Учебно-методический комплекс дисциплины "Математика"

Ученые, внесшие вклад в развитие математики

1 Абель Нильс Хенрик (Abel Niels Henrik)

БИОГРАФИЯ

   Абель Нильс Хенрик (1802-1829гг.) На большой площади города Осло, столицы Норвегии, высится величественный памятник. По круто поднимающейся гранитной глыбе молодой человек с одухотворенным лицом шагает ввысь, переступая через два отвратительных чудовища. Это памятник знаменитому норвежскому математику Нильсу Хенрику Абелю. Что должны символизировать эти чудовища? Математики, шутя, говорят, что они изображают уравнения пятой степени и эллиптические функции, побежденные Абелем. Другие утверждают, что это аллегория горе-скульптор хотел воплотить в этом образе социальную несправедливость, с которой всю жизнь боролся Абель. Но здесь автор памятника погрешил против истины: не Абель победил эти чудовища, а они погубили его.

   Бесконечно печальная история жизни гениального норвежца чрезвычайно типична не только для его страны и его времени. В ней, как солнце в капле воды, отражена судьба выходца из народа, одаренного живой душой и талантом, столкнувшегося с социальной несправедливостью и свирепыми законами капиталистического общества.

   Абель родился в 1802 году на северо-западном побережье Норвегии в небольшом рыбацком городке Финней, где не было ни математиков, ни нужных ему книг. О первых годах его детства почти ничего не известно. Тринадцати лет он поступил в школу в Осло. Пастор Абель, видимо, неплохо подготовил сына. Первое время он занимался без труда и получал хорошие отметки, а по математике иногда отличные. Любил играть в шахматы, посещать театр. Но среди первых учеников он не значился. Однако через три года школьной жизни у шестнадцатилетнего Нильса наступил перелом. Вместо жестокого учителя математики, избивавшего учеников, в школу приехал новый учитель Хольмбое, хорошо знавший свой предмет и умевший заинтересовать учеников. Хольмбое предоставил каждому ученику действовать самостоятельно и поощрял тех, кто делал первые шаги в овладении математикой. Очень скоро Абель не только искренне увлекся этой наукой, но и обнаружил, что в состоянии оправиться с такими задачами, которые другим не под силу.

   Хольмбое всячески поддерживал его рвение, давал специальные задачи, разрешал брать учебники из собственной библиотечки. В основном это были "Руководства" Эйлера. "Абель со всем пылом отдался занятиям математикой и продвигался вперед с быстротой, которая отличает гения, - писал позднее Хольмбое. Через короткий срок он совершенно освоился с элементарной математикой и попросил меня заняться с ним высшей. По собственной инициативе он глотал одну за другой книги Лакруа, Пуассона, Гаусса и с особым интересом работа Лагранжа.

   В последние два школьных года Абель начинает всерьез пробовать свои силы в самостоятельном исследовании, Со свойственной юности оптимизмом он берется за наиболее сложные задачи. Одна из них в особенности привлекала всеобщее внимание. Речь идет о решении уравнений пятой степей или уравнений даже более высоких степеней. Формулы для решения уравнений низших степеней известны: второй степени - с незапамятных времен, третьей степени - благодаря работам Тарталья и Кардано. Правило решения уравнений четвертой степени в радикалах дал юный ученик Кардано-Феррари. Это случилось в XVI веке. Но дальше дело застопорилось: никому не удавалось вывести формулу для решения уравнений пятой степени.

   В том, что такая формула существует, математики в то время не сомневались. Всем казалось, что дело лишь в том, чтобы найти эту формулу, составить, волшебную комбинацию из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов, по которой можно будет решить любое уравнение пятой степени. Но проходили столетия, а такую комбинацию никому не удавалось составить, хотя многие этому посвятили всю жизнь.

   Абель перепробовал много путей, пока ему не показалось, что он нашел то, что нужно. Однако вскоре пришлось разочароваться в результатах: была допущена скрытая ошибка. Но задачу он не бросил.

   Первый серьезный шаг в решении этой проблемы сделал Лагранж. Он, анализируя всевозможные выражения, составленные из корней данного уравнения, и перестановки, оставляющие эти выражения неизмененными, доказал, что уравнение пятой степени сводится к решению уравнения шестой степени. "Отсюда следует, - писал Лагранж, - что весьма сомнительно, чтобы методы, которые мы рассматриваем, могли дать полное решение уравнений пятой степени". Это уже было первое сомнение в положительном разрешении проблемы.

   И действительно, вскоре после этого Абелю удалось решить тревожившую его задачу: он доказал неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени. Он нашел причины, вследствие которых уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней имеют решения в радикалах, и установил, почему уравнения общего вида более высокий степени этих решений не имеют. Семья Абеля жила в крайней бедности, и в школе Нильс обучался бесплатно. К тому же в 1820 году умер отец, и семья осталась без всяких средств. Положение было безвыходное. Нильс подумывал о возвращении в родной город и о поисках работы. Но на дарование юноши обратили внимание профессора, которые помогли Абелю постудить в университет. Несколько профессоров устроили складчину и образовали своего рода стипендию, чтобы сохранить редкий для науки талант. Затем им удалось выхлопотать стипендию для поездки за границу.

   Пребывание в Берлине и Париже и в других крупных математических центрах того времени вызвало к жизни целый ряд его блестящих работ. Однако все его открытия так далеко заглядывали вперед по сравнению с наукой того времени, что работы молодого математика не были поняты и оценены современниками.

   За границей, как и на родине, Абель испытывал жестокую нужду и постоянное чувство невыносимого одиночества. Попытки добиться признания ни к чему не привели: его работы, посланные в Парижскую академию и переданные на отзыв крупнейшему французскому математику Коши, были потеряны, письмо знаменитому немецкому математику Гауссу осталось без ответа.

   Молодой математик, совершивший переворот в науке, вернулся на родину тем же бедным, никому неизвестным "студиозиусом" Абелем, каким уехал. Ему не удалось найти никакого места. Большой туберкулезом, "бедный, как церковная мышь", по его собственным словам, двадцатишестилетний Абель в состоянии самой черной меланхолии скончался.

   Существует обычай, по которому новые результаты и открытия называют по имени того, кем они сделаны. Сейчас каждый, кому случится взять в руки книгу по высшей математике, увидит, что имя Абеля увековечено в самых различных областях этой науки: существует целый ряд теорем, носящих имя Абеля, есть абелевы интегралы, абелевы уравнения, абелевы группы, формулы Абеля, преобразования Абеля...

   Как бы удивился Нильс Абель, если бы узнал, что его работы оказали такое огромное влияние на развитие математики.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

   За свою короткую жизнь Абель сделал важнейшее для дальнейшего развития математике открытие. Пытаясь решить в радикалах общее уравнений 5-й степени, он выдвинул такую общую идею: вместо того, чтобы искать зависимость, само существование которой остается не досказанным, следует поставить вопрос, возможна ли в действительности такая зависимость. Руководствуясь этой идеей, Абель выяснил, почему уравнения 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. Абель также обнаружил ряд алгебраических функций, которые не интегрируются с помощью элементарных функций; их интегрирование приводит к новым трансцендентным функциям. Эти исследования привели Абеля к созданию теории эллиптических гиперэллиптических функций, в которую он внес большой вклад независимо от К. Якоби. Абель - основатель общей теории интегралов алгебраических функций. Другие важные работы Абеля относятся к теории рядов. Его именем названа теорема о непрерывности функций во всем круге сходимости соответствующего ряда

2 Архимед (Arhimedes)

БИОГРАФИЯ

«Великий сиракузец»

   Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.) родился в городе Сиракузы на острове Сицилия. Его отец, Фидий, был математиком и астрономом. Видимо, отец оказал влияние на научные интересы Архимеда еще в детстве. Для более глубокого изучения наук Архимед отправляется в Египет, в Александрию. В те времена Александрия была культурным центром античного мира. Там был организован Мусейон, сообщество ученых, которые посвятили себя научным исследованиям и получали от царя плату за свои занятия. Они изучали четыре дисциплины - литературу, математику, астрономию и медицину. Ученые пользовались огромной по тому времени библиотекой, имевшей около 700000 книг. После жизни в Александрии Архимед возвращается на родину в Сиракузы. Может быть, причиной уехать было то, что в Александрии царили лесть, заискивание, желание нравиться правителям Египта. А может быть в большей степени то, что Архимед не мог разделить модных в те времена воззрений на механику как на "ремесленный навык", достойный раба. А ведь механика все более влекла его к себе. Но связи с Александрийской школой он не прерывал. Большинство его работ написано в виде писем к его друзьям (Эраcтофену, Конону, Досифею). Домой, в Сиракузы, он привез богатый опыт научных исследований в различных областях: математика, физика, астрономия, продолжил заниматься и делать открытия в инженерном деле. В Сиракузах он живет без забот, он окружен почетом, вниманием и не нуждается в средствах. Впрочем, он мало думает о своем бытии, увлеченный вычислениями и изобретательством.

   Легенды рассказывают, что Архимед забывал о пище, подолгу не бывал в бане и готов был чертить везде: в пыли, пепле, на песке, даже на собственном теле. Однажды, в ванне, его вдруг осенила мысль о выталкивающей силе, действующей на погруженное в жидкость тело и, забыв обо всем, голый, бежал он по улицам Сиракуз с победным кличем: "Эврика!" ("Я нашел!"). Его мало заботит людская молва. Некоторые свои озарения он даже не считает нужным записывать. Архимед - автор многочисленных открытий, гениальный изобретатель, известный во всем греческом мире благодаря конструкции многих механизмов: машины для орошения полей, водоподъемного механизма, системы рычагов, блоков для поднятия больших тяжестей (кранов), военных метательных аппаратов. Он соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль "Сиракосия". Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю". Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз. Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал поджигали корабли. Историк Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов. Он утверждал, что Архимед "один был душой обороны, приводил все в движение и управлял защитой". Но мы не знаем конструкции его боевых машин, мы можем судить о них только по работам Плутарха и других историков. Архимед именно о тех своих открытиях, благодаря которым приобрел славу, не оставил ни одного сочинения. Древний Рим так и не узнал всех секретов машин Архимеда и единственным трофеем Марцелла, украшением его дома стала знаменитая "сфера" Архимеда - небесный глобус, модель небесных светил. Архимед погиб от меча римского легионера. Он был поглощен работой и не заметил, что город уже занят римлянами. Когда посыльный солдат явился к нему и потребовал, чтобы он немедленно явился к Марцеллу, Архимед поморщился, лениво, как от надоедливой мухи, отмахнулся от него и, не поднимая глаз от чертежа, пробурчал: "Не мешай, я вычисляю". Солдат выхватил меч и убил его. На своей могильной плите Архимед завещал выгравировать шар и цилиндр - символы его геометрических открытий. Могила заросла травой и место это было забыто очень скоро. Лишь через 137 лет после его смерти Цицерон разыскал в Сиракузах этот могильный камень, на котором были уже стерты временем часть знаков. А потом могила опять затерялась, уже навсегда.

3. Эйлер Леонард (1707-1783)

Идеальный математик 18 века - так часто называют Эйлера. Это был недолгий век Просвещения, вклинившийся между эпохами жестокой нетерпимости. Всего за 6 лет до рождения Эйлера в Берлине была публично сожжена последняя ведьма. А через 6 лет после смерти Эйлера - в 1789 году - в Париже вспыхнула революция. Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского "питомника гениев". Братья Бернулли увлеклись математикой, прочтя статьи Лейбница об исчислении производных и интегралов. Вскоре вокруг братьев сложился яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности научным центром Европы - после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год на кружке решались новые трудные и красивые задачи, а на смену им вставали новые увлекательные проблемы.

Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их гнезд. Зато в далекой России, по замыслу Петра 1 и по проекту Лейбница, была учреждена в 1725 году Петербургская Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей: Леонард Эйлер с братьями Даниилом и Николаем Бернулли (сыновьями Иоганна) - отправилась туда, в поисках счастья и научных подвигов. Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте! Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения. Эту огромную работу Эйлер вел в одиночку, быстро проделывая все вычисления в уме: ведь компьютеров еще не было. Он расшифровывал дипломатические депеши, перехваченные русской контрразведкой. Оказалось, что эту работу математики выполняют быстрее и надежнее прочих специалистов. Он обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль или в бурю. И еще составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. Ведь в дальнем плавании Луна часто заменяла часы при определении долготы! Только гений мог, выполняя всю эту работу, не забыть о большой науке. Эйлер оказался гением. За 15 лет своего первого пребывания в России он успел написать первый в мире учебник теоретической механики (не учить же простого студента по сложным книгам Ньютона!), а также курс математической навигации и многие другие труды. Писал Эйлер легко и быстро, простым и понятным языком. Столь же быстро он выучивал новые языки, но вкуса к литературе не имел. Математика поглощала все его время и силы.

В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. В чем дело? Да, тогдашнее российское правительство было малограмотным и свирепым. Только что завершилось правление Анны Иоанновны, и возобновилась чехарда военных переворотов. Однако Эйлера это впрямую не касалось: считаться "немцем" в Петербурге было безопасно и престижно, а ученые немцы были на вес золота. Но Эйлер уже почувствовал себя одним из сильнейших математиков Европы - и вдруг заметил, что ему не с кем на равных поговорить о своей науке. Приезжая иностранная молодежь повзрослела и либо уехала из дикой и опасной России, либо погрязла в мелкой текущей работе. А первое поколение ученых россиян еще не выросло. Вспомним, что Ломоносова тогда послали на учебу в Германию! Эйлер решил переехать туда, где накал ученых дискуссий был повыше. Он выбрал Берлин, где молодой король Фридрих 2 Прусский решил создать научный центр не слабее парижского. Эйлер провел в Берлине четверть века, и считал эти годы лучшими в своей жизни. В Берлине Эйлер занимался всей математикой сразу, и почти все у него получалось. Например, захотелось ему перенести все методы математического анализа на функции, зависящие от комплексных чисел - и создал он теорию функций комплексного переменного. Попутно Эйлер выяснил, что показательная функция и синусоида суть две стороны одной медали. Аналогично было с Большой Теоремой Ферма. Услыхав о ней, Эйлер решил сам придумать утраченное доказательство - и вскоре обнаружил "метод спуска", найденный Ферма веком раньше. Проверив этот метод для степеней 3 и 4, Эйлер стал проверять его для следующего простого показателя - 5. Тут обнаружились неожиданные затруднения, и Эйлер оставил эту тему молодым исследователям. Но только в конце 20 века эта проблема, кажется, приблизилась к окончательному решению.

В геометрии Эйлер также оставил значительный след. Он искал в ней не столько новые изящные факты, сколько общие теоремы, не укладывающиеся в догматику Евклида. Например, теорема о связи между числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Эту формулу знал еще Декарт; но он не оставил ее доказательства. В Берлине "король математиков" Леонард Эйлер работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Надвигалась старость, выросла огромная семья, а новая российская царица Екатерина 2 (немка по происхождению) предложила Эйлеру гораздо лучшие условия жизни, чем предоставлял своим академикам скуповатый и капризный Фридрих 2. Тесное общение с научной молодежью Эйлера уже не увлекало; он торопился успеть изложить на бумаге те бесчисленные открытия и догадки, которые осенили его в золотую берлинскую пору. Все научные журналы Европы охотно печатали новые статьи Эйлера. Его трудоспособность и вдохновение с годами нарастали, и многие тексты увидели свет лишь после смерти автора. Переезд Эйлера в Петербург мало что изменил для математиков Европы. Великое светило лишь сместилось на восток, не исчезая с горизонта. Удивительно другое: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). Неукротимый старец продолжал размышлять о математике и диктовать очередные статьи или книги до самой смерти. Она настигла его на 77 году жизни и на 16 году слепоты... В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги - "Основ дифференциального и интегрального исчисления", по которой учились все европейские математики с 1755 по 1830 год. Она выгодно отличается от "Начал" Евклида и от "Принципов" Ньютона. Возведя стройное здание математического анализа от самого фундамента, Эйлер не убрал те леса и лестницы, по которым он сам карабкался к своим открытиям. Многие красивые догадки и начальные идеи доказательств сохранены в тексте, несмотря на содержащиеся в них ошибки - в поучение всем наследникам эйлеровой мысли.

МОДУЛЬ 1 «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Тема 1.1 «Прямоугольная система координат, расстояние между точками»

Все, что нас окружает можно назвать объектами. Каждый объект имеет свои особенности. Например, у человека — возраст, цвет волос, глаз. Все, что отличает один объект от другого, называется характеристиками. Характеристики

бывают качественными и количественными.

Математика — это наука о количественных характеристиках любых объектов. Для того, чтобы изучать объекты, надо ввести систему координат.

Система координат — это любая система, имеющая начало, направление и единицы отсчета.

Наиболее употребительные системы координат: линейные (прямолинейные и криволинейные), поверхностные (прямоугольная система координат), пространственные.

Все системы координат устанавливают взаимно однозначное соответствие между группами чисел и точками рассматриваемого пространства.

Расстояние между точками в прямоугольной системе координат на плоскости находится по формуле:

(1) ,где : — координаты точки А,

 - координаты точки В.

Примеры решения задач на тему № 1:

Задача 1 Определить минимальное общее расстояние S многодневной велогонки со стартом и финишем в пункте А и проходящей через пункты В, С, D, если A     (–5;–1), B (2;6), C (8;2), D (5;–3). Масштаб 1:10 км.

Решение: По формуле (1) находим длины отрезков АВ, ВС, СД и ДА:

Задача 2  Проверить, является ли треугольник АВС прямоугольным, если A (-3;7), B (6;2), C (1;-3).

Тема 1.2  Линейная функциональная зависимость

Линейная функциональная зависимость между двумя переменными

Алгебраическая функция вида:  (2), где А,В,С — любые действительные числа, называется функциональной зависимостью 1-ой степени или линейной функциональной зависимостью. Графиком этой зависимости всегда является прямая линия. Докажем это, решив следующую задачу.

Задача 1 Найти уравнение геометрического места точек — прямой линии, отсекающей на оси ОY отрезок b и наклоненной к оси OX под углом

Решение: Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество точек, объединенных одним или несколькими геометрическими свойствами.

Действия по нахождению ГМТ можно производить следующим образом:

1 шаг Построим чертеж в соответствии с условиями задачи, чертим прямоугольные оси координат, на оси OY произвольно чертим отрезок b и проводим прямую под углом к оси OX. Точку пересечения прямой с осью OY обозначим буквой А, с осью OX — B.

2 шаг Возьмем текущую точку М(х;y), принадлежащую данному ГМТ, т.е. любую точку на прямой.

3 шаг Делаем необходимые геометрические построения. Из М опускаем перпендикуляр на ось OX, точку пересечения обозначаем буквой С, координаты ее (х;0).

4 шаг Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М с данными в задаче — b и . Для этого рассмотрим треугольники АВО и МВС. Они подобны, а в подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны:

Подставим значения сторон в пропорцию:

Таким образом, мы связали координаты текущей точки М с b

5 шаг Упростим полученное выражение:

.

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних,

; поменяем местами левую и правую части уравнения. Обозначим— это угловой коэффициент.

Мы получили уравнение прямой в каноническом виде:(3)

Так как уравнение (2) всегда приводится к виду (3) следующим образом:

и наоборот, то можно заключить, что графиком линейной функции всегда будет прямая, а уравнение прямой линии всегда есть линейная функция.
Задачи, в которых заданному своими свойствами ГМТ определяется соответствующая ему функция, относятся к аналитической геометрии — разделу математики, определяющему геометрическому объекту его аналитическое выражение и наоборот.

Задача 2: Найти уравнение геометрического места точек — прямой линии, проходящей через две заданные точки  и

1 шаг: Построить чертеж в соответствии с условиями задачи. Строим прямоугольную систему координат и на координатной плоскости отмечаем точкии .

Соединяем точки А и B прямой линией.

2 шаг: Возьмем точку

т.е. лежащую на этой прямой.

3 шаг: Сделаем необходимые геометрические построения. Спроецируем точки А, B, M на оси координат. Обозначим точки пересечения проекций буквами C и D.

4 шаг: Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М с данными в задаче. Для этого рассмотрим треугольники AMD и ABC. Они подобные, а в подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны.

;

т.к., то, подставляя эти значения сторон в пропорцию, получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (4)

Задача 3: Найти уравнение геометрического места точек — прямой линии, отсекающей на оси OX отрезок a, а на оси OY — отрезок b.

Решение: Построим чертеж в соответствии с условиями задачи.

Строим прямоугольную систему координат, на оси OX отмечаем произвольный отрезок a, на оси OY — b. Соединяем эти отрезки прямой линией. Для вывода уравнения прямой в отрезках на осях воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки. Точка пересечения прямой с осью OX— точка A — имеет координаты (a;0). Точка пересечения с осью OY — точка В имеет координаты (0;b).

Подставим координаты этих точек в уравнение (4):                                                    

и преобразуем полученное выражение. Воспользуемся основным свойством пропорции:

уберем незначащие нули:

Перенесем неизвестные члены влево, а известные — вправо:

Разделив левую и правую часть на  (), получим (5)

Это каноническое уравнение прямой в отрезках на осях.

Задача 4: Построить прямую, отсекающую на оси отрезок  и составляющей с осью угол . Написать ее уравнение.

Решение: Строим прямоугольную систему координат, на оси OY отмечаем отрезок b=3 и проводим через эту точку прямую под углом  к оси OX . 

Замечание. Угол отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой с заданными k и b будет иметь вид:
Задача 5: Построить прямую, проходящую через начало координат и точку А(-2;3), и написать ее уравнение.

Решение. Строим прямоугольную систему координат, отмечаем точки О и А, соединяем их отрезком прямой. Чтобы написать уравнение прямой воспользуемся формулой (4):

По основному свойству пропорций имеем:

Задача 6: Уравнение прямой привести к виду в отрезках на осях.

Решение: Разделим левую и правую часть уравнения на 6:

.

Тема 1.3 «Квадратичная функциональная зависимость. Окружность, эллипс»

1.3.1 Квадратичная функциональная зависимость между двумя переменными

Алгебраическая функция вида: , где  А, B,C,D,E,F — действительные числа, называется функциональной зависимостью второй степени (порядка) или квадратичной функциональной зависимостью.

Графиками этой зависимости во множестве действительных чисел могут быть или окружности, или эллипсы, или параболы, или гиперболы. Найдем их простейшие (канонические) уравнения, научимся их строить и познакомимся с их главными особенностями, поскольку все эти так называемые, кривые второго порядка очень широко используются во многих сферах деятельности человека.

1.3.2 Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки — центра.

Задача 1: Найти уравнение окружности радиуса R с центром в точке С (a;b).

1 шаг: Построить чертеж в соответствии с условиями задачи. Строим прямоугольную систему координат. В первой четверти (можно в любой) отмечаем точку С(a;b).

2 шаг: Возьмем текущую точку, т.е. лежащую на окружности.

3 шаг: Делаем необходимые геометрические построения: соединяем точку М с точкой С отрезком прямой линии.

4 шаг: Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М с данными в задаче. Для этого найдем расстояние СМ по формуле (1):  

Т.к. расстояние от центра окружности до точки, лежащей на окружности, есть радиус, то получаем уравнение окружности в виде:

5 шаг: Преобразуем полученное выражение, возведя в квадрат левую и правую часть уравнения: (6)

Мы получили каноническое уравнение окружности.

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности имеет вид:

Если центр окружности находится на оси OX, то уравнение окружности принимает вид:

Если центр окружности находится на оси OY, то

Задача 2: Построить окружность

Решение: Чтобы построить окружность, надо знать координаты его центра и радиус. Для этого необходимо данное уравнение окружности привести к виду (6). В уравнении окружности справа — сумма двух квадратов по x и по y. Поэтому для решения задачи мы должны дополнить данное уравнение окружности до полных квадратов. Для этого прибавим и вычтем недостающие члены:

1.3.3 Эллипс

Задача 3: Найти каноническое уравнение эллипса.

Эллипс — это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

1 шаг: Строим чертеж в соответствии с условиями задачи. По определению эллипса имеем две точки — фокусы. Отметим эти точки на одной горизонтали, обозначим точками  и . Проведем через точки   и  прямую линию. Назовем эту линию осью ОХ. Из середины отрезка проведем перпендикуляр. Это будет ось OY. Таким образом, вводится система координат и теперь каждой точке на плоскости ставится в соответствие пара чисел.

2 шаг: Возьмем текущую точку т.е лежащую на эллипсе.

3 шаг: Делаем необходимые геометрические построения. Соединяем точку М с фокусами.

4 шаг: Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М (х;у) с данными по определению эллипса. Обозначим расстояние (фокусное расстояние) через 2с. По определению эллипса сумма расстояний от точки М до фокусов есть величина постоянная независимо от того, где на кривой находится точка М. Обозначим это расстояние 2a.

 (7)

Распишем расстоянияи  по формуле (1). Но для этого мы должны знать координаты фокусов  и  (координаты точки М нам известны — это х и y). Так как расстояние, а также 0 середина этого отрезка, то фокусы имеют координаты Тогда:

Подставив это выражение в равенство (7), получим:

.

Этим уравнением связаны координаты текущей точки М (х;у) с данными в задаче, следовательно оно является уравнением эллипса.

5 шaг Упростим полученное выражение, дважды возведя обе его части в квадрат и обозначив через (8)

Получим каноническое уравнение эллипса: (9)

Теперь построим ГМТ — эллипс и дадим его основные свойства. В сумма двух сторон и всегда больше третьей, следовательно, 2а > 2c, сокращаем на 2: а > c. Отложим на оси OX отрезки а вправо и влево от начала координат, обозначим точки пересечения А и В, отложим на оси OY отрезки b вверх и вниз от начала координат, получим точки C и D. Соединим плавной линией точки А, С, М, B, D. Полученная фигура — эллипс. (Более строгого построения производить не будем из-за сложности рассуждений).

Точки А, В, C, D называются вершинами эллипса.

АВ = 2а — называется большой осью эллипса (а — большая полуось),

CD = 2b — называется малой осью эллипса (b — малая полуось).

Величина эпсилон называется эксцентриситетом эллипса и характеризует степень его сплющенности.

Если a = b, то эллипс вырождается в окружность.

Задача 4: Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между его фокусами равно 8, а его малая полуось b=3.

Решение: Чтобы написать каноническое уравнение эллипса, надо знать его большую полуось а и малую полуось b. Малая полуось задана в условии задачи. Для нахождения большой полуоси эллипса воспользуемся соотношением (8). Выразим из него :

Уравнение эллипса:

Задача 5: Эллипс проходит через точкии . Написать его уравнение и найти расстояние от точки М до его фокусов.

Решение: Так как эллипс проходит через точки М и В, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению эллипса. Т.е. в каноническое уравнение эллипса подставляем координаты точки М, получаем одно уравнение относительно неизвестныхи . Подставляем координаты точки В, получаем второе уравнение относительно и . Решая систему 2-х уравнений с двумя неизвестными, находим и :

Подставляем в первое уравнение:

.

В каноническом виде данное уравнение эллипса имеет вид:

Для нахождения расстояния от точки М до фокусов необходимо знать координаты фокусов. Для этого воспользуемся соотношением

Так как фокусы имеют координаты, то имеет координаты , -. Расстояние и

вычислим по формуле (1):

.

Тема 1.4 «Парабола, гипербола»

1.4.1 Парабола

Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). 

Задача 1: Найти уравнение параболы.

1 шаг Строим чертеж в соответствии с условиями задачи. Возьмем произвольно на плоскости точку, обозначим ее F и прямую — директрису, обозначив ее через D. Из точки F на директрису D опустим перпендикуляр, примем эту прямую за ось OX. Точку пересечения перпендикуляра и директрисы обозначим буквой А. Из середины отрезка АF восстановим перпендикуляр, это будет ось OY. Таким образом, введена система координат и каждой точке на плоскости соответствует пара чисел и наоборот.

2 шаг: Возьмем текущую точку т.е. лежащую на параболе.

3 шаг: Делаем необходимые геометрические построения: опускаем из точки М перпендикуляр на директрису, точку пересечения обозначим буквой В и соединим точку М с фокусом F.

4 шаг: Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М с данными по определению параболы. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через Р: AF = P. По определению параболы:

BM = MF (10)   (расстояния от точки, лежащей на параболе, до фокуса и директрисы равны). Распишем BM и MF по формуле (1). Но для этого надо знать координаты точек B, F (координаты точки М известны — (х;у)). Т.к. AF = P, то координаты т.F будут, точка В лежит слева от начала координат на расстоянии от него. Следовательно, абсцисса ее равна, а ордината такая же , как у точки М(т. к. , т.е. у.

Подставим найденные выражения в равенство (10):

Таким образом, мы связали координаты текущей точки М(х;у) с данными по определению задачи, т.е. получили уравнение искомого ГМТ — параболы.

5 шаг: Упростим полученное выражение. Для этого возведем в квадрат левую и правую части уравнения и раскроем квадраты. Получим:

Приведем подобные члены:

Поменяем местами левую и правую части уравнения:

Мы получили каноническое уравнение параболы.

Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения -  - неотрицательная, следовательно, и правая часть  При х = 0 у = 0, т.е. вершина параболы находится в начале координат. Ветви параболы направлены в положительном направлении оси(т.к. , значит . Парабола симметрична относительно оси ОХ (одному значению х соответствуют два одинаковых по величине, но противоположных по знаку значения у).

Построение параболы

Через F проводим перпендикуляр к оси ОХ и на нем откладываем равные расстояния Р. Полученные две точки находятся на расстоянии Р как от фокуса, так и от директрисы, т.е. лежат на параболе. Точка О также принадлежит параболе. По этим трем точкам можно построить параболу.

Если вершина параболы сдвинута относительно начала координат, то уравнение параболы имеет вид:

, — координаты вершины параболы.

Если ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси ОХ, то уравнение параболы имеет вид:

Соответственно, уравнение параболы, симметричной относительно оси OY, будет иметь вид:

Задача 2: Составить уравнение ГМТ, одинаково удаленных от начала координат и прямой x = – 4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

Решение. По определению параболы имеем, что данное в задаче начало координат — это фокус, а прямая х = – 4 — это директриса. Вершина параболы находится в середине между фокусом и директрисой (см. вывод уравнения параболы). Следовательно, координаты вершины параболы С (–2;0). Чтобы написать уравнение параболы, кроме координат ее вершины необходимо знать параметр Р — расстояние от фокуса до директрисы. В данной задаче оно равно 4.

Уравнение параболы, таким образом, будет иметь вид: ,

Для построения параболы необходимо иметь 3 точки. Одна уже есть — вершина. Найдем еще две — точки пересечения параболы с OY. Для этого в уравнении параболы положим x = 0.

, т.е. точки (0;-4) и (0;4).

Строим параболу:

1.4.2 Гипербола

Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Задача 1 Найти каноническое уравнение гиперболы.

1 шаг Строим чертеж в соответствии с условиями задачи. По определению имеем две точки — фокусы. Отметим эти точки на одной горизонтали, назовем их и . Проведем через эти точки прямую линию. Эта линия будет осью ОХ. Из середины отрезка проведем перпендикуляр. Это будет ось OY. Таким образом мы ввели систему координат и теперь каждая точка на плоскости имеет координаты.

2 шаг: Возьмем текущую точку , т.е. лежащую на гиперболе.

3 шаг: Делаем необходимые геометрические построения: соединяем отрезками прямых точку М с фокусами.

4 шаг: Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М(x;y) с данными по определению гиперболы. Обозначим расстояние (фокусное расстояние) через 2с. По определению гиперболы разность расстояний от точки М до фокусов есть величина постоянная независимо от того, где на гиперболе находится точка М.  Обозначим это расстояние через 2а:

Распишем расстояние и по формуле (1). Для этого мы должны знать координаты фокусов и (координаты точки М — (х;у)). Т.к. расстояние то фокусы имеют координаты,  Тогда по формуле (1) имеем:

Подставив эти выражения в равенство ,получим:

.

Этим уравнением связаны координаты текущей точки М(х;у) с данными задачи. Следовательно, оно является уравнением гиперболы.

5 шаг Упростим полученное выражение, дважды возведя его в квадрат и обозначив через  (11).  Ввиду громоздкости выкладок приводить их не будем. Получим:   Мы получили каноническое уравнение гиперболы. Для нее, как и для эллипса существует понятие эксцентриситета, который обозначается буквой (ипсилон) и характеризует степень сплющенности гиперболы. Эксцентриситет вычисляется по формуле:

Построение гиперболы

Строим прямоугольную систему координат. На оси ОХ от начала координат откладываем влево и вправо отрезки а (произвольной длины). А на оси OY — отрезки b. Через точки на осях проводим прямые, параллельные осям координат. Получили прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Проведем диагонали прямоугольника. Они называются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы сколь угодно близко приближаются к асимптотам, но не пересекают их. Вершины гиперболы находятся на расстоянии а от начала координат влево и вправо.
Построим ветви гиперболы. Расстояние АВ = 2а — называется действительной осью гиперболы, CD = 2b — мнимой осью гиперболы. Из равенства (11) следует, что , т.е. с > 0 = ОК и фокусы и будут  располагаться внутри ветвей гиперболы.

Задача 2: Построить гиперболу и определить ее фокусы и эксцентриситет.

Решение: Чтобы построить гиперболу, надо знать параметры а и b, а для этого уравнение гиперболы надо привести к каноническому виду, т.е.;  ,

Следовательно,

Строим прямоугольную систему координат, на оси ОХ откладываем влево и вправо от начала координат отрезки 4,2, на оси OY вверх и вниз — отрезки 2,1. Проводим прямые, параллельные осям координат, получаем прямоугольник со сторонами 8,4 и 4,2. Проведем диагонали этого прямоугольника, это асимптоты гиперболы, чертим ветви гиперболы.

Найдем фокусы. Координаты фокусов, . Для нахождения с  воспользуемся соотношением (11).

Координаты фокусов: ,

Найдем эксцентриситет гиперболы:

Эксцентриситет гиперболы всегда больше 1.

Задания для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения по тема 1.1

Решить и представить преподавателю:

Задача 1:  Начертить прямоугольную систему координат. Поставить наугад три точки на координатной плоскости, определить координаты точек (спроектировав их на оси координат). Найти периметр полученного треугольника и определить, прямоугольный он или нет.

Решение:

Задача 2: На оси ординат найти точку, удаленную от точки А (4;–1) на 5 единиц. Объяснить, почему получается 2 решения.

Решение:

Задача 3: Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами А (4;3), В (–3;2), С (1;–6). 

Решение:

Задачи для самостоятельного решения по теме 1.2

Реши и представь преподавателю:

Задача 1: Построить прямую, отсекающую на оси OY отрезок b = –3 и составляющую с осью OX угол . Написать  уравнение этой прямой.

Задача 2 Построить прямую 3x + 4y = 12

Задача 3 Написать уравнение и построить график прямой, проходящей через точки А(1;15) и В(–4;3)

Проверь себя
Вопросы для самоконтроля

1. Что называется геометрическим местом точек?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

                                                      
2. Перечислить последовательность шагов для определения геометрического места точек.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.Написать уравнение прямой в общем виде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задачи для самостоятельного решения по теме 1.3

Реши и представь преподавателю:

Задача 1: Построить окружности:

Задача 2:Построить окружности:

Задача 3: Найти центры и радиусы окружности    

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________
______________________________________________________________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Задача 4: Найти центры и радиусы окружности  

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________            

Задача 5 Найти малую полуось b и эксцентриситет эллипса, имеющего большую полуось а = 5 и параметр с, равный 1) 4,8; 2) 4. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 6: Эллипс проходит через точки и Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояние точки М от фокусов. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверь себя

Вопросы для самоконтроля

1. Какой формулой может быть представлена функциональная зависимость?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Какие линии второго порядка вы знаете?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Дать определение окружности, основываясь на школьном курсе математики.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Дать определение эллипса.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задачи для самостоятельного решения по теме 1.4

Реши и представь преподавателю:

Задача 1: Построить параболы, а также найти их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис:

1)

2)  

3)

4)

Задача 2: На гиперболевзята точка М с ординатой, равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Задача 3: Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что 1) расстояние между фокусами 2с = 10, и 2а = 8. 2) вещественная полуось , а эксцентриситет  

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

.