Технологическая карта
учебно-методический материал

Дисциплина

Математика

Специальность / профессия

08.02.02 «Строительство и эксплуатация инженерных сооружений»

Тема занятия

Применение интеграла для вычисления физических величин и площадей

Содержание темы

Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница. Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин и площадей

Тип занятия

Практическое занятие

Формы организации учебной деятельности

Фронтально - групповая

Учебная и дополнительная литература

Этапы занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

студентов

Планируемые образовательные результаты

Типы оценочных мероприятий

1. Организационный этап занятия

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности.

Сегодня мы с вами будем решать профессиональные задачи средствами математического анализа, а именно увидим практическое применение геометрического смысла определенного интеграла

ОК 01, ОК 02, ОК 03

Беседа

2. Основной этап занятия

Осмысление содержания заданий практических и лабораторных работ, последовательности выполнения действий при выполнении заданий или воспроизведение формируемых знаний и их применение в стандартных условиях (по аналогии, действия в стандартных ситуациях, тренировочные упражнения)

Перенос приобретенных знаний и их первичное применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений (творческие, проблемные задачи, ситуации) (для семинаров и практических работ)

С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций. Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оу. Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи делают схематический чертеж.

2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции. 3. Записывают каждую функцию в виде y = f (x) 4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной надолбы со дна реки глубиной H (м), если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром a (м), а плотность железобетона равна ρ (кг/м3 ).

Разобрать поэтапно задачу.

Высота тетраэдра

, его объем. Вес надолбы в воде равен разности между ее весом в воздухе и весом объема воды, вытесненного надолбой, то есть

Работа, затраченная на извлечение надолбы до момента появления на поверхности воды ее вершины, определяется по формуле

Найдем работу A1, затраченную на извлечение надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла из воды на высоту H + x. Тогда объем вышедшей из воды части тетраэдра равен а ее вес

Интегрируя в пределах от 0 до h , получим

ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07, ПК2.1

решение задачи

Решают задачи.

Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 9t2 -2t-8 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секунд от начала движения.

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v1=(2t2 +4t)м/с, м/с, второе – со скоростью v2=(3t+2)м/с, м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

3. Силу упругости F пружины, растянутой 11 =0,02 м, равна 2H. Какую работу надо провести, чтобы растянуть пружину на 12 =0,05м?

4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 нужна сила 10 Н.

ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07, ПК2.1

Индивидуальные, решение задач

3. Заключительный этап занятия

Какие физические величины можно вычислить с помощью определенного интеграла? ∙ По какой формуле вычисляется путь, пройденной точки с переменной скоростью? ∙ По какой формуле вычисляется работа переменной силы? ∙ От каких величин зависит величина силы давления на погруженную в жидкость пластину? ∙ С помощью какой формулы вычисляется сила давления жидкости на вертикальную пластину?

Отвечают на вопросы

ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07.

Отвечают на вопросы

4. Задания для самостоятельного выполнения 

Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = х + 2;

б) f (х) = х 3 – 2х + 1;

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = −3𝑥 2 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 и 𝑥 = 2.

ОК 01, ОК 02, ОК 03, ОК 04, ОК 05, ОК 06, ОК 07.

решение задач