Формирование и развитие теории групп.
статья по теме

Формирование  и развитие теории групп.

П.Н. Никонова 

Московский педагогический государственный университет

e-mail: www.nikonova@mail.ru

Ключевые слова: абелева группа, теория Галуа, теория групп.

Аннотация

В данной работе рассмотрены этапы формирования и развития теории групп, описаны основные причины, исторические предпосылки для становления теории групп.   Упомянуты основные работы: сочинения, монографии и др., повлиявшие на развитие теории. Цитаты, взятые из вспомогательной литературы, отмечены соответствующими сносками на источники.

В работе будем придерживаться следующей структуры:

1. Первый параграф посвящен влиянию исследований разрешимости уравнений на становление понятия группы. Такой выбор обусловлен тем, что именно работы, в которых исследовалась разрешимость уравнений в радикалах (например, работы Эйлера, Декарта и др.), привели к постепенному формированию новых понятий, являющихся основополагающими в теории групп.
2. Лагранж сформулировал впервые теоретико-групповую теорему о порядке подгрупп, Руффини систематизировал исследования о конечных подстановках. Их работы явились предпосылками для основания и развития теории групп. Второй параграф представленной работы описывает их вклад в теорию групп.
3. Важным для теории групп являются открытия Гаусса. Он ввел понятие смежных классов и композиции. Фактически он впервые обозначил свойства ассоциативности, коммутативности и единственности существования единичного элемента. Трудам Гаусса посвящен третий параграф.
4. Четвертый параграф  описывает работы Абеля. Начиная с исследования разрешимости уравнений в радикалах, Абель переходит к изучению структуры коммутативных групп. Так, коммутативные группы носят его имя.
5. Термин «группа» в привычном для современной науки значении ввел Галуа. В результате его деятельности полноценно сформировалась, называемая его именем, теория Галуа. В пятом параграфе освещаются его исследования.
6. Первым, кто рассмотрел способ задания группы с помощью таблицы умножений и стал описывать группы с помощью образующих элементов и соотношений, был Кэли. О его влиянии на теорию групп говорится в параграфе 6.
7. Основную теорему о порядке группы подстановок доказал Коши. Также Коши работал с понятием гомоморфизма групп, распространяя, таким образом, все свойства данной группы на другие группы, гомоморфные данной. Исследованиям Коши большое внимание уделено в седьмом параграфе.
8. С гомоморфизмами и эпиморфизмами работал Жордан. Кроме того, ему принадлежат первые шаги в изучении матричных групп. Об этом речь идет в восьмом параграфе.
9. Проблема классификации групп стала одной из важнейших для теории групп. О первых попытках и результатах классификации групп говорится в параграфе 9.
10. Необходимость классификации групп повлекла за собой возникновение понятий о бесконечных и непрерывных группах, введенных Ли и Клейном. Этим результатам посвящен десятый параграф.
11. Заключительный параграф посвящен современным исследованиям и тенденциям в теории групп и, в частности, теории абелевых групп, с чем связана  моя научная работа.

Выводы:

прослежены этапы формирования и становления теории групп согласно исторической хронологии,

отделены разные теории и учения, принадлежащие различным авторам,

актуальность и значимость теории групп настолько высока, что является основой для других теорий

1. Алгебраические уравнения. К началу XVIII века самостоятельность путей развития алгебры уже была определена. В 1707 г. вышла в свет «Всеобщая арифметика» И. Ньютона. В ней алгебра излагалась в тесной связи с развитием вычислительных методов, геометрические вопросы были отнесены в область приложений. Ньютон ввел операции над буквенно-символическими выражениями, над целыми и дробными числами, описал технику тождественных алгебраических преобразований, рассмотрел методы решения уравнений. На примерах, взятых из геометрии, механики и других наук, он демонстрировал сведение задачи к составлению алгебраического уравнения, корень которого являлся бы решением задачи. Замыкали книгу данные общей теории уравнений, а также их графическое решение с помощью геометрического построения корней.

В других работах Ньютона также содержится немало открытий в области алгебры, например, способ численного решения уравнений. Также способы численного решения уравнения, точного или  приближенного, разрабатывали Галелей, Лагранж, Фурье и др.

Вслед за «Всеобщей арифметикой» Ньютона появился ряд монографий, содержащих систематическое построение алгебры. «Трактат об алгебре» Маклорена 1748 года являлся еще по преимуществу комментарием к книге Ньютона, в которой не было приведено доказательств. Последующие же сочинения, в особенности «Универсальная арифметика» Эйлера, появившаяся  в 1768—1769 гг. показали возросшую степень выделения алгебры как самостоятельной науки. Большое внимание Эйлер уделил методам решения алгебраических уравнений первых четырех степеней, систем линейных уравнений, методам нахождения целочисленных решений неопределенных уравнений первой и более высоких степеней.

Таким образом, в XVIII в. часть алгебры, относящаяся к решению уравнений, составляла главное ее содержание. Этой проблеме посвящено огромное количество работ, например, работы Чирнхауза 1683 года, попытавшегося при помощи некоторой замены переменных свести всякое алгебраическое уравнение к двучленному, и работы Эйлера. Эйлер изучил в исторической последовательности попытки своих предшественников: Тартальи, Кардано, Феррари, Декарта, Де Муавра и пытался  подобрать для корней уравнений подходящие виды иррациональностей. Однако и общие подстановки, позднее использованные норвежским математиком Н. Х. Абелем в 1826 году для доказательства невозможности решения в радикалах общего уравнения пятой степени, не дали нужного результата.

Попытки отыскания решения уравнений степени n>5 элементарно-алгебраическими способами были единственным путем решения проблемы, доступным в то время математикам. Однако, приемы решения алгебраических уравнений, накапливаясь, открывали перспективы для развития теоретической части алгебры. Будущее этой науки было связано с решением следующих проблем: разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и доказательства основной теоремы алгебры.

В 1629 году Жирар и Декарт в 1637 году впервые установили, что алгебраическое уравнение может иметь столько корней, сколько единиц имеет его наивысшая степень. В XVIII в. постановка этой проблемы трансформировалась. Теперь уже требовалось доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет именно n корней (действительных и комплексных). В качестве эквивалентного утверждения предлагалось доказать разложимость левой части уравнения в произведение линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами. Над решением этой и других связанных с ней проблем трудились Даламбер, Эйлер, Лагранж, Гаусс и многие другие математики. … Другая группа элементов теории Галуа была накоплена в ряде исследований проблемы приводимости уравнений. Ньютон первый вышел за пределы вопроса о приводимости уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм для решения вопроса о том, может ли уравнение «быть приведено при помощи какого-либо иррационального делителя, или, что то же самое... нельзя ли так разделить уравнение на две равных части, чтобы из каждой вы могли извлечь корень». Помимо постановки вопроса о возможности приведения уравнения над различными областями это рассуждение содержит некоторую идею теории Галуа. [4, с. 132]

Запутанные и громоздкие методы приводили часто к ошибкам, тем не менее они были полезны, потому что в них фактически рассматривались поля алгебраических чисел, определялся общий вид элементов этих полей.

2. Исследования Лагранжа и Руффини. Кульминацией в развитии нового этапа алгебры в XVIII в. послужило исследование Лагранжа и Вандермонда. Их работы по теории алгебраических уравнений ввели в математику первый групповой объект – подстановки. Особенно значителен опубликованный в  1771 —1773 гг. мемуар Лагранжа «Размышления об алгебраическом решении уравнений». В этом сочинении Лагранж пересмотрел все накопившиеся к тому времени методы и попытки решения алгебраических уравнений и достиг весьма большой общности. Он рассматривал уравнения с произвольными буквенными коэффициентами. Относительно них он исследовал поля рациональных функций корней. Он впервые ввел группу подстановок корней уравнения. Лагранж изучил связь между  ее подгруппами и подполями рациональных функций, инвариантных относительно подстановок этих подгрупп. Доказал первую теоретико-групповую теорему: число значений, которые принимает функция от n переменных при всех перестановках этих переменных, делит n.  Это частный случай теоремы о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы.

Среди последователей Лагранжа и Вандермонда следует отметить  Паоло Руффини. В своих исследованиях 1808-1813 гг. по теории уравнений он рассматривает не только группу подстановок, но и ее подгруппы и вводит понятия транзитивности и примитивности. Он предложил в 1799 г. доказательство неразрешимости в радикалах уравнения степени n > 5. Однако это доказательство не было общим, так как Руффини принял без доказательства, что корни резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения. В последующих работах, появившихся в 1801, 1802, 1806 и 1813 гг., он пытался доказать это предложение, но полного обоснования так и не смог добиться. [4, с. 137]

В 1824 году это предположение строго доказал Абель. Теорема Руффини- Абеля, по-другому доказанная М.В. Остроградским, стала отправным пунктом большого нового течения алгебраической мысли. Согласно этой теореме нет общей формулы, выражающей в радикалах корни уравнения степени n > 5.

Так или иначе Руффини провел сиcтематическое исследование конечных перестановок и доказал ряд важных теорем. При этом он впервые ввел термин «группа». В 1814 г. Руффини открыл и сформулировал правило приближенного вычисления корней уравнений, переоткрытое в 1819 г. Горнером.

 Алгебра, таким образом, развивалась в течение XVIII в. как наука о решении алгебраических уравнений. В ней получили известное завершение проблемы, связанные с элементарно-математическими средствами решения уравнений. Были разработаны основные предпосылки для создания теории Галуа и теории групп. Алгебра на рубеже XIX в. находилась накануне коренной перестройки, сделавшей ее соединением ряда алгебраических наук, предметом изучения которых стали объекты сложной и абстрактной природы: группы, поля, кольца и т. д. [4, с.138]

3. Идеи Гаусса. На рубеже XVIII и XIX вв. в алгебре были сделаны открытия необычайной важности, к ним относятся результаты К. Ф. Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа. Они сопровождались введением в эту науку ряда новых понятий, легших в основу современной алгебры и относящихся к доказательству основной теоремы алгебры, доказательству неразрешимости в радикалах уравнений степени n >5 и созданием теории Галуа. Рассмотрим подробнее эти результаты.

Карл-Фридрих Гаусс сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем молодым человеком во время обучения в Геттингенском университете в период с 1795 по 1798 гг. В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней некоторого уравнения, он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности на равные части.

Изучая уравнения деления круга (xn-1=0), Гаусс доказывает, что они все имеют решения, выражаемые в радикалах, дает способ явно находить эти выражения, выделяет те значения n, для которых возможно решение в квадратичных радикалах и построение правильного n-угольника циркулем и линейкой, проводя исследование, как и во всех своих трудах, поразительно глубоко и обстоятельно. Эти исследования Гаусса были продолжены Абелем, который доказал невозможность решения в радикалах уравнения 5-ой степени и выделил класс уравнений, разрешимых в радикалах, который носит теперь его имя. [2, с.40]

Таким образом, при доказательстве этой серии предложений Гаусс развил методы, послужившие одной из исходных точек при создании теории Галуа, о чем признавался сам Галуа. Тогда оставался лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Лагранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.

В 1801 году выходит в свет книга Гаусса «Арифметические исследования». В этой работе он применяет общие алгебраические идеи. В начале книги Гаусс определяет сравнения - первый в истории пример построения фактор-кольца. Занимается систематическим изучением сравнений по простому модулю и доказывает существование первообразного корня. Таким образом, он доказывает, что мультипликативная группа поля вычетов по модулю p, для некоторого простого p, циклическая. Доказательство было весьма общим и распространялось на случай конечного поля. Позже этот факт был отмечен Галуа.

Кроме того, Гаусс оперировал со смежными классами мультипликативной группы поля из p элементов относительно ее разных подгрупп. Интересным и значительным для теории групп было построение Гауссом целого ряда групп классов биквадратных квадратичных форм. Такие примеры групп являлись наиболее абстрактными к тому времени. Гаусс ввел операцию композиции форм, утверждал, что можно определять и композицию классов и единственность существования противоположного класса. Сейчас эти свойства называются ассоциативностью и коммутативностью групповой операции и существованием противоположного для каждого элемента группы и составляют основу понятия группы.

Ниже приведем цитату из источника [2, с.63]:

«Приведем одно место из сочинения Гаусса, где устанавливается существование и единственность решения уравнения K+X=L в группе классов: «Композицию классов удобно обозначать знаком сложения + и, точно так же, тождественность классов — знаком равенства. Тогда только что высказанная теорема может быть выражена так. Если K’ есть класс, противоположный классу K, то K+K’ есть главный класс того же определителя, и тем самым K+K’+L=L; если поэтому положить K’+L=M, то K+M=L, что и требовалось. Если же кроме M имелся бы еще и другой класс M’, который обладал бы тем же свойством, т. е. если бы было K+M’=L, то имело бы место К + К' + М' = L + К' = М, откуда следует, что М'=М». Занимаясь строением группы классов, Гаусс делает многозначительное замечание: «Заметим только, что так как одного основания в этом случае (выделенном им ранее) недостаточно, то необходимо брать два или даже еще большее число классов, при умножении и композиции которых получаются уже все остальные. При этом получаются двойные и кратные индексы, польза которых состоит примерно в том же, в чем состоит и польза простых индексов...». Гаусс хочет сказать, что рассматриваемая им группа не циклическая, но разлагается в прямую сумму двух или нескольких циклических.» 

4. Исследования Абеля. Первый реальный успех выпал на долю скромного молодого норвежского математика Н. Г. Абеля. За время своей короткой жизни он успел сделать так много открытий в математике, что по праву может считаться одним из наиболее выдающихся математиков XVIII в.

Еще в школе Абель заинтересовался проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он дал доказательство разрешимости уравнения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это доказательство содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило свою хорошую службу. Абель получил государственную стипендию и возможность поехать в Европу для усовершенствования в математике.

Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре об алгебраических уравнениях», где доказывается невозможность разрешимости общего уравнения пятой степени. В нем Абель, по-видимому независимо от Руффини, шел тем же путем; он стремился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось на предположение, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни данного уравнения.

Наконец, в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую» многовековая проблема получила удовлетворительное разрешение. Здесь Абель рассматривал уравнения пятой степени с переменными коэффициентами. Решения он трактовал как выражения корней через алгебраические функции коэффициентов. Этот вид функций образуется из аргументов посредством конечного числа четырех арифметических операций и операции извлечения корня, показателем которого является простое число.

Доказательства Абеля — Руффини не дают возможности выделить классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не снимают также возможности такой разрешимости для уравнений с численными коэффициентами подбором подходящих иррациональностей в конкретном случае. Исследования надо было расширять. Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем, встала общая проблема разрешимости — основная проблема классической теории Галуа.

Лагранж нашел частный класс уравнений, разрешимых в радикалах — циклические уравнения.

Абель в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» в 1829 году вновь исследовал циклические уравнения, отыскав для них явные выражения корней через коэффициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых уравнений, которые по существу являются нормальными уравнениями с коммутативной группой Галуа.

Как в этой, так и в другой, оставшейся незаконченной и опубликованной лишь в 1839 году работе Абеля «Об алгебраической разрешимости уравнений» доказан ряд теорем, относящихся к теории Галуа. Например, Абель доказал теорему, эквивалентную теореме Галуа: чтобы неприводимое уравнение было разрешимо в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были рациональными функциями двух известных корней. В других теоремах он исследовал структуру нескольких конкретных классов разрешимых групп. Фактически Абель исследовал структуру коммутативных групп. Он показал, что эти группы являются произведениями циклических групп. Однако понятие группы у него еще не было точно выделено.

5. Теория Галуа. Понятие, и, несомненно, слово «группа» встречается у Галуа  в его работах в 1831 году. Вместе с ним встречается и понятие нормальной подгруппы, которое открывает секрет разрешимости уравнения в радикалах.

Галуа показал, что всякое уравнение E имеет группу Gе, состоящую из перестановок корней, которые оставляют рациональные функции корней неизменными, и, что уменьшение симметрии, сопровождаемое введением радикала, соответствует образованию нормальной подгруппы. Тогда решение Е в радикалах возможно только, если Gе можно привести к тождественной перестановке цепочкой нормальных подгрупп (вложенных некоторым образом). Если Е — общее уравнение степени n, то Ge = Sn, и теорема Руффини и Абеля восстанавливается, если показать, что Sn не имеет такой цепочки нормальных подгрупп. [5, с. 351]

Галуа доказал, что для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима. Другая часть его теории - теория полей вместе с теорией групп составляют то, что в настоящее время известно как «теория Галуа».

Итак, Галуа в некотором смысле ввел термин «группа» — адекватный современному, хотя и не столь формализованный как современное определение:

Множество G каких-либо элементов a, b, c … называется группой, если в нем введена некоторая операция, называемая «умножением», и если выполняются условия:

1. произведение двух элементов множества G является элементом того же множества;
2. умножение ассоциативно;
3. существует хотя бы один элемент множества, называемый «единицей»;
4. для каждого элемента существует хотя бы один такой элемент, именуемый «обратным элементом», что произведение его на этот элемент дает единицу.

Впервые группы выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования. Например, им были сформулированы примерно следующие утверждения, укажем их современную формулировку:

1)        минимальная простая группа есть А5 порядка 60;

2)        группа дробно-линейных преобразований с коэффициентами из поля вычетов по модулю p неразрешима при p>3;

3)        эта группа не имеет подгрупп индекса p при p>11;

4)        неприводимое уравнение простой степени имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа метациклическая. [2, с. 64]

Обобщения задачи о разрешимости уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие результаты здесь были получены лишь советским математиком Н. Г. Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную задачу теории Галуа: для любой разрешимой группы любого порядка, если расширяемое поле алгебраических чисел содержит корень n-ой степени из единицы, всегда существует сколько угодно его расширений, имеющих над данным полем любую наперед заданную разрешимую группу n-го порядка.

6. Идеи Кэли. Вскоре после работ Галуа началось уже систематическое развитие теории групп.

Определение и первые исследования абстрактных групп были опубликованы английским математиком А. Кэли в 1854 г.

В своих лекциях по истории математики Ф. Клейн говорит, что Кэли является «создателем современной алгебраической геометрии как со стороны теории инвариантов, так и в ее геометрической части». [2, с. 64]

В 1854 г. были опубликованы две части работы Кэли: «О группах, зависящих от символического уравнения θn = 1». В этой работе Кэли определяет группу как множество символов с заданным законом композиции, который удовлетворяет условиям ассоциативности, существования единицы и однозначной разрешимости уравнений в пределах группы. Правда, сначала Кэли просто пишет, что группа на множестве символов это есть ассоциативный закон композиции, а потом только добавляет, что стоит назвать группами только те законы, у которых в каждой строке и столбце таблицы умножения встречаются все элементы группы. Первое в современной терминологии означало бы только определение полугруппы, а второе есть уже вполне точное определение группы. Кэли рассматривает как способ задания группы таблицу умножения, а также изучает задание группы образующими и соотношениями. Кэли указывает, что элементами группы могут быть подстановки, но мо гут быть и элементы другой природы, например кватернионы. В 1859 г. Кэли опубликовал третью часть своей работы. В ней он доказывает, что все группы простого порядка циклические, а также находит всевозможные группы восьмого порядка. Само название «группа» взято Кэли в память Галуа.  В 1878 году Кэли доказал теорему для конечных групп, которая легко распространялась на произвольные группы. В некотором смысле получилось, что абстрактное понятие группы оказалось пустым, так как всякая группа, по существу, такая же, что и группа подстановок.

Кроме работ Кэли, развитие теории групп в самой середине XIX в. состояло в разнообразных исследованиях групп подстановок и в освоении наследия Галуа. В частности, большую работу проделал в эти годы Ж. А. Серре, который включал в свои лекции по алгебре значительные части теории Галуа.

7. Коши. Возвращаясь к изложению истории дальнейшего развития теории групп, нужно упомянуть о серии работ О. Коши, опубликованных в 1844— 1846 гг., в которых он доказывает много разнообразных теорем о группах перестановок. В своей первой работе 1815 года на эту тему «Мемуаре о числе значений, которые может принимать функция, если переставлять всеми способами содержащиеся в ней величины» Коши исследует вопрос о числе значений алгебраической функции при всевозможных перестановках аргумента. Коши доказал некоторые теоремы о транзитивных группах подстановок, а наиболее известна следующая теорема: если группа подстановок имеет порядок, делящийся на простое число p, то в ней есть подгруппа порядка p. 

Так, Коши в этой своей работе основал исчисление подстановок, используя при этом все направления и возможности разработанных им операторных методов (манипуляции с группами букв, на которых определены подстановки, для установления общих условий коммутативности, запись подстановок в виде произведения циклов, обозначение одной буквой и т. д.).

На одном примере Коши осветил понятие гомоморфизма группы подстановок G1 на другую такую группу G2 и показал, что его ядро является подгруппой группы G1. Этот пример очень важен, поскольку он открыл дорогу новой идее переноса определенных свойств с одной структуры на другую при помощи гомоморфизма. Что в современности является одним из полезнейших фактов. [1, с. 380]

8. Открытия Жордана. Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Камилла Жордана. В 1865 г. появляется первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа», в 1869 г. ее продолжение «Комментарии к Галуа», а вскоре затем фундаментальная монография «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях». Трактат Жордана содержит части, посвященные изучению групп подстановок, собственно теории Галуа и приложению теории Галуа к уравнениям, возникающим в разных областях математики.

В этой работе используется понятие гомоморфизма. Данное отображение он называет  «гомоморфизмом на» или эпиморфизмом. Причем, выражение Жордана «группа F изоморфна группе G» означает, что определен эпиморфизм G на F. Стоит также упомянуть, что в своем сочинении Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля. При исследовании линейной группы он пришел к очень важным результатам о приведении матриц к так называемым жордановым формам.

При изложении теории Галуа Жордан использует уже современный способ сопоставления уравнению не некоторого множества перестановок корней, а группы подстановок, и критерий разрешимости уравнения в радикалах у него выражается в разрешимости его группы Галуа. Трактат Жордана стал на некоторое время учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Выход его знаменует окончание периода рождения теории групп.

9. Классификация групп. В 60-е годы XIX в. большое влияние на развитие математики имела деятельность К. Вейерштрасса. Почти ничего не публикуя, он включал результаты своих исследований в свои лекции в Берлинском университете. В лекциях 1861 г. Вейерштрасс ввел понятие прямой суммы нескольких алгебр и доказал теорему о том, что конечномерная коммутативная алгебра над полем вещественных чисел без нильпотентных элементов есть прямая сумма полей вещественных и комплексных чисел. Это один из первых результатов классификации в алгебре.

Так же Дедекинд занимался классификацией групп. Он ввел понятия кольца, модуля и идеала и  заложил основы современного аксиоматического изложения математических теорий.

Однако в общем виде проблема классификации не решена до сих пор. Чрезвычайные трудности возникают и при исследовании ее частных аспектов. Например, окончательно не решен вопрос о структуре и классификации конечных разрешимых групп. Оказалось также, что все известные простые некоммутативные конечные группы имеют четные порядки. Остается пока не решенной проблема Бернсайда: будет ли это свойство общим для всех групп этого класса.

10. Работы Ли и Клейна. При таком положении вещей в теории групп, когда выделено понятие группы, естественно, возникал вопрос об исследовании бесконечных групп, как непрерывных, так и дискретных, а также о создании вычислительного аппарата, приспособленного для нужд теории групп. Эти три группы вопросов были поставлены и получили продвижение в конце XIX — начале XX в.

 В 1870 г. Софус Ли и Феликс Клейн начали размышлять над группами преобразований.

Норвежский математик Софус Ли распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений. Примерно в  1873 г. он ввел новый вид групп и назвал их «непрерывными группами преобразований». С каждым дифференциальным уравнением он связал такую группу преобразований, которая оставляет его неизменным.

Ли классифицировал всевозможные группы преобразований на плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциальных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах. Такие группы получили название групп Ли.  

Другое важное приложение теории непрерывных групп было осуществлено около 1872 г. Ф. Клейном. Клейн создал  «Эрлангенскую программу», в которой говорилось, что любая из геометрий (евклидова, аффинная, проективная и т. д.) имеет в своей основе некоторую непрерывную группу преобразований и представляет собой по существу учение об инвариантах этой группы.

Открытие столь многообразных приложений теории непрерывных групп было причиной введения еще более общего, абстрактного определения непрерывной группы.

Софус Ли применил разработанную им теорию непрерывных групп к теории дифференциальных уравнений, достигнув при этом большой общности в изучении проблемы интегрирования в квадратурах. Ф. Клейн и Л Пуанкаре показали важность новой теории в исследовании автоморфных функции. Все трое названных ученых, а за ними многие другие приложили непрерывные группы к геометрии.

Теория непрерывных групп Ли также нашла отражение в специальной русской математической литературе. Подробное изложение ее, вместе с приложениями к геометрии, дал в первом томе «Оснований геометрии» (Одесса, 1907) В. Ф. Каган. Некоторые сведения по теории инвариантов имеются в главе о линейных и квадратичных формах обширных «Оснований теории определителей» того же автора (Одесса, 1922), подготовленных еще до 1917 г. Оригинальное применение методы С. Ли получили в геометрических исследованиях Д. М. Синцова, тесно связанных с теорией дифференциальных уравнений. [8, с. 327]

11. Современная теория групп. Теория абелевых групп. Важно заметить, что до 40-х годов XX века коммутативная алгебра и теория абелевых групп в частности не имела сильного развития как отдельная часть алгебры. Это направление исследования стало стремительно развиваться и популяризироваться в недавнем прошлом. Ниже рассмотрим достижения ученых в современный период.

Преимущественно теория абелевых групп не зависит от общей теории групп: ее основные идеи и методы имеют незначительное сходство с некоммутативным случаем, поэтому для групповой структуры коммутативность представляет большой интерес. Теория абелевых групп тесно переплетается с теорией колец и модулей. С одной стороны, являясь частью теории групп, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей.

Начало теории абелевых групп положили работы Л.C. Понтрягина, А.И. Мальцева, А.Г. Куроша, Л.Я. Куликова и др. Исследования Понтрягина привели к некоторым новым результатам и для дискретных групп, в частности, и к одному критерию для разложимости абелевой группы в прямую сумму бесконечных циклических групп. Некоторые результаты об абелевых группах содержала, впрочем, ещё работа А. Г. Куроша, в частности теорему, что всякая абелева группа с условием минимальности разложима в прямую сумму конечного числа циклических групп и квазициклических групп. Работа А. Г. Куроша посвящена абелевым группам конечного без кручения и содержит полную классификацию р-примарных групп этого типа, т. е. групп, являющихся подгруппами прямой суммы конечного числа групп типа Rp: указанные группы задаются матрицами с p-адическими элементами, причём установлены те элементарные преобразования матриц, эквивалентность относительно которых равносильна изоморфизму соответствующих групп. Отсюда выводится, в частности, существование неразложимых в прямую сумму р-примитивных абелевых групп без кручения любого конечного ранга. А. И. Мальцев обобщил указанные выше результаты и дал классификацию всех абелевых групп конечного ранга без кручения. Ещё Прюфер указал условия для разложимости счётной периодической абелевой группы в прямую сумму. А изучение периодических абелевых групп сводится, как известно на случай примарных групп. Отметим некоторые из теорем Л. Я. Куликова. Две основные теоремы Прюфера обобщаются следующей теоремой: примарная абелева группа G тогда и только тогда разложима в прямую сумму циклических групп, если она является объединением возрастающей последовательности подгрупп, у каждой из которых высоты элементов в G ограничены в совокупности. К рассмотренным исследованиям по абелевым группам непосредственно примыкают работы Н. Я. Виленкина по теории топологических периодических абелевых групп, а также работа М. И. Граева о структурных изоморфизмах топологических абелевых групп.

Значимой в современной теории является монография Л. Фукса. Являясь своеобразной энциклопедией, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день.

Наиболее естественным при изучении абелевой группы является рассмотрение ее как аддитивной группы кольца. Изучение колец на абелевых группах представляет интерес по нескольким причинам: во-первых, оказывается возможным получить дополнительные сведения о самих группах, ввести в рассмотрение новые понятия и методы,  во-вторых, зная строение аддитивной группы, можно получить полную информацию о свойствах самого кольца. Проблема определения колец на аддитивной группе была сформулирована Бьюмонтом, который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп, приблизительно в то же время Селе исследовал нильгруппы, т.е. группы, на которых не существует кольца с ненулевым умножением.

 Сейчас решение подобных задач является наиболее популярным направлением в теории групп, в частности, в теории абелевых групп.

Заключение

Таким образом, мы проследили этапы формирования и развития теории групп.

Попытки обоснования условия разрешимости алгебраических уравнений явились основным стимулом для дальнейшего изучения теории групп. Так, стали появляться первые понятия, например, понятие подстановки, которые сейчас лежат в основе современной теории.

Большой вклад внес Гаусс с идеей композиции смежных классов. Это послужило поводом для повышения интереса к теории групп и для ее постепенного обособления.

В данной работе приведены труды таких ученых как Коши, Жордан, описано их влияние на развитие теории групп. Кэли в свою очередь ввел в привычное использование законы ассоциативности, коммутативности и др. Однако, фактически, это были только попытки добиться четкой формулировки определения понятия «группа».

Масштабных результатов добились Галуа и Абель. Им принадлежит создание термина «группа».  Описаны их выводы и влияние их открытий на современную теорию групп. Также отмечены современные тенденции и популярные направления изучения теории групп.

Менее чем за один век алгебра полностью изменила свое лицо. В конце XVIII в. это была довольно узкая дисциплина, занимавшаяся почти исключительно теорией уравнений в обычной числовой области. Были созданы и развиты формализмы, позволяющие отвлечься от конкретных объектов, к которым они применяются.

Исследование фундаментальных структур, их подструктур, например, в теории групп: конечных групп, коммутативных групп и т. д., изучение их основных комбинаций, нарушили архитектуру математики, древняя схема которой, состоящая из алгебры, арифметики, геометрии, анализа, устарела.

Литература

1. Даан-Дальменко А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир.  1986.
2. Башмакова И.Г. и др. Математика XIX века. М.: Наука. 1978.
3.  Попов Г.Н. История математики. М.: Типо-лит. Московск. Картоиздательского Отдела Корп. Воен. Топогр. 1920.
4. Рыбников К.А. История математики. Т2. М.: Издательство Московского университета. 1963.  
5. Стиллвелл Д. Математика и ее история. М., Ижевск, Институт компьютерных исследований. 2004.
6. Фукс. Л. Бесконечные абелевы группы. Т1, Т2, М.: Мир, 1974, 1977.
7. Юшкевич А. П. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. М.: Просвещение. 1976.
8. Юшкевич А.П. История математики в России до 1817 года. М.: Наука. 1968.
9. Математика в СССР за тридцать лет. Сборник статей. М.: ОГИЗ. 1948.