Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине " Математика" ( алгебра)
методическая разработка

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» ( алгебра).

Краснова Л.Н.

Нижний Новгород

2022

Содержание.

1. Пояснительная записка.                                                                                                             3
2. Темы практических работ.                                                                                                        5
3. Практические работы.                                                                                                                6
4. Ответы.                                                                                                                                      16
5. Глоссарий.                                                                                                                                 19
6. Список литературы.                                                                                                                 21

1.Пояснительная записка.

Данный сборник составлен к  рабочей программе  общеобразовательной учебной дисциплины «Математика»  ( алгебра) и предназначен для изучения  алгебры и начал анализа с целью  реализации образовательной     программы среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы среднего профессионального образования  на базе основного общего образования при подготовке  специалистов среднего звена по специальности  34.02.01 Сестринское дело , 31.02.03 Лабораторная диагностика  (  учебной  дисциплины ОУД.04 Математика  «общеобразовательного цикла»)  с учетом естественно - научного профиля,  получаемого профессионального образования. Практические занятия направлены на формирование учебных и профессиональных  практических  умений,  они  составляют  важную часть теоретической и профессиональной практической подготовки студентов.

Целью создания разработки является оказание помощи студентам первого курса в освоении учебного материала по дисциплине. Материалы составлены к темам теоретических занятий по математике. Работы можно проводить как на мотивационно- ориентировочной части занятия - актуализации ( фронтальная работа по готовым таблицам, записям на доске, домашнему заданию  и т.п.), так и на рефлексивно- оценочной части -  подведении итогов урока.

Цели практических занятий:

-помочь студентам систематизировать, закрепить и углубить знания теоретического характера;

-научить студентов приемам решения практических задач, способствовать овладению навыками и умениями выполнения расчетов, графических и других видов заданий;

-научить их пользоваться справочной литературой;

-формировать умение учиться самостоятельно, т. е. овладевать методами, способами и приемами самообучения, саморазвития и самоконтроля.

Задачи практических занятий :

-расширение, углубление и детализация научных знаний, полученных на лекциях. Практические занятия логически продолжают лекции;

-повышение уровня усвоения учебного материала;

-привитие умений и навыков;

-развитие научного мышления и речи студентов;

-проверка и учет знаний. Все формы практических занятий являются важным средством более действенной проверкой знаний, оперативной обратной связи, осуществляемой по формуле «студент-преподаватель»;

-развитие научного кругозора и общей культуры;

-развитие познавательной активности;

-привитие навыков ведения коллективной беседы, участие в творческой дискуссии.

Критерии оценивания практических работ

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки  и недочеты.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием учащимися основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.

Обобщенные требования к студентам при выполнении практических работ:

а) теоретически подготовиться к выполнению работы;

б) выполнить работу в полном объеме с соблюдением необходимых требований к еѐ выполнению;

в) оформить отчет правильно и аккуратно, выполнить расчеты;

г) самостоятельно выполнить индивидуальное задание, ответить на контрольные вопросы и сделать выводы;

д) при наличии пропуска соблюсти порядок выполнения пропущенных практических работ.

Порядок выполнения пропущенных работ:

а) при наличии пропуска студент обязан изучить материал самостоятельно, предварительно взяв задание у преподавателя;

б) подготовить отчѐт о практической работе, соблюдая все требования, предъявляемые к выполнению практических работ;

в) сдать преподавателю практическую работу при следующей явке.

Организация выполнения и контроля практических работ по дисциплине «Математика» является подготовительным этапом к сдаче экзамена по данной дисциплине.        

2.Темы практических работ.

1. Введение.
2. Целые и рациональные числа.
3. Действительные числа. Приближенные вычисления. Комплексные числа.
4. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства.
5. Степень с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.
6. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.
7. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действия с логарифмами. Переход к новому основанию.
8. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных выражений.
9. Преобразование показательных выражений.

10. Преобразование логарифмических выражений.

11. Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

12. Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения. Формулы половинного угла.
13. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.
14. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

                3.Практические работы. 

Работа №1.

Тема: Введение.

Теоретические сведения:

1. Свойства арифметического квадратного корня:

 ∙ =  

 =  .

2. Формула корней квадратного уравнения:

а +вх +с = 0

D =  - 4ас

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень: х =  .
• если D > 0, есть два различных корня:

Работа №2.

Тема: Целые и рациональные числа.

Теоретические сведения:

1. Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
2. Обыкновенную дробь в виде  десятичной дроби можно представить:

а) если знаменатель 10, 100, 1000…

 = 0,3 ,  = 0,03.

 если знаменатель составлен из цифр 2 и 5 и их  произведений:

 =  = 0,5 ,  =  = 0,4.

 = 0,1875, т.к.

3,0      16

16       0,1875

140

128

  120

  112

    80

    80

      0

в) если знаменатель составлен из цифр 2;  5 и других множителей , делим числитель на знаменатель до тех пор, пока не выделим повторяющуюся группу цифр ( период).

Работа №3.

Тема:  Действительные числа. Приближенные вычисления. Комплексные числа.

Теоретические сведения:

1. Натуральные числа – числа, используемые при счете.
2. Целые числа – натуральные, им противоположные и ноль.
3. Иррациональное число – бесконечная десятичная непериодическая дробь.
4. Рациональное число – число вида  , где m – целое число, n – натуральное число.
5. Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, i — мнимая единица, квадрат которой равен –1, то есть i2 = –1.  Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа  z = a + bi.
6. Чтобы сложить комплексные числа, надо сложить их действительные и мнимые части.
7. Чтобы вычесть комплексные числа, надо из действительной части уменьшаемого вычесть действительную часть вычитаемого, из мнимой части уменьшаемого вычесть мнимую часть вычитаемого.
8. Чтобы умножить комплексные числа, надо умножить их по правилу умножения многочленов.
9. Чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю.
10. Числа a + bi и a – bi называются сопряженными.
11.  -  = ( а - в )(а + в) .

Работа №4.

Тема:  Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства.

Теоретические сведения:

1.

2.;   ; ; .

Работа №5.

Тема: Степень с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.

Теоретические сведения:

1.

 1.  

 2.  

 3.  

 4.  

 5.  

 6. если   ,    и  , то  

 7. если   и  , то  

 8. если   и  , то  

 9. если   и  , то  

 10. если   и  , то 
2.  ;    ;  ;  .

Работа №6.

Тема: Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Теоретические сведения:

1.Логари́фмом положительного числа b по положительному, не равному единице основанию a  называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

2.Основное логарифмическое тождество:  = в.

3.  = 0 ,  = 1 .

Работа №7.

Тема: Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действия с логарифмами. Переход к новому основанию.

Теоретические сведения:

1.Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10. Обозначается lg a.

2.Натуральный логарифм – логарифм по основанию е. Обозначается ln a.

3. Правила действия с логарифмами:

а> 0, а ≠ 1, в > 0, с > 0, r – действительное число.

 =  +  ,

 =  -  ,

 = r  ,

 =   .

4.Формула перехода к логарифму по новому основанию : в > 0, а > 0, а ≠ 1, с > 0, с ≠ 1

  =  ,

 =  .

Работа №8.

Тема: Преобразование рациональных, иррациональных, степенных выражений.

Теоретические сведения:

1.Рациональное выражение – это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень.

2. Иррациональные выражения — это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы. Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

3. Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

4.               

5.Чтобы вынести множитель из под знака корня, надо разложить подкоренное выражение на множители, из которых  ( или из некоторых) извлекается корень п степени.

 =  =  · = 2  .

6.Чтобы занести множитель под корень п степени, надо возвести его в п степень и записать под корень.

2 =  =  =  .

7.Свойство : При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Работа №9.

Тема: Преобразование показательных выражений.

Теоретические сведения:

1.Показательным называют выражение вида , где а – действительное число.

2.Функцию вида у = , где а > 0, а ≠1, называют показательной функцией.

3.Если а > 1, показательная функция у =  возрастает, если 0 < а < 1, убывает.

4.Основные методы решения показательных уравнений;

- функционально – графический метод ( основан на использовании графических иллюстраций или свойств функций);

- метод уравнивания показателей ( уравнение  =  равносильно уравнению f(x) = g(x), где а > 0, а ≠1).

- метод введения новой переменной.

Работа №10.

Тема: Преобразование логарифмических выражений.

Теоретические сведения:

1. Основное логарифмическое тождество:  = в.
2. Правила действия с логарифмами:

а> 0, а ≠ 1, в > 0, с > 0, r – действительное число.

 =  +  ,

 =  -  ,

 = r  ,

 =  .

3. Формула перехода к логарифму по новому основанию : в > 0, а > 0, а ≠ 1, с > 0, с ≠1

  =  ,

 =  .

4. Логарифмическое уравнение — уравнение с неизвестным, заключенным внутри логарифма.
5. Основные методы решения логарифмических уравнений:

а) Опираясь на понятие логарифма, решают уравнения, которые имеют вид:  = в.

Способ решения: х = .

б) Потенцирование:   =

Способ решения:  f(x) > 0

                                g(x) > 0

                                f(x) = g(x).

в)Введение новой переменной.

Работа №11.

Тема: Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Теоретические сведения:

1.Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, длинна которой равна радиусу окружности.

2.  α рад = (  α )⁰ ,   α⁰ =  α рад.

3. Синус угла α – ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α.

4. Косинус угла α – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α.

5. Тангенс угла α – отношение синуса угла к его косинусу.

6. Котангенс угла α - отношение косинуса угла к его синусу.

Работа №12.

Тема:  Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения. Формулы половинного угла.

Теоретические сведения:

1.Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

2.Формулы сложения — это формулы преобразования тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов:

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β;

 cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β;

 sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;

 sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β;

 tg(α + β) = ( tg α + tg β) : ( 1 − tg α tg β );

 tg(α − β) = ( tg α − tg β ) : ( 1 + tg α tg β) ;

 ctg(α + β) = (ctg α ctg β – 1) : ( ctg α + ctg β );

 ctg(α − β) = (ctg α ctg β + 1) : ( ctg β − ctg α) .

3.Формулы удвоения:

sin2x = 2sinx⋅cosx;

cos2x = x - x$

tg2x =  .

4.Формулы половинного угла:

      ,  ,  .

Работа №13.

Тема: Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

Теоретические сведения:

1.Преобразовать суммы тригонометрических функций в произведения можно по формулам:

,

 ,

,

,
.

2.Преобразовать произведение в сумму можно по формулам:

sinα·sinβ = ·(cos(α − β) − cos(α + β)) ;

cosα·cosβ =  ·(cos(α − β) + cos(α + β)) ;

sinα·cosβ  = ·(sin(α − β) + sin(α + β)) .

Работа №14.

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Теоретические сведения:

1.Уравнение cos x = a:

а) если а<-1 или а>1, корней нет.

б) х = ±arccos a +2∏n, n – целое число.

в) cos x = 1, х = 2∏n, n – целое число,

     cos x = -1, х = ∏+2∏n, n – целое число,

     cos x = 0, х =  + ∏n, n – целое число.

2.Уравнение  = а :

а) если а<-1 или а>1, корней нет.

б) х = arcsin a + ∏n, n – целое число.

В)  = 1, х =  + 2∏n, n – целое число,

     = -1, х =  + 2∏n, n – целое число,

      = 0, х = ∏n, n – целое число.

4.Ответы.

Работа №1.

Работа №2.

Работа №3.

Работа №4.

Работа №5.

Работа №6.

Работа №7.

Работа №8

Работа №9.

Работа №10.

Работа №11.

Работа №12.

Работа №13.

Работа №14.

5.Глоссарий.

А́лгебра - раздел математики, изучающий общие приемы действий над величинами, независимо от их числовых значений.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу a.

Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.

Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10. Обозначается lg a.

Дискриминант — это  число D = b2 − 4ac.

Иррациональные выражения — это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы. Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

Иррациональное число – бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, i — мнимая единица, квадрат которой равен –1, то есть i2 = –1.  Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа  z = a + bi.

Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.

Косинус угла α – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α.

Котангенс угла α - отношение косинуса угла к его синусу.

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Логари́фмом положительного числа b по положительному, не равному единице основанию a  называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Логарифмическое уравнение — уравнение с неизвестным, заключенным внутри логарифма.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах

действительного мира.

Натуральные числа – числа, используемые при счете.

Натуральный логарифм – логарифм по основанию е. Обозначается ln a.

Функцию вида у = , где а > 0, а ≠1, называют показательной функцией. 

Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, длинна которой равна радиусу окружности.

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Если решение первого неравенства содержится в решении второго неравенства, то второе неравенство называется следствием первого.

Равносильные уравнения – уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными. Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Рациональное выражение – это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень.

Рациональное число – число вида m/n , где m – целое число, n – натуральное число.

 Синус угла α – ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α.

 Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Числа a + bi и a – bi называются сопряженными.

Тангенс угла α – отношение синуса угла к его косинусу.

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Целые числа – натуральные, им противоположные и ноль.

6.Список литературы:

1. Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый уровень – М.Просвещение, 2014г.
2. М.И. Шабунин и др. Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11 кл.- М. Мнемозина, 2000г.
3. М.И. Шабунин и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы . 10кл: базовый уровень – М. Просвещение, 2010г.
4. Р.Д.Лукин и др.  Устные упражнения по алгебре и началам анализа: Кн.для учителя – М.Просвещение, 1989г.
5. М.А.Попов. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре и началам анализа:11 класс, к учебнику А.Г.Мордковича « Алгебра и начала анализа, 10-11 классы»- Издательство «Экзамен», М. 2008г.
6. Л.А. Александрова « Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, базовый уровень, Самостоятельные работы. – М.2013г.
7. А.Н. Рурукин . Контрольно – измерительные материалы. Алгебра и начала анализа: 11класс – М. «Вако»,2011г.