Подготовка к олимпиадам 8 класс

1

2

3

4

5

6

7

8

1

  На острове живут 25 человек: рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, каждый из которых через раз отвечает на вопросы то правду, то ложь. Каждому жителю острова было задано подряд три вопроса: «Вы рыцарь?», «Вы хитрец?», «Вы лжец?».

Ответ «Да» на первый вопрос дали 17 человек, на второй — 12, на третий — 8. Сколько хитрецов на острове?

2

 Учитель спросил у четверых учеников, сколько из них вчера решали задачи. Аня ответила, что никто, Боря — что один человек, Вася — что два, а Галя — что три. Известно, что правду сказали только те, кто решал вчера задачи. Сколько учеников решали вчера задачи?

 3

 На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял жителя острова в проводники. Они пошли и увидели другого жителя острова. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал, что туземец говорит, что он абориген. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

4

 Жители города А говорят только правду, жители города Б - только ложь, жители города В- попеременно правду и ложь(т.е. из двух утверждений, высказанных ими, одно истинно, а другое ложно). Дежурному пожарной части по телефону сообщили: «У нас пожар! Приезжайте скорее!» «Где?» - спросил дежурный. «В городе В», - ответили ему. Куда должна выехать пожарная машина? (Пожар действительно был)

5

 Представьте, что вы – узник, и вам вдруг предоставили право выйти на свободу, но только в том случае, если вы справитесь со следующим заданием. Перед вами две двери, одна из которых ведет на волю, а другая – дорога к смерти. Сидят два стражника, причем один из них – лжец, а другой всегда говорит правду; вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из стражников, определить дорогу на свободу. Какой вопрос вы зададите?

6

В одной книге написано 100 следующих утверждений:

«В этой книге ровно одно неверное утверждение».

«В этой книге ровно два неверных утверждения».

……………………………………………………………………………….

«В этой книге ровно 100 неверных утверждений»

Какое из этих утверждений верное?

7

Коля, Вася и Сережа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину чашку. На вопрос, кто разбил чашку, они дали такие ответы:

Сережа: «Я не разбивал», «Вася не разбивал»

Вася: «Сережа не разбивал», «Чашку разбил Коля»

Коля: «Я не разбивал», «Чашку разбил Сережа»

Бабушка знала, что один из её внуков правдивый (оба утверждения верны), один шутник (оба утверждения ложны) и ещё один хитрец (одно утверждение ложно, другое правдиво). Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто разбил бабушкину чашку?

8

Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

Алеша «Этот сосуд греческий и изготовлен в 5 веке»

Боря «Это сосуд финикийский и изготовлен в 3 веке»

Гриша «Этот сосуд не греческий и изготовлен в 4 веке»

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

9

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на олимпиаде по информатике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1. Сергей- первый, Роман – второй;
2. Сергей – второй, Виктор – третий;
3. Леонид – второй, Виктор – четвертый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

10

Учитель проводил диктант по теме «Определения». Каждый из учеников – Коля, Серёжа, Ваня, Толя и Надя – ошибся в одном из пяти заданий диктанта, причем все они ошиблись в разных заданиях. По окончании работы учащиеся высказались об ошибках, сделанных их одноклассниками, следующим образом:

1. «Коля ошибся в первом задании, а Ваня – в четвертом»
2. «Сережа ошибся во втором, а Ваня – в четвертом»
3. «Серёжа ошибся во втором, а Коля – в третьем задании»
4. «Толя ошибся в первом задании, а Надя – во втором»
5. «Надя ошиблась в третьем задании, а Толя – в пятом».

Оказалось, что каждый из учеников был прав только в одном из двух своих утверждений. Определите, кто из ребят,  и в каком задании допустил ошибку.

1

На какое минимальное число треугольников можно разрезать ножницами выпуклый 90-угольник?

2

На продолжении стороны AC треугольника ABC отмечена точка M. Известно, что CM = 2 AC, ∠CBA = 15° и ∠CAB = 45°. Найдите ∠AMB.

3

В M-образной ломаной ABCDE AB = BC = CD = DE, угол ABC = углу CDE, M — середина BD. Докажите, что MA = ME.

4

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из неё опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?

5

В треугольнике ABC проведена биссектриса BK и ∠AKB : ∠CKB = 4 : 5: Найдите разность углов A и C треугольника ABC.

6

Доказать, что  ели в треугольнике величина каждого из углов больше 57°, то она меньше 66°

7

В треугольнике АВС биссектриса АЕ равна ЕС. Найдите угол АВС, если АС=2АВ.

8

Угол между двумя высотами остроугольного треугольника АВС равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС- равносторонний.

9

Построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику.

10

Дан произвольный треугольник. Построить с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному треугольнику.