Материалы к урокам. 11 класс

Вопросы к зачету по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Определение вектора. Координаты вектора. Длина вектора.
2. Равенство векторов в геометрической и алгебраической форме.
3. Сумма векторов в алгебраической и геометрической форме.
4. Разность векторов в алгебраической и геометрической форме.
5. Скалярное произведение векторов. (определение, выражение через координаты).
6. Угол между векторами. Нахождение угла между векторами.
7. Определение коллинеарных векторов. Признак коллинеарности векторов.
8. Определение компланарных векторов. Свойства компланарных векторов.
9. Признак компланарности векторов.
10. Нахождение координат середины отрезка.
11. Нахождение расстояния между двумя точками.
12. Уравнение плоскости. Вектор нормали плоскости.
13. Нахождение угла между прямыми.
14. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
15. Нахождение угла между плоскостями.
16. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью.

Вопросы к зачету по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Определение вектора. Координаты вектора. Длина вектора.
2. Равенство векторов в геометрической и алгебраической форме.
3. Сумма векторов в алгебраической и геометрической форме.
4. Разность векторов в алгебраической и геометрической форме.
5. Скалярное произведение векторов. (определение, выражение через координаты).
6. Угол между векторами. Нахождение угла между векторами.
7. Определение коллинеарных векторов. Признак коллинеарности векторов.
8. Определение компланарных векторов. Свойства компланарных векторов.
9. Признак компланарности векторов.
10. Нахождение координат середины отрезка.
11. Нахождение расстояния между двумя точками.
12. Уравнение плоскости. Вектор нормали плоскости.
13. Нахождение угла между прямыми.
14. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
15. Нахождение угла между плоскостями.
16. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью.

Вопросы к зачету по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Определение вектора. Координаты вектора. Длина вектора.
2. Равенство векторов в геометрической и алгебраической форме.
3. Сумма векторов в алгебраической и геометрической форме.
4. Разность векторов в алгебраической и геометрической форме.
5. Скалярное произведение векторов. (определение, выражение через координаты).
6. Угол между векторами. Нахождение угла между векторами.
7. Определение коллинеарных векторов. Признак коллинеарности векторов.
8. Определение компланарных векторов. Свойства компланарных векторов.
9. Признак компланарности векторов.
10. Нахождение координат середины отрезка.
11. Нахождение расстояния между двумя точками.
12. Уравнение плоскости. Вектор нормали плоскости.
13. Нахождение угла между прямыми.
14. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
15. Нахождение угла между плоскостями.
16. Нахождение расстояния между точкой и плоскостью.

Подготовка к контрольной работе по теме

«Вписанные и описанные многогранники».

1. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник с основанием 4см и углом при вершине 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, если его осевое сечение – квадрат.

2. Основание пирамиды – ромб с острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. В пирамиду вписан конус, высота которого равна H. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Около шара радиуса R описан конус. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен α.

4. Около прямой треугольной призмы ABCA1B1C1  описан шар. Найти радиус шара, если AC=CB=5, AB=6, AA1=.
5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите радиус вписанной в эту пирамиду сферы.

6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, а боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.

7. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании которой лежит квадрат. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде радиус вписанной сферы равен 2см, а описанной сферы – 5см. Найти сторону основания и высоту пирамиды.

Подготовка к контрольной работе по теме

«Вписанные и описанные многогранники».

1. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник с основанием 4 см и углом при вершине 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около призмы, если его осевое сечение – квадрат.

2. Основание пирамиды – ромб с острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. В пирамиду вписан конус, высота которого равна H. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Около шара радиуса R описан конус. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен α.

4. Около прямой треугольной призмы ABCA1B1C1  описан шар. Найти радиус шара, если AC=CB=5, AB=6, AA1=.
5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите радиус вписанной в эту пирамиду сферы.

6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, а боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.

7. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании которой лежит квадрат. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде радиус вписанной сферы равен 2см, а описанной сферы – 5см. Найти сторону основания и высоту пирамиды.

Задачи на оптимизацию.

1. На графике функции  при  найдите точку, расстояние от которой до точки А(3;0) является наименьшим.
2. На странице текст должен занимать 384 см2. верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
3. Точка А лежит на графике функции y=f(x), точка В – на оси Ох, и её абсцисса равна ординате точки А. Найти наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где О – начало координат, а f(x)=, где .
4. Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань – в белый, другую – в синий и третью  в красный цвет. Сумма площадей красной и синей граней равна 231, а периметр белой грани на 12 больше периметра красной грани. Найти наибольшее значение объёма такого параллелепипеда.
5. Через точку М (2;6) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на

положительных координатных полуосях была наименьшей.

_______________________________________________________________________________

Задачи на оптимизацию.

1. На графике функции  при  найдите точку, расстояние от которой до точки А(3;0) является наименьшим.
2. На странице текст должен занимать 384 см2. верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
3. Точка А лежит на графике функции y=f(x), точка В – на оси Ох, и её абсцисса равна ординате точки А. Найти наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где О – начало координат, а f(x)=, где .
4. Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань – в белый, другую – в синий и третью  в красный цвет. Сумма площадей красной и синей граней равна 231, а периметр белой грани на 12 больше периметра красной грани. Найти наибольшее значение объёма такого параллелепипеда.
5. Через точку М (2;6) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на

положительных координатных полуосях была наименьшей.

_______________________________________________________________________________

Задачи на оптимизацию.

1. На графике функции  при  найдите точку, расстояние от которой до точки А(3;0) является наименьшим.
2. На странице текст должен занимать 384 см2. верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое – по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
3. Точка А лежит на графике функции y=f(x), точка В – на оси Ох, и её абсцисса равна ординате точки А. Найти наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где О – начало координат, а f(x)=, где .
4. Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань – в белый, другую – в синий и третью  в красный цвет. Сумма площадей красной и синей граней равна 231, а периметр белой грани на 12 больше периметра красной грани. Найти наибольшее значение объёма такого параллелепипеда.
5. Через точку М (2;6) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на

положительных координатных полуосях была наименьшей.

Вариант 1.

1. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
2. В треугольнике ОВН точка М делит сторону ОВ на отрезки ОМ = 4 и МВ = 28, . Найдите площадь треугольника ОНМ, если  О = 45.
3. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 3 и АС = 5 взята точка К на стороне ВС так, что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ:МК = 5:2. Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь треугольника АВС равна 56.
4. Найдите площадь треугольника АВС, если его стороны АВ и АС равны соответственно 12 и 18, а биссектриса АМ отсекает от него треугольник АВМ, площадь которого равна 20.
5. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках К и А. Точка К делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка КА.
6. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 75 описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.
7. Медиана, проведенная из вершины А треугольника АВС, продлена до пересечения в точке К с описанной окружностью. Найдите сторону АС, если АК = 26, ВК = 10, медиана равна 18.
8. В треугольнике АВС сторона AB = 6 , BAC = 30°, радиус описанной окружности равен 5. Найдите сторону АС.
9. Около треугольника ABC описана окружность с центром  О, угол АОС равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.
10. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает прямую АС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает прямую АВ в точке N. Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой ВС. Определите углы треугольника АВС.

Вариант 2.

1. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу  равна 9.
2. В треугольнике АВС точка D делит сторону АC на отрезки AD = 3 и DC = 13,  

  ВАС = 60; . Найдите площадь треугольника АВС.

3. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 4 и АС = 7 взята точка К на стороне ВС так, что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ:МК = 2:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КВМ равна 12.
4. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3, ВС = 10,  МАС = 45.
5. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6, ВК = 12. Найдите периметр треугольника.
6. Равнобедренный треугольник вписан в окружность с радиусом 4. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120.
7. Около треугольника АВС описана окружность радиуса , и в него же вписана окружность. Хорда описанной окружности, проходящая через центр вписанной окружности и вершину А, пересекает сторону ВС в точке М. Найдите МС, если А = 60 и АВ = 2АС.
8. В треугольнике АВС сторона AB = 24 , BAC = 60° , радиус описанной окружности равен 13. Найдите сторону АС.
9. В треугольнике АВС с углом ABC = 60°, биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. На стороне АС взята точка К так, что AMK = 30°. Найдите OKC, где О - центр окружности, описанной около треугольника АМС.
10. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает сторону ВС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через сторону ВС, пересекает сторону АС в точке N. Известно, что MN = АВ и прямая MN перпендикулярна АВ. Найдите углы треугольника АВС.

Математический бой

по теме «Решение планиметрических задач».

1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АМ. Найти углы треугольника, если известно, что ВМ = АС.

2. В треугольнике АВС точка F – середина ВС, а Е – основание биссектрисы угла А. Описанная окружность треугольника AEF пересекает стороны АВ и АС в точках В1 и С1 соответственно. Докажите, что ВВ1 = СС1.

3. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ .

4. Дан параллелограмм ABCD , AB = 2, BC = 3 , . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

5. Точка О – центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.

6. Трапеция АВСD c основаниями AD и ВС вписана в окружность с центром О. найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и sin <АОВ = 0,6.

Математический бой

по теме «Решение планиметрических задач».

1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АМ. Найти углы треугольника, если известно, что ВМ = АС.

2. В треугольнике АВС точка F – середина ВС, а Е – основание биссектрисы угла А. Описанная окружность треугольника AEF пересекает стороны АВ и АС в точках В1 и С1 соответственно. Докажите, что ВВ1 = СС1.

3. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ .

4. Дан параллелограмм ABCD , AB = 2, BC = 3 , . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

5. Точка О – центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.

6. Трапеция АВСD c основаниями AD и ВС вписана в окружность с центром О. найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и sin <АОВ = 0,6.

Вычисление объёмов шара и его частей. Практикум.

1. Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объём.
3. В полушаре радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объём полученного шарового слоя.
4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объём тела вращения.
5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.
6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 см и 9 см. На какие части делится объём шара?
7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Вычисление объёмов шара и его частей. Практикум.

1. Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объём.
3. В полушаре радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объём полученного шарового слоя.
4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объём тела вращения.
5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.
6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 см и 9 см. На какие части делится объём шара?
7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Вычисление объёмов шара и его частей. Практикум.

1. Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объём.
3. В полушаре радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объём полученного шарового слоя.
4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объём тела вращения.
5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.
6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 см и 9 см. На какие части делится объём шара?
7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Объем шара и его частей. Площадь сферы. Практикум 2.

Часть 1.

1. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
2. Радиусы трех шаров относятся как 1:2:3. Во сколько раз объем большого шара больше суммы объемов меньших шаров?
3. Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара. Какую часть составляет объем этого сегмента от объема цилиндра, имеющего те же основания и высоту?
4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
5. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
6. Какое тело имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?
7. Диаметр радиуса 12 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 3:3:2. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

Часть 2.

8. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов тетраэдра и шара.
9. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор. Высота сегмента равна 1, а объем конуса 12π. Найдите объем шарового сектора.
10. Объем конуса равен 128 π, а его высота 6. Найдите объем описанного около конуса шара.
11. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида МАВСD. Площадь треугольника АМС равна S, а боковое ребро пирамиды равно диагонали его основания. Найдите объем шара.
12. В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что боковые грани пирамиды касаются поверхности полушара, а его большой круг лежит на основании пирамиды. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α, а объем полушара равен V. Найдите объем пирамиды.

Объем шара и его частей. Площадь сферы. Практикум 2.

Часть 1.

1. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
2. Радиусы трех шаров относятся как 1:2:3. Во сколько раз объем большого шара больше суммы объемов меньших шаров?
3. Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара. Какую часть составляет объем этого сегмента от объема цилиндра, имеющего те же основания и высоту?
4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
5. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
6. Какое тело имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?
7. Диаметр радиуса 12 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 3:3:2. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

Часть 2.

8. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов тетраэдра и шара.
9. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор. Высота сегмента равна 1, а объем конуса 12π. Найдите объем шарового сектора.
10. Объем конуса равен 128 π, а его высота 6. Найдите объем описанного около конуса шара.
11. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида МАВСD. Площадь треугольника АМС равна S, а боковое ребро пирамиды равно диагонали его основания. Найдите объем шара.
12. В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что боковые грани пирамиды касаются поверхности полушара, а его большой круг лежит на основании пирамиды. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α, а объем полушара равен V. Найдите объем пирамиды.

Факультатив по геометрии 4 мая.

Задачи для самостоятельной работы.