Олимпиады

Тест Математика 6 класс. Конкурс «Ребус»

1. Вычислите:   .

А. 100;

Б. 2,5;

В. 0,1;

Г. 0,01.

2. Среднее арифметическое двух чисел равно  4,8,  причем одно из них составляет  0,6 от другого. Найдите эти числа.

А. 1,8; 3,4;

Б. 2,4; 6,8;

В. 3,6; 6;

Г. 4,2; 8,6.

3. Решите уравнение:    3(- 5 + х) – 2(х – 4) = 2 – 7(х – 1).

А. 1;

Б. 2;

В. 3;

Г. 4.

4. Фермер должен был вспахать поле за пять дней. Но он обрабатывал в день на  2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше. Чему равна площадь поля , если фермер работал равномерно?

А. 8 га;

Б. 24 га;

В. 40 га;

Г. 60 га.

5. Найдите значение выражения:   a(a + b) – b(a – b) – (- a2 + b2), если а = - 0,6;  b = - 2

А. 0,25;

Б. ;

В. 0,5;

Г. 0,72.

6. Составь выражение и найди его значение,  если  а = - ; b = 0,5; с = - 1:

Частное удвоенного куба числа  а и разности квадратов чисел   b и с.

А. ;

Б. ;

В. ;

Г. .

7. Длина прямоугольного параллелепипеда на  40% больше ширина, а ширина в пять раз меньше высоты. Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объем равен  56 дм3?

А. 100 дм2;

Б. 107,2 дм2;

В. 120 дм2;

Г. 154 дм2.

8. Поезд три часа шел со скоростью  63,2 км/ч  и  четыре часа со скоростью  76,5 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда.

А. 52 км/ч;

Б. 69,85 км/ч;

В. 70,8 км/ч;

Г. 90 км/ч.

9. Решите уравнение:     

А. 16;

Б. 14;

В. 10;

Г. 2.

10. От мотка веревки отрезали сначала  30% , а затем еще  60%  остатка. После этого в мотке осталось 42 м веревки. Сколько метров веревки было в мотке первоначально?                                          

А. 100 м;

Б. 120 м;

В. 150 м;

Г. 200 м.

11. Развернутый угол AMF разделен лучом MC на два угла -  AMC  и  CMF. Найдите градусные меры этих углов, если угол  AMC  вдвое больше угла   CMF.

А. 90°; 90°;

Б. 80°; 100°;

В. 45°; 80°;

Г. 60°; 120°.

12. Катер проплыл  3,5 часа по течению реки и  0,6 часа по озеру. Найдите путь, пройденный катером за все это время, если собственная скорость катера  16,5 км/ч, а скорость течения реки  2,1 км/ч.

А. 56 км;

Б.75 км;

В. 84 км;

Г. 120 км.

13. Найдите произведение чисел  a  и  b, если их наименьшее общее кратное равно  420, а наибольший общий делитель равен  30.

А. 12600;

Б. 12000;

В. 15800;

Г. 16900.

14. Из 100 кг молока получается 8 кг сыра. Сколько килограммов молока нужно для приготовления 30 кг сыра?

А. 246 кг;

Б. 296 кг;

В. 300 кг;

Г. 375 кг.

15. Решите уравнение:  = 8.

А. -3;

Б. 5;

В. -3; 13;

Г.13 .

Тест Математика 7 класс. Конкурс «Ребус»

1. Какое двузначное число от перестановки цифр увеличивается в  4,5  раза?

А. 19;

Б. 15;

В. 18;

Г. 25.

2. Точки А, К, В, С  лежат на одной прямой, причем  АС = 34,  АК = 15,  ВС = 14. Сколько различных значений может принимать длина отрезка  ВК?

А. 4;

Б. 5;

В. 6;

Г. 8.

3. Запишите уравнение прямой  ах + bу = с ( где а, b, с – целые числа), проходящей через точки  А(1; - 1)  и  В(3; 2)

А. 5х + 2у = 3;

Б. 2х – 3у = 5;

В. 3х – 2у = 5;

Г. 5х + 3у = 2.

4. На рисунке изображен график одной из линейных функций. Укажите эту функцию.

А. у = - 2х + 6;

Б. у = 2х + 6;

В. у = - х + 6;

Г. у = х + 7.

5. Решите уравнение:    (2х + 3)2 – 4(1 – х)2 = 1

А. – 0,2;

Б. 0,2;

В. - 5;

Г. 5.

6. Сравните:   (-0,3)4   и   (0,3)7

А. <;

Б. >;

В. =;

Г. нет ответа.

7. Вычислите:  

А. ;

Б. 56;

В. 78;

Г. 100.

8. Углы треугольника относятся как  2 : 3 : 4. Найдите их градусные меры.

А. 40°; 60°; 80°;                                                              Б. 20°; 60°; 100°;

В. 50°;60°; 70°;                                                               Г. 60°; 80°; 100°.

9. Какому числу кратно выражение:     218 – 56.

А. 5;

Б. 13;

В. 15;

Г. 23.

10. Найдите значение выражения:     х(х -3)(х + 3) – (х – 2)(х2 + 2х + 4), где х =

А. 0;

Б. -3;

В. ;

Г. 7.

11. Представьте одночлен   (  -     в стандартном виде и найдите его значение при  с = 3, d = -

А. 15,5;

Б. - 0,5;

В. 2,5;

Г. -5.

12. Прямая АВ параллельна прямой СD, а прямая АС не параллельна прямой ВD. При этом ∠ABD + ∠BAC = 260°. Найдите градусную меру каждого из острых углов четырехугольника ABCD, если градусные меры углов BDC и ACD относятся как  2: 3.

А. 65°; 35°;

Б. 70°; 30°;

В. 40°; 60°;

Г. 26°; 74°.

13. Решите систему уравнений:  

А. ( - 3; - 4);

Б. (3; 4);

В. (0; 8);

Г. (- 1;12) .

14. В двух баках было 140 литров воды. Когда из первого бака взяли  26 литров, а из второго – 60 литров, то в первом баке осталось в два раза больше воды, чем во втором. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?

А. 62л; 78 л;

Б. 58 л; 82 л;

В. 55 л; 76 л;

Г. 126 л; 14 л.

15. Решите уравнение:  

А. -80;

Б. ±80;

В. 0;

Г. 100.

Тест Математика 9 класс. Конкурс «Ребус»

1. Найдите область определения функции:  у =

А. R\{- 0,5; };

Б. R\{};

В. (-∞;

Г. (

2. Вычислить:  

А. - 3;

Б. -1;

В. 0;

Г. 1.

3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки:  А(- 3; 4), В(6; - 2).

А. у = 2х - 3;

Б. у = - ;

В. у = -2х + 3;

Г. у = .

4. Найдите значение выражения:  

А. 6;

Б. 4;

В. - 1;

Г. 1.

5. Решите уравнение:   х3 – 7х2 – 21х + 27 = 0.

А. ±1; 3;

Б. -3; 1; 9;

В.

Г. 1; 3; 9.

6. В треугольнике АВС  АВ=ВС, а высота  АН  делит сторону  ВС на отрезки  ВН = 48  и  СН = 2. Найдите cosВ.

А. 0,96;

Б. 1;

В. ;

Г. 0,04.

7. Стрелок четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый и третий раз попал в мишень, а второй и четвертый промахнулся.

А. 0,3;

Б. 0,49;

В. 0,09;

Г. 0,0441.

8. Решите уравнение:    

А. 1;

Б. 0; 1;

В. 2;

Г. 0.

9. Решите систему уравнений:  

А. (0; 0);

Б. (1; 1);

В. (1; 2); (;

Г. (2; 2); (- .); (;

10. Решите неравенство:  

А. ( - ∞; + ∞);

Б. (4; 5);

В. (- ∞; 4)∪(5; + ∞);

Г. нет решений.

11. Решите уравнение:  

А. 0,2;

Б. -2;

В. 0;

Г. 1;

12. Известно, что восьмой член арифметической прогрессии равен 6. Найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

А. 90;

Б. 60;

В. 50;

Г. 100.

13. Вычислите:  

А. 9;

Б. 9,8;

В. 42;

Г. 50.

14. Вычислите:   (

А. 1;

Б. 4;

В. 7;

Г. 8.

15. Два велосипедиста одновременно отправляются в  140 – километровый пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на пять часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

А. 14 км/ч;

Б. 20 км/ч;

В. 28 км/ч;

Г. 30 км/ч.

Тест Математика 11 класс. Конкурс «Ребус»

1. Найдите площадь четырехугольника АРКВ.

А. 10;

Б. 11,2;

В. 12;

Г. 12,5.

2. Бросают два игральных кубика, найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

А.

Б. 0,5;

В. 0,75;

Г. .

3. В сосуд , содержащий пять литров 12 – процентного водного раствора некоторого вещества, добавили семь литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора.

А. 2%;

Б. 5%;

В. 10%;

Г. 11%.

4. Решите уравнение:  

А. 5;

Б. 47;

В. 49;

Г. 52.

5. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. Найдите объем  параллелепипеда, если  АС = В1D.

А. 120;

Б. 14;

В. 180;

Г.

6. Функция у = f(х) определена на промежутке [-4; 4]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите количество точек графика функции у = f(х), в которых касательная образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°.

А. 0;

Б. 1;

В. 2;

Г. 3.

7. Найдите площадь заштрихованной фигуры, если площадь внутреннего круга равна 1.

А. 3;

Б. 4;

В. 5;

Г. 6.

8. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

А. 12 км;

Б. 15 км;

В. 18 км;

Г. 20 км.

9. Решите уравнение:   2

А. 0;

Б. - 1;

В. 4;

Г. 5.

10. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке ( все двугранные углы прямые).

А. 6;

Б. 8;

В. 10;

Г. 12.

11. Решите неравенство:    6

А. (-∞; +∞);

Б. (-2; 3)∪(3; 5);

В. (-4; 6);

Г.

12. Выполните действия:   .

А. 4;

Б. 3;

В. ;

Г. .

13. Решите уравнение:   18х – 8 ∙ 6х – 9 ∙ 2х = 0.

А. 2;

Б. -1; 9;

В. 2; 3;

Г.

14. Решите уравнение:   8

А. ;

Б. ;

В. ;

Г. ±.

15. Найдите наибольшее значение функции: у = х3 – 3х + 4 на отрезке [-2; 0].

А. 7;

Б. 6;

В. 5;

Г. 4.

Олимпиада по математике 11 класс

Рекомендуемое время выполнения заданий – 50 минут.

1. На рисунке изображён куб. Определи взаимное расположение прямых и SQ.

A) пересекаются      Б) параллельны      В) скрещиваются      Г) совпадают      

2. В какие фигуры, изображённые на рисунке, можно вписать окружность?  

A) 1, 2              Б) 1, 3              В) 1, 4             Г) 2, 4      

3. Найди количество целых чисел, входящих в область значения функции, заданной графически.

A) 12              Б) 10              В) 8             Г) 6      

4. Разгадай ребус.

Установи соответствие между загаданным словом и его определением.  

A) прямая, пересекающая плоскость            

Б) прямая, параллельная плоскости

В) прямая, перпендикулярная плоскости         

Г) прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей

5. Реши уравнение , где .

A) 1                   Б) -1              В) 2                     Г) -2

6. Найди по рисунку угол СОD.

А) 25°                Б) 17°             В) 18°              Г) 24°                

7. Какое число должно заменить вопросительный знак?

А)                  Б)                В) -0,5               Г) 0,5             

8. Найди сумму целых решений неравенства .

А) -29          Б) -27          В) -21            Г) -22        

9. Вычисли площадь фигуры, ограниченной графиком производной функции и прямыми х = 0, х = 2,  у = 0. 

A) 5                   Б) 10           В) 8           Г) 12      

10. Корень (или сумма корней) уравнения  равен

A) 6             Б) 5           В) -6           Г) 3    

Олимпиада по математике 10 класс

Рекомендуемое время выполнения заданий – 50 минут.

1. Уравнение  равносильно уравнению:                                                                                                                                             A)           Б)         В)            Г)

2. В координатной плоскости отмечена точка А (-5; 3). Укажи координаты точки В, которая симметрична точке А относительно оси ординат.

A) (-5; -3)              Б) (5; -3)              В) (5; 3)             Г) (3; -5)      

3. Установи соответствие между формулой параболы, которая получена сдвигом вдоль осей координат параболы , и графиком, который ей подходит.

A) 1а2в3г4б        Б) 1г2в3а4б            В) 1в2г3б4а             Г) 1г2в3б4а

4. Какое число должно заменить вопросительный знак?

А) 35                Б) 7 534                В) 4 357               Г) 53             

5. Найди по рисунку сторону АС.

А) 25                Б)                 В) 20               Г)

6. Разгадай ребусы А и В. Используя загаданные слова, вычисли значение выражения С.

А)           Б) 38          В)             Г) -12        

7. Функция задана формулой   . Количество целых нулей функции равно:

A) 4                  Б) 5           В) 6           Г) 7      

8. Найди количество целых решений неравенства.

А) 9          Б) 8          В) 7            Г) 6        

9. Найди сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 15. 

A) 32 850                   Б) 990           В) 30 000           Г) 34 350      

10. Найди по рисунку площадь .

A)              Б) 32           В) 36,5          Г)      

Олимпиада по математике 9 класс

Рекомендуемое время выполнения заданий – 50 минут.

1. На рисунке изображены четыре треугольника. Укажи номер лишнего треугольника.

                                                                                                                                                   A) 1                Б) 2             В) 3              Г) 4

2. Порядок числа -0,0374, записанного в стандартном виде, равен:

A) 2                   Б) -2                     В) 3                   Г) -4      

3. Установите соответствие между множеством чисел х, изображённых на координатном луче, и промежутком, который ему подходит.

A) 1а2в3г4б5д        Б) 1г2д3а4б5в            В) 1в2г3а4д5б             Г) 1в2б3а4д5г

4. Какое число должно заменить вопросительный знак?

А) 0                Б) 5 206                В) 206               Г) 52 067             

5. Результат упрощения выражения равен:

A)         Б) -5             В) 5                 Г)

6. Найди по рисунку сторону АВ.

А) 15                Б) 4                В) 13,5               Г) 9

7. Сумма двух чисел – , а их разность – . Найди, чему равно их произведение.  

A) 3                   Б) 5           В) 8           Г)      

8. Найди в филворде слова, являющиеся ответами на вопросы, которые размещены справа от таблицы. Каждая буква может входить в состав только одного слова. Слова могут изгибаться как угодно, но по диагонали двигаться нельзя.

Из оставшихся букв составь слово. Для слова подбери определение:                                                                                                        А) линия, пересекающая окружность в двух точках                                                             Б) простая геометрическая фигура                                                                                                                                                                                             В) простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца                                                                                                     Г) геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, которые соединены между собой

9. Если из  целого числа вычесть 5, то получится число, большее 20, а если к этого же числа прибавить , то получится число, меньшее 20. Найди это целое число. 

A) 31                   Б) 51           В) 50           Г) 35      

10. Найди по рисунку .

A) 9,5                   Б) 36           В) 9           Г) 40,5      

Олимпиада по математике 8 класс

Рекомендуемое время выполнения заданий – 50 минут.

1. На рисунке найди пару равных треугольников.                                                                                                                                                    A) ∆АВС и ∆DSR    Б) ∆АВС и ∆TLQ    В) ∆DRS и ∆NKM   Г) ∆NKM и ∆TQL    

2. Укажи номер верного равенства.

1)                         2)

3)                 4)

A) 1                   Б) 2                     В) 3                   Г) 4      

3. Разгадай ребус.

Установи соответствие между загаданным словом и его рисунком.  

A) Рис. 1            Б) Рис.2            В) Рис. 3                   Г) Рис. 4

4. Упрости выражение и найди его значение при .

A)                 Б)                В) -0,064                     Г) 0,4

5. На рисунке три отрезка из четырёх могут являться сторонами одного и того же треугольника, один отрезок является лишним. Найди его.

A) 1                Б) 2             В) 3                     Г) 4

6. Какое число должно заменить вопросительный знак?

                                                                                             А) 98                Б) 8                В) 12               Г) 571                                                                                     

7. Найди по рисунку угол 2.

A) 35°                   Б) 30°           В) 40°           Г) 50°      

8. Автомобиль ехал из села в город со скоростью 40 км/ч, а возвращался со скоростью 120 км/ч. Найди среднюю скорость автомобиля.                                        А) 90                    Б) 70                   В) 80                   Г) 60                                                                                                                                                

9. На рисунке изображен график функци. Значение выражения равно:

                                                                                              А) 8                Б) -4                В) 2               Г) -2

10. Найди по рисунку угол 3.

A) 55°                   Б) 40°           В) 60°           Г) 50°      

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

8 класс

1. Садовник хочет посадить шесть кустов крыжовника, чтобы на расстоянии 2м от каждого из них росло ровно три куста крыжовника. Сможет ли он это сделать?

Ответ: Да. Например, если на двух сторонах квадрата ABCD построить правильные треугольники AEB и DCF, то для каждой точки условия будут выполняться, так как DE=ECAB и AD=EF(стороны параллелограмма).

Критерии:

Есть верный пример без обоснования равенства/неравенства сторон – 4 балла;

Есть верный пример с полным обоснованием – 7 баллов;

Только ответ – 0 баллов

2. В выражении  замените каждую из букв на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы – на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

Решение: Сократим множители Т,М,А. Тогда выражение примет вид . Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе и наибольшем числителе. Следовательно Е=1, а числа И,К,А равны цифрам 9,8,7. Числа М,А,Т могут быть произвольными.

Ответ: 505

Критерии:

Есть только пример с верным ответом – 7 баллов.

Есть только пример – 4 балла.  

3. В волшебном королевстве обитают лисицы с семью и девятью хвостами. Те, у кого 7 хвостов, всегда врут, а те, у кого 9 хвостов, всегда говорят правду. Однажды три лисицы завели между собой разговор.

Рыжая лиса: «у нас вместе 27 хвостов».

Серая лиса: «это действительно так!»

Белая лиса: «глупости, Рыжая говорит чепуху!»

Сколько хвостов было у каждой лисицы? (Ответ обоснуйте.)

Решение: Если бы Рыжая говорила правду, то у всех трёх было бы по 9 хвостов. Но тогда и Белая говорила бы правду, а это неверно. Тогда Рыжая лжет, и Серая соответственно тоже. Тогда Белая говорит правду.

Ответ: У Рыжей было 7 хвостов, у Серой – 7, у Белой – 9.

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 1 балл;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

4. Мальчик Марат может за минуту подняться с первого этажа на пятый этаж, а девочка Даша за то же время успевает добежать только до четвертого.  Даша спускается вдвое быстрее, чем поднимается, а Марат спускается с той же скоростью, что и Даша. Дети решили посоревноваться и добежать с первого этажа до 25, стартуя одновременно. Марат, достигнув 25 этажа, начал спускаться, чтобы встретить проигравшую Дашу. Сколько пройдёт времени от начала соревнования до момента встречи?

Решение: За минуту Марат поднимается на 4 этажа вверх, а Даша – на 3 этажа вверх. За ту же минуту оба могут спуститься на 6 этажей вниз. Для того чтобы победить Марату нужно преодолеть 24 этажа. Через 6 минут Марат достигает финиша, а Даша поднимается только на 18 этажей (до 19). Теперь расстояние между ними 6 этажей, а скорость сближения 3+6=9 этажей в минуту. Чтобы встретиться им понадобится 40 секунд.

Ответ: 6 минут и 40 секунд

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 1 балл;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

5. В треугольнике АВС все стороны равны  2017 см. Точки M, N, P, K расположены так, как показано на рисунке. Известно, что CK + PC = MA + AN = 2017 см. Найдите величину угла KON.

Решение: Заметим, что CK + PC = AP + PC и  MA+AN = MA+MC. Тогда CK=AP и AN=MC. Следовательно, треугольники APN и MKC равны. ∠ANP=∠CMK  и ∠APN+∠ANP=120о. Тогда ∠MPO+∠PMO =120о. ∠KON=∠POM =60о. Ответ: ∠KON =60о

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 0 баллов;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 – палиндром, а 2017 – нет). Представьте число 2017 в виде суммы двух палиндромов.

Решение: например, 1331+686=2017.

Критерии:

Наличие любого верного примера – 7 баллов.

2. Айрат и Дина вместе весят 84 кг, Дина и Таня – 76 кг, Таня и Саша – 77 кг, Саша и Маша – 67 кг, Маша и Айрат – 64 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит?

Решение: А+Д=84, Д+Т=76, Т+С=77, С+М=67, М+А=64. Сложим все уравнения и получим 2(А+Д+Т+С+М)=368. Тогда А+Д+Т+С+М= 184. Используя второе и четвертое равенство из условия получим А+76+67=184. Следовательно А=41, Д=43, Т=33, С=44, М=23.

Ответ: Самый тяжелый – Саша. Саша весит 44 кг.

Критерии:

Только ответ, без объяснений, без указания веса – 0 баллов;

Только ответ, без объяснений, с указанием веса – 3 балла;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

3. Дамир нарисовал на тетрадном листе квадрат 5 × 5 и каждую минуту закрашивает по одной клетке. Лёша считает количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток  и записывает это число на доске. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел на доске будет равна 40.Доказательство: Заметим, что Леша считает количество границ данной клетки, для которых обе соседние клетки закрашены. Выполняя свои операции, Леша каждую границу считает один и только один раз. Тогда, сумма всех чисел равна количеству граничных отрезков, а именно 2*4*5=40.

4. Найдите площадь закрашенной части параллелограмма, если площадь большого параллелограмма равна 40 (вершины всех параллелограммов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)?

Решение: В параллелограмме ABCD проведем отрезки EG и FH. Они параллельны боковым сторонам. Тогда образуются 4 меньших параллелограмма. В каждом из них диагональ делит параллелограмм на две равные части. Следовательно, суммарная площадь «угловых» треугольников AEH, EBF, FCG, GDH  равна площади параллелограмма EFGH.

 В задаче дано, что все четырехугольники – параллелограммы. Это доказывать не обязательно! Тогда площадь «угловых» треугольников самого большого параллелограмма равна 20. У второго – 10, у третьего – 5. Вычтем из площади всего параллелограмма площади «угловых» треугольников первого и третьего параллелограммов. 40-20-5=25.

Ответ: 25.

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 1 балл;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

5. Вместо пропусков вставьте такие числа, чтобы выражение

  стало тождеством.

Решение: Пусть пропущены числа  

. Подставим в уравнение.  Получим , . Подставим  Получим

 . Тогда . Подставим  Получим  Тогда .

Ответ: .

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 4 балла;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

10 класс

1. Делится ли 72017 + 72018 + 72019  на 19?

Решение: .

Ответ: Да.

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 0 баллов;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

2. В прямоугольнике ABCD  на стороне CD отметили середину M, и на стороне AD – середину N. Отрезки CN и AM пересекаются в точке K. Во сколько раз площадь четырехугольника AKCB больше площади четырехугольника MDNK?

Решение: ED – медиана треугольника ACD. Известно, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих. Тогда площади треугольников AEK, CEK, CMK, DMK, DKN, ANK равны. А площадь треугольника ACD  равна площади ABC. Тогда отношение .

Ответ: в 4 раза.

Критерии:

Только ответ, без объяснений – 1 балл;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

3. Постройте график функции .

Решение: Приведем к виду . Преобразуем

. Тогда график примет вид

Критерии:

Только верный график, без объяснений – 4 балла;

Решение с полным обоснованием – 7 баллов.

4. В деревне хоббитов каждый либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Волшебник пригласил к себе нескольких хоббитов и спросил каждого из них про каждого из остальных, «правдолюб» тот или «лжец». Всего было получено 54 ответа «правдолюб» и 56 ответов «лжец». Сколько раз волшебник мог услышать  правду?

Решение: Если приглашено n хоббитов, то дано n(n – 1) = 54 + 56 = 110 ответов, откуда n = 11. Пусть из этих 11 хоббитов t правдолюбов и (11 – t) лжецов.

Ответ «лжец» может дать только лжец про правдолюба и правдолюб про лжеца, таких фраз было 2t(11 – t) = 56, откуда t = 4 или t = 7. Если правдолюбов четверо, то они дали 4 ⋅ 10 = 40 правдивых ответов. Если правдолюбов семеро, то они дали 7 ⋅ 10= 70 правдивых ответов.

Комментарий. Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдолюб».

Критерии:

• Полное решение — 7 баллов.

• Правильно найдены оба случая (сколько правдивцев и лжецов), но

неверно подсчитано число правдивых ответов — 4 балла.

• Возможны 2 ситуации, описанные в задаче. Если верно разобрана только

одна, то ставить 3 балла.

• Приведены оба ответа без объяснения — 1 балл.

• Приведён только один из ответов — 0 баллов.Ответ: 40 или 70

5. У торговца драгоценностями есть 61 гиря весом 1г, 2г, … , 61г. Он выставил их в ряд так, чтобы вес каждой, начиная со второй, является делителем суммы весов всех предшествующих гирь. Первая гиря весит 61г, вторая – 1г. Найдите вес третьей гири.

Ответ. 2.

Решение. Сумма всех чисел, кроме последнего, делится на последнее число,

значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел

от 1 до 61 равна 31 ⋅ 61. Значит, последнее число равно 1, 31 или 61. Так как 1 и

61 стоят на первом и втором местах, последнее число — 31. Третье число —

делитель числа 61 + 1 = 62, то есть оно равно 1, 2 или 31. Мы знаем, что числа 1

и 31 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2.

Замечание. Приводить пример, как расположены числа на остальных карточках

(или доказывать его существование), не требуется.

Критерии: 

• Полное верное решение — 7 баллов.

• Утверждается, что на третьей карточке — число 2 или число 19, но

других продвижений нет — 1 балл.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

11 класс

1. Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, бóльших 1, удовлетворяющих уравнению a13 · b31 = 62017.

Решение. Достаточно привести один пример.

Так как , подходят a = .

Комментарий: возможно множество различных ответов со всевозможными комбинациями степеней двоек и троек.

Критерии:

• Приведена хотя бы одна пара значений a, b и показано, что она удовлетворяет данному условию — 7 баллов.

• Приведена пара чисел, более ничего не обосновано (а жюри умеет показывать, что пара подходит) — 5 баллов.

• Основная идея решения верна, но допущена арифметическая ошибка

(например, написано, что ) — 2 балла.

2. Имеет ли уравнение  хотя бы один корень? Ответ обоснуйте.

Ответ: Например, .

Решение:

Критерии:

• Приведён верный ответ, и показано, что при этом значении х равенство

верно, — 7 баллов.

• Приведён только верный ответ — 3 балла.

3. Дан куб. A, B и C – середины его рёбер (см. рисунок). Чему равен косинус  угла ABC ?

Решение: Не умаляя общности примем сторону куба за 2. Тогда , . Вычислим по трем сторонам косинус угла ABC. .

Критерии:

• Получен верный ответ со всеми обоснованиями – 7 баллов.

• Ход решения правильный, но ответ неверен из-за арифметической ошибки – 5 баллов.

• Получен ответ  – 4 балла.

• Только ответ (в том числе – верный) – 0 баллов.

Ответ: 

4. На координатной плоскости (x, y) изобразите множество всех точек, для которых  y2 + y = x2 + x.  

Ответ:

Решение: . Тогда .

Критерии:

Построен верный график со всеми обоснованиями – 7 баллов.

Построен верный график без обоснований – 3 балла.

5. В пенале у Равиля 9 карандашей. Он заметил, что среди любых четырёх карандашей хотя бы два одного цвета. А среди любых пяти карандашей не больше трёх имеют один цвет. Карандаши скольких различных цветов есть у Равиля, и сколько карандашей каждого цвета?

Ответ. Три цвета по три карандаша.

Решение. Ни одного цвета не более трех, так как в противном случае условие «среди любых пяти карандашей не больше трёх имеют один цвет» было бы не выполнено. Всего карандашей 9, поэтому цветов не менее трех. С другой стороны среди любых четырёх карандашей хотя бы два одного цвета, поэтому цветов меньше четырех. Таким образом, цветов карандашей три, причем каждого не более трех штук, а всего карандашей 9. Значит,

каждого цвета по 3.

Критерии: 

• Полный ответ с верным объяснением – 7 баллов.

• Обосновано, что детей трое – 5 баллов.

• Верные соображения, но решение не доведено до конца – 1-2 балла.

• Ответ без обоснования – 0 баллов.