Подготовка к ЕГЭ профильный уровень

ЗАДАНИЕ  №  17. ( С 5 )

Задачи на сложные проценты:

I тип задач:    на какой минимальный срок взят кредит.

II тип задач:    под какой процент был  взят кредит.

III тип задач:    какую сумму взяли в  кредит или сумма выплат по кредиту.

I  тип задач:    на какой минимальный срок взят кредит.

1. Максим хочет взять кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть последней), после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были бы не более 350 тыс. рублей?

Решение:

1)  - остаток после первого погашения.

2)  - остаток после второго погашения.

3)  - остаток после третьего погашения.

4) - остаток после четвёртого погашения.

5)  - остаток после пятого погашения.

6)   - шестое погашение.

Ответ: 6 лет.

2. 1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплат кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3 %), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение:

1)  остаток после первого погашения.

2)  - остаток после второго погашения.

3) - остаток после третьего погашения.

4)  - остаток после четвёртого погашения.

5)  - остаток после пятого погашения.

6)  шестое погашение кредита.

Ответ: 6 месяцев.

3. Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, может быть последней ) после начисления процентов. Ставка процентов 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?

Решение:

Ответ: 5 лет

июнь 2015

4.      В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

  -    каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;      

 -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует  брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн. рублей?

Решение:

       Пусть  n  срок,  на который планируем взять кредит, тогда  ежегодная  сумма   погашения  составляет      

( без начисления процентов).  После первого погашения (т. е.  в январе  следующего года  )  остаток по кредиту   составит    ,  после второго года      и т. д.

      После начисления процентов на момент оформления кредита, долг банку   составит , тогда  по окончании первого года кредитования остаток  увеличивается на  20%   т. е.           .

      Ежегодные выплаты банку находятся как разность между долгом банку и остатком по кредиту на данный момент. Составим таблицу по данным задачи:

По условию задачи, выплаты составляют арифметическую прогрессию, где и т.д. Наибольший годовой платёж по кредиту не превышает 1,8 млн. рублей или  

Ответ: 10.

июнь 2015

5.      В июле планируется взять кредит на  сумму 20 млн. рублей на некоторый срок ( целое число лет). Условия его возврата таковы:

  - каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;    

  -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;                  

 - в  июле каждого года  долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.  На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн. рублей?    

Решение:

I  способ:

Выплаты составляют арифметическую прогрессию, где

Ответ: 8 лет.

II способ:

          Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

Ответ: 8 лет.

6.    Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Решение:

Через  n лет 1 сентября на первом счёте будет сумма

т.к.   - сумма n - первых членов геометрической прогрессии, где .

 В это же время   на  втором  счёте будет сумма

   По условию задачи, суммы  вкладов сравняются, тогда  составляем уравнение:

Таким образом, суммы на счетах сравняются через 11 лет после открытия первого вклада то есть  в 2019 году.

Ответ: 2019 году

7. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере    

 5 %, затем 12 %, потом  и, наконец, 12,5 % в месяц. Известно, что под действием  каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение:

   Пусть х рублей был первоначальный вклад (100 %), по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на  , то есть стала   от  х  или .

По условию задачи,за время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере  5 %, затем 12 %, потом  и, наконец, 12,5 % в месяц. Обозначим   целое число месяцев, соответствующей процентной ставки.

Из первого уравнения системы получаем, что . Из последнего уравнения системы получаем , тогда

Ответ: 7 месяцев.

II  тип задач:    под какой процент был  взят кредит.

8.     31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество  процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, а во второй 644, 1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?

Решение:

 Пусть банк выдал кредит Борису под  х% = 0,01х, тогда после начисления процентов Борис будет должен банку . После перевода первого транша сумма его долга станет  После перевода второго транша сумма долга будет равна нулю, тогда составляем уравнение:

- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 13 %

июнь 2015

9.    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:    

  - каждый январь  долг возрастает на a% по сравнения с концом предыдущего года;                                     -  февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.   Найдите число a, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год 69 000 рублей?

Решение:

Пусть банк выдал кредит  под  a% = 0,01a, тогда после начисления процентов долг банку будет. После перевода первого транша сумма его долга станет  После перевода второго транша сумма долга будет равна нулю, тогда составляем уравнение:

- не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 15 %

июнь 2015

10.    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

  - каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;  

 - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;                                                                      -  в июле каждого года долг должен  быть на одну и ту же величину меньше долга за июль предыдущего года. Найти х, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей?

Решение:

По условию задачи:  наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей.

Ответ: 25 %

июнь 2015

       11.      15 - го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:            - 1 - го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;        

 - со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;                                                                       - 15 - го числа каждого месяца долг должен на одну и ту же сумму меньше долга на 15 - е число предыдущего месяца.  Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

Решение:

Iспособ:

    Пусть первоначальная сумма кредита S.

Сумма всех выплат составит:

Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

или    (  по формулам арифметической прогрессии )

тогда найдем разность прогрессии

Найдём сумму выплат по  формуле суммы n - первых членов арифметической прогрессии

Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

Ответ: 1%

II способ:  Пусть -  сумма долга в конце n - го месяца,  - первоначальная сумма долга.

, где

     По условию задачи: сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц, тогда составляет арифметическую прогрессию, где

 -формула n-  го члена прогрессии.

Суммы  выплат составляют арифметическую прогрессию.      

Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

Ответ: 1%

III  способ:Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

 По условию задачи

Ответ:  1 %

аналогичные задания:

- 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ответ: 3 %

- Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ: 2 %.

-  Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Ответ: 3 %.

12.    15 - го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

 В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5 %, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение:

        Пусть 15 - го числа текущего месяца долг равен   х рублей, а 15 го числа предыдущего месяца  у рублей. Тогда в конце предыдущего месяца долг равен  и выплата в первой половине текущего месяца равна.    В процентах отсуммы кредита выплаты в феврале составили  ;                в марте               в июне    

       Общая сумма выплат составила  15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52,5 = 122,5 %.

Ответ: 22,5 %

III  тип задач:    какую сумму взяли в  кредит или сумма выплат по кредиту.

июнь 2015

        13.   В июле планируется   взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

  -  каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;                                   -  с февраля по июнь  каждого года необходимо выплатить часть долга;                                                            -   в июле  каждого   года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.  Сколько  млн. рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Решение:

Найдем сумму всех выплат:.

Ответ: 13 млн. рублей.

июнь 2015

14.   В июле планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:                          -  каждый январь  долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;                                 - с февраля по июнь  каждого года необходимо выплатить часть долга равную 2,16 млн. рублей.   Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за 3 года)?

Решение:

      Пусть х рублей планируется взять в банке. Составим уравнение по условию задачи: долг был погашен тремя равными платежами по 2, 16 млн.  рублей после начисления  20 % на оставшуюся сумму долга.

Ответ:  4,55 млн. рублей

        15.     31 декабря 2014 года Сергей взял в банке  некоторую сумму в кредит под 12 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12 %), затем Сергей переводит в банк 3 512 320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Решение:

     Пусть х рублей взял Сергей в банке. Составим уравнение по условию задачи: долг был погашен тремя равными платежами по 3 512 320 рублей после начисления 12% на оставшуюся сумму долга.

Ответ: 8 436 000.

    16.      Жанна взяла в банке кредит 1,8 млн. рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Решение:

I  способ:

Выплаты составляют арифметическую прогрессию, где

Ответ: 1,0665 млн. рублей.

IIспособ : Пусть -  сумма долга в конце n - го месяца,  - первоначальная сумма долга.

, где  По условию задачи, надо найти сумму выплат Жанны за первый год кредитования, то есть  .

  По условию задачи: сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц, тогда составляет арифметическую прогрессию, где

 - формула n-  го члена прогрессии.

Суммы  выплат составляют арифметическую прогрессию.

.

Ответ: 1 066 500.

июнь 2015

17.    В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000 рублей. Условия его возврата таковы:                  - каждый январь долг возрастает на 20 %  по сравнению с концом предыдущего года;                                  -  с февраля по июнь каждого следующего года необходимо выплатить некоторую часть долга.   Сколько рублей нужно  платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть за 4 года)?

Решение:

        Пусть х рублей выплата  по кредиту. Составим уравнение по условию задачи:погашение кредита за четыре года равными платежами по хруб. после начисления 20 % на оставшийся долг.

Ответ: 3 110 400

18.   31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей под 10 % годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга    ( то есть увеличивает долг на 10 % ), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( за четыре года)?

Решение:

      Пусть Х рублей выплата Алексея по кредиту. Составим уравнение по условию задачи:погашение кредита за четыре года равными платежами по х руб. после начисления 10 % на оставшийся долг.

Ответ:  2 928 200.

19.    Фермер взял в банке кредит на сумму 3 640 000 рублей под 20% годовых. Схема погашения кредита: раз в год клиент выплачивает банку одну и ту же сумму, которая состоит из двух частей. Первая часть составляет 20 % от оставшейся суммы долга, а вторая часть направлена на погашение оставшейся суммы долга. Каждый следующий год проценты начисляются только на оставшуюся часть долга. Какой должна быть ежегодная сумма выплат ( в рублях ), чтобы фермер полностью погасил кредит тремя равными платежами?

Решение:

       Пусть х рублей должна быть ежегодная сумма выплат. Составим уравнение по условию задачи:фермер взял в банке кредит на сумму 3 640 000 рублей под 20% годовых и погасил кредит тремя равными платежами.

Ответ: 1 728 000.

июнь 2015

20.     В июле планируется взять кредит на сумму 4 026 000 рублей. Условия его возврата таковы:             - каждый  январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом прошлого года;                                        -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.  На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года ) по сравнению со случаем, если он будет полностью погашен двумя равными платежами ( то есть за 2 года )?

Решение:

I случай.  Пусть по  х рублей  выплачивают , чтобы погасить кредит  четырьмя равными  платежами. Составим первое уравнение по условию задачи: кредит в размере 4 026 000 рублей  под 20% годовых  погасили  четырьмя  равными платежами.

II случай.    Пусть по  yрублей  выплачивают, что бы погасить кредит двумя  платежами. Составим второе  уравнение по условию задачи: кредит в размере  4 026 000 рублей под 20% годовых  погасили  двумя  равными платежами.

Вопрос задачи:    на сколько рублей  больше отдали бы  банку, если  бы  выплатили  долг за четыре  равных платежа или  найти разность  

Ответ:  950 400.

21.    31 декабря 2014 года Фёдор взял в банке 6 951 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляют проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 10 % ), затем Фёдор переводит в банк платёж. Весь долг Фёдор выплатил за  три равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?

Решение:

I случай.  Пусть по  х рублей  выплачивал Фёдор, что бы погасить кредит тремя платежами. Составим первое уравнение по условию задачи: кредит в размере 6 951 000 рублей под 10% годовых он погасил тремя равными платежами.

II случай.    Пусть по  yрублей  выплачивал Фёдор, чтобы погасить кредит двумя  платежами. Составим второе  уравнение по условию задачи: кредит в размере 6 951 000 рублей под 10% годовых он погасил двумя  равными платежами.

Вопрос задачи:    на сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа или  найти разность  

Ответ: 375 100.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

досрочный 2015

1.   Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное  оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно  часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t  единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов )  Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение:

               Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе 2х,  а на втором заводе 5у. (Тогда за неделю нужно произвести 580 единиц товара или    За каждый час работы Владимир платит рабочему 500 рублей, тогда составим функцию  и исследуем её на наименьшее значение.

Выразим из первого уравнения  у  через х:  

    -  точка минимума.

Ответ: 5 800 000.

досрочный 2015

2.     Антон  является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий.  Если рабочие на одном из заводов  трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,  платит  200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение:

            Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе  х  и  суммарные затраты времени будут  .Тогда  количество единиц товара, произведённого на втором  заводе  y  и суммарные  затраты времени будут  .  Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,  платит  200 рублей и  готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих, тогда получаем уравнение.

Составим функцию  количества единиц товара за неделю на двух заводах: .

Выразим из первого уравнения у через х:   (

 - точка  максимума.

Ответ: 90.

досрочный 2015

3.    Григорий  является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное  оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно  часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t  единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов )  Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение:

             Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе  3х  и  суммарные затраты времени будут  . Тогда  количество единиц товара, произведённого на втором  заводе  4y  и суммарные  затраты времени будут  . Григорий платит рабочему 500 рублей и  готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих, тогда получаем уравнение  .  или

Составим функцию  количества единиц товара за неделю на двух заводах: .

Выразим из первого уравнения у через х:          (

 - точка  максимума.

Ответ: 400.

4.   Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объёме  гб. входящей в него информации выходит 20t , с сервера № 2  при объёме  гб.  входящей в него информации выходит 21tгб обработанной информации;   Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей  информации в 3364 гб?

Решение:  

Пусть на севере № 1 обрабатывается  , а на сервере № 2 обрабатывается   гб. из всей первичной информации. Тогда общий объём входящей информации 3364 гб.,  тогда . Всего обработано будет  гб. информации.  Исследуем эту функцию на наибольшее значение.

  - точка максимума.

Ответ:  1 682.

июнь 2015

        5. Зависимость объёма Q ( в шт.) купленного у фирмы товара по цене Р ( в рублях за штуку) выражается формулой  Доход от продажи товара составляет  рублей. Затраты на производство Qединиц товара составляют рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат  на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену на продукцию на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение:

Рассмотрим  функцию: прибыль в зависимости от цены товара.

 - это квадратичная функция, графиком, которой является парабола, принимающая наибольшее значение в вершине. Ось симметрии параболы: прямая,  параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.  Вершина параболы  соответствует 90% цены, так как прибыль не изменилась, когда цену уменьшили на 20 %, тогда  составляем  пропорцию:

Ответ: 12,5 %

6.     В первые классы поступают 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение:

       Пусть в меньший класс ( 21 человек) распределено х мальчиков (  . Тогда в больший класс попало ( 23 - х ) мальчиков.

 Суммарная доля мальчиков в двух классах      

 -  линейная функция с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [ 1; 21 ] , то есть при х = 21. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочек и 2 мальчика.

Ответ: В одном классе - 21 мальчик, в другом - 20 девочек и 2 мальчика.

7.   Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера " люкс " площадью 45  квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить  отелю 2 000 рублей в сутки, а номер " люкс " - 4 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

         Составим уравнения по условию задачи:   Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр.  

Найдём общую прибыль номеров в сутки:  Выразим из первого уравнения y:                   (  1

      линейная функция с отрицательным  угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на левом  конце промежутка ( при минимальном  количестве обычных номеров ), то есть при  х = 3, тогда  y = 20.     (

Ответ: 86 000 рублей.

аналогичная задача:

     Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера " люкс " площадью 45  квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить  отелю 2 000 рублей в сутки, а номер " люкс " - 3 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Ответ: 63 000 рублей.

8.    В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час  добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля.  Во  второй  шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час  добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля.  При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог производить наибольшее количество сплава. Сколько сплава при таких условиях  сможет произвести завод?

Решение:

       Пусть  за х часов на I шахте добывают алюминий, а за   у часов  на II шахте добывают алюминий.

      Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Тогда составляем уравнение:

   При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог производить наибольшее количество сплава. Рассмотрим функцию сплава:  

Функция  является убывающей, тогда наибольшее значение она достигает  при наименьшем значении х,

при х = 0         S = 5 400.

Ответ: 5 400.

  9.     На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и  В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать деталь так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение:

     Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.            

      Рассмотрим функцию количества изделий из этих деталей:

     Линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, будет достигать наибольшего значения при минимальном  х .                      

Ответ: 1980

10.    У фермера есть два поля, каждое площадью по 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель  и свёклу, поля можно делить между этими культурами  в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц /га, а на втором 200 ц / га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц / га, на втором 300 ц / га. Ферме может продавать картофель по цене 4 000 рублей за центнер, а свёклу по цене 5 000 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Составим функцию по условию задачи:

Наибольшего значение будет достигаться при  у  =  0,    х = 10.

S =

Ответ: 27 000 000 рублей.

1 1.    Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. Втечение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после  покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

        Первоначальная стоимость ценной бумаги 7 тыс. рублей, цена бумаги  возрастает каждый год на  2 тыс. рублей. Тогда рассматриваем арифметическую прогрессию, где

   Нам надо найти номер максимального члена последовательности     , где  n -  целое число,

;    

Ответ: в течение восьмого года.

аналогичная задача:

          Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8 %. Втечение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через  двадцать пять  лет после  покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Ответ: в течение шестого года.

июнь 2015

1 2.  Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе  равны млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р  тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы ( в млн. рублей) за один год составит    . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении   р строительство завода окупится не более , чем за 3 года ?

Решение:

     По условию задачи  строительство завода должно окупиться не более, чем за три года. Так  как годовая прибыль вычисляется по формуле    тогда    ;  

    Выразим   p   через х:    . Исследуем эту функцию на наименьшее значение.

   - точка минимума

Ответ: 10.

13.       Производство х тыс.  единиц продукции обходится в  млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей  за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции ( в млн. рублей ) составляет  При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн. рублей?

Решение:

По условию задачи   через три года суммарная прибыль  должна быть  не менее 75 млн. рублей. Так  как годовая прибыль вычисляется по формуле    тогда    ;  

    Выразим  p   через х:    . Исследуем эту функцию на наименьшее значение.

   - точка минимума

Ответ: 9.

аналогичная задача:

-   Производство х тыс.  единиц продукции обходится в  млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей  за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции ( в млн. рублей ) составляет  При каком наименьшем значении p через четыре  года суммарная прибыль составит не менее 52 млн. рублей?

Ответ: 6

Раздаточный материал:

ЗАДАНИЕ № 17.

I тип задач: на какой минимальный срок взят кредит.

 1.      Максим хочет взять кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, может быть последней), после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были бы не более 350 тыс. рублей?

    2.      1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплат кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 3 %), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит.чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

  3.    Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме , может быть последней ) после начисления процентов. Ставка процентов 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?

4.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:    -    каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;      

   -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;                                                                     -     в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует  брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн. рублей?

5.      В июле планируется взять кредит на  сумму 20 млн. рублей на некоторый срок ( целое число лет). Условия его возврата таковы:  - каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;     -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;                                                       - в  июле каждого года  долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.  На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн. рублей?    

 6. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

      7.   За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере      5 %, затем 12 %, потом  и, наконец, 12,5 % в месяц. Известно, что под действием  каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

II  тип задач: под какой процент был  взят кредит.

    8.     31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество  процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, а во второй 644, 1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?

   9.   В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата такова:  

 - каждый январь  долг возрастает на a% по сравнения с концом предыдущего года;                              

      -  февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.   Найдите число a, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год 69 000 рублей?

   10.    В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:  - каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;  

  - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;    

-  в июле каждого года долг должен  быть на одну и ту же величину меньше долга за июль предыдущего года. Найти х, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей.а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей?

 11.    15 - го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:          

 - 1 - го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;      

 - со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;        

- 15 - го числа каждого месяца долг должен на одну и ту же сумму меньше долга на 15 - е число предыдущего месяца.  Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

  12.    15 - го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

   В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5 %, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

III  тип задач:    какую сумму взяли в  кредит или сумма выплат по кредиту.

     13.   В июле планируется   взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:  -  каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;      

-  с февраля по июнь  каждого года необходимо выплатить часть долга;                                                          

 -   в июле  каждого   года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.  Сколько  млн. рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

    14.   В июле планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:                        

  -  каждый январь  долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;                              

  - с февраля по июнь  каждого года необходимо выплатить часть долга равную 2,16 млн. рублей.   Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за 3 года)?

    15.     31 декабря 2014 года Сергей взял в банке  некоторую сумму в кредит под 12 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12 %), затем Сергей переводит в банк 3 512 320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?

    16.      Жанна взяла в банке кредит 1,8 млн. рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

    17.    В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000  рублей. Условия его возврата таковы:          

        - каждый январь долг возрастает на 20 %  по сравнению с концом предыдущего года;                              

   -  с февраля по июнь каждого следующего года необходимо выплатить некоторую часть долга.   Сколько рублей нужно  платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть за 4 года)?

     18.   31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей под 10 % годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет процент на оставшуюся сумму долга    ( то есть увеличивает долг на 10 % ), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( за четыре года)?

     19.    Фермер взял в банке кредит на сумму 3 640 000 рублей под 20% годовых. Схема погашения кредита: раз в год клиент выплачивает банку одну и ту же сумму, которая состоит из двух частей. Первая часть составляет 20 % от оставшейся суммы долга, а вторая часть направлена на погашение оставшейся суммы долга. Каждый следующий год проценты начисляются только на оставшуюся часть долга. Какой должна быть ежегодная сумма выплат ( в рублях ), чтобы фермер полностью погасил кредит тремя равными платежами?

    20.     В июле планируется взять кредит на сумму 4 026 000 рублей. Условия его возврата таковы:          

   - каждый  январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом прошлого года;                                    

   -  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.  На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть за 4 года ) по сравнению со случаем, если он будет полностью погашен двумя равными платежами ( то есть за 2 года )?

     21.    31 декабря 2014 года Фёдор взял в банке 6 951 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляют проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 10 % ), затем Фёдор переводит в банк платёж. Весь долг Фёдор выплатил за  три равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

     1.   Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное  оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно  часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t  единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов )  Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

      2.  Антон  является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий.  Если рабочие на одном из заводов  трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе,  платит  200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

3.  Григорий  является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное  оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно    часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно  часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t  единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов )  Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

4.   Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объёме  гб. входящей в него информации выходит 20t , с сервера № 2  при объёме  гб.  входящей в него информации выходит 21tгб. обработанной информации;   Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей  информации в 3364 гб.?

        5. Зависимость объёма Q  ( в шт.) купленного у фирмы товара по цене Р ( в рублях за штуку) выражается формулой  Доход от продажи товара составляет   рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют  рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат  на его производство.стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену на продукцию на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

       6.     В первые классы поступают 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

     7.   Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера " люкс " площадью 45  квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить  отелю 2 000 рублей в сутки, а номер " люкс " - 4 000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

     8.    В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час  добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля.  В второй  шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час  добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля.  При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог производить наибольшее количество сплава. Сколько сплава при таких условиях  сможет произвести завод?

    9.     На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и  В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать деталь так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

     10.  У фермера есть два поля, каждое площадью по 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель  и свёклу, поля можно делить между этими культурами  в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц /га, а на втором 200 ц / га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц / га, на втором 300 ц / га. Ферме может продавать картофель по цене 4 000 рублей за центнер, а свёклу по цене 5 000 рублей за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

    11.    Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после  покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

     12.    Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе  равны   млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р  тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы ( в млн. рублей) за один год составит    . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении   р строительство завода окупится не более , чем за 3 года ?

   13.  Производство х тыс.  единиц продукции обходится в  млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей  за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции ( в млн. рублей ) составляет  При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн. рублей?

июнь 2015

       11.      15 - го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:            - 1 - го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;        

 - со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;                                                                       - 15 - го числа каждого месяца долг должен на одну и ту же сумму меньше долга на 15 - е число предыдущего месяца.  Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

Решение:

I способ:

    Пусть первоначальная сумма кредита S.

Сумма всех выплат составит:

Известно, что общая сумма после полного погашения  кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит, тогда

Ответ: 1%

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

а) Пусть вписанная окружность с центром O‍ касается боковой стороны AB‍ и основания BC‍

равнобедренного треугольника ABC‍ в точках M‍ и H‍ (рис. 1), а окружность с центром O‍1‍ касается боковой стороны AB,‍ продолжения основания BC‍ в точке D‍ и продолжения боковой стороны AC‍ в точке E.‍ Тогда AH —‍ высота треугольника ABC.‍

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO‍1 —‍ биссектриса угла BAE.‍ В четырёхугольнике AHDO‍1‍ угол HAO‍1 —‍ прямой как угол между биссектрисами смежных углов BAC‍ и BAE,‍ а так как ∠HDO‍1 = ∠AHD = 90‍∘,‍ то AHDO‍1 —‍ прямоугольник, поэтому O‍1D = AH.‍

б) Пусть радиус окружности с центром O‍ равен r‍ (рис. 2). Тогда радиус окружности с центром O‍1‍ равен 5r.‍AH = O‍1D = 5r,  OA = AH − OH = 5r − r = 4r.‍Из прямоугольного треугольника AOM‍ находим, что AM = ‍√AO‍2 − OM‍2 = ‍√16r‍2 − r‍2 = r‍√15.‍

 Прямоугольные треугольники AOM‍ и ABH‍ подобны по двум углам, поэтому  AM / OM  = ‍‍ AH / BH ,‍ откуда BH = ‍‍ OM · AH / AM  = ‍‍ r · 5r / r‍15  = ‍‍ r‍√15 / 3

.‍ По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки BM = BH = ‍‍ r‍√15/ 3 .‍ Следовательно, BM / AM

 = ‍‍ ‍‍ r‍√15/ 3 /       r‍√15  = ‍‍ 1 / 3

.‍