"Симметрия вокруг нас"

Зырянская районная научно – практическая конференция школьников                                                   «Планета – 3000»

                                   (Реферат по математике)

                     Выполнил: Соколов Роман Юрьевич,

                             ученик 8 класса  МОУ Цыгановской ООШ

                     Руководитель: Соколова Надежда Ивановна,

                             учитель математики МОУ Цыгановской ООШ

            Содержание  

1. Введение

2. Что такое симметрия?

3. Кристаллы и их геометрия

4. Симметрия в физике

5. Симметрия в живой природе

6. Симметрия в литературе

7. Симметрия в архитектуре и изобразительном искусстве

8. Симметрия в технике

     9. Заключение

     10. Литература

     11. Приложения

ТЕМА: «СИММЕТРИЯ  - ВОКРУГ НАС»

Математика  …выявляет порядок, симметрию,                                                  определенность, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

ВВЕДЕНИЕ

       Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

        Цель и задачи

      Данный реферат я посвятил такому понятию современного естествознания как СИММЕТРИЯ. Лейтмотивом всего реферата является понятие симметрии, играющей  ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, литературе, физике,  искусстве, технике и окружающей нас жизни. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Здесь уместно привести высказывание Дж. Ньюмена: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором  и рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...». 

     Познакомившись на уроках математики с понятием   «симметрии» я решил изучить эту тему глубже. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно  симметрии с соответствующим симметричным элементом – точка симметрии, ось симметрии, плоскостью симметрии или движение. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее - шагают, плывут, летят, катятся, - обладает, как правило, той или иной симметрией.

      В своем реферате я привожу различные примеры проявления симметрии в природе, технике и искусстве, архитектуре и музыке доказывая, как абстрактные математические понятия  и методы находят практическое применение.

                               Что же такое симметрия?

   В современной научной литературе понятие симметрия                            встречается довольно часто: в математике, в биологии, физике, химии, кристаллографии. И это неудивительно. Симметрию мы наблюдаем в природе – среди растений и живых организмов, молекул и кристаллов. Кроме того, симметрия используется человеком при строительстве зданий, различных механизмов, при создании картин и скульптур, стихотворных и музыкальных форм. Соображения симметрии применяются и как средство классификации объектов, изучаемых той или иной отраслью знаний, и как аппарат науки.

 Что же такое симметрия?...

    В переводе с греческого термин «симметрия»- соразмерность (однородность, пропорциональность, гармония). Часто проводят параллели: симметрия и уравновешенность, симметрия и совершенство, симметрия и гармония. Устройство мира, его гармония – это вечная тема. Слово “гармония” означает связь, созвучие, соразмерность, согласованность частей одного целого. Значит симметрия и гармония это одно целое!                    Почти все живые существа построены по законам симметрии. Известны различные виды симметрии. Среди цветов наблюдается поворотная симметрия, когда каждый лепесток при повороте займёт положение соседнего. Цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для ириса – 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°. В еловых шишках наблюдается винтовая симметрия (приложение1).

    Своим развитием учение о симметрии обязано в первую очередь естествоиспытателям, углубленно изучавшим кристаллические образования, это: И. Кеплер, Н. Стенон, П. Кюри, рус.Федоров и др.  

                               Кристаллы и их геометрия

    Изучая свойства твердых тел, мы знакомились со строением и свойствами кристаллов, этих «удивительных, угловатых тел», как называли их в древности. Поражающие правильные очертания кристаллов вызывали у наших предков суеверные представления. «Такое могли сотворить только боги» - утверждали они. Но мы- то знаем, что это творение природы, что образование кристаллов происходит самопроизвольно, что абсолютное большинство твердых тел имеют кристаллическое строение.  В своей работе, обращаясь опять к кристаллам (приложение 2), и их красоте, гармонии, симметрии, попытаемся раздвинуть рамки наших представлений о симметрии.

    В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Пифагор, считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна.

   У Л. Н. Толстого в «Отрочестве» есть признание: «...Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всем в жизни симметрия?»

   Видный математик Г. Вейль (1885-1955г.г.) отмечал, что симметрия «является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

                             «Симметрия в физике»

    Еще в доисторические времена люди находили природные кристаллы и собирали их. Их воображение поражало постоянство углов между гранями кристалла одного и того же типа. Невольно возникает вопрос, каким образом материя может принимать такие упорядоченные и совершенные формы? Впервые закон постоянства углов между гранями кристалла для частного случая кристалликов льда – снежинок (приложение 3) - установил И. Кеплер. (1571-1630г.).

В небольшой работе «Новогодний подарок», или о «шестиугольных снежинках» он размышлял о новогоднем подарке советнику императора, покровителю наук и философу. Этот господин сильно любил ... Нечто не по причине его незначительной ценности, а скорее как прелестную забаву шаловливо щебечущего соловья. Мучительно перебирая, какой же предмет может быть Нечто, Кеплер вдруг заметил снежинки, тихо падающие на его одежду, все как одна шестиугольные, с пушистыми лучами. Нечто найдено! Кеплер подарит советнику в Новый год снежинки.

    Каждая снежинка- это маленький кристаллик замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они имеют форму шестиугольника. Пытливый ум Кеплера в простых снежинках сразу распознал загадку, почему все снежинки шестиугольные, почему не бывает пятиугольных или семиугольных снежинок. Кеплер вспомнил о других примерах тел шестиугольной формы - о пчелиных сотах и о зернышках граната, надеясь найти ответ по аналогии. Однако такого ответа ему получить не удалось. Пчёлы – удивительные творения природы. Они маленькие экономисты. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остаётся просвета. В сечении соты представляют паркет из правильных шестиугольников (приложение 4). Это математический шедевр из воска.

   Симметрию можно увидеть в огранённых драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра, додекаэдра (приложение 5 ). В основе их линий лежит и золотая пропорция. Правильный пятиугольник тесно связан с “золотой” пропорцией. Многие материалы состоят из мельчайших частиц – кристаллов, которые имеют форму многогранника. Внутреннее устройство кристалла представляется в виде решётки, в ячейках которой размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие частицы. Всего - 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Значит, различные виды симметрий подчиняются математическим законам. Правильные многогранники самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Монокристаллы алюминиево-калиевых квасцов имеет форму правильного октаэдра. Кристаллы сернистого колчедана имеют форму додекаэдра. Кристаллы сурьмянистого сернокислого натрия имеют форму тетраэдра. И правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

    В 1850 г. французский физик Опост Браве (1811-1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении. По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла.    

     Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц - атомов и молекул.

Закон постоянства углов между гранями кристалла окончательно установил датчанин Николаус Стенон. Он получил медицинское образование и в возрасте 22 лет сделал крупное открытие, относящееся к жизнедеятельности человеческого организма: обнаружил проток околоушной слюнной железы. В это время он занимался исследованием твердых тел - кристаллов, раковин, моллюсков, ископаемых растений, заключенных в горных породах, и результаты этих исследований изложил в книге «О твердом, естественно содержащемся в твердом».

     Возникает вопрос:  Почему же каждая снежинка имеет форму шестиугольника, почему природа создает симметрию, к чему она стремится, создавая симметрию?

«Зачем человеку надо знать о симметрии?»

      Зачем надо знать о симметрии, изучая физику? А ведь благодаря кристаллам симметрия проникла в мир физических законов и стала там полновластной хозяйкой.

       Под симметрией в физике понимают чаще всего инвариантность (неизменность) физических законов относительно, каких либо преобразований. Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований:

1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это означает, что пространство однородно, в нем отсутствуют выделенные точки.

Законы природы не зависят от выбора места - они одинаковы в Москве и в Вашингтоне, на Земле и на Луне, в Солнечной системе и какой-нибудь далекой галактике.

2) Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия законов физики относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений - изотропность пространства. Долгое время Земля считалась центром мироздания, поэтому равноценными были не все вообще направления, а только те, которые проходят через центр Земли. Перенесение центра мира с Земли на Солнце сохраняло физическую неравноценность направлении. И только отказ, от каких бы то ни было "центров мироздания " согласуется с идеей изотропности пространства.

3) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем. Открытый еще в III в. до н. э закон Архимеда прекрасно «работает» и в наше время.

4) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Проявления симметрии можно наблюдать и в физических явлениях. 1) Например, симметрия траектории тела, брошенного под углом к горизонту

(приложение 6).

2) Симметрия между электричеством и магнетизмом (примером служат опыты Эрстеда и Фарадея).

Из этих опытов следует: 1) вокруг всякого проводника с током существует магнитное поле; 2) переменное магнитное поле порождает электрическое поле и ток в замкнутом проводнике.

    Изучая свойства электромагнитного поля, Максвелл выдвинул гипотезу о взаимосвязи электрического и магнитного полей. В одном из писем к отцу 13- летний Джеймс Максвелл сообщает как бы невзначай, что он сделал из картона тетраэдр, додекаэдр и два других "эдра" (т.е. правильных многогранника), названий которых он не знает.

    Казалось бы, ничего особенного, но вот что знаменательно: примерно с этого времени товарищи стали замечать, что Максвелл, до той поры довольно равнодушный к учебе, вдруг почувствовал к ней интерес.

    Его фантазия, подобно фантазии древнегреческих геометров, была захвачена этими образцами совершенной симметрии. Красота натолкнула на путь познания. Симметрия не только натолкнула юного Максвелла на путь познания, но и впоследствии подсказала ему идею тока смещения, которая привела его к знаменитым уравнениям электромагнитного поля.

    Говоря о симметрии физических законов, надо сказать о справедливости законов сохранения энергии и импульса. Почему мы уверены, что энергия и импульс должны сохраняться? Потому, что время и пространство однородны. Законы сохранения являются следствием пространственно-временной симметрии законов природы. С этими законами мы встретимся в механике, в молекулярной физике - 1 закон термодинамики. Для этих законов нет перегородок между разделами физики, да и вообще между естественными науками, т.к. эти законы красной нитью проходят не только через физику, но и через химию, биологию.

Симметрия в живой природе

      С симметрии мы повсюду встречаемся и в живой природе. Так, бабочка (приложение 7) симметрична по отношению к отражению в воображаемом зеркале, разделяющем бабочку пополам вдоль ее туловища. Симметричны формы жука, червяка, гриба, листа, цветка и др.

Обратимся к растениям. Переходя от одного поколения данного растения к другому, будем наблюдать сохранение определенных свойств. Так из семечка вырастает новый подсолнух (подсолнечник) с таким же огромным соцветием-корзинкой, также исправно поворачивающимся к Солнцу. Это тоже есть симметрия, ее обычно называют наследственностью.

   С вопросами зеркальной симметрии - асимметрии на молекулярном уровне тесно связана проблема возникновения жизни на Земле - ведь живая материя возникла в свое время из неживой. Это возникновение обусловлено нарушением существовавшей до того зеркальной симметрии, образованием  чистых молекул, т. е. зеркально симметричных. Современная наука пришла к выводу, что переход от мира зеркально-симметричных соединений к кирально чистому миру произошел не в процессе длительной эволюции, а скачком - в виде своеобразного Большого биологического взрыва.

   Философ Платон, живший  позже Пифагора на 100 лет, в Афинах  основал школу, которая многое сделала для развития математики. В этой легендарной школе получила своё первоначальное оформление математическая теория музыки, которая была разделом математики и называлась гармонией. Да, вся жизнь человеческая нуждается в ритме и гармонии. Золотая пропорция есть одно из основных геометрических свойств пентаграммы. Трудно найти объект, в котором эта пропорция проявилась бы более наглядно. Все отрезки на сторонах пентаграммы, если их взять последовательно, составлены по закону золотого сечения, причём на каждой стороне пентаграммы золотое сечение присутствует двоекратно. Невыпуклый пятиугольник в жизни мы называем пятиконечной звездой, а в науке пентаграммой (приложение 8). Да, пентаграмма устроена по закону золотого сечения. Но её никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Видимо, пентаграмма была известна значительно раньше, чем золотая пропорция.

   Трудно представить, что именно морская пятиконечная звезда “подсказала” нам золотую пропорцию. Это соотношение впоследствии назвали “золотым сечением”. Там, где оно присутствует, ощущается красота и гармония. Хорошо сложённый человек, статуя, великолепный Парфенон, созданный в Афинах, тоже подчинены законам золотого сечения. Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Да, вся жизнь человеческая нуждается в ритме и гармонии.   Евклид, рассматривал пропорцию, которую мы ныне называем золотым сечением во 2 книге своих «Начал», а в следующих книгах – для построения правильного пятиугольника и правильных додекаэдра и икосаэдра.

    Евклид говорил: «Ещё Пифагор знал о правильных многогранниках. Соразмерность и красота их настолько поражали пифагорейцев, что они называли их космическими телами. По-гречески слово «космос» означает украшение, порядок (общий корень со словом «косметика»). Он  связал с этими телами формы атомов основных стихий природы: земли, огня, воздуха, воды и Вселенной.   Но золотое сечение встречается и в природе. Посмотрим на раковину. Радиусы спирали соответствуют золотому сечению. Да, надо учиться у природы. Она – замечательный сад гармонии. Почти все живые существа построены по законам симметрии.  Надо упомянуть ещё о периодичности или ритме как о законе гармонии. Принцип ритма, как и принцип симметрии, пронизывает мир во всех направлениях: ритмы смены дня и ночи, приливов и отливов, цветения растений и сезонных миграций животных; ритмы дыхания и сердцебиения; бегущие во времени музыкальные и поэтические ритмы и застывшие в пространстве ритмы архитектурных сооружений, оград, орнаментов (приложение 9).

      Не правда ли прекрасны бегущая волна, повторяющиеся соловьиные трели? Периодические колебания бесконечно разнообразны. Многие из них описываются тригонометрическими функциями, а над ними работали великие учёные Фибоначчи, Эйлер.

    Зеркальная симметрия

В данной работе я обратил внимание на зеркальную симметрию. Такой подход вполне правомерен. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом — плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.

Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Недаром знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об «основном элементе симметрии». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные операции. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии — простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видим, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории.

Ученые пришли к выводу: человек – существо симметричное. Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правой, и обе руки совершенно одинаковы!

НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так.

Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя) (приложение 6).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

     Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию. Два замечательных деятеля эпохи Возрождения: гениальный живописец, учёный и инженер Леонардо да Винчи прекрасно выполнил иллюстрации для  книги «О божественной пропорции». Это можно увидеть и  на прекрасном портрете Моны Лизы – Джоконды (приложение 12).

      Автора популярных руководств по математике монах Лука Пачоли и его  книгу о золотом сечении считают путеводителем в строительстве дворцов и храмов.

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно.  Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой). И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена. (приложение 14).                                                                                                                    

                  Симметрия в литературе

       Замечательным примером использования симметрии является человеческая деятельность, а именно - творческая - это прослеживается в литературе. В литературных произведениях красота, связанная с симметрией, противопоставляется уродству, обусловленному асимметрией. Так, в пушкинской "Сказке о царе Салтане" это прекрасная Царевна - Лебедь и окривевшие злодейки -ткачихи с поварихой.

       Симметрия имеется и в структуре литературных произведений. Так, "Божественная комедия" Данте состоит из трех частей: "Ад", "Чистилище "и "Рай". При этом каждая часть поэмы содержит почти одинаковое количество строк: "Ад "- 4720, "Чистилище "- 4755, "Рай" -4758 строк.

       В литературных произведениях существует целый ряд забавных словесных конструкций, основанных на свойствах зеркальной симметрии. Например, слова "топот ", "казак", "шалаш", тип слов называют палиндромами. Палиндромическими могут быть фразы, стихотворения, рассказы. Например. "Я иду с мечом судия" (Т. Державин), "А роза упала на лапу Азора" (А. Фет); "Аргентина манит негра" (Булгаков).

      Поэзию отличает от прозы симметричность слогов, строк, ударных и безударных звуков. Отрывок из стихотворения А. Фета:

Какая грусть! Конец аллеи         А

Опять с утра исчез в пыли,         В

Опять серебряные змеи              А

Через сугробы поползли.            В

      Здесь имеется элемент повторяемости - это симметрия. Этот стихотворный элемент называют ямбом.

       Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого - либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды…

"О, где же те мечты? Где радости, печали,

Светившие нам столько долгих лет?

От их огней в туманной дали

Чуть виден слабый свет

И те пропали,

Их нет".                 (А. Апухтин).

      В литературе проблема прекрасного связана с симметрией в широком значении этого слова. Искусство отражает действительность. Поскольку симметрия господствует в природе, и в произведениях искусства проявляются ее общие законы.

Симметрия в архитектуре и изобразительном искусстве

     Великий математик Г. Харди впоследствии сказал:  «Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идея так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

     Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Большинство зданий зеркально симметричны. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны обнаруживают соразмерность, гармонию. Много примеров использования симметрии дает старая русская архитектура: колокольни, сторожевые башни, внутренние опорные столбы (приложение 13).

      Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор.

Художники, хотя и часто прибегают к симметрии, используют ее очень осторожно. Поясним эту мысль аналогией с весами. Если весы находятся в равновесии, то их коромысло горизонтально, чашки весов расположены симметрично относительно опоры весов. Но стоит на одну из чашек положить дополнительный груз, как равновесие нарушится, коромысло наклонится, чашки начнут двигаться. Исчезла симметрия - нарушилось равновесие, появилась асимметрия- система пришла в движение. Таким образом, строгая симметрия воспринимается как покой, равновесие, небольшое отклонение от симметрии воспринимается как динамика, движение. Проанализируем с этих позиций картину А.Рублева "Троица" (приложение 10). Симметричная в целом композиция этой картины (расположение трех ангелов симметрично) в деталях асимметрична, и это создает впечатление динамики действия, повышает выразительность произведения искусства. Что хотел показать художник в картине "Троица", используя симметрию?

Уравновешенность и покой, которые несут эти три ангела.

    Некоторые отклонения от симметрии имеются и в живой природе. Об этом говорил известный художник О. Ренуар: "Два глаза, даже на самом красивом лице, всегда чуть-чуть различны, нос никогда не находится в точности над серединой рта; долька апельсина, листья на деревьях, лепестки цветка никогда не бывают в точности одинаковыми".

     Таким образом, художники исходят из основных законов природной симметрии, вместе с тем они выявляют "чуть заметные отклонения от нее".

Симметрию можно наблюдать и в технике. Зачем используют симметрию в технике?

Симметрия в технике

      Вспомните технические объекты - самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки - практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению (приложение 11). В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. В подтверждение этого постулата приведем слова генерального авиаконструктора О.К. Антонова: "Мы прекрасно знаем, что красивый самолет летает хорошо, а некрасивый плохо, а то и вообще не будет летать.       Это не суеверие, а совершенно материалистическое положение... конструктор может идти часто от красоты к технике, от решений эстетических к решениям техническим". 

Заключение

Итак, на вопросы:

    «Зачем человеку надо знать о симметрии?»  - мы ответили: чтобы применять ее в своей жизнедеятельности.

      Во всем ли в жизни должна быть симметрия? Рассматривая в своем реферате некоторые аспекты использования симметрии в физике, искусстве, технике, можно заметить еще не менее важный ее аспект - это философский аспект симметрии, или точнее говоря, диалектика симметрии и асимметрии.

Она лежит в основе любой научной классификации. Именно она определяет степень красоты, содержащейся в том или ином произведении искусства, зодчества.

    Если симметрия связана с сохранением, общим, необходимым, то асимметрия связана с изменением, частным, различным, случайным. Мир не мог бы быть абсолютно симметричным (ничто бы не изменялось, не было бы никаких различий, в таком мире ничего бы не наблюдалось - никаких явлений, объектов). Не мог бы существовать абсолютно асимметричный мир. Это был бы мир, без каких - либо законов, где ничто не сохраняется, где нет каких - либо причинных связей. Реальный мир - это мир, основывающийся на диалектике симметрии и асимметрии.

    Мы живем, находясь под воздействием с одной стороны, симметрии и необходимого, а с другой - асимметрии и случайности и используя в своей практике диалектику симметрии - асимметрии. Например, строители современных мостов, высотных зданий, башен знают, что конструкция не должна быть безупречно симметричной из-за опасности возникновения резонансных колебаний, которые могут привести к ее разрушению. Поэтому симметрию конструкций сознательно нарушают, вводя в нее отдельные асимметричные элементы. Т. е. Чистая симметрия может оказаться опасной. Она неустойчива. Исследования этой неустойчивости привели к рождению нового научного направления- теории катастроф. Примеры: рождение горного обвала, внезапная кристаллизация переохлажденной жидкости в сосуде: возникновение жизни на Земле - благоприятная для нас катастрофа.

                Изучая симметрию, мы видим, как много  человек способен ещё  интересного узнать о красоте мира. Несмотря на кажущуюся простоту формулировки в сочетании с современными теориями физики, химии и других естественных наук, а так же новыми открытиями (например: нейтрино) в этих областях симметрия пространства становится всё более запутанной. Но, несомненно, одно: Мир симметричен! В нём найдены в принципе зеркальное соответствие каждому изображению.

ЛИТЕРАТУРА:

1. « Математика и искусство» А. В. Волошинов, Москва, «Просвещение», 2000г.

2. Урманцев Ю.А. «Симметрия природы и природа симметрии» - М.: Мысль, 1974г.

3. Современный словарь иностранных слов:. - М.; Русский язык 1993 г.

4. «Эстетика урока математики». Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич. Москва «Просвещение», 1981г.
4. И.И. Дырченко  «Математика в школе» № 3, 1993г.
М. Веннинджера  «Модели многогранников» на занятиях кружка»

 5. «Гуманитарная математика». В. И. Рыжик. Газета «Математика» № 41, 1997 г. Изд. дом «Первое сентября»

6. Геометрия 7-9. Атанасян

7. Материалы из Интернета
8. И. Л. Никольская  «Факультативный курс по математике 7-9». М. «Просвещение» 1991г.

                                   ПРИЛОЖЕНИЯ:

1. Винтовая, центральная, поворотная, осевая  симметрии
2. Кристаллы
3. Снежинки
4. Пчелиные соты
5. Додекаэдр, куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр
6. Траектория тела, брошенного под углом к горизонту
7. Бабочка
8. Пятиконечная и Морская звёзды
9. Орнамент
10.  «Троица». А. Рублев
11.  Автомобиль
12.  «Мона Лиза - Джоконда»
13.  Архитектура
14.  Мода
15.  Пропорции в частях тела и в фигуре человека

Приложение 13: «Архитектура».

             Приложение 13. «Архитектура».                                    

    Приложение 13. «Архитектура».                                    

Приложение. Парфенон.

 Красивейшее произведение древне – греческой архитектуры –  Парфенон – построено в  V в.  до нашей эры. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618.

        Приложение 8.« Морская звезда».

Построение правильного  пятиугольника и пентаграммы.

Приложение 1.Винтовая, центральная, поворотная симметрии.

Приложение 1. Осевая симметрия.

Приложение 3: «Снежинки».

Приложение 15. Золотые пропорции в частях тела человека.

Золотые пропорции в фигуре человека

Приложение . Египетские пирамиды.

Приложение 6. Траектория тела, брошенного под углом к горизонту.

Приложение 7. «Бабочка».

Приложение 11. Автомобиль.

Приложение 5. Куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Приложение 9. Орнамент.

Приложение 14. Симметрия и мода.

Приложение 2.  Кристаллы.

Приложение 4. Пчелиные соты.

Приложение 12. «Моне Лиза – Джоконда».

  Приложение 10: «Троица». А. Рублев.