Геометрия плюс оригами

Тема: «Изучение геометрии с помощью оригами».

«Мастер – класс для молодых учителей»

Учитель математики: Куркова С.А .

Единственный путь, ведущий к знанию, - это деятельность.   (Б.Шоу)

«Я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю» - китайская мудрость.

Учитель: Посмотрим на обычный лист бумаги, как на средство обучения одному из сложных предметов – геометрии.

Учитель: Давайте проведем исследование листа бумаги.

Учитель: Какую он имеет форму?

Ученики (в роли учеников – учителя): Прямоугольник, квадрат

Учитель: Каждая вершина угла этого листа?

Ученики – вершина прямоугольника.

Учитель: Край листа?

Ученики – сторона, отрезок.

Учитель: Интересно? Не знаю как у Вас, а у меня нет желания продолжать урок геометрии в таком русле.

Учитель: Сейчас мы с вами проведем небольшую очень простую практическую работу:

Возьмите желтый треугольник, давайте попробуем сгибанием его построить биссектрису одного из углов. Постройте биссектрисы двух других углов. Разверните лист бумаги. Внимательно посмотрите на следы сгибов. Что вы можете сказать?

Ученики: все три сгиба прошли через одну точку.

Учитель: Если вы все действия выполнили правильно, то биссектрисы пересеклись в одной точке.

Учитель: Возьмите красный треугольник. Проделаем аналогичную работу, только сгибать будем несколько иначе. В результате мы построили высоту.  Повторите действия для двух других сторон. Разверните лист бумаги. Что вы можете сказать теперь?

 Ученики: все три сгиба прошли через одну точку.

Учитель: Если вы все действия выполнили правильно, то высоты также пересеклись в одной точке.

Учитель: Возьмите зеленый треугольник. Для построения следующей линии нам нужно разделить сторону треугольника пополам, для этого совмещаем две вершины треугольника и делаем небольшой сгиб, отмечая тем самым середину стороны. Теперь сгибаем треугольник, так чтобы линия сгиба проходила через вершину треугольника и отмеченную точку. Как вы помните, такой отрезок называется медианой треугольника. Постройте еще две медианы треугольника. Вновь рассмотрим рисунок линий и убедимся, что медианы так же пересекаются в одной точке.

Еще раз посмотрели на все три треугольника, какой общий вывод можно сделать?  

Учитель: Итак, в течении одной минуты мы с вами научились строить основные линии в треугольнике, а так же сформулировали теоремы о трех замечательных точках треугольника. Самое главное, выполняя эти практические задания, мы освоили основы оригами.

(Для того, чтобы ознакомится с этим материалом, новым для них видом геометрии был проведен эксперимент, потому что эмпирический опыт очень важен в познавательной деятельности. А дальше было предложено сделать эксперимент самостоятельно. На начальном этапе проведения эксперимента необходимо выдвижение гипотезы. Дальше идет эксперимент, коррекция (при необходимости) и вывод. И вот здесь, работая с учениками в таком режиме очень важно понять, что не подтверждение гипотезы не есть отрицательный результат.) 

Учитель: Так какая же тема нашего занятия?

Ученики: «Геометрия и оригами»

Учитель: Правильно. «Изучение геометрии с помощью оригами». Оригами – искусство складывания фигурок из бумаги (небольшой экскурс в историю оригами, виды оригами).

Освоив простейшие приемы искусства оригами можно перейти к более сложным построениям и доказательствам. Вот по этому сегодня, я хочу с вами поделиться,  как искусство оригами помогает решать многие геометрические задачи.

Любая оригамская задача состоит: 1. Из постановки задачи. 2. Из оригамского решения, проверки или способа построения. 3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Доказательство теорем с помощью оригами.

Теорема 1.Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

• Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

• 1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

• 2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

• 3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Пример решения задач.

• Задача

• Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М.

• Доказать, что MD //AB.

Решение

• Возьмем лист бумаги, имеющий форму производного треугольника. Проведем биссектрису AD, согнув лист так, чтобы сторона АС совместилась со стороной АВ. Наметим середину АD, совместив точки А и D. Проведем ОМ, перпендикулярную AD. Согнем лист по линии MD.

Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD // AB.

• Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD // AB.

Оригамское решение

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.
2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точной намеченной линии сгиба.
3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.
4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Математическое обоснование

Используя чертеж, можно записать:

     ВАС – равносторонний, значит  АВС=600.

 ОВА=900-600=300,  ABN=300,   ОВА= ABN= NBC=300.

 Итак, данным методом мы разделили угол квадрата на три равные части. Продолжением данной задачи является задача построения равностороннего треугольника в квадрате и деление стороны квадрата на 5 равных частей.

Абстрактный характер геометрии и сложность материала приводит к тому, что решение геометрических задач уже на самом первом этапе часто вызывает трудности.  Нужно обладать хорошо развитым геометрическим воображением, чтобы представить себе соответствующую пространственную картину. Вместе с тем изобразить на листе бумаги данные фигуры не просто. В чем причина этого?

На данный вопрос И.Ф. Шарыгин отвечал, утверждая, что геометрическое мышление, которое формирует геометрия, имеет две составляющие – наглядно-образную и логическую, и что геометрия согласует обе эти составляющие. При этом на начальном этапе изучения геометрии акцент делается на наглядно-образной составляющей, которая является основой, и только по мере развития геометрического мышления возрастает значение его логической составляющей.

Главной  целью курса «Геометрия и оригами» является всестороннее развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть указанные трудности, и позволяют учащимся «войти в пространство». Главная особенность представляемого нами курса заключается в том, чтобы представить этот учебный предмет в единстве с окружающим миром, как «окно» в этот мир.

Геометрия нуждается в особом представлении. Сухое, академически строгое изложение здесь не подходит. Фигурки наглядно показывают, что мы живем в мире, который является объемным. Они способствуют развитию наглядно-образного мышления. Ученику трудно осознать  темы. Значит, необходимо стремиться к тому, чтобы как можно больше информации передавалось ученику через наглядность. Дети охотно складывают изделия. Активное использование оригами позволяет разнообразить учебную деятельность, что способствует развитию у детей не только памяти, но и внимания, восприятия, воображения, разных форм мышления.

Изучать геометрию с помощью оригами можно в начальной школе, в средней школе (геометрия треугольника, четырехугольника, окружности, многоугольника), а также и в старшем звене (многогранники, сечения) .

В заключении выделим наиболее существенные моменты. Оригами,  как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. Логика здесь выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости. На основе конструирования моделей процесс освоения геометрии представляется последовательным развертыванием всего процесса познания. Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, учащиеся знакомятся  с новыми геометрическими понятиями, основными определениями,  и наглядно изучают закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве.

Складывая простейшие фигурки, ребята учатся основам техники оригами и получают знания геометрии. Правильно гласит великая китайская мудрость: я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю. Если чему-нибудь учить ребенка, необходимо, чтобы он делал что-либо связанное с этим. Иначе многое забывается, так как в голове удерживаются только те знания, которые применяются на практике. Чему бы ни учить, каким бы способом ни учить, мы, прежде всего, обращаемся к органам чувств обучаемого, особенно зрению и слуху, так как посредством этих анализаторов человек получает большую часть информации. А сам процесс деятельности позволяет понять и запомнить  ее  основную идею. Тезис о том, что деятельность является источником развития личности, верен и для взрослого, и для ребенка. Однако если для взрослого открыто широкое пространство возможных деятельностей, то для ребенка главное условие развития – деятельность с различными предметами, несущими в себе мир человеческих знаний и смыслов.  Ученик в деятельности изменяет  мир, изменяется и развивается сам.  Здесь ребенок включается в процесс самовоспитания, который является и интересным и вместе с тем бесценным по своему значению.

Литература:

1. О. В. Весновская  Оригами: орнаменты,  кусудамы,  многогранники.  -Чеб.:  изд.      «Руссика», 2003г.,  52с.
2. В. А. Гусев Методика  обучения геометрии. -  М.: изд. «Академия»,  2004г,    376с.
3. //Нужна ли школе 21-го века Геометрия? (И. Ф. Шарыгин)  Математическое

     просвещение. №3, вып. 8.-М.: МННМО, 2004 -264с., С37-52.

4. С. Н. Белим  Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г., 66с.

Конспект занятия "Оригами. Жар - птица"

Конспект занятия по оригами «Лягушка»

Куркова Светлана Алексеевна, учитель математики.

Цели: - продолжить знакомство с лягушками, объяснить пользу лягушек в природе;

- рассмотреть внешний вид лягушек.

Задачи: - научить поэтапному складыванию лягушки;

- продолжить знакомство с искусством конструирования из бумаги- оригами;

- формировать культуру труда и совершенствовать трудовые навыки;

- продолжить знакомить детей с основными геометрическими понятиями;

- развивать творческие способности.

Оборудование: демонстрационный материал- презентация. диск со звуками трелей лягушки.

Раздаточный материал- двусторонняя цветная бумага (зеленая, фломастеры.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Педагог: Здравствуйте, ребята!

Чтоб природе другом стать,

Тайны все ее узнать,

Все загадки разгадать,

Научитесь наблюдать,

Будем вместе развивать у себя внимательность,

А поможет все узнать наша любознательность.

2. Введение в тему занятия.

Педагог: О ком сегодня пойдет речь вы узнаете из стихотворения Е. Чарушина "Трус"

Зайку спрашивает еж:

- Что ты, заинька, ревешь?

- Очень я перепугался,

С диким зверем повстречался,

Он зеленый пучеглазый,

Не видал таких ни разу.

Педагог:- Ну, ребята, отгадали, о ком идет речь?

Дети: О лягушке.

(Включаются звуки трелей лягушки)

Педагог: Правильно. И я хочу вам рассказать немного о лягушках.

3. Изучение нового.

(Во время рассказа педагога идет показ слайдов фотографий лягушек)

Лягушек на Земле- огромное количество видов. Есть крохотные, есть большие, пучеглазые и широкоротые. Они откладывают свои яйца в воде. Яйца превращаются в головастиков, которые живут в воде, и со временем они превращаются в лягушку. Лягушки могут жить как на суше, так и в воде. Даже если лягушки живут на суше, их среда обитания должна находиться рядом с водоемами. Это нужно для того, чтобы их кожа не высыхала, если она высохнет, то лягушка погибнет. Вместо того, чтобы пить воду, лягушки поглощают ее через кожу. Они используют длинный, липкий язык, чтобы ловить и проглатывать пищу. Лягушки могут смотреть вперед, по бокам и вверх одновременно. Они никогда не закрывают своих глаз, даже когда они спят.

Педагог: Как называется детеныш лягушки?

Дети: Лягушонок.

Педагог: Скажите, а чем питается лягушка?

Дети: Комарами, насекомыми.

Педагог: Молодцы! А теперь немного разомнемся.

На тропинку- прыг! - лягушка.

Ты куда спешишь, квакушка?

С кочки прыг! На кочку прыг!

В воду плюх! Ногами дрыг!

Вот спокойно еж идет,

На иголках гриб несет.

Он проходит под кустами

И шуршит под лопухами.

4. Практическая работа.

Педагог: Сегодня мы будем делать вот такую лягушку.

(Изготовление лягушек в стиле оригами по слайдам в презентации)

5. Итог занятия.

(Всех готовых лягушек сажаем на лист кувшинки)

Педагог: "Ква-ква-ква" поет лягушка,

И почесывает брюшко,

На листочке ей уютно

Может петь почти все утро.

Теперь вы можете сами делать веселую лягушку и дарить их своим родным и друзьям.

Использование оригами в преподавании математики

По предложению исследователей из института «Бранко Вайс» было сделано несколько попыток изменений системы образования в Израиле. В первой предложенной модели центральной фигурой был учитель. Учитель объяснял материал и давал упражнения для его отработки. Эту модель образования назвали «старой системой». Спустя некоторое время в образовании появилось новое течение, в котором центральной фигурой стал ученик. Такая модель получила название «новая система». Ученикам дали больше свободы, исходили из их желаний и претензий. Считалось, что ребенок по своей природе выберет правильное направление развития (природа не подведет). Работники системы образования думали, что ребенок, от природы, любопытен, изобретателен, открыт и наделен высоким творческим потенциалом. Как показала практика такое предположение оказалось ошибкой. Ребенок оказался более сложным объектом, чем представлялось, и желания учиться у подавляющего большинства не наблюдалось.

Сейчас начинают обращаться к модели «коллективного обучения». Модель «коллективное обучение» — синтез двух предыдущих моделей. Это совместное исследование и принятие коллективного решения. Это новое направление опирается на учение Выгодского. Под хорошим обучением понимается: дать возможность и условия для ученика получить информацию и творчески использовать ее в новых ситуациях.

Эта модель состоит из трех этапов:

1. продуктивный вопрос,
2. исследование,
3. подведение итогов.

Именно эту модель я все больше использую на своих уроках.

Привычная мне методика преподавания, которой я пользовалась в прошлом, была не эффективна. Для повышения мотивации к обучению, я стала искать задания, которые заинтересуют учеников и помогут мне в организации учебного процесса. Перепробовав множество разнообразных вариантов, для себя я определила, что дети отдают предпочтение заданиям, основанным на таких игры как «танграм», «оригами», мозаики и конструкторы. Именно такие задания я стала использовать на своих уроках. Моя цель была совместить учебную задачу, исследовательскую работу и игру. На уроках геометрии я стала использовать технику «оригами» и чем больше я ее использую, тем больше нахожу новых возможностей для применения.

Во время складывания фигурок оригами мы говорим на языке математики. Ученики воспринимают это совершенно естественно, потому, что язык математики предельно четко описывает действия, которые нужно выполнить. По ходу выполнения работы мы вспоминаем геометрические понятия и определения. После каждого этапа складывания обсуждаем геометрическое утверждение и, (исходя из возможностей класса), доказываем его.

Приведу пример урока, на котором я использую «оригами».

Оригами — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в Древний Китай, где и была изобретена бумага. Классическое оригами складывается из квадратного листа бумаги без применения клея и ножниц [1].

Существует определённый набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия [2].

Я выбрала этот урок потому, что он очень заинтересовал учеников. На нем я впервые увидела у них в глазах восторг творчества. Урок интересен так же тем, что в нем сочетаются разные виды работы: исследование и работа по алгоритму, открытые вопросы и выполнение конкретных действий. Во время урока комбинируются групповая и фронтальная формы работы.

Тема урока: «Геометрия в болоте»

На этом уроке закрепляется понятие «площадь», как часть плоскости, ограниченная замкнутой линией. Проверяются некоторые утверждение о площадях:

• если фигуру разрезать на части и из них сложить другую фигуру, то эти фигуры будут равны по площади;
• если одну фигуру можно наложить на другую так, чтобы фигуры совпадали, то эти фигуры равны по площади;
• фигуры разные по форме могут быть равны по площади.

Часть первая.

Урок начинается с «продуктивного вопроса»:

Учитель рассказывает: — Наше болото имеет форму квадрата. Оно заросло водорослями ровно наполовину. Предложить разные способы деления площади болота пополам.

Каждому ученику дается квадратный лист бумаги. Учитель разбивает класс на пары и предлагает ответить на вопрос, каким образом для решения нашей задачи может помочь лист бумаги? Тут можно услышать много разных ответов, но учитель останавливается на ответе, что с помощью перегибания листа бумаги можно разделить площадь квадрата на части, в частности можно площадь поделить пополам. Каждая пара ,через пять минут обсуждений , предлагает свой вариант деления площади.

Полученные решения обсуждаются и делаются выводы, что несмотря на различия фигур, площади ими занимаемые равны.

После исследования небольшая пауза (3-5 минут) для всего класса:

Игра продолжи предложение: «нет болота без…» каждый ученик в порядке очереди предлагает свой вариант окончания предложения, достаточно и одного слова. Игра продолжается до появления слова «лягушка».

Часть вторая.

На второй части урока ученики, по указаниям учителя, складывают лягушку в технике «оригами». На каждом этапе складывания повторяются геометрические понятия и обсуждаются геометрические утверждения. По возможности доказываются. Ниже приведен способ сложить лягушку. При желании можно придумать еще.

Далее приводятся примерные вопросы к каждому этапу складывания. Количество и уровень вопросов зависит от подготовки класса. Некоторые вопросы могут быть заданы группе учеников или конкретным ученикам.

Геометрические вопросы к каждому этапу складывания:

1этап. Как называется полученная фигура. Что можно сказать о длине линии перегиба.

2этап. Что можно сказать о площади, полученной фигуры.

3 этап. Дайте определение точки, находящейся в центре квадрата. Почему после перегибания треугольников, все вершины попадают в центральную точку квадрата? Какую фигуру получили при перегибании треугольников и почему?

4,5 этапы. Какое геометрическое имя можно дать для линии пересечения и почему? Какие свойства этой линии мы можем наблюдать? ( Углы наложились друг на друга, поэтому они равны. Полученная линия называется биссектрисой. Можно видеть, что биссектриса делит угол пополан, но не делит пополам треугольник .)

6 этап. Вычислить площадь маленького квадрата. В каком отношении он находится к площади большого квадрата? ( Этот вопрос сложнее остальных, можно дать его более сильным ученикам.)

6,7 этапы. Какие виды треугольников получили? Объясните свои ответы.

8,9 этапы. Какие фигуры получили? Свойства полученных фигур. На 9-ом этапе мы видим трапецию, составленную из треугольников. Во сколько раз площадь трапеции больше площади большого треугольника.

10 этап. После сложения видим прямоугольник, составленный из треугольников. Сравните площадь треугольника и площадь полученного квадрата.

11,12 этапы. «Лапки лягушки» собраны из треугольников. Сравните площади больших и маленьких треугольников.

13,14 этапы. Рассмотрим «глазки лягушки», они сделаны из треугольников. В каком отношении находятся площади маленьких и больших треугольников.

Так мы получили «лягушку» в технике оригами и узнали много интересных фактов.

Интересно отметить, что многие вопросы, которые я привела по каждому этапу складывания, нашли сами школьники - это результат групповой работы. У каждого в группе есть свои «обязанности» : кто-то больше любит складывать и помогает другим, кто- то выискивает геометрические вопросы, кто-то искать ответы на эти вопросы. Учеников не смущает, что на многие вопросы они еще не могут ответить. Важно, что к этим вопросам мы вернемся в будущем на уроках геометрии, и на каждый вопрос найдем ответ.

Часть третья.

В третьей части урока (время исследования) учитель дает ученикам задачу:

Лягушка росла на берегу квадратного болота, по краям которого росли большие деревья. Лягушка росла, росла и постепенно ей стало не хватать места в болоте. Она решила увеличить площадь болота ровно в два раза так, чтобы сохранить его форму (чтобы болото осталось квадратным) и чтобы не потревожить деревья, растущие около него. Помогите лягушке решить эту задачу.

Каждому ученику выдается квадратный лист бумаги, который должен дать подсказку для решения данной задачи. «Исследование» ребята проводят в группах от четырех до шести человек. (В разных классах я давала различное время для выполнения этой работы, в зависимости от математической подготовки учеников). В это время интересно наблюдать над процессом творчества. Сначала ученики не понимают для чего им лист бумаги. Они начинают складывать его произвольным образом или повторяют складывания, которые они делали в процессе урока. Обязательно кто-то в группе примет на себя функцию контролера и начнет указывать, что нельзя убирать деревья, что форма должна остаться квадратная и в два раза больше исходной. Кто-нибудь вспоминает,что в начале и в середине урока (во время выполнения «оригами») из листа бумаги квадратной формы уже получали квадрат в два раза меньший по площади, и сейчас можно воспользоваться этой ситуацией.

Группа учеников, которая решила поставленную задачу выходит к доске и демонстрирует свое решение. Можно сделать, что ученики данной группы «работают» консультантами в других группах, обьясняя путь решения.

Совершается обратный процесс: за основу берется квадрат, сложенный в начале урока (это имеющееся болото), он раскрывается,то есть все внутренние треугольники распрямляются и получается квадрат,в два раза большей площади.

Следующим этапом подводятся итоги урока, делаются выводы:

• Что можно сказать о площадях разных по форме фигур?
• Что можно сказать о площадях одинаковых по форме фигур?
• С какими геометрическими понятиями и утверждениями мы встретились при складывание лягушки?
• С какими путями решения задач познакомились?

Сочитая разные методы преподавания мы решаем множество педагогических задач: развиваем мышление и отрабатываем учебный материал, учим слушать указания учителя и выполнять указания учителя и вместе с тем развиваем фантазию и творческое мышление.

Сложение фигурки из листа бумаги всегда вызывает интерес у детей. Для этой работы необходимо сконцентрировать внимание и запастись терпением, это учит ученика самодисциплине и самоконтролю, что так важно в современной школе. При складывании бумаги совершенствуется мелкая моторика, точность движения пальцев. Ученики встречаются с геометрическими утверждениями в реальной ситуации,поэтому они не выглядят искусственно придуманными.

Интересно,что ученики продолжают делеть оригами и после уроков, и часто проносят мне новые модели. На уроках часто сами находят геометрические вопросы, которые я, в процессе складывания, не увидела.

Список литературы

1. Оригами — http://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами
2. Техника оригами — http://ru.wikipedia.org/wiki/Техника_оригами

                               Примеры  решения задач  по теме «Свойство биссектрисы угла »

Решение  предложенных состоит из двух этапов.

1. Этап. С помощью сгибов.
2. Математическое обоснование.

Задача 1. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и

N. Докажите, что ΔAMN -равнобедренный.

.(Для решения задачи  возьмите полоску бумаги шириной не менее 6- 7 см , с помощью сгибов получите  заданный угол и решение задачи продемонстрируйте с помощью сгибов.)

1. Этап. Решение задачи с помощью сгибов.

Задача 2. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС - биссектриса угла О.

1. Этап. Решение задачи с помощью сгибов.(Для решения возьмите полоску бумаги шириной не менее 6- 7 см , с помощью сгибов получите угол О и решение задачи продемонстрируйте с помощью сгибов.)

Seminar 25

Работа по готовым чертежам по теме «Площадь треугольника»  9 класс.

Найти площадь треугольника.

1.                                         2)                                       3)

                         13                                                     8                          

                                                                              30°                                       135°

                    12                                                9                                           8              4        

       4)                                       5)                                         6)

                                       2                            15                   13                    10               10                

                                                                              14                                            8

      7)                                       8)                                        9)

                                                                                     13                                                    

                                      15                                                                                   5

                                                                            2                                                   6                                    

                                          15

              20                          

Ответы к заданиям: 1) 30,   2) 18,   3) 16,   4) √3,   5) 84,   6) 8√21,  7) 284,  8) 30,  9) 27