Материалы к урокам. 10 класс.

Тема:                         Метод математической индукции.

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение).

Полная индукция – метод доказательства общего утверждения, которое относится к конечному множеству, состоящий в проверке утверждения для любого элемента данного множества.

Неполная индукция. Знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , ,  простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые.

Это предположение оказалось неверным, так как в  XVIII веке Л. Эйлер нашел, что  — составное число.

Принцип математической индукции заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.
2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Алгоритм доказательства методом математической индукции.

1. Базис индукции.

        Проверяется справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл.

2. Индуктивное предположение.

        Делается предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k.

3. Индуктивный переход.

Доказывается справедливость ее для k+1. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная  гипотеза справедлива для любого натурального числа.

Задача №1.

Чему равна сумма n первых членов последовательности нечетных чисел натурального ряда?

Задача №2

Доказать, что . = .

Задача №3

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Домашнее задание

1. Доказать неравенство , где x≥-1, x≠0, n∈N, n>1.

Это неравенство называется неравенством Бернулли.

2. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до n, равна , то есть 12+22+32+…+n2=

Тема:                         Метод математической индукции. (Для учителя)

При изучении явлений в любой области знаний – будь, то математика или история, физика или медицина, астрономия или экономика всюду и всегда основным этапом является установление определенных закономерностей связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Мы подмечаем определенную связь между элементами изучаемого явления справедливого для многих частных случаев, затем распространяем на все случае вообще, устанавливая тем самым общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение “Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является общим, так как относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение “В параллелограмме ABCD диагонали делятся в точке пересечения пополам”, является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого либо утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда ошибочными.

Многие свойства чисел сначала были открыты путем наблюдений, задолго до того как истинность была строго доказана.

II. Основная часть урока

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение). Например, знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , ,  простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые. Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII веке Л. Эйлер нашел, что  — составное число. Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой надо потом доказать.

В случае когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта.

В чем же заключается суть исследования которое позволяет доказать или опровергнуть математическое утверждение? Ответ мы найдем при разборе следующей задачи.

Задача

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Решение

Составим суммы одного, двух, трех, и т.д. первых членов данной последовательности:

S1=1; 
S2=1+3=4; 
S3=1+3+5=9; 
S4=1+3+5+7=16; 
S5=1+3+5+7+9=25;

Заметим, что

S1=12; 
S2=4=22;
S3=9=32;
S4=16=42; 
S5=25=52;

На основе этих наблюдений мы можем высказать предположение, что

Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2 (1)

Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Приняв наше предположение за закон, не уподобимся ли мы тем зоологам, которые до открытия Австралии утверждали, что все лебеди на земле белые?

Лучше пойдем по иному пути в поисках общего доказательства высказанного нами утверждения.

Предположим, что формула (1) верна для n=k, где kN, то есть

1+3+5+7+…+(2k-1)=k2 (2)

Докажем ее справедливость и для числа, непосредственно следующего за k, для числа n=k+1.

Sk+1=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (3)

Заменим на основе равенства (2) Sk=1+3+5+7+…+(2k-1) на k2.

Sk+1= Sk +(2k+1)= k2 +(2k+1)= (k+1)2 (3)

Мы пришли к очень важному выводу:

Если наше предположение верно для некоторого натурального k, то оно непременно остается верным для следующего целого числа k+1.

Мы уверены, что предположение верно, для n=1,2,3,4,5. Будучи верным, для 5 оно на основе полученного вывода оно должно быть верным и для следующего целого числа 6, будучи верным, для 6 оно должно быть верным и для 7 и так далее. Предположение верно для всех натуральных чисел.

Данное решение может быть укорочено. При переходе, от какого либо произвольного натурального числа k к следующему за ним натуральному числу k+1 нужно ли проверять наше предположение для n=5,4,3,2. Достаточно быть уверенным в том, что оно справедливо для n=1. И тогда мы скажем: если предположение верно для n=1, то оно на основе доказанного верно и для n=2, если оно верно при n=2, то оно верно и для n=3 и так далее.

Решая эту задачу, мы познакомились с очень важным методом доказательства. Такой можно было бы назвать “переходом от k к k+1”, но обычно его называют методом математической или полной индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, который заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.
2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).
2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.
3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

III. Закрепление материала

Применим метод математической индукции к решению следующей задачи.

Задача

Доказать, что , при n2.

Решение

1. Гипотеза имеет смысл при n2. Проверим верность утверждения при n=2

, 57=19? 3

2. Предположим, что при n=k>2, . Докажем, что .

Гипотеза оказалось справедливой и при n=k+1

3. На основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n2.

При доказательстве гипотезы методом математической индукции очень важно выполнение всех его составляющих.

Рассмотрим следующие примеры.

1. При отсутствии первого шага можно “доказать”, что числа вида 2n-1 являются четными при nN.

Пусть при n=k утверждение верно, то есть 2k-1 четное число. 
Проверим верность утверждения при n=k+1
2(k+1)-1=2k+2-1=(2k-1)+2 
По предположению индукции 2k-1 четное число, следовательно число (2k-1)+2 тоже четное.
Отсутствие первого шага приводит к ошибке.

2. В поисках формулы дающий только простые числа Л. Эйлер подверг испытанию трехчлен

P(n)=n2+n+41
Этот трехчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39:
P(1)=12+1+41=43;
P(2)=22+2+41=47;
P(3)=32+3+41=53;
…
P(39)=392+39+41=1601;
P(40)=402+40+41=1641=412.

Обратите внимание, что отсутствие второго шага приводит к неверному результату

Метод математической индукции можно эффективно использовать для формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n, для доказательство тождеств и неравенств, задач на делимость, логических задач.

Задача

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Решение

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его не обязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при n=1 утверждение задачи справедливо. Предположим, что оно верно при каком-то n=k, то есть количество людей участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем справедливость этого утверждения для n=k+1, возможны три варианта осуществления k+1 рукопожатия: друг другу пожимают руки:

• два особых человека;
• два неособых человека;
• один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо неизменяется.

Утверждение доказано.

IV. Итоги урока

Вывод

Метод математической индукции не дает ни каких указаний, как построить гипотезу. Вопрос о том, как возникает гипотеза, принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил, здесь делает свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция.

Без индукции было бы невозможно творчество ни в математике, ни в физике, ни в любой иной области науки.

“Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику” А.Н. Колмогоров

Домашнее задание

1. Доказать неравенство , где x-1, x0, nN, n>1.

Это неравенство называется неравенством Бернулли.

2. Доказать, что сумма квадратов чисел натурального ряда от 1 до n, равна , то есть 12+22+32+…+n2=

Тема:         Равносильные уравнения и неравенства.                                11.02.12

Определение 1. __________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

!!! Равносильными являются всякие два уравнения, которые не имеют решений.

!!! Понятие равносильности связано только с множествами решений.

Определение 2. __________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Определение 3. Два уравнения называются равносильными на множестве М, если совпадают множества их корней, принадлежащих М, или они оба не имеют решений на этом множестве.

Определение 4. Если все корни первого уравнения f(x) = g(x) принадлежат множеству корней уравнения y(x) = h(x), то последнее уравнение называют следствием первого.                f(x) = g(x) => y(x) = h(x).

!!! Если заменить уравнение его следствием, то множество решений второго уравнения будет содержать все корни исходного уравнения и помимо них может содержать ещё некоторые решения, которые не являются корнями исходного уравнения. Такие решения называются посторонними корнями исходного.

!!! Если в процессе решения перешли к следствию, то в конце необходимо провести исследование корней (проверка, ОДЗ)

Утверждения о равносильности алгебраических уравнений.

Дано: уравнение f(x) = g(x) ; ОДЗ: х є М.

1.        f(x) = g(x) ⬄

2.        f(x) = g(x) ⬄ 

3.        f(x) = g(x) ⬄ 

4.         f(x) = g(x) ⬄ 

5.        f(x) = g(x) ⬄ 

6.         =   ⬄ 

7.        f(x) = g(x) ⬄.

Утверждения об уравнениях-следствиях.

1.        f(x) = g(x) =>

2.         = g(x) =>

3.         =   =>

4.        f(x)+h(x) = g(x)+ h(x) =>

5.        f(x) · g(x)=0 =>

Определение 5.         Два неравенства называются равносильными, если множество их решений совпадают.         f(x) < g(x) ⬄ y(x) < h(x),

 т.е. любое решение f(x) < g(x) является решением y(x) < h(x) и наоборот.

!!! Равносильными являются всякие два неравенства, которые не имеют решений.

Определение 6.         Два неравенства называются равносильными на множестве М, если совпадают множества их решений, принадлежащих М, или они оба не имеют решений на этом множестве.

Определение 7.         Если все решения первого неравенства f(x) < g(x) принадлежат множеству решений неравенства y(x) < h(x), то последнее неравенство называют следствием первого.

                                 f(x) < g(x) => y(x) < h(x).

Утверждения о равносильности алгебраических неравенств.

Дано: неравенство f(x) < g(x) ; ОДЗ: х є М.

1.        f(x) < g(x) ⬄ f(x)-g(x)<0.

2.        f(x) < g(x) ⬄ f(x)+h(x) < g(x)+ h(x), если h(x) определено на М.

2*        f(x) < g(x) ⬄ f(x)+а < g(x)+а.

3.        f(x) < g(x) ⬄ f(x) · h(x) < g(x) · h(x), если h(x)>0  на М.

3*.         f(x) < g(x) ⬄ f(x) · h(x) > g(x) · h(x), если h(x)<0  на М.

**частный случай h(x)=а.

4.         > 0⬄ f(x) · y(x) > 0.

5.        f(x) < g(x) ⬄ f(x)ⁿ < g(x)ⁿ, на множестве М, если f(x)>0, g(x)>0.

Функции, их свойства и графики (повторение).

I. Тригонометрические функции.

1. Найти область определения функций:        а) y=;        б) y=.

2. Найти период функций:        а) y =cos 3x + tg 4x;                 б) y = sin  - cos .

3. Найти множество значений функций:                а) y = 3sin x – 4cos x;        б) y = 2 sin2x – cos x -3.

4. Решить неравенство:

5. Вычислить:        а) arcsin(sin(-2));        б) arсcos(cos4).

6. Построить график функции y = sin(arcsin (x+2)) – 3.

II. Показательная и логарифмическая функции.

1. Сравнить:        и .

2. Найти область определения функций:        а) ,                б) .

3. Построить графики функций:        а) ,        б) .

4. Найти наибольшее значение функции:        а),         б) .

5. При каких значениях а уравнение   не имеет корней?

6. Найти область значений функций:        а) ,        б) .

III. Степенная функция.

1. Найти область определения функции: а) ,         б) .

2. Сравнить значения выражений:                и .

3. Изобразить схематически график функции:        а) ,         б) .

4. Сколько целых чисел не входит в область определения функции        ?

5. Сколько целых чисел входит в область значений функции         ?

Задачи на построение сечений.

1. Терминология.

Секущая плоскость многогранника - _________________________________________________

________________________________________________________________________________

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, которые называют следом секущей плоскости.

Сечение многогранника - _________________________________________________________

________________________________________________________________________________

2. Решение задач на построение.

Задача 1.

                Дано:         ABCD – тетраэдр,

                МАВ,         NАD,        K ВС

        Построить: сечение тетраэдра

                                плоскостью (MNK).

Построение:

Задача 2.                                                         Дано:         ABCD – тетраэдр,

                        МBD, BM : BD = 1 : 5,

                        NАС, AN : AC = 4 : 5,

                        K АD, AK : AD = 1 : 3.

         Построить: сечение тетраэдра

                        плоскостью (MNK).

Построение:

Задача 3.                                                        Дано:                DABC – тетраэдр,

        М – середина АС, DB = 6, MD = 10,

                < DBM = 90.

        Построить: сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DC параллельно плоскости (DMB).

        Найти:        Sсеч = ?

Построение:

Решение:

Задача 4.                                                         Дано:         ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед,

        МВВ1,         NСС1,        K AD

Построить:         сечение параллелепипеда

                                плоскостью (MNK).

Построение:

Задача 5.                                                Дано:        ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед,

        все грани – прямоугольники, AD = 4, DC = 8, СС1 = 6,

        М – середина DC.

Построить: сечение плоскостью, проходящей через М и параллельной (А B1C1).

Найти: Рсеч  = ?

Вопросы к зачету по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

1. Определение перпендикулярных прямых.
2. Определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Теоремы о параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
3. Определения перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной; расстояния от точки до плоскости, расстояния между прямой и параллельной плоскостью, расстояния между параллельными плоскостями; расстояния между скрещивающимися прямыми (три определения).
4. Теорема о трех перпендикулярах, прямая и обратная.
5. Определение угла между прямой и плоскостью.
6. Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла, градусной меры двугранного угла, угла между плоскостями.
7. Определение перпендикулярных плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей.
8. Определение прямоугольного параллелепипеда, его элементов. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
9. Вопросы к главе II: учебник, стр. 57.

Вопросы к зачету по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

10. Определение перпендикулярных прямых.
11. Определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Теоремы о параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
12. Определения перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной; расстояния от точки до плоскости, расстояния между прямой и параллельной плоскостью, расстояния между параллельными плоскостями; расстояния между скрещивающимися прямыми (три определения).
13. Теорема о трех перпендикулярах, прямая и обратная.
14. Определение угла между прямой и плоскостью.
15. Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла, градусной меры двугранного угла, угла между плоскостями.
16. Определение перпендикулярных плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей.
17. Определение прямоугольного параллелепипеда, его элементов. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
18. Вопросы к главе II: учебник, стр. 57.

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.

Треугольники.

Прямоугольный треугольник.

Метрические соотношения.

        ;

        ;

        ;        ;

        ,

где- проекции катетов , на гипотенузу ;  -высота.

Соотношения между сторонами и углами.

sin A = ;                tg A = ;                cos A = ;                ctg A = ;

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

R = =m;        r = ,        m –медиана, проведённая из вершины прямого угла.

Формула площади.                S = .

Произвольный треугольник.

Определение вида треугольника по его сторонам:

- если , то треугольник остроугольный;

- если , то треугольник прямоугольный;

- если , то треугольник тупоугольный; где c –наибольшая сторона

Соотношения между сторонами и углами.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180.
2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).
3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и,наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
4. a2 = b2 + c2 – 2bc (теорема косинусов).
5.  =  =  = 2R(теорема синусов).

Свойства медиан.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника
3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
4. m = , где m– медиана, проведённая к стороне с.

Свойства биссектрис.

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности вписанной в треугольник.
2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Свойство высот.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

1. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
2. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

Формулы для вычисления площади.

1. S =;
2. S =;
3. S =  где p- полупериметр(формула Герона);
4. S = , где R – радиус описанной окружности;
5. S = pr, где r – радиус вписанной окружности.

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

        R = ,                R = ,                        r = .

Пропорциональные площади треугольников.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
3. Если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию.
4. Если два треугольника имеют общую высоту (или равные высоты), то отношение их площадей равно отношению оснований.

Четырёхугольники.

Произвольный выпуклый четырёхугольник.

Формулы для вычисления площади.

1. S =  , где - диагонали, - угол между ними;
2. S = pr, если в четырёхугольник можно вписать окружность, где r – радиус вписанной окружности, p- полупериметр.
3. S =  , если около четырёхугольника можно описать окружность, где a, b, c, – стороны четырёхугольника, p- полупериметр.

Вписанная окружность.

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

Описанная окружность.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180. Центром описанной окружности является точкапересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника.

Свойство середин сторон четырёхугольника.

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

Параллелограмм.

Формулы для вычисления площади.

1. S =;
2. S =;
3. S = (для ромба).

Соотношение между сторонами и диагоналями.

.

Трапеция.

Формулы для вычисления площади.

1. S =, где a,b – основания, h – высота;
2. S = pr, если в трапецию можно вписать окружность радиуса r.

Свойства средней линии трапеции.

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
2. Делит пополам любой отрезок, заключённый между основаниями.

Правильные многоугольники.

an = 2Rn;        an = 2rn;                rn = Rn

где an – сторона правильного n-угольника, а rn и Rn – радиусы вписанной и описанной окружностей.

Окружность и круг.

Свойства касательных к окружности.

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА=МВ и АМО = ВМО, где О – центр окружности.
3. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Свойства хорд окружности.

Произведения длин отрезков хорд АВ и СD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕЕВ = СЕЕD.

Углы, связанные с окружностью.

1. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ОВ и ОС (где О – центр окружности). Центральный угол ВОС измеряется дугой ВС, на которую он опирается.
2. Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами АВ и АС, выходящими из точки А на окружности. Вписанный угол ВАС измеряется половиной дуги ВС, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Длина окружности, площадь круга:         l = 2;                S = R2.

Длина дуги, площадь сектора:                 lAB =,                SAOB =,

где α – центральный угол, опирающийся на дугу АВ, выраженный в градусах.