ЕГЭ по математике. Советы эксперта.
Дорогие выпускники! Если вам в скором времени придется сдавать ЕГЭ по математике, найдите пару минут и прочитайте мои советы.
Хочу поделиться своими наблюдениями, размышлениями и замечаниями по поводу выполнения нашими одиннадцатиклассниками заданий «части С» по математике. За двенадцать лет работы в качестве эксперта по проверке заданий с развернутым ответом накопилась коллекция таких «подводных камней», об которые с обидным постоянством спотыкаются выпускники из года в год.
Начну с заданий С1 и С2. По моему глубокому убеждению, с этими заданиями ОБЯЗАНЫ справляться все ученики, имеющие итоговые отметки по математике «4» и «5». Без репетиторов.
Итак, С1.
Набившее оскомину задание: решение тригонометрического уравнения с последующим отбором корней. Простое алгоритмическое задание, требующее бесхитростных преобразований на основе двух-трех формул, знания формул корней элементарных тригонометрических уравнений и умения выполнять отбор корней каким-нибудь из изученных способов. Так почему же так высок процент ребят, не справившихся с этим заданием?
Во-первых, надо признать печальную реальность – многие просто не в состоянии выучить десяток тригонометрических формул и табличных значений! Но это необходимо! Ошибка в формуле недопустима. Она лишает вас возможности получить баллы за С1. Конечно, арифметическая ошибка при решении уравнения – тоже серьезная оплошность, но если последующее решение, с учетом этой ошибки, - верно, то можно надеяться на один балл за задание. Я бы посоветовала фиксировать или каким-то образом выделять завершение решения первой части задания. Так легче будет и проверять эксперту, и вам в случае несогласия с отметкой отстаивать свою позицию на апелляции. Ученики часто спрашивают меня: надо ли всегда оптимизировать стандартные формулы корней, объединяя несколько серий решений в одну? Поясню на примере. Серии корней x=п/4+2пk , x=-п/4+2пk, x=3п/4+2пk , x=-3п/4+2пk можно объединить в одну: x=п/4+пk/2.
Отвечу так: хорошо, если вы привыкли оптимизировать запись корней и делаете это уверенно. Если же нет, то лучше не делать действие, которое может повлечь за собой ошибку. Никто вам не снизит оценку за то, что вы не объединили серии корней. (Впрочем, и не повысит, если вы это успешно сделали).
Во-вторых, есть проблемы с отбором корней.
Чаще всего школьники пользуются четырьмя способами для отбора корней: арифметическим (простой перебор), с помощью числовой окружности (самый быстрый при умении хорошо ориентироваться в этой модели), аналитический (решение двойных неравенств с целыми переменными) и по графику соответствующей функции (встречается в работах редко, разве что для тангенса). Многие ругают учебник по алгебре и началам анализа под редакцией Мордковича А.Г. Но я искренне благодарна автору за то, что он так терпеливо-долго заставляет нас «путешествовать» по числовой окружности. Ученики, прошедшие тригонометрию по этому учебнику, в основном легко и непринужденно справляются с отбором корней с помощью окружности. Там же, где этой работе было уделено недостаточно внимания (1-2 урока по некоторым другим УМК), мне часто приходилось наблюдать серьезные затруднения, недопонимание или вовсе отказ от этого простого и изящного приема в пользу более трудоемких способов. Я думаю, что предложенные А.Г.Мордковичем макеты числовых окружностей, нарисованные своими руками (механическая память!), расположенные на видном месте, над письменным столом или над диваном (зрительная память!) можно вполне взять на вооружение для формирования уверенных навыков работы с числовой окружностью.
Продолжая рассуждения об использовании числовой окружности, не могу не отметить незаслуженно отодвинутый прием использования т.н. «прямой тангенсов» для отбора корней уравнений вида tg x = a на заданном промежутке. Если не знаете, что это такое, найдите в другом учебнике, разберите со своим учителем.
Грамотное использование аналитического приема, хоть и трудоемко, - надежный путь отбора корней. Главное – помнить, что решаются неравенства с целыми переменными!
Завершая разговор о задании С1, хотелось бы опять напомнить о том, что и во второй части задания надо выделить ответ. В конце решения соберите ответы первой и второй частей задания С1 в один: «Ответ.а)…б)…»
Итак, подведем итоги. Как решить С1 на два балла?
1) выучите основные формулы тригонометрии, табличные значения тригонометрических функций, не поленитесь!
2) Разберите и освойте тот способ отбора корней, который Вам наиболее близок и понятен, с помощью которого у Вас гарантированно получались верные ответы в тренировочных заданиях.
3) НЕ ДОПУСКАЙТЕ ошибок в формулах, остерегайтесь арифметических ошибок.
4) Аккуратно фиксируйте ответы на часть а) и часть б).
Переходим с следующему «обязательному для хорошистов» заданию С2.
Стереометрия. Базовые стереометрические фигуры. Углы – расстояния – площади … Всё решение строится на хорошем знании материала 10-11 классов по геометрии. Ничего сверхъестественного и сверхпрограммного. Но верных решений еще меньше. Ибо – ГЕОМЕТРИЯ! Эдакая страшилка для целого поколения школьников, недополучивших в самом раннем детстве объемных игрушек – головоломок, конструкторов LEGO, и тех, отечественных – железных с винтиками. (На будущее: запомните и обязательно покупайте своим будущим детям развивающие игрушки.) Конечно, успех решения во многом будет зависеть от того, насколько богат ваш «конструктор» - набор элементов геометрического содержания, т.е. определений, теорем, формул, осевших в вашей памяти.
С чего же начать решение С2? Можно долго рассуждать, что если ученик решает задачи по геометрии, чертеж может быть и неверным. Вот именно, если РЕШАЕТ. То есть умеет увидеть и обосновать необходимые связи между элементами фигуры, вспомнить и применить нужные формулы. А если не всегда, а через раз, а то и два?.. Мое твердое правило: чертеж должен соответствовать условию и быть максимально достоверным. То есть, на нем должны быть ВИДНЫ характеристические свойства данной фигуры (т.е. если дан куб, то ребра фронтальной грани должны быть равны; если дана правильная пирамида, то покажите, что она правильная, проведя высоту в центр основания и т.п.). Не поленитесь и сделайте на черновике несколько чертежей: наилучший вариант, с наиболее выгодным для решения и последующих дополнительных построений, вы потом перенесете ГЕЛЕВОЙ РУЧКОЙ в чистовик. Обидно бывает за выпускника, который сделал чертеж то ли карандашом (хотя это и запрещено), то ли шариковой ручкой, и на копии попавшей в руки эксперта работы чертежа вовсе не видно. Кроме того, часто наличие нескольких чертежей к одной задаче позволяет избежать ошибок, которые можно назвать «присвоением фигурам или элементам несуществующих свойств». Поясню. Допустим, вам кажется или хочется, чтобы вот этот треугольник был прямоугольным. Проверьте, исследуйте или докажите. И только если догадка подтвердилась, - используйте.
Не могу согласиться с установкой на то, что в задании С2 можно «простить» отсутствие теоретических обоснований шагов решения. Сжато, коротко, но логическая цепочка должна быть простроена и описана. Четкое, обоснованное, последовательно выстроенное, подкрепленное знанием теоретических фактов решение всегда вызывает уважение у экспертов, облегчает процесс формирования оценки. И опять – таки, а вдруг придется апеллировать? В процессе апелляции вы никого не убедите в том, что «вот тут вы подразумевали вот это, а там опирался на то-то».
Теперь хочу остановиться на таком критерии при оценивании заданий типа С2, как «верно выполнен переход к планиметрической задаче», который дает возможность заработать один балл за задание. Что это значит? При решении стереометрической задачи мы фактически переходим к более простым, планиметрическим задачам. Но вот переход к планиметрической фигуре, ее построение, обнаружение ее свойств должны быть грамотно обоснованы. Более того, всем своим ученикам я советую при переходе к планиметрическим задачам делать для них отдельные чертежи – выноски, на которых можно выполнять дополнительные построения и даже кратко отражать ход решения.
Несколько по-иному стоит поступать при использовании достаточно эффективного и весьма популярного координатного метода решения таких задач. Главное при его использовании – правильно задать систему координат. А дальше остается только выбирать подходящие формулы, минуя муки доказательств и переходов к планиметрии. К сожалению, прием не универсален, уповать только на него не стоит. Но в арсенале каждого, уважающего себя, выпускника он должен быть.
Подытожим. Чтобы справиться с С2, надо:
1) Сделать максимально достоверный чертеж, гелевой ручкой (!);
2) Грамотно обосновать все переходы к планиметрическим задачам, сделать для них чертежи- выноски.
3) Использовать только те свойства фигур, которые можно доказать или основанные на известных геометрических фактах.
4) Не ошибайтесь в формулах.
С3. Для подавляющего большинства выпускников задание С3 –предел мечтаний и, к сожалению, недосягаемая высота. Почему так?
Последние годы задание С3 – это система двух неравенств, из которых одно, чаще всего –логарифмическое . Следует заметить, что все чаще среди этих неравенств попадаются неравенства, решение которых происходит так называемым методом замены множителей (или рационализации). В массовых школьных учебниках этот , безусловно замечательный, прием не рассматривается. С ним знакомятся слушатели факультативов, элективных курсов. Его активно отрабатывают продвинутые репетиторы. А без данного приема решение некоторых неравенств превращается в длиннющую цепочку шагов решения, часто занимающую не один лист. В связи с этим способом я хочу отметить наиболее распространенную проблему: нет четкого понимания того, что «замена множителей» должна проводиться с учетом области определения исходного неравенства. Можно встретить работы, где ОДЗ вообще не учитывается или изрядно усечено.
В критериях оценки задания С3 решение каждого неравенства может быть оценено отдельно, поиск общего решения – возможность получить еще один балл. К сожалению, большинство учеников понимают этот критерий слишком формально: мол, надо независимо друг от друга решить каждое неравенство, а потом найти пересечение множеств решений. Тем не менее все чаще в КИМ ЕГЭ встречаются такие системы, в которых решение одного из неравенств происходит гораздо рациональнее и короче, если уже будет учитываться решение другого. Разумеется, за нерациональный ход решения оценку не снизят. «Подводные камни» в этом задании – строгие и нестрогие знаки неравенств, условия их смены, потеря обособленных единичных решений.
В новых демонстрационных и тренировочных КИМ наряду с традиционными системами неравенств (требующими нахождения пересечения множеств решений обоих неравенств), стали появляться задания, сводящиеся к решению совокупности двух условий, что требует уже объединения множеств решений или же с применением условия, являющегося отрицанием заданного неравенства. То есть можно наблюдать большую вариативность типовых заданий С3, в том числе и в логическом аспекте.
Иногда особую трудность при решении задачи С3 представляет необходимость сравнения действительных чисел, представленных в различной форме (в виде иррационального выражения, логарифмического, тригонометрического и т.п.), друг с другом. Порой этот этап решения отнимает львиную долю от всего промежутка времени, затраченного на С3. Поэтому, я считаю, надо отдельно отработать приемы сравнения чисел в сложных, нестандартных сочетаниях.
Как всегда, итоги:
1) Избегайте неравносильных переходов в решении, учитывайте область допустимых значений;
2) Проявляйте гибкость – используйте ограничения, полученные при решении одного из неравенств, при решении другого;
3) Следите за соответствиями «знак неравенства – вид скобки в записи числового промежутка» и «знак данного неравенства – знак неравенства-отрицания»