Урок алгебры в 11 классе по теме: "Методы решения тригонометрических уравнений"
Тема урока:
Методы решения тригонометрических уравнений.
Цели: Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами. Развивать монологическую речь в ходе обоснования выполняемых действий. Развивать интерес к предмету. Продолжать развивать навыки групповой работы. Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.
Эпиграф: «Начни, и дело будет сделано». Гёте. Учитель: Сегодня мы повторим и отработаем методы решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы быстро решить то или иное уравнение на экзамене в форме ЕГЭ.
Оборудование: таблица с методами решения тригонометрических уравнений
Методы:
1) Разложение на множители
2) Сведение к квадратному уравнению
3) Универсальная подстановка
Sin x=
Cos x=
4)Введение вспомогательного угла
5) Метод деления левой и правой части на sin или cos в степени равной степени уравнения (однородные уравнения)
6) Использование условия равенства тригонометрических функций
7) Использование свойств ограниченности функций (метод оценки левой и правой части)
8) Понижение степени с помощью формул:
Sin2x=
Cos2x=
9) Графический метод
План урока:
1.Актуализация знаний с помощью таблицы методов решения тригонометрических уравнений.
2.Индивидуальная работа по решению заданий группы С, В.
3. Работа в группах.
4. Защита решений групп у доски.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.
ХОД УРОКА:
1.Актуализация знаний.
Выбрать способ решения уравнения:
1) cos2x - 5cos x + 4=0
2) 5sin x - 2cos x=0
3) Sin2x - sin x=0
4) =1
5) Tg x= (cos4 - sin4 )
6) sin2x – 2sin x cos x – 3cos2x=0
7) Cos x + sin x =1
8) Cos2x=cos x
9)2cos4x + 5sin4x= -2
10) Sin2 2x + sin23x + sin26x=0
11) Sin - cos6x=2
12) 2sin(x - ) + 1|=a [-2π;2π]
Учащиеся проговаривают способ решения уравнения №12 (график, которого высвечивается на
компьютере ).
Сколько корней имеет уравнение?
Если а<0
Если а=0
Если 0<а<1
Если а=1
Если 1<а<3
Если а=3
2. Индивидуальная работа (решение задач из ЕГЭ).
Решение задач из группы С (работают 2 ученика у доски, остальные на местах).
1 уравнение.
+ =8
Решение: + =8 =|x| , то имеем: |sin0,5x-3|+|2sin0,5x-5|=8
Ограничение: sin0,5x € [-1;1]
Sin 0,5x € [-4;-2]
2sin0,5x € [-2;2]
2sin0,5x-5 € [-7;-3]
|x|= x, если x>0
x, если x<0
-sin 0,5 x+3-2sin0,5x+5=8
-3sin0,5x=0
-sin0,5x=0
0,5x=πn x=2πn, n€z
2 уравнение.
sin22z + sin23z + sin24z + sin25z=2
Решение:
+ + + =2
cos4z+cos6z+cos8z+cos10z=0
2cos5z×cos z + 2cos9z ×cos z=0
2cosz (cos5z + cos9z) =0
2cos z × cos7z × cos2z=0
cos z=0 cos7z=0 cos2z=0
z1= +πn, n€z 7z= +πn 2z= +πn
z2= + , n z z3= + ,n€z
- 2 ученика выполняют задания из группы В
В1. Сколько корней имеет уравнение
(2cos2 - 1) =0
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла:
2cos2 - 1=0
25 – 4x2≥0
B2. Метод ограниченности левой и правой части
Cos x = x2+1
Левая cos x € [-1;1]
Правая x2+1 € [1;∞)
Общее у обеих частей 1
X2+1=1; x=0 Делаем проверку. Ответ: 0.
Учитель: Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а отрабатывать методы решения тригонометрических уравнений.
3. Групповая работа (класс разбит на 3 группы). Каждая группа решает уравнение своим способом.
Итак, уравнение sin x + cos x=1
1группа. Метод решения: введение вспомогательного угла.
sin x + cos x=
sin(x + )=
x+ =(-1)n +πn
x=(-1)n - +πn,n€z
2группа. Метод решения: универсальная подстановка.
+ =1
2tg +1-tg2 =1+tg2
2tg -2tg2 =0
2tg (1-tg )=0
tg =0 tg =1
=πn = +πn
x=2 n x= +2πn, n€z
3группа. Метод решения: сведение к однородному уравнению.
2sin cos +cos2 -sin2 -sin2 -cos2 =0
2sin cos -2sin2 =0 (:cos2 )
2tg -2tg2 =0 tg
2tg (1-tg )=0 =πn
1-tg =0 x1=2πn
tg =1 x2= +2πn,n€z
4. Работа с шаблоном.
Учитель: Вспомним графический метод решения уравнения у доски:
sin x + cos x=1
Sin x + cos x=1
Sin x=-cos+1
y=sin x y=-cos x + 1 (смещение на оси 1 вверх по оси ОУ)
Ответ:
X1=2πn
X= +2πn
5. Итог урока:
-Что нового мы узнали на уроке?
- Достигли ли мы поставленных целей?
- Какие способы решения тригонометрических уравнений вам больше нравятся?
-Что вызывает затруднения?
- Обогатился ли ваш запас знаний?
6. Домашнее задание:
Задача из ЕГЭ: Сколько корней имеет уравнение на [-2π;2π]
|2sin(x- ) +1|=a