Исследовательская (инновационная) деятельность

Пояснительная записка.

        Данная рабочая программа составлена на основе следующих нормативных документов:

1. Закон «Об образовании в Российской Федерации»
2. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика
3. Примерная программа среднего общего образования по математике. Профильный уровень.
4. Образовательная программа и базисный учебный план МБОУ «Средняя школа №2» г.Десногорска на 2019 – 2020 учебный год.
5. Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях, на 2019/2020 учебный год

Общая характеристика учебного предмета

       Содержание рабочей программы курса «Практикум по математике. Решение задач повышенной сложности» соответствует основному курсу математики для средней школы и федеральному компоненту Государственного образовательного стандарта по математике; развивает базовый курс математики на старшей ступени общего образования, реализует принцип дополнения изучаемого материала на уроках алгебры и начал анализа системой упражнений, которые углубляют и расширяют школьный курс, и одновременно обеспечивает преемственность в знаниях и умениях учащихся основного курса математики 10-11 классов, что способствует расширению и углублению базового общеобразовательного курса алгебры и начал анализа и курса геометрии.

Курс ориентирован на обеспечение старшеклассников занятиями по выбору из вариативного компонента Базисного учебного плана в старшей школе в соответствии ФГОС. Предлагаемый курс позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников.

Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры и позволяет значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляет своему абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа.

Поэтому, особая установка курса - подготовка учащихся к ЕГЭ  и учебе в ВУЗах соответствующего профиля. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.

Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный. В процессе работы возможно перераспределение часов в зависимости от уровня подготовки старшеклассников.

Программа курса  разработана на основе учебных пособий «Математика. Профильный уровень. Решение задач и уравнений в целых числах». Ю.В.Садовничий.М:УЧПЕДГИЗ,2018г, М.И.Сканави «Сборник по математике. М.ОНИКС.2017, С.И.Колесникова «Математитка. Решение  сложных задач ЕГЭ» М.Айрис прес2017

.

Цель курса:

Цель курса - создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Задачи курса:

обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач;

формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;

развитие коммуникативных и обще учебных навыков работы в группе,самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

          Место предмета в базисном учебном плане:

      Согласно учебному плану МБОУ «Средняя школа №2» г.Десногорска на 2019 – 2020 учебный год на изучение программы  отводится 2 часа в неделю при 34 недельной работе.

Предполагаемые результаты:

1) в личностном направлении:

• умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

•        критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

•        креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;

•        умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

•        способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;

2)        в метапредметном направлении:

•        представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;

      •        умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

•        умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, представлять ее в понятной форме, принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

•        умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

•        умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость их проверки;

•        понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

      •        умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

•        умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

      3)      умение проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности являются лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Критерии оценки результативности изучения курса.

Формы текущего контроля – традиционные: оценки за выполнение конкретных заданий по 5-бальной системе.

 Содержание программы

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений.

Умножение уравнения на функцию. Использование симметричности уравнения. Использование суперпозиции функций. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Понижение степени при решении некоторых

Календарно-тематическое планирование

Учебно-методического обеспечение

Ю.В.Садовничий. «Математика. Профильный уровень. Решение задач и уравнений в целых числах»..М:УЧПЕДГИЗ,2018г, М.И.Сканави М.И.Сканави «Сборник по математике. М.ОНИКС.2017,

С.И.Колесникова «Математитка. Решение  сложных задач ЕГЭ» М.Айрис прес2017

Семенов А.В., Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Трепалин А.С., Кукса Е.А., «Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности, как получить максимальный балл на ЕГЭ»,2015.

Интернет - ресурсы

http://mathege.ru

http://reshuege.ru/

http://ruolimpiada.ru/olimpiada-po-matematike-10-klass-zadani/

http://www.alleng.ru

План мероприятий «Дорожная карта»

по повышению качества математического образования учащихся 11б класса

на 2019 – 2020 уч.год

Цели:

 - повышение качества математического образования;

 - создание условий для удовлетворения потребностей личности в образовательной подготовке;                                                                          

 - совершенствование организации учебного процесса.

 Задачи:    

- организация необходимого информационного обеспечения, педагогического анализа качества обучения учащихся;      

- совершенствование условий для современного образования и воспитания обучающихся с учётом их индивидуальных особенностей;

- подготовка к ГИА.

 Ожидаемые результаты:

1. Повышение качества математического образования в 11б классе в 2019-2020 учебном году.
2. Рост познавательной мотивации обучающихся (увеличение количества обучающихся участвующих в олимпиадах, конкурсах и проектах).
3. Совершенствование качества системы образования,  оптимизация учебно-воспитательного процесса.
4. Успешная сдача ЕГЭ.
5. Сохранение здоровья учащихся.

1. Система контроля индивидуальных достижений обучающихся.

Основные виды контроля:

- по месту в процессе обучения:

- предварительный контроль, позволяющий определить исходный уровень обученности и развития учащихся;

- текущий контроль, позволяющий определять уровень развития учащихся и степень их продвижения в освоении программного материала;

- итоговый контроль, определяющий итоговый уровень знаний учащихся по предмету и степень сформированности основных компонентов учебной деятельности школьников;

- по содержанию:

- прогностический или планирующий контроль, определяющий последовательность выполнения операций учебного действия или его операционный состав до начала реального выполнения действия;

- пооперационный контроль, управляющий правильностью, полнотой и последовательностью выполнения операций, входящих в состав действия;

- контроль по результату, сравнивающий фактический результат или выполненную операцию с образцом после осуществления учебного действия;

- по субъектам контрольно-оценочной деятельности:

- внешний контроль, осуществляемый администрацией школы, Департаментом образования

- внутренний контроль, осуществляемый педагогом или рефлексивный контроль, осуществляемый учащимся и обращенный на понимание принципов построения и осуществления собственной деятельности (самоконтроль и самооценка).

К главным критериям, самоконтроля и самооценки, а также контроля и оценки относятся следующие:

- усвоение предметных знаний, умений и навыков, их соответствие требованиям государственной программы и ФГОС;

- сформированность УУД (умения наблюдать, анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, связно излагать мысли, творчески решать учебную задачу);

- развитость познавательной активности и интересов, прилежания и старания;

- сформированность познавательной активности и интересов, прилежания и старания.

Основной функцией самооценки и самоконтроля является определение учеником границ своего знания-незнания, своих потенциальных возможностей, а также осознание тех проблем, которые еще предстоит решить в ходе осуществления учебной деятельности.

Конечная цель обучения - формирование у учащихся адекватной самооценки и развитие учебной самостоятельности в осуществлении контрольно-оценочной деятельности.

 2. Формы контроля и оценки

Содержательный контроль и оценка предметных результатов учащихся предусматривает выявление индивидуальной динамики качества усвоения предмета ребенком и не допускает сравнения его с другими детьми.

Для отслеживания уровня усвоения знаний и умений используются:

- стартовые (входной контроль) проверочные работы;

- текущие проверочные работы;

- итоговые проверочные работы;

- тестовые диагностические работы;

- устный опрос;

Стартовая работа проводится в начале учебного года и определяет актуальный уровень знаний учащихся, необходимый для продолжения обучения. На основе полученных данных учитель организует коррекционно-дифференцированную работу по теме “Повторение” .

Текущий контроль позволяет фиксировать степень освоения программного материала во время его изучения. Учитель в соответствии с программой определяет по каждой теме объем знаний и характер специальных умений и навыков, которые формируются в процессе обучения.

Тестовая диагностическая работа (“на входе” и “выходе”) включает в себя задания, направленные на проверку пооперационного состава действия, которым необходимо овладеть учащимся в рамках данной учебной задачи.

Тематическая проверочная работа проводится по ранее изученной теме, в ходе изучения следующей на этапе решения частных задач, позволяет фиксировать степень освоения программного материала во время его изучения. Учитель в соответствии с программой определяет по каждой теме объем знаний и характер специальных умений и навыков, которые формируются в процессе обучения. Тематические проверочные работы проводятся после изучения наиболее значительных тем программы.

Итоговая проверочная работа проводится в конце  четверти, учебного полугодия, года. Включает все основные темы учебного периода.

Результаты итоговой и промежуточной аттестации фиксируются в журнале. Проводится поэлементный анализ выполненной работы, составляется план коррекционной работы. Качественная характеристика знаний, умений и навыков составляется на основе содержательной оценки учителя, рефлексивной самооценки ученика и публичной демонстрации (представления) результатов обучения за год.

Количественная характеристика знаний, умений и навыков определяется на основе результатов проверочных работ по предмету.

Итоговый результат усвоения предмета определяется в конце
учебного года на основании промежуточных результатов изучения отдельных тем программы и итоговой контрольной работы по предмету.

 3. Взаимодействие участников образовательного процесса в процессе обучения.

Для информирования родителей о результатах обучения и развития учащихся ежедневно ведется учет успеваемости и посещаемости учащихся в дневниках и журналах, в конце каждого полугодия классный руководитель знакомит родителей с результатами по предмету, результатами диагностического тестирования.

 4. План мероприятий по повышению качества образования выпускников

5. Работа с учащимися по повышению качества образования

а) Годовая циклограмма работы с учащимися по повышению их уровня обученности

В течении учебного года:

 в) Работа с родителями по повышению качества образования учащихся:

Пояснительная записка

      Рабочая программа факультативного курса по математике «За страницами учебника математики» для 5 класса составлена на основе  федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.  

    Факультативные занятия имеют большое значение для развития личности, здесь в полной мере можно осуществить индивидуальный и дифференцированный подход к учащимся. Сюда приходят не за отметкой, а за радостью познания, своего собственного открытия.   Развитие умения учиться – как первого шага к самообразованию: формирование самоуважения, готовности открыто выражать и отстаивать свою     позицию, адекватно оценивать свои поступки. Формирование психологических условий развития общения на основе: доброжелательности, доверия и внимательности к людям, готовности к сотрудничеству и дружбе, оказанию помощи тем, кто в ней нуждается; признавать право каждого на собственное мнение.

Общая характеристика факультативного курса

    Факультатив  позволяет планомерно вести внеурочную деятельность по предмету; позволяет расширить и углубить знания по математике, различные формы проведения занятий, способствуют повышению интереса к предмету, рассмотрение более сложных заданий олимпиадного характера, способствует развитию логического мышления учащихся; работа в разновозрастной группе способствует обмену опытом и социализации учащихся.

    Основная цель программы: создание условия для побуждения и развития устойчивого интереса учащихся к математике и её приложениям, развитие творческого и логического мышления, подготовке к олимпиадам и конкурсам различного уровня.

    Задачи:

1) учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики в практике.

2) овладение комплексом математических знаний, умений и навыков необходимых:

 а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности, не связанной с математикой;

б) для изучения на современном уровне школьных предметов естественно-научного и гуманитарного циклов;  

 в) для изучения математики в любой из форм непрерывного образования;

 3)    формирование умения ставить перед собой цель, достигать её, не ущемляя прав окружающих людей;

 4)    развитие внимания, памяти;

5)    формирование навыков поиска информации, работы с учебной и научно-популярной литературой, каталогами, компьютерными источниками информации;

6)    повышение уровня владения учащимися родным языком с точки зрения правильности и точности выражения мыслей в активной и пассивной речи;

7)    формирование навыком научно-исследовательской работы.  

 Место факультативного курса в учебном плане                                                   

 Программа факультатива по математике рассчитана на 17часов в год  при 0, 5 часа в неделю.

 Результаты освоения факультативного курса.

 Личностные, метапредметные и предметные:

 Изучение математики на факультативе в 5 классе  направлено на достижение целей в направлении личностного развития:

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества; развитие логического и критического мышления; культуры речи, способности к умственному эксперименту; воспитание качеств личности, способность принимать самостоятельные решения; формирование качеств мышления; развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

в метапредметном направлении развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование общих способов интеллектуальной деятельности,  характерных для математики;

в предметном направлении овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин.

 Планируемые результаты:

учащиеся должны научиться анализировать задачи, составлять план решения, решать задачи, находить рациональные, оригинальные способы решения, делать выводы;                                        

 решать задачи на смекалку, на сообразительность;    

решать олимпиадные задачи;                      

работать в коллективе и самостоятельно;

 расширить  свой математический кругозор;

пополнить свои математические знания;  

научиться работать с дополнительной литературой;                                                                        

 уметь проводить математическое исследования;    

 уметь использовать математические модели для решения задач из различных областей знаний. Результатом деятельности учащихся на факультативных занятиях является проведение математических и межпредметных исследований,   участие в школьных  олимпиадах, всероссийских конкурсах,  интернет-олимпиадах, научно-практических конференциях  по математике.

                                                       Содержание программы:

1.Вводное занятие: «Что такое математика?» История математики, счёта, систем счисления.

2. Решение занимательных задач.

3. Задачи на разрезание и со спичками.

4. Фокусы с разгадыванием чисел.

5. Круги Эйлера.

6.Логические задачи. Парадоксы.

7. Задачи на переливание.

Форма контроля знаний:

На  факультативных занятиях применяется безоценочный способ контроля знаний.  Обучение осуществляется не ради отметки, у учеников  высокая учебно-познавательная мотивация, обусловленная личным выбором, индивидуальной потребностью,  интересом к творчеству и познанию.

Отметка отсутствует, но содержательная оценка работы каждого ученика  обязательно озвучивается в конце каждого урока и строится на анализе мысленной и письменной деятельности,  последовательности и эффективности  выполненных действий.

Форма организации: индивидуальная, групповая. 

Виды деятельности:

- сочетание теоретических и практических занятий,

 - создание учащимися проектов.

Календарно- тематическое планирование

Используемые источники:

Пояснительная записка

      Рабочая программа факультативного курса по математике «За страницами учебника математики» для 6 класса составлена на основе  федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.  

    Факультативные занятия имеют большое значение для развития личности, здесь в полной мере можно осуществить индивидуальный и дифференцированный подход к учащимся. Сюда приходят не за отметкой, а за радостью познания, своего собственного открытия.   Развитие умения учиться – как первого шага к самообразованию: формирование самоуважения, готовности открыто выражать и отстаивать свою     позицию, адекватно оценивать свои поступки. Формирование психологических условий развития общения на основе: доброжелательности, доверия и внимательности к людям, готовности к сотрудничеству и дружбе, оказанию помощи тем, кто в ней нуждается; признавать право каждого на собственное мнение.

Общая характеристика факультативного курса

    Факультатив  позволяет планомерно вести внеурочную деятельность по предмету; позволяет расширить и углубить знания по математике, различные формы проведения занятий, способствуют повышению интереса к предмету, рассмотрение более сложных заданий олимпиадного характера, способствует развитию логического мышления учащихся; работа в разновозрастной группе способствует обмену опытом и социализации учащихся.

    Основная цель программы: создание условия для побуждения и развития устойчивого интереса учащихся к математике и её приложениям, развитие творческого и логического мышления, подготовке к олимпиадам и конкурсам различного уровня.

    Задачи:

1) учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики в практике.

2) овладение комплексом математических знаний, умений и навыков необходимых:

 а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности, не связанной с математикой;

б) для изучения на современном уровне школьных предметов естественно-научного и гуманитарного циклов;  

 в) для изучения математики в любой из форм непрерывного образования;

 3)    формирование умения ставить перед собой цель, достигать её, не ущемляя прав окружающих людей;

 4)    развитие внимания, памяти;

5)    формирование навыков поиска информации, работы с учебной и научно-популярной литературой, каталогами, компьютерными источниками информации;

6)    повышение уровня владения учащимися родным языком с точки зрения правильности и точности выражения мыслей в активной и пассивной речи;

7)    формирование навыком научно-исследовательской работы.  

 Место факультативного курса в учебном плане                                                   

 Программа факультатива по математике рассчитана на 17часов в год  при 0, 5 часа в неделю.

 Результаты освоения факультативного курса.

 Личностные, метапредметные и предметные:

 Изучение математики на факультативе в 6 классе  направлено на достижение целей в направлении личностного развития:

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества; развитие логического и критического мышления; культуры речи, способности к умственному эксперименту; воспитание качеств личности, способность принимать самостоятельные решения; формирование качеств мышления; развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

в метапредметном направлении развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование общих способов интеллектуальной деятельности,  характерных для математики;

в предметном направлении овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин.

 Планируемые результаты:

учащиеся должны научиться анализировать задачи, составлять план решения, решать задачи, находить рациональные, оригинальные способы решения, делать выводы;                                        

 решать задачи на смекалку, на сообразительность;    

решать олимпиадные задачи;                      

работать в коллективе и самостоятельно;

 расширить  свой математический кругозор;

пополнить свои математические знания;  

научиться работать с дополнительной литературой;                                                                        

 уметь проводить математическое исследования;    

 уметь использовать математические модели для решения задач из различных областей знаний. Результатом деятельности учащихся на факультативных занятиях является проведение математических и межпредметных исследований,   участие в школьных  олимпиадах, всероссийских конкурсах,  интернет-олимпиадах, научно-практических конференциях  по математике.

                                                       Содержание программы:

Содержание программы:

1.Элементы истории математики

2.Старинные задачи.

3.Совершенные числа. Числа близнецы. Топологические головоломки.

4.Магические квадраты [(2х2) (3х3)]. Составление квадратов.

5.Числовые великаны. Числовые лилипуты. Задачи повышенной сложности.

6.Фокусы без обмана.

7.Задачи на разрезание и складывание фигур, приближенное вычисление их площадей. Танграм.

8.Вычисление площади фигур сложной конфигурации.

9.Олимпиадные задачи.

Форма контроля знаний:

На  факультативных занятиях применяется безоценочный способ контроля знаний.  Обучение осуществляется не ради отметки, у учеников  высокая учебно-познавательная мотивация, обусловленная личным выбором, индивидуальной потребностью,  интересом к творчеству и познанию.

Отметка отсутствует, но содержательная оценка работы каждого ученика  обязательно озвучивается в конце каждого урока и строится на анализе мысленной и письменной деятельности,  последовательности и эффективности  выполненных действий.

Форма организации: индивидуальная, групповая. 

Виды деятельности:

- сочетание теоретических и практических занятий,

 - создание учащимися проектов.

Календарно- тематическое планирование

Используемые источники:

Пояснительная записка

      Рабочая программа факультативного курса по математике «За страницами учебника математики» для 8 класса составлена на основе  федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.  

    Факультативные занятия имеют большое значение для развития личности, здесь в полной мере можно осуществить индивидуальный и дифференцированный подход к учащимся. Сюда приходят не за отметкой, а за радостью познания, своего собственного открытия.   Развитие умения учиться – как первого шага к самообразованию: формирование самоуважения, готовности открыто выражать и отстаивать свою     позицию, адекватно оценивать свои поступки. Формирование психологических условий развития общения на основе: доброжелательности, доверия и внимательности к людям, готовности к сотрудничеству и дружбе, оказанию помощи тем, кто в ней нуждается; признавать право каждого на собственное мнение.

Общая характеристика факультативного курса

    Факультатив  позволяет планомерно вести внеурочную деятельность по предмету; позволяет расширить и углубить знания по математике, различные формы проведения занятий, способствуют повышению интереса к предмету, рассмотрение более сложных заданий олимпиадного характера, способствует развитию логического мышления учащихся; работа в разновозрастной группе способствует обмену опытом и социализации учащихся.

    Основная цель программы: создание условия для побуждения и развития устойчивого интереса учащихся к математике и её приложениям, развитие творческого и логического мышления, подготовке к олимпиадам и конкурсам различного уровня.

    Задачи:

1) учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики в практике.

2) овладение комплексом математических знаний, умений и навыков необходимых:

 а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности, не связанной с математикой;

б) для изучения на современном уровне школьных предметов естественно-научного и гуманитарного циклов;  

 в) для изучения математики в любой из форм непрерывного образования;

 3)    формирование умения ставить перед собой цель, достигать её, не ущемляя прав окружающих людей;

 4)    развитие внимания, памяти;

5)    формирование навыков поиска информации, работы с учебной и научно-популярной литературой, каталогами, компьютерными источниками информации;

6)    повышение уровня владения учащимися родным языком с точки зрения правильности и точности выражения мыслей в активной и пассивной речи;

7)    формирование навыком научно-исследовательской работы.  

 Место факультативного курса в учебном плане                                                   

 Программа факультатива по математике рассчитана на 17часов в год  при 0, 5 часа в неделю.

 Результаты освоения факультативного курса.

 Личностные, метапредметные и предметные:

 Изучение математики на факультативе в 8 классе  направлено на достижение целей в направлении личностного развития:

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества; развитие логического и критического мышления; культуры речи, способности к умственному эксперименту; воспитание качеств личности, способность принимать самостоятельные решения; формирование качеств мышления; развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

в метапредметном направлении развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование общих способов интеллектуальной деятельности,  характерных для математики;

в предметном направлении овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин.

 Планируемые результаты:

учащиеся должны научиться анализировать задачи, составлять план решения, решать задачи, находить рациональные, оригинальные способы решения, делать выводы;                                        

 решать задачи на смекалку, на сообразительность;    

решать олимпиадные задачи;                      

работать в коллективе и самостоятельно;

 расширить  свой математический кругозор;

пополнить свои математические знания;  

научиться работать с дополнительной литературой;                                                                        

 уметь проводить математическое исследования;    

 уметь использовать математические модели для решения задач из различных областей знаний. Результатом деятельности учащихся на факультативных занятиях является проведение математических и межпредметных исследований,   участие в школьных  олимпиадах, всероссийских конкурсах,  интернет-олимпиадах, научно-практических конференциях  по математике.

                                                       Содержание программы:

Содержание программы:

1.Системы счисления. Запись чисел в разных системах счисления

2.Математика на каждом шагу. Решение социальных задач

3.Графики функций и их преобразование.

4.Модуль. Построение графиков с модулем

5.Задачи на разрезание фигур

6. Задачи на построение

7.Математический турнир

Форма контроля знаний:

На  факультативных занятиях применяется безоценочный способ контроля знаний.  Обучение осуществляется не ради отметки, у учеников  высокая учебно-познавательная мотивация, обусловленная личным выбором, индивидуальной потребностью,  интересом к творчеству и познанию.

Отметка отсутствует, но содержательная оценка работы каждого ученика  обязательно озвучивается в конце каждого урока и строится на анализе мысленной и письменной деятельности,  последовательности и эффективности  выполненных действий.

Форма организации: индивидуальная, групповая. 

Виды деятельности:

- сочетание теоретических и практических занятий,

 - создание учащимися проектов.

Календарно- тематическое планирование

Используемые источники:

Рабочая программа по

 «Практикум по математике. Решение задач повышенной сложности»

 для 11а класса

Пояснительная записка

    Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Учащимся предстоит сдавать выпускной экзамен в форме ЕГЭ. Он гораздо сложнее, потому что включает в себя не только материал 10-11 класса, но и как вступительный экзамен, все вопросы программы по математике 7-11 классов. Справиться с возникшими трудностями должна помочь данная программа; подготовится к любому варианту ЕГЭ и одновременно самостоятельно оценить уровень своей подготовки. Решение задач повышенной сложности способствует развитию логического мышления, математической интуиции, творческих способностей, прививает навыки исследовательской работы.

  Программа включает дополнительные вопросы по темам « Многочлены», « Степени и корни», «Степенная функция», «Показательная и логарифмическая функция», «Уравнения и неравенства», «Решение задач с модулем», «Сечения многогранников», «Комбинации геометрических тел», «Обратные тригонометрические функции», « Уравнения и неравенства с параметром», «Уравнения и неравенства с модулем», «Текстовые задачи», что позволит учащимся подготовиться к решению заданий высокого и повышенного уровня сложности.

 Цели курса:

- научить решать задачи более сложного уровня;

- повысить математические умения;

- подготовится к сдачи ЕГЭ;

Задачи курса:

- систематизация методов решений уравнений, задач с параметрами;

- повышение математической подготовки учащихся.

Тематическое планирование:

Требования к математической подготовке учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь :

- применять теорему Безу, Чевы и Менелая к решению задач; использовать схему Горнера;

- решать текстовые задачи;

- решать нестандартные уравнения и системы уравнений;

- решать задачи на комбинацию геометрических тел.

          Литература:

1. Алгебра и начала математического  анализа 10-11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П.В.Семенов - М.: Мнемозина 2019 г.;
2. Алгебра и начала математического  анализа 10-11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П.В.Семенов - М.: Мнемозина 2019 г.;
3. Геометрия 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. М.: Просвещение, 2019.
4. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре к учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10-11 классы/ М.А.Попов. М: Издательство «Экзамен», 2019

5. Контрольные работы по геометрии для 7-11классов.Зив Б.Г.

    6. Для информационно-компьютерной поддержки учебного процесса предполагается использование следующих программно-педагогических    средств, реализуемых с помощью компьютера:

1. CD «1С: Репетитор. Математика» (К и М);
2. Математика. 10-11 классы
3. Практическая геометрия. Комбинации геометрических тел 10-11 классы.

Календарно - тематическое планирование

Рабочая программа

 по элективному курсу

 «Удивительный мир уравнений. Нестандартные  методы решения»

в 9 классе

                                                                                                                                                                                                                                       Учитель Кочубей Л.В.

Пояснительная  записка

      Общеизвестно, что в олимпиадных заданиях, различного рода экзаменационных заданиях  часто встречаются уравнения, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания, или не уделяется вовсе.

     Основная цель курса «Удивительный мир уравнений. Нестандартные методы решения» - научить анализировать каждое уравнение и процесс его решения; т.е. научить такому подходу к решению  уравнений, при котором уравнение выступает как объект тщательного изучения, исследования.

     Предлагаемый курс позволит учащимся использовать и систематизировать знания,  полученные при изучении различных тем школьного курса алгебры, расширить знания за рамками этого курса, поможет учащимся  восполнить пробелы предыдущей подготовки, лучше овладеть общеучебными умениями и навыками, которые позволят успешно осваивать программу старшей профильной школы, даёт возможность проявить себя и добиться успехов. Курс поможет учащимся  оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, способствует созданию положительной мотивации обучения, подготовки учеников не только к сдаче экзаменов, но и успешному обучению в профильной школе.

     Материал курса доступен для изучения, способствует развитию логического мышления учащихся, повышению их интеллектуального  и творческого развития, математической культуры,  поможет учителю показать ученикам как красоту и совершенство, так и сложность и изощрённость в решении уравнений.

     Изучение курса предполагается вести в виде лекций, семинарских занятий  с использованием проблематизации и диалога с учащимися. Возможны и разные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся. При проведении занятий используются как объяснительно – иллюстративные, так  и активные методы обучения.

     Итогом изучения курса является овладение учащимися нестандартными методами  решения уравнений; формирование и развитие у обучающихся коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения. В процессе обучения учащиеся приобретают умения анализировать уравнение, составлять алгоритм его решения.

     Продолжительность данного курса 34 часа.

                   Содержание  курса.

1. Функциональный подход к решению уравнений.   Использование       монотонности, экстремальных свойств, оценки значений, нахождения области определения входящих в уравнение функций к решению уравнений. Уравнения вида  f ( f ( х )) = х. Применение графиков функций к решению уравнений с параметрами и модулями.                                                                                                   7  часов

2. Последовательности,  применение их свойств  к решению уравнений.

 Использование свойств арифметической, геометрической прогрессии к решению уравнений.  Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Применение её свойств к решению уравнений. Предел последовательности. Теорема Вэйерштрасса о  сходимости  монотонной и ограниченной последовательности, её применение к решению уравнений.                                                                                                       3 часа

3. Уравнения высоких степеней.

Метод понижения степени уравнений. Теорема Безу и её следствия. Формулы Виета, их применения к решению уравнений высоких степеней. Зависимость между коэффициентами уравнений, её применение к решению уравнений.  Возвратные уравнения.                                                                                                   5 часов

                    Учебно -  тематический  план

                   Методические материалы

Тема: Использование   свойств функций,  входящих в уравнения, при решении  уравнений.

Цель: Научить использовать монотонность, экстремальные свойства, оценку значений, область определения, входящих в уравнение функций, при решении уравнений.

Содержание: 

1. Повторить свойства функций   у = ах + b, у = ах² + bх + с, у = .

2. Рассмотреть теоремы:

     а)  Если функция f ( х )  монотонна на промежутке I, то уравнение

 f ( х ) = С  имеет на промежутке I  не более одного корня.

     б)  Если функция f ( х )   возрастает на промежутке I, а функция g ( х ) убывает на промежутке I, то уравнение f ( х )   = g ( х ) имеет на этом промежутке не более одного корня.

3. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров а – д.

Решить уравнение:

а)    +  = 2

Решение: Область определения уравнения - [ - 1: + ), на данном промежутке функция у = х² + 3х + 6 возрастает,  значит возрастает функция

У =  . На этом промежутке  возрастает и функция  у = , откуда следует, что левая часть уравнения  -  возрастающая на [ - 1: + ) функция  ( как сумма двух возрастающих функций ). Правая часть уравнения – постоянная, уравнение, следовательно имеет не более одного решения. Корень  х = - 1 легко найти.

                                                           Ответ: - 1.

б)  +  = 3 – х                                                          

Указание: левая часть уравнения – возрастающая на [ 1: + )  функция, а                                                

правая часть – убывающая. Легко найти х = 1.

                                                           Ответ: 1

в)  х² + у² = 4 ( х + у – 2 )

Решение. Запишем уравнение в виде:  х² + у² - 4х – 4у + 8 = 0

( х – 2 )² + ( у – 2 )² = 0.

Сумма квадратов двух выражений равна нулю, если оба слагаемые равны нулю. То х = 2,  у = 2.

                                                           Ответ: х=2,  у=2.

г) 3х +  =  + 2х +2

Решение. Найдём ОДЗ этого уравнения. Оно задаётся условиями

  , откуда  .  Этим условиям удовлетворяет единственная точка  х = 2. Поэтому ОДЗ уравнения состоит из одной точки  х = 2. Проверим,  является  ли  это  число решением данного уравнения. Подставим

х = 2  в исходное уравнение, получим  6 = 6 ( верное равенство). Поэтому данное уравнение  имеет единственный корень   х = 2.

                                                           Ответ: х = 2.

д)  = 5 х +  - 90.

Указание.  Левая часть данного уравнения не превосходит 15, а правая – не меньше 15. Следовательно, равенство  может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 15. То есть при  х = 19.

                                                           Ответ: х  = 19.

Дидактический материал.

Решить уравнение.

1. 5 х² + у² - 4 ху – 2х + 1 = 0

                                                           Ответ: х = 1; у = 2.          

2. 5 х² - 4х + 1 = у ( 2х – у )  

                                                           Ответ: х = ; у  = .

3.  = 4 х +  - 45

                                                           Ответ: х = 13.

4.  +  + 25 = 4х² +

                                                           Ответ: х = .

5.  х    + 1 =          

                                                           Ответ: х = 1.

6. 2   =  - 1

                                                           Ответ: х = 3.

Тема:    Уравнение вида f ( f ( х )) = х.

Цель: Закрепить  умение  применять свойство монотонности функции к решению уравнений,  рассмотреть  уравнения вида  f ( f ( х )) = х .

Содержание.

1. Повторить понятие монотонно возрастающей и убывающей функции.

2. Рассмотреть  теорему :   Если у = f ( х ) – монотонно возрастающая функция, то уравнения  

                                                 f ( х ) = х

и

                                             f ( f ( х )) = х

эквивалентны.           

Подчеркнуть, что она справедлива лишь для возрастающей функции, а для

убывающей функции это утверждение не имеет места. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести контрпример  с функцией  f ( х ) = - х. В этом случае  уравнение   f ( f ( х )) = х    не равносильно уравнению f ( х ) = х           ( уравнение  х = х не равносильно уравнению  - х =  х).

3. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров.

а)   = х – 1.

Решение. Перепишем уравнение: 1 +  = х. Рассмотрим функцию

f ( х ) = 1 + . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение  

f ( f ( х )) = х . В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение  f ( х )  = х   или  1  +  = х,  х -   - 1 = 0,   = ,

х = .                                                            Ответ:  х = .

б)  ( х³ + 6 )³ + 6 = х.

Решение. Рассмотрим функцию  f ( х ) = х³ + 6. Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение  f ( х )) = х . В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение  f ( х )  = х   или  х³+ 6  = х,  х³ = х – 6.

Решив уравнение графически, определим   х = - 2.

                                                           Ответ:  х =  - 2.

Дидактический материал.

Решить уравнение.

1)  = х

                                                           Ответ: х = 1.      

2) х³ + 1 = 2

                                                           Ответ:  1,  , .

3)

                                                           Ответ:  .

     Тема: Применение графиков функций к решению уравнений.

     Цель: Формирование  умений  учащихся применять графики функций к                       решению уравнений с параметрами и модулем

     Содержание:

1. Повторить

а) понятие абсолютной величины;

б) кусочные  функции.

2. Рассмотреть правила построения графиков функций

у =  f ( | x | ),  у = | f ( х ) |,   у = | f ( | х | ) |,  у = .

3. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров  а – в.

     а) Решить уравнение | х - 1| + | х  - 3 | = а

относительно х.

     Построим график функции у =| х - 1| + | х  - 3 |. Числа  1  и  3  разбивают числовую прямую ОХ на три полуинтервала:

( -; 1 ] ( 1: 3 ]  ( 3; +  ), на каждом из которых каждое слагаемое с модулями освобождается от модулей по -  разному:  

1)      

2)          

3)               

Тогда : у =                               

График каждой из функций – части прямой, заданные уравнениями (1), (2), (3), которые вместе образуют  ломаную.

    у = а – уравнение семейства прямых, параллельных оси ОХ.

     Если а < 2, то одна из семейства прямых у = а с ломаной не имеет общих точек, и заданное уравнение решения не имеет.

     Если а = 2, то прямая у = 2 имеет множество общих точек, абсциссы которых образуют .  Решение уравнения .

     Если а>2, то прямая у = а с ломаной имеет по две общие точки. Абсциссы одной  общей точки ( левой ) находим из уравнения  а = -  2 х + 4  

х =  ; для другой ( правой ) точки а = 2х – 4, х = .

                                  Ответ : если а < 2, то решений нет;

                                               если а = 2, х;

                                               если a >2, то ,  .

     б)  Решить уравнение 3 – х  = | х – а |

     Построить графики функций   у = 3 – х и у = | х – а |. График функции

у фиксирован и от параметра а не зависит.  График функции у легко получается из графика  функции у = | х |, зависит от параметра  а  ( при его изменении смещается вдоль оси абсцисс). Поэтому рассмотрим три характерные случая  расположения графиков этих функций.

    а) Этот случай, как  видно из рисунка, будет при а < 3. График функции у показан штрих – пунктирной линией, функции   у - сплошной. Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим     АВС, в котором  А = С = 45º. Проведём в этом треугольнике высоту ВD. Так как  АВС равнобедренный, то ВD также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки  D ( т.е. решение данного уравнения)

х = .

б) Этот случай имеет место при  а = 3. Тогда графики функций   у и у совпадают по лучу АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е х.

в) Этот случай будет при а > 3. Видно, что графики функций    у и   у не пересекаются ( т.е. не имеют общих точек). Поэтому уравнение решений не имеет, т.е. хǿ.

                                                           Ответ : при а  х =;

                                                                         при а = 3  х;

                                                                         при а хǿ.

в) | х² - 2х - 1| = .

Построим     графики функций    у = | х² - 2х - 1|  ( сплошная линия)  и         у =  (штрих – пунктирная  прямая).

Видим, что эти два графика пересекаются в двух точках А (1; 2)  и В ( 4; 7 ) , абсциссы которых  х = 1 и х = 4 и являются корнями данного уравнения.

                                                           Ответ: х = 1  и х = 4.

     Дидактический материал:

а) При каких значениях параметра  а  уравнение 6 = ах + 7 имеет  единственное решение?

                                                           Ответ:  а  U {}

б) При каких значениях параметра  а  уравнение   | х + 3 | = а | х – 2 | имеет единственное решение?  Найдите это решение.

                                                           Ответ:       х = - 3 при  а = 0,

                                                                             х = - 0,5  при  а = 1

в) Найдите все значения параметра  а, при каждом из которых уравнение  

| х² - 5| х || = а ( х + 4 ) имеет ровно три различных корня.

                                                           Ответ:  а = 0,  а = 1.  

Тема: Использование свойств последовательностей при решении   уравнений.

Цель: Расширить  знания  учащихся  о  последовательностях.  Выработать             умения  применять теорему  Вэйерштрасса, свойства арифметической и геометрической прогрессии к решению уравнений.

                                                    Содержание:

1. Повторить:

   а) понятие последовательности; свойства арифметической и геометрической прогрессии, формулы суммы первых n – членов прогрессии;

   б) определение бесконечной геометрической прогрессии и её свойств.

2. Дать определение предела последовательности, рассмотреть теорему Вэйерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

3. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров а – д.

     Решить уравнение:

        а.  2 + 5 + 8 + 11 + … + Х = 155

     В левой части уравнения находится сумма членов арифметической прогрессии  2; 5; 8; 11; …Х; первый член которой 2 и разность 3. Пусть в эту сумму входит  n слагаемых. Тогда, используя формулу для  суммы    n первых членов арифметической прогрессии, получаем:                              

     Второе уравнение получим, записав последний член этой суммы:

      х = 2 + 3 ( n  - 1) = 3n  - 1.

     Подставив второе уравнение в первое, придём к квадратному уравнению относительно  n:

 или 3 n ² + n -  310 = 0, корни которого n= 10 и n = -

( не подходит,      так как n – число натуральное).             После этого находим               Х = 3 10 – 1 = 29. Итак, Х = 29 – единственный корень данного уравнения.

                                                                        Ответ : 29

б) 1 + 2 + 4 + 8  +…+ Х  = 255

В левой части уравнения находится сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 2. Пусть число слагаемых равно n. Тогда эта сумма равна :  . Отсюда . Так как Х является n членом прогрессии, то Х = 128.

                                                              Ответ: 128

в) 1  + 2х + 4х² + … + ( 2х)ⁿ + … = 3,4 – 1,2х, если известно, что I х I< 0,5.

Согласно формуле , имеем

1 + 2х + 4х² + … =  или

(3,4 – 1,2х) (1-2х) = 1

2,4 х² - 8х + 2,4 = 0

3х² - 10х + 3 = 0

= 3;  . Условие удовлетворяет только корень .

                                                                Ответ: .

г) х² - 1 +  ( х² -1)² + ( х² - 1) ³ + … = 3

1 способ.  Левая часть уравнения является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Согласно формуле

  имеем  S =  3; b = х² - 1;  q = х² - 1, то уравнение примет вид

, то .

2 способ. Запишем уравнение в виде  ( х² - 1) (1 + ( х² - 1) + ( х² - 1 )² + … = 3.

Используя теорему Вэйерштрасса, получим

(х² - 1 ) ( 1 + 3 ) = 3, то  х =                                                                Ответ: .

д)

Вместо числа 2, что стоит под знаком корня, подставим его значение:

2= , получим

Продолжая этот процесс, получим

Используя теорему Вэйерштрасса, получим  х + 2 = 4, х = 2

                                                                 Ответ: 2

     Дидактический   материал:

Решить уравнение:

а) 1 + 7 + 13 + … + х = 280

                                       Ответ : х = 55

б) 1 +  +  + …+   +  … = 3 – х, если известно, что | х | < 2

                                       Ответ : х = 1

в) 2х + 1 + х² - х³ + х - х + … = , где | х | < 1

                                              Ответ :  ; 

г)  + х + х² + … + х + … = , где | х | < 1

                                        Ответ: ;

д)

                                        Ответ: 6

е)  

                                        Ответ: 2

ж)

                                        Ответ: 4

з)

                                        Ответ: 6

и)

                                        Ответ: 61

Тема: Метод понижения степени уравнения. Теорема Безу и её следствия.

Цель: Познакомить учащихся с теоремой Безу и её следствиями; научить применять их при решении задач.

Содержание:

1. Рассмотреть теорему Безу и её следствия.

     Если коэффициенты приведённого уравнения

     х +  а х  + ах + … + а = 0, где  а, а, а, … а - целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.

     Если целый корень  х подбором найден,  делим многочлен на х -х. Частное от деления – многочлен  (n  - 1 )- й  степени. Аналогично ищем  его корни.

     Продолжаем этот процесс до тех пор, пока полученный после деления многочлен будет второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.

2. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров:

а)  х  + х³ - х² - 7х – 6 = 0

Целые корни ищем среди делителей числа  6  -  ± 1, ± 2, ± 3, ±6. Подставив эти числа в уравнение, находим корень х = 1. Разделим многочлен на х + 1:

                 х  + х³ - х² - 7х – 6  

                   х  + х³

                                - х² - 7х

                                - х² - х

                                       - 6 х – 6

                                       - 6 х – 6

                                               0

Решаем уравнение  х³ - х – 6 = 0. Получим  х = 2. Выполним деление

                    х³  -  х  -  6                      х – 2

                    х³ - 2х²                       х² + 2х + 3

                           2х²  -  х

                           2х² - 4х

                                    3х – 6

                                    3х – 6

                                       0

Решая уравнение  х² + 2х + 3 = 0, находим, что оно не имеет действительных корней.

                                                           Ответ: -1; 2.

б)  Решить уравнение

                   5х³ - 6х² + 11х – 2 = 0.

Умножим обе части уравнения  на 5².   Получим:

                                                         5³ х³ - 6· 5²х² + 55·5х – 50 = 0. Введём замену

 5х = у,    (**) Получим  у³ - 6у² + 55у – 50 = 0.

Целые корни найдём среди  целых делителей числа 50,  то есть среди чисел   ± 1,  ±2, ± 5, ± 10, ± 25, ± 50).  Имеем  у = 1.

 Частное от деления многочлена у³ = 6 у² + 55 у – 50 на  у = 1 даёт трёхчлен

 у² - 5 у + 50, который не имеет действительных  корней.  

Возвращаясь к замене  (**), получим  х =  .    Ответ: х =  .  

Дидактический  материал:

Решить уравнения:

а)  х - 2х³ + 5х² - 8х + 4 = 0

                                                           Ответ: х= 1.

б)   х - 3х³ + х² + 3х – 2 = 0

                                                           Ответ:   х= 1, х= 2, х= - 1.

в) х - 3х³ - 8х² + 12х + 16 = 0

                                                           Ответ: х= -1, х= 2, х= 4, х= - 2.

Тема:   Формулы Виета, их применение к решению уравнений               высоких степеней.

        Цель. Рассмотреть формулы Виета для уравнений  3 и 4 степени. Научиться применять  их при решении уравнений  3 и 4 степени с параметрами.     Рассмотреть  формулы  Виета  для уравнений 3 и 4 степени.

1. Сумма корней приведённого уравнения  степени    n  равна второму коэффициенту с противоположным знаком;

2. сумма  различных произведений корней, взятых по два, равна третьему коэффициенту;

3. сумма различных произведений корней, взятых по три, равна четвёртому коэффициенту с противоположным знаком и т.д;

4. произведение корней равно свободному члену со знаком, равным ( - 1 ).

     Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров а, б.

а). Решить уравнение

                        х³ - 6х² + 3х +а = 0,

если известно, что его корни  составляют  арифметическую прогрессию.

Решение. По теореме Виета

                        х + х + х = 6

                        х х + х х + х х = 3

                        х х х = - а.

Запишем эти уравнения в виде:

                        ( х+ х ) + х = 6,                                  (*)

                         х ( х+ х ) + х х = 3,                      (**)

                         х х х = - а.                                       (***)  

Поскольку  х,  х,  х составляют  арифметическую прогрессию, то                        х + х = 2х и тогда с уравнения  (*) найдём 2х + х = 6, х = 2, а с уравнения  (**)  получим

                               8  +   х х = 3,       х х = - 5.

Подставив   х = 2  и  х х = - 5 в уравнение  (***),  получим   а = 10.

Решив  уравнение   х³ - 6х² + 3х + 10 = 0, найдём   х = - 1,  х = 2, х = 5.

                                                           Ответ : -1; 2; 5.

б)  При каких значениях  а и b корни уравнения  ах + bх² + 1 соствляют арифметическую прогрессию?

Решение. Пусть корни уравнения     х,  х,  х, х   составляют арифметическую прогрессию. Тогда   х + х  =   х +  х. Но по теореме Виета  х+  х+  х+  х  = 0,

 х х + х х + х х + х х + х х + х х =

х  х  х х  =  .

С уравнения (*) и свойства прогрессии  следует  , что  х+  х   = х+  х =0.                

Отсюда  х = - х,  х = - х. Используя данные  соотношения между корнями уравнений  (**) и  (***), получим

Используя  найденные соотношения между корнями, запишем прогрессию, которую  создают корни, в виде х,   х,  - х, - х. Тогда  по  свойству арифметической  прогрессии   2 х  = х - х, получим  х = 3 х .

                    или  

Отсюда     а = .

                                                           Ответ: при любом  b 0 и а =  .

Дидактический  материал.

а) При каком значении   а  сумма  трёх корней уравнения

     х   - 11 х ³  + ах² - 61 х + 30 = 0,  равняется 15?

                                                           Ответ: а=41, х= 1, х=2, х=3,  х=5.

б) При каком значении а  корни уравнения

     х³ - 9х² + ах – 15 = 0

создают геометрическую прогрессию, разность которой равна 2? Найти корни уравнения.

                                                           Ответ:  а=23,  х= 1, х= 3, х=5.

в) При каком значении  а  корни уравнения

          х    + 5х³ + ах² - 40х + 64 = 0

создают геометрическую прогрессию, знаменатель которой  равен -2? Найти корни уравнения.

                                                           Ответ: а= - 30, х= 1, х= - 2, х = 4, х= -8.

Тема: Зависимость между коэффициентами уравнений, её применение

            к  решению  уравнений. Возвратные уравнения.

Цель: Рассмотреть  зависимость между коэффициентами уравнений,            уметь применять её при решении уравнений, усвоить понятие              возвратного  уравнения.

 Содержание:

1. Рассмотреть уравнения вида

                   ах   +  bх³  + сх² +  bх + а = 0

( т.е. уравнение  четвёртой   степени ), у которых равны коэффициенты, одинаково удалённые от начала и от конца. Такие уравнения называют возвратными.    Для решения  этого уравнения  разделим  обе  части   на  х²  и                                    сгруппируем члены с одинаковыми  коэффициентами .

Получим   а ( х² +  )  + b ( х +  ) + с = 0.  Введём  замену

х +   = у,  получим  а ( у² - 2 ) +  b у + с  = 0.

Решив его и вернувшись к замене,  решим уравнение

 х +   = у  и  х +   = у,   найдём  х.

2.  Рассмотреть уравнение

                   ах   +  bх³  + сх² +  dх + e = 0.

Если между коэффициентами выполняются зависимость

                   а +  b  = b  + с + d  = d  + e , то левая часть уравнения раскладывается на множители, одним из которых  будет  х² - х + 1 .

3. Рассмотреть уравнение вида

                   ( х – а ) ( х – b) ( x – d ) = А, где  а  < b < c < d,

b  - а  =   d – c, можно решить, используя замену переменных

                   у = х -  .

4. Рассмотреть уравнение вида

                   ( х – а ) ( х _ b ) ( x – d ) =  А х², если  а b  =  c d, то решение сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены   у = х + ; если выполняется  зависимость  , то ввести замену   .

5. Рассмотреть уравнение вида

                   ( х + а ) + ( х + b ) = А

                   и ( х + а )  - ( х + b) = С.

 Их  можно решать, используя замену   х = у - .

6.  Рассмотреть и записать в тетрадях решение уравнений.

     Решить уравнение

а)  6 х + 35 х³ + 62 х² + 35 х + 6 = 0.

Решение: Введём замену  х +   = у, получим

                   6 ( у² - 2 ) + 35 у + 62 = 0.

Его корнями являются  у =  - ; у=- . Решая уравнение

х +   = - , находим корни  х = - 3; х = - , а из уравнения  х +  = -   корни  х=  - 2; х = - .                                                           Ответ: - 3;   - ; - 2;    - .

б)   х + 2 х³ + 3х²  - 2х + 5 = 0

Решение: 1 + 2 = 2 + 3 – 2 = - 2 + 5.  Равенство выполняется, то левая часть уравнения делится на х² - х + 1. Уравнение примет вид:

                   (  х² - х + 1 ) ( х² + 3х + 5 ) = 0

                                                           Ответ: нет действительных  корней.

в) ( 6 – х ) + ( 8 – х ) = 16

Решение: Введёт замену  у =  =  7 – х, получим

     ( у + 1 ) + ( у – 1 ) = 16 или у + 6у² - 7 = 0.

Решив  биквадратное уравнение, получим

     у = 1;  у = - 1. Вернувшись к замене, получим

     х = 8; х = 6.                                                           Ответ: 6 ; 8.

г) ( х + 2 ) ( х + 3 ) ( х + 8 ) ( х + 12 ) = 4 х²

Указание:  В левой части уравнения перемножить скобки 1 и 4, 2 и 3. Преобразовать выражение, учесть, что х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части на х², ввести замену  х +  = у. Получим

     ( у + 14 ) ( у + 11 ) = 4. Отсюда  у = 15,  у = - 10. Вернувшись к замене, получим    х   = -   ;  х = -;  х =  - 6;  х = -4.

                                                           Ответ : -;  -6;  -4.

                   Дидактический  материал:

Решить уравнения:

1.  х + 2х³  + 3х²  - 2х + 1 = 0                       Ответ : нет действительных корней.

2. .  х - 2х³ - х² - 2х + 1 = 0                                      Ответ :  .

3. ( 2х² - 3х + 1 ) ( 2х² + 5х + 1 ) = 9х²                      Ответ : - ; .

4. ( х + 3 ) - ( х – 1 ) = 64                                       Ответ : - 1.

5. х + ( х – 2 ) = 2                                                  Ответ : 1.

6. ( х + 1 ) - ( х + 3 ) = - 32                                    Ответ : - 1; - 3.

                   Итоговое  занятие

Семинар  на тему: « Самое лучшее из решений. За и против».

Цель: Определить эффективность  изучения курса учащимися.

Дидактический материал

Решить  уравнения:

1.  + =  - 1                         Ответ : 1.

2. 6х³ + х² - 11х – 6 = 0                                               Ответ : - 1; ;  - .

3. х³ - 5 х  - 12 = 0                                                       Ответ : 3.

4. х³ + 2005 х + 2006 = 0                                            Ответ : - 1.

5. х + х³ - 11 х² - 5 х + 30 = 0                                   Ответ : 2; -3; - ;  .

6.   =                                                 Ответ :  2.

7, 3 х = - х + 4                                                           Ответ : 1.

8. 4 х - 16 х³ + 7х² - 32 х + 16 = 0                            Ответ : 4; .

9. ( х + 2 ) - х = 32                                                   Ответ : 0; -2.

10. ( х – 1) ( х+ 1 ) ( х + 3 ) ( х + 5 ) = 105                 Ответ : - 6; 2.

11. 2 х + 3 х³ - 4 х² - 3 х  + 2 = 0                              Ответ : -1; 1; -2; .

12. При каких положительных значениях  с  уравнение  2 х +  =5 х – 1  не имеет корней? ( Решить уравнение графически и аналитически ).

                                                                                    Ответ: 0 < c < 4 .

13. ( х² - 2 х – 1 ) =                                        Ответ: 1; 4.

14.   +  = 0                                        Ответ : нет решения.

15. Решить уравнение     х³ + х² + 2х + а = 0, зная, что оно имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию.

                                                                              Ответ : а=8; х=-1; х=-2; х=-4.

16. Решите уравнение  х³ + х² + а = 0. зная, что оно имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию.

                                   Ответ : а = - ; х = -- ; х =- ; х= - .

17. , где х – целое положительное число.

                                                                                Ответ : 7.

18. х + х² + х³ + … = 5                                           Ответ : .

19.  = х                                     Ответ : 3.

Критерии оценки эффективности реализации программы ( успешности учащихся)

Ученик получает зачёт ( оценка не ниже « 1б» )   при  условии :

1. Выполнения не менее 2 обязательных заданий из «Дидактического материала», представленных в  условленный срок, в предложенной учителем форме с соблюдением стандартных требований к их оформлению

2. Дополнительные баллы выставляются за:

     а) качественно выполненное задание по собственной инициативе;

     б) решение заданий из других источников;

     в) решение уравнений различными способами.

    Для промежуточной   аттестации рекомендовать:

1. Решение учеником в качестве домашнего индивидуального задания предложенных учителем задач из «Дидактического материала». Большинство задач данного курса – это задания, в которых предлагается самостоятельно установить алгоритм решения, т.е. провести небольшое самостоятельное математическое исследование, что существенно способствует развитию логического мышления, или

2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из «Дидактического материала» или из какого – либо другого источника.

     Итоговое занятие – семинар «Самое лучшее из решений. «За» и «Против»».

Литература

М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. М., «Просвещение», 1992

И.Л. Никольская, Факультативный курс по математике для 7 – 9 классов средней школы. М., «Просвещение», 1993

П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами М., Илекса, Харьков, «Гимназия», 1998

О. Гайштут. Решение задач и упражнений. Киев, «Магистр S», 2000

О.В. Куликова, А.И.  Рурукин, Ю.А Сафарова. Решение задач по алгебре и геометрии для учащихся 9 классов. М., «Заочная школа МИФИ» , 2004

Л.В. Кованцова, И. Г. Малышев. Сборник задач по математике. Киев, «Вища школа». 1999

М.И. Сканави. Решение конкурсных задач по математике. М., «Инфолайн», 1995

В.В. Вавилов. Задачи по математике. Алгебра. М., «Наука». 1987

К.М. Расулов, В.П. Василенков, Ю.Г. Елисеев. Смоленские математические  олимпиады школьников. Смоленск, 1995

М.К. Потапов, А.В. Шевкин. О решении уравнений вида  φ ( φ ( х )) = х. Математика в школе № 5. 2005

Учитывая интересы и запросы обучающихся и их родителей (законных представителей) и данные мониторинговых исследований, следует отметить, что уровень развития выявляемых творческих способностей (активное использование воображения, фантазии и образного мышления), свободное взаимодействие в коллективе требует определенных методических нововведений и педагогических технологий для роста и развития. Программа по выявлению способностей обучающихся опирается на основную стратегию нашего образования по ФГОС - формирование всесторонне развитой личности. Программа направлена на развитие социокультурной компетенции обучающихся. Она  призвана помочь всем участникам образовательного процесса в выявлении и развитии способностей детей. Эта проблема очень актуальна в настоящее время, потому что наши дети живут, общаются и развиваются в век новых открытий и динамичного прогресса. Направить их интересы в нужное русло, скоординировать общеобразовательную поведенческую линию – задача школы, родителей и общественности. Способности – это универсальный термин, которым называют ряд индивидуальных особенностей, способствующих достижению успехов в той или иной сфере деятельности: творчество, учеба, спорт и т.д. Основная работа по выявлению способностей лежит на учителе.

В большинстве научных концепций одаренность и предпосылки к ее развитию связывают с творческими возможностями и способностями ребенка, определяемыми как креативность. Креативность может проявляться в мышлении, общении, отдельных видах деятельности. Она может характеризовать личность в целом и (или) ее отдельные способности.

Творческие возможности человека прямо и непосредственно не связаны с его способностью к обучению, они далеко не всегда отражаются в тестах интеллекта. Напротив, творчество может стимулироваться не столько многообразием имеющегося знания, сколько восприимчивостью к новым идеям, ломающим устоявшиеся стереотипы. Творческие решения часто приходят в момент релаксации, рассеянного, а не напряженного внимания, хотя и подготовленного предшествующим упорным поиском.

Рассмотрение креативности как процесса дает возможность выявлять как способности к творчеству, так и условия, облекающие и стимулирующие этот процесс, а также оценивать его продукты (результаты).

Реализуемая цель: выявление творческих способностей обучающихся на уроках математики , а также во внеурочное время .

Цель программы – создание системы по выявлению творческих способностей обучающихся.

Задачи:

1. Выявление способных обучающихся.

2. Определение уровня творческих способностей, обучающихся до начала реализации программы.

3. Определение форм и методов работы на уроках, помогающие обучающимся выявлять свои интересы, склонности, определять свои реальные возможности в формировании индивидуального стиля умственной деятельности в процессе обучения в школе

4. Формирование мотивации приобретения дополнительных знаний по предметам естественно-математического цикла.

Методические принципы:

1.         Принцип максимального разнообразия предоставленных возможностей для развития личности.

2.        Принцип возрастания роли внеурочной деятельности.

3.        Принцип индивидуализации и дифференциации обучения.

4.        Принцип создания условий для совместной работы обучающихся при минимальном участии учителя.

5.        Применение полученных умений и навыков в жизненных ситуациях.

6.        Соответствие выполняемых заданий возрасту и интересам обучающихся.

Педагогические методики:

1. Тест на мышление и креативность.  Диагностика по методике Дж.Брунера.

Опросник «Определение типов мышления и уровня креативности (творческих способностей) Дж. Брунера» позволяет определить базовый тип мышления и измерить уровень креативности у взрослых. Зная свой тип мышления, можно уверенно сказать, в какой области, профессии вы преуспеете.  Выделяют 4 базовых типа мышления, каждый из которых обладает специфическими характеристиками: предметное, образное, знаковое и символическое мышление.

Теста креативности П. Торренса (закончи произведений, сочинение)

Тесты Торренса используем для поиска и выявление детей со скрытым творческим потенциалом, не обнаруживаемым другими методами.

Методы и способы выявления наклонностей у обучающихся:

различные варианты метода наблюдения за детьми в школе, во внеурочной деятельности и т.п.), анализ, беседы, деловые и ролевые игры, тестирование, опрос, совместная деятельность, в том числе проектная, консультации специалистов, организация различных интеллектуальных и предметных олимпиад, конференций.

Выявление творческих способностей у обучающихся происходит путем:

1.        Экспертного оценивания обучающегося, которое включает в себя оценки преподавателя, родителей, оценку сверстниками, а также самооценку.

2.         Анализа достижений обучающегося, его успеваемости, участия в конкурсах и олимпиадах.

Показатели результативности:

способность к рефлексии и самоанализу, развитие речевой активности и памяти, умение работать с информацией, развитие творческой активности, участие в олимпиадных и творческих конкурсах.

Диагностический инструментарий:

1. Уровень усвоения большого объема информации.

2. Быстрое пополнение активного словаря.

3. Анализ правильного применения слов в контексте письменной и устной речи.

4. Склонность к прогнозированию и проактивности (умение просчитать ситуацию и принять меры для ее благополучного исхода).

5. Умение работать с информацией (классификация, упорядочение и систематиза-ция).

6. Развитие элементов критического мышления.

Диагностические этапы:

1.        Педагогическая диагностика

2.        Психологическая диагностика

3.        Специальная углубленная диагностика

4.        Диагностический мониторинг (анализ динамики развития)

Качества, определяющие возможность творчества, как созидательной деятельности:

-определенный уровень интеллектуальных способностей: словарный запас, способность рассуждать и мыслить логически;

-аналитические умения: способность к оценке, способность к прогнозированию;

-быстрота реакции и легкость ассоциирования;

-нестандартность мышления;

-творческие способности;

-развитие самостоятельности и потребности расширения своих социальных возможностей.

Формы работы:

1. Факультативные занятия.
2. Кружки по интересам.
3. Конкурсы, соревнования, выставки
4. Участие в олимпиадах.
5. Проведение предметных дней или недель.
6. Работа по индивидуальным планам.
7. Занятия в профильных группах.
8. Практическая работа.        
9. Экскурсия.
10. Игра.
11. Конференция.
12. Проектная деятельность.
13. Консультация.

Требования к работе по выявлению творческих способностей обучающихся:

Длительное наблюдение и изучение обучающихся в различных ситуациях и различных видах творческой деятельности.

Сочетание применения тестовых методик с обычными наблюдениями за деятельностью обучающихся.

Тестовые творческие задачи должны решаться на пределе мобилизации сил и способностей обучающегося, либо с небольшой помощью преподавателя.

Активное участие в творческих конкурсах, олимпиадах и т.д.

 Основные этапы реализации программы

1 этап

• Разработка программы работы по выявлению творческих способностей обучающихся.
• Разработка структуры управления программой, должностных инструкций, распределение обязанностей.
• Анализ материально-технических условий реализации программы.
• Создание банка данных по способностям школьников.
• Создание банка текстов олимпиад и конкурсов.

2 этап

• Диагностика склонностей обучающихся.
• Создание банка творческих работ обучающихся.

3  этап

• Участие в олимпиадах, конференциях, выставках, соревнованиях, проектных мероприятиях, Интернет - конкурсах, форумах.
• Проведение выставок художественного творчества.
• Стимулирование проектных, исследовательских и творческих работ обучающихся.
• Анализ и корректировка программы.

• Обобщение опыта работы по технологиям творческого развития детей

Ожидаемые результаты программы

• создание условий для сохранения и приумножения творческого потенциала школьников;
• повышение качества образования и воспитания;
• удовлетворенность обучающихся своей деятельностью и увеличение числа таких участников;
• повышение уровня индивидуальных достижений обучающихся в образовательных областях, к которым у них есть способности;
• адаптация к социуму в настоящем времени и в будущем;
• повышение уровня владения обще предметными навыками;
• формирование банка технологий и программ для ранней диагностики способных и одаренных школьников;
• повышение активности обучающихся на уроках и внеклассных мероприятиях;
• повышение  эффективности самостоятельной работы.

Система по отбору и выявлению у обучающихся творческих способностей

На основе педагогических наблюдений определяются специфические способности обучающихся. Так, например, путем систематического наблюдения за школьниками фиксируются их способности к освоению программы.

Большую роль по выявлению способностей играют  контрольные тесты, по результатам которых судят о наличии специальных способностей.  

Программа основана на коммуникативной методике, является вариативной: педагог может вносить изменения в диагностический инструментарий, выбирать формы работы и дополнять педагогическую деятельность по выявлению способностей обучающихся новыми технологиями, методами и приемами.

План работы по выявлению творческих способностей у обучающихся

Библиографический список

1. Белых С.Л. Управление исследовательской активностью школьника. – М: «Исследовательская работа школьников», 2007.
2. Гильбух Ю.З. Внимание: одаренные дети. – М, 1991.
3. Кон И.С. Психология старшеклассника. – М., «Просвещение»,1994.
4. Одаренные дети / Под ред. Г.В. Бурменской, В.М. Слуцкого. – М., 1991.
5. Одаренный ребенок / Под ред. О.М. Дьяченко. - М., 1997.
6. Психология одаренности детей и подростков / Под ред. Н.C Лейтеса. – М., 2000.
7. Савенков. А.И. Одаренные дети в школе и дома. – М., 2000.
8. Тэкэкс К., Карне М. Одаренные дети. – М., 1991.
9. Чудновский В.Э., Юркевич В.С. Одаренность: дар или испытание. – М, 1990.
10. Шумакова Н.Б. Обучение и развитие одаренных детей. - М., 2004.
11. Анастази А. Психологическое тестирование. В двух томах.- М.: Педагогика. 1982.
12. Матюшкин Л. М. Загадка одаренности.- М.: Школа-Пресс. 1993.
13. Одаренные дети. Под ред. Г. В. Бурменской и В. М. Слуцкого. -М.: Прогресс. 1991.
14. Шумакова Н. Б., Щебланова С. И., Щербо Н. П. Исследование творческой одаренности с использованием тестов П. Торренса у младших школьников при специальном обучении. -Вопросы психологии.1991. № 1, с. 27-32.
15. Дружинин В.Н. Психология общих способностей – СПб.: Питер Ком, 1999. – 368 с.: (Серия "Мастера психологии")
16. Леонтьев А.А. «Научите человека фантазии…» (творчество и развивающее обучение)//Вопросы психологии – 1998г. - №5
17. Лихачев Б.Т. Педагогика. Курс лекций – М.: Прометей, 1992.-528с.
18. Селевко Г.К. Технологии развивающего обучения// Школьные технологии – 1997г. - №4
19. Штерн В. Умственная одаренность – С-П. –1997г.

20. Дружинин В.Н. Психология способностей: избранные труды / В. Н. Дружинин ; [отв. ред.:А. Л. Журавлев, М. А. Холоднов, В. Д. Шадриков]. - М.: РГБ, 2009. - 539 с. .
21. Матяш Н.В. Психология проектной деятельности школьников / Под ред. В.В. Рубцова. Мозырь: РИФ «Белый ветер», 2000. - 286 с.
22. 24. Потемкина О.Ф., Потемкина Е.В. Тесты для подростков. — М.:, 2006. —320 с. 49-52 с.