Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине " Математика" ( геометрия)
методическая разработка

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» ( геометрия).

Краснова Л.Н.

Нижний Новгород

2024

Содержание.

1. Пояснительная записка………………………………………………………....3                                                                                                            
2. Темы практических работ………………………………………………………5                                                                                                      
3. Практические работы…………………………………………………………...6                                                                                                                
4. Ответы.…………………… …………………………………………………...23                                                                                                                                  
5. Глоссарий………………………………………………………………………26                                                                                                                              
6. Список литературы……………………………………………………………28                                                                                                                

1.Пояснительная записка.

Данный сборник составлен к  рабочей программе  общеобразовательной учебной дисциплины «Математика»  ( геометрия) и предназначен для изучения  геометрии с целью  реализации образовательной     программы среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы среднего профессионального образования  на базе основного общего образования при подготовке  специалистов среднего звена по специальности  34.02.01 Сестринское дело , 31.02.03 Лабораторная диагностика  (  учебной  дисциплины ОД.03 Математика  «общеобразовательного цикла»)  с учетом естественно - научного профиля,  получаемого профессионального образования. Практические задания направлены на формирование учебных и профессиональных  практических  умений,  они  составляют  важную часть теоретической и профессиональной практической подготовки студентов.

Целью создания разработки является оказание помощи студентам первого курса в освоении учебного материала по дисциплине. Материалы составлены к темам теоретических занятий по математике 31 - 42 . Работы можно проводить как на мотивационно- ориентировочной части занятия - актуализации ( фронтальная работа по готовым таблицам, записям на доске, домашнему заданию  и т.п.), так и на рефлексивно- оценочной части -  подведении итогов урока.

Цели практических занятий:

-помочь студентам систематизировать, закрепить и углубить знания теоретического характера;

-научить студентов приемам решения практических задач, способствовать овладению навыками и умениями выполнения расчетов, графических и других видов заданий;

-научить их пользоваться справочной литературой;

-формировать умение учиться самостоятельно, т. е. овладевать методами, способами и приемами самообучения, саморазвития и самоконтроля.

Задачи практических занятий :

-расширение, углубление и детализация научных знаний, полученных на лекциях. Практические задания логически продолжают лекции;

-повышение уровня усвоения учебного материала;

-привитие умений и навыков;

-развитие научного мышления и речи студентов;

-проверка и учет знаний. Все формы практических заданий являются важным средством более действенной проверкой знаний, оперативной обратной связи, осуществляемой по формуле «студент-преподаватель»;

-развитие научного кругозора и общей культуры;

-развитие познавательной активности;

-привитие навыков ведения коллективной беседы, участие в творческой дискуссии.

Критерии оценивания практических работ

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки  и недочеты.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием учащимися основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.

Обобщенные требования к студентам при выполнении практических работ:

а) теоретически подготовиться к выполнению работы;

б) выполнить работу в полном объеме с соблюдением необходимых требований к еѐ выполнению;

в) оформить отчет правильно и аккуратно, выполнить расчеты;

г) самостоятельно выполнить индивидуальное задание, ответить на контрольные вопросы и сделать выводы;

д) при наличии пропуска соблюсти порядок выполнения пропущенных практических работ.

Порядок выполнения пропущенных работ:

а) при наличии пропуска студент обязан изучить материал самостоятельно, предварительно взяв задание у преподавателя;

б) подготовить отчѐт о практической работе, соблюдая все требования, предъявляемые к выполнению практических работ;

в) сдать преподавателю практическую работу при следующей явке.

Организация выполнения и контроля практических работ по дисциплине «Математика» является подготовительным этапом к сдаче экзамена по данной дисциплине.        

2.Темы практических работ.

1. (ТЗ31) Геометрия на плоскости……………………………………………….6

2.(ТЗ32) Основные понятия стереометрии. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве………………………………………...7

3.(ТЗ33)Параллельность прямых, прямой и плоскости. Параллельность плоскостей…………………………………………………………………………7

4.(ТЗ34)Геометрические преобразования пространства. Параллельное проектирование……………………………………………………………………9

5.(ТЗ35)Параллелепипед и его элементы. Тетраэдр и его элементы………...10

6.(ТЗ36)Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей………………………………………………………………………..13

7.(ТЗ37)Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах……14

8.(ТЗ38)Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями……...15

9.(ТЗ39)Расположение прямых и плоскостей в окружающем мире  ( природе, архитектуре, механике)………………………………………………………….16

10.(ТЗ40)Понятие многогранника и его элементы…………………………….17

11.(ТЗ41)Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная  призма.……….19

12.(ТЗ42)Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида…………..20

3.Практические работы.

Работа №1.

Тема: Геометрия на плоскости .

Теоретические сведения:

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 

Площадь параллелограмма можно найти:

 1)S = a × h, где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.

2) S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. 

3) S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями, d1 и d2 — две диагонали.

Свойства параллелограмма :

1)Противоположные стороны параллелограмма равны. 

2) Противоположные углы параллелограмма равны. 

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 

4) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. 

5) Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

Теорема косинусов: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α, где a,b,c – стороны треугольника, α – угол, противолежащий стороне а.

Теорема синусов:  ==  , где а,b, с – стороны треугольника, α, β, γ – противолежащие углы.

Площадь круга : S = π.

Площадь сектора: S = α⁰.

Расстояние между точками А ( ; ) и В (; ):

АВ =

Содержание:

Работа №2.

Тема: Основные понятия стереометрии. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

Теоретические сведения:

Аксиома1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой  лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость , и притом только одна.

Содержание:

Работа №3.

Тема: Параллельность прямых, прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

Теоретические сведения:

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема: Через любую точку пространства , не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не омеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Следствие 1: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Следствие 2: Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности двух плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Содержание:

Работа №4.

Тема: Геометрические преобразования пространства. Параллельное проектирование .

Теоретические сведения:

Отображение, сопоставляющее которой точке Х фигуры F ее параллельную проекцию– точку Х’ фигуры F’, называется параллельным проектированием фигуры F.

При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции.

При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.

Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным(прямоугольным) проектированием.

Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны (a||(АВС)), то получающееся при этом изображение равно прообразу.

Параллельное проектирование обладает свойствами:

1) параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не   сохраняются (исключение ортогональное проектирование).

Теорема. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка – отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков. α X’

Следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

Содержание:

Работа №5.

Тема: Параллелепипед и его элементы. Тетраэдр и его элементы.

Теоретические сведения:

Параллелепипед – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов и четырех параллелограммов.

Свойства параллелепипеда:

1.Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников.

Содержание:

Тест.

Вариант 1

1. Определить сумму ребер правильного тетраэдра, если одно из ребер равно 10.
2. Дан тетраэдр ABCD. Укажите ребра, скрещивающиеся с ребром AD.

3. Дан тетраэдр ABCD. Укажите ребра, скрещивающиеся с ребром BD.

4. Пусть точки M и N - середины ребер AB и AC тетраэдра ABCD. Будет ли прямая MN параллельна плоскости BCD.

5. Выберите верное утверждение:

1) Если ребра тетраэдра, которые прилегают к одной вершине, перпендикулярны между собой, то такой тетраэдр называется прямоугольным.

2) Если ребра тетраэдра, которые прилегают к одной вершине, перпендикулярны между собой, то такой тетраэдр называется равногранным

6. Сколько ребер имеет параллелепипед?

7. Закончите определение:

Параллелепипед - это четырехугольная призма, основаниями которой являются ... .

8. Выберите свойства, которыми обладает параллелепипед:

1) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

2) Противолежащие грани любого параллелепипеда равные квадраты.

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1 : 3.

4) Диагонали параллелепипеда не пересекаются.

5) Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

9. Две вершины, которые не принадлежат одной грани, называются... .

10. На ребрах DD1 и CC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 даны соответственно точки K и F. Назовите ребро верхнего основания, которое пересекает прямая KF

Вариант 2

1. Дан тетраэдр ABCD. Укажите ребра, скрещивающиеся с ребром DC.

2. Выберите слова, от которых происходит название "тетраэдр":

1) ребра     2) три     3) грани     4) четыре.

3. На ребрах DB и DA тетраэдра DABC взяты соответственно точки K и F (не середины ребер). В какой плоскости расположена прямая KF?

4.На ребрах DB и DA тетраэдра DABC взяты соответственно точки K и F (не середины ребер). Выберите прямые, которые будут пересекаться с прямой KF:

5. Выберите верное утверждение:

1) Тетраэдр, все грани которого равные между собой треугольники называется прямоугольным.

2) Тетраэдр, все грани которого равные между собой треугольники называется правильным.

3) Тетраэдр, все грани которого равные между собой треугольники называется равногранным.

6. Сколько вершин имеет параллелепипед?

7. Укажите верное соответствие между изображениями параллелепипедов и их названиями

а) прямоугольный параллелепипед

б) прямой параллелепипед

в) наклонный параллелепипед

8. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются ... .

9. На ребрах DD1 и CC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 даны соответственно точки K и F. Назовите ребро нижнего основания, которое пересекает прямая KF

10. ABСDА1B1C1D1 - прямой параллелепипед, основание ABСD - квадрат. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если ребро AD равно 10 см, а ребро CC1 равно 8 см. В ответе укажите только число без единиц измерения. Например, 200.

Работа №6.

Тема: Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

Теоретические сведения:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90⁰.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Теорема1: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема 2: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

Признак перпендикулярности двух плоскостей: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Содержание:

Работа №7.

Тема: Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

Теоретические сведения:

АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α.

Н – основание перпендикуляра

АМ – наклонная,  проведенная из точки А к плоскости α.

М – основание наклонной.

НМ – проекция АМ на плоскость α.

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Содержание:

Работа №8.

Тема: Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями.

Теоретические сведения:

Углом между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Угол между плоскостями – это двугранный угол. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Содержание:

Работа №9.

Тема: Расположение прямых и плоскостей в окружающем мире  ( природе, архитектуре, механике).

Теоретические сведения:

Теорема Пифагора :  +  = , где а , в – катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза.

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Объем прямоугольного параллелепипеда : V = авс, где а,в,с – измерения параллелепипеда.

Содержание:

Работа №10.

Тема: Понятие многогранника и его элементы.

Теоретические сведения:

Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

В противном случае многогранник называется невыпуклым.

В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов пр каждой его вершине меньше 360⁰.

Содержание:

Работа №11.

Тема: Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная  призма.

Теоретические сведения:

Призма – многогранник, составленный из двух равных n – угольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов .

Призма называется прямой, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, в противном случае призма называется наклонной.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

 =  + 2

Площадь боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Содержание:

Работа №12.

Тема: Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Теоретические сведения:

Пирамида – многогранник, составленный из n – угольника и n треугольников.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

 =  +

Площадь боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Свойства правильной пирамиды:

1. все боковые ребра равны;
2. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Теорема:  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усеченная пирамида – многогранник, гранями которого являются два  n – угольника, расположенные в параллельных плоскостях  и n четырехугольников.

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Содержание:

4.Ответы.

Работа №1.

Работа №2.

Работа №3.

Работа №4.

Работа №5.

Работа №6.

Работа №7

Работа №8

Работа №9

Работа №10

Работа №11

Работа №12

5.Глоссарий.

Аксиома -  исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным , без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία ← γῆ «земля» + μετρέω «мерить; оценивать», букв. землемерие) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90⁰.

Отображение, сопоставляющее которой точке Х фигуры F ее параллельную проекцию– точку Х’ фигуры F’, называется параллельным проектированием фигуры F.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Параллелепипед – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов и четырех параллелограммов.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 

Пирамида – многогранник, составленный из n – угольника и n треугольников.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.

Площадь боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней .

Площадь боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Призма – многогранник, составленный из двух равных n – угольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов .

Призма называется прямой, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, в противном случае призма называется наклонной.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Теорема Пифагора :  +  = , где а , в – катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза.

Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников.

Углом между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Усеченная пирамида – многогранник, гранями которого являются два  n – угольника, расположенные в параллельных плоскостях  и n четырехугольников.

Усеченная пирамида называется правильной , если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

6.Список литературы:

1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11 классы» : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2014г.
2. Баум И.В., Брызгалов К.Н., Горзий Т.А. « Задания по геометрии для 9 и 10 классов.»: Методическое пособие- М.Просвещение, 1987г.
3. Воскресенская О.Л. Технология разработки тестовых заданий (тезисы лекций).http://www.openclass.ru/wiki-pages/52962
4. Ершова А.П., ГолобородькоВ.В. « Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. – М.: Илекса, 203г.
5. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 – 11 класса»  - М.: Просвещение, 1997г.
6. Канашина Е.М. Использование тестов в учебном  процессе. http://www.testobr.narod.ru/index.htm
7. Ковалева Г.И. « Геометрия 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С.Атанасяна и др.- Волгоград: Учитель, 2007г.
8. Мордкович А.Г., Суходский А.М. « Справочник школьника по математике». – М.: Издательский Дом ОНИКС, 1999г.
9. Смирнова И.М. « Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 класс» - М.: «Аквариум», 1998г.