ученого Об усовершенствовании стеклянных очковых линз (Sur la Perfection des Verres Object des Lunettes, 1747) способствовала созданию ахроматических телескопов.

Наибольшую известность принесли Эйлеру исследования в области чистой математики. Современная тригонометрия с определением тригонометрических функций как отношений и с принятыми в ней обозначениями берет начало с эйлеровского Введения в анализ бесконечных (Introductio in analysin infinitorum, 1748). В этом трактате дается разложение в бесконечные ряды многих элементарных функций, в том числе ex, sin x, cos x, и выводится известная формула (формула Эйлера). При x = π она дает выражение , символизирующее единение арифметики (которая представлена числами 0 и 1), алгебры (мнимое число, обозначаемое символом i), геометрии (число π) и анализа (e). Предпринятый в этой работе анализ кривых и поверхностей с использованием их уравнений позволяет рассматривать ее как первый учебник аналитической геометрии.

Следующее значительное сочинение Эйлера – Дифференциальное исчисление (Institutiones calculi differentialis, 1755), а затем трехтомное
Интегральное исчисление (Institutiones calculi integralis, 1768–1774). Здесь не только рассматриваются разделы математики, вынесенные в названия книг, но и развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных. Эйлеру принадлежит первое изложение вариационного исчисления, он является создателем теории специальных функций, известны его работы по теории чисел. Эйлер установил некоторые свойства аналитических функций, применил мнимые величины к вычислению интегралов, тем самым положив начало теории функций комплексного переменного.