Дипломная работа по теме "Повышение качества реализации программы начального курса математики на основе вычислительной культуры"
материал

Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение
«Читинский педагогический колледж »

Кафедра начального общего образования

Специальность 44.02.02 Преподавание в начальных классах

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Повышение качества реализации программы начального курса математики на основе вычислительной культуры

Чита

2019

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Одной из главных задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительной культуры, в  основу которой входит осознанное и прочное усвоение приемов арифметических действий с многозначными числами, а также их сознательное использование. Формирование вычислительной культуры происходит на всех этапах математики, но основной этап обучения  приходится на первые 5-6 лет. В это время у младших школьников формируется умение  осознанно использовать законы арифметических действий. Вычислительные умения и навыки можно считать достаточно  сформированными тогда, когда учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с многозначными числами. О наличии у младших школьников вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

 Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Проблема формирования у учащихся вычислительной культуры всегда привлекала особое внимание психологов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой и  многих других.

Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века. Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков  (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и  др.),  дифференциации и индивидуализции процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И.  Фаддейчева).

Большой вклад в развитие вычислительной культуры в содержательно-методическом аспекте внесли авторы учебников математики разных УМК: М.И.Моро, С.В. Степанова, С.И.Волкова. (Школа России), Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова (Перспектива), Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. (Школа 2100), А.Л. Чекин, О.А. Захарова, Е.П. Юдина ( Перспективная начальная школа), Е.Э.Кочурина, В.Н.Рудницкая, О.А.Рыдзе (Начальная школа XXI века), Н.Б. Истомина (Гармония), Аргинская И.И., Е.П.Бененсон, Л.С.Итина (Л.В. Занкова).

 Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения, и нашло отражение в учебниках математики.

Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков младших школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). В каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. В начальном курсе математики предусмотрен такой порядок введения вычислительных приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большее число операций, а приемы, усвоенные ранее, включаются в новые в качестве основных операций.

Переориентация методической системы на приоритет развивающей функции по отношению к образовательной, характеризующейся изменением характера деятельности учащихся, личностно-ориентированным подходом к обучению, несколько ослабила внимание к развитию и закреплению вычислительных навыков у учащихся.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно овладение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Отмечается ухудшение качества вычислений учащихся. В век компьютерной грамотности значимость вычислительных умений и навыков, несомненно, уменьшилась. Использование компьютера, калькулятора во многом облегчает процесс вычислений в ущерб развития вычислительных умений и навыков младших школьников, если процесс выполнения домашних заданий не контролируется родителями. Но использования техники без осознани вычеслительных навыков невозможно, да и микрокалькулятор не всегда может оказаться под рукой. Следовательно, овладение вычислительными умениями и навыками необходимо. Научиться быстро и правильно выполнять вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости для дальнейшего обучения. Таким образом, развитие вычислительной культуры младших школьников является для начальной школы актуальной проблемой.

Многообразие УМК предлагает учителю начальных классов большой арсенал авторских подходов к развитию вычислительной культуры и приёмов вычислений в соответствии с ФГОС начальной математической подготовки. Это своего рода современная школа совершенствования методического уровня учителей начальных классов в аспекте развития вычислительной культуры младших школьников. Однако продолжает существовать противоречие между представленными в учебниках математики разных УМК содержательно-методическими условиями и уровнем развития вычислительной культуры младших школьников в соответствии с требованиями ФГОС НОО в аспекте формирования вычислительной культуры младших школьников. 

Возникает проблема: как обеспечить формирование и развитие вычислительной культуры младших школьников в современных содержательно-методических условиях её становления.

Объектом исследования является повышение качества образования в соответствии с содержанием начальной математической подготовки.

Предмет исследования: вычислительная культура  как фактор реализации ФГОС начального курса математики.

Цель исследования: изучить содержательно-методическую основу повышения качества математической подготовки младших школьников в аспекте развития вычислительной культуры в соответствии с требованиями ФГОС НОО.

Задачи:

• Изучить составляющие математической подготовки младших школьников  в содержании ФГОС;  
• Рассмотреть требования  ФГОС НОО в аспекте формирования вычислительной культуры младших школьников;
• Представить компоненты качества реализации культуры вычисления в программах начального курса математики.
• Изучить методику формирования первоначальных вычислительных навыков;
• Исследовать устные и письменные приёмы сложения и вычитания, умножения и деления многозначных чисел;
• Исследовать внутрипредметные связи в аспекте развития вычислительной культуры младших школьников.

Методы исследования: анализ научной, методической, периодической литературы по теме исследования, анализ базовых понятий исследования; изучение, анализ и обобщение передового опыта, наблюдение, беседа, самооценка.

Практическая значимость исследования заключается в систематизации алгоритмов развития вычислительной культуры в соответствии с требованиями ФГОС НОО.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ПРОГРАММА НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ В ФЕДЕРАЛЬНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ СТАНДАРТЕ

1.1 Основные составляющие математической подготовки младших школьников в содержании ФГОС

Новая ветвь образования в РФ отличается личностно ориентированным подходом, идеей развивающего обучения, созданием условий для самоорганизации и саморазвития личности, субъектностью образования, направленностью на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств. А также особая роль в образовании отводится математике. Приоритетность математического образования отмечена указом Президента Российской Федерации от 7 мая 2012 года №599 «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки», в соответствии с которым в настоящее время разработан проект Концепции развития математического образования в РФ[1].

 В ней перечислены основные цели математического образования:

• интеллектуальное развитие учащихся, формирование особых качеств мышления, которые характерны для математической деятельности и необходимы учащимся для полноценной жизни в обществе;
• овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, которые имеют особое значение в практической деятельности, и необходимы для изучения смежных дисциплин, а так же для продолжения образования;
• воспитание личности происходит в процессе освоения математики и математической деятельности;  
• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности  [2].

 По какой причине  особое внимание уделяется математическому образованию? В сегодняшнем мире значение имеет применение математики в различных областях науки, экономики и производства. Справедливо утверждение, что во всех странах с высоким уровнем экономического развития высок и уровень математической образованности общества. Современные технологии требуют математически образованных работников, а также работников с хорошим образованием. Ректор Московского института открытого образования Алексей Львович Семенов, сформулировал роль математического образования в современной России: «Математика может стать важным элементом национальной идеи России XXI века, основой инновационно-технологического потенциала и полем наиболее эффективных инвестиций. Математическое образование должно фактически явиться предметом государственной программы. Любое стратегическое направление развития страны будет требовать высокого уровня математической поддержки и сопровождения».            

Однако ФГОС НОО определяет современные требования к преподаванию математики. В начальной школе математика является опорным предметом изучения смежных дисциплин. В дальнейшем знания и умения, приобретенные в ходе изучения, а также первоначальное овладение математическим языком станут крепким фундаментом обучения в старших классах школы. Изучение  математики в начальных классах нацелено на достижение следующих целей:

• развитие мышления младших школьников: использование математических представлений для описания окружающих предметов, процессов, явлений в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать обоснованные и необоснованные суждения;
• освоение ими начальных математических знаний; формирование умения решать учебные и практические задачи средствами математики;    
• вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания, вариантов);    
• понимать значение величин и способов их измерения;    
• использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций;
• работать с алгоритмами выполнения арифметический действий, решения задач, проведения простейших построений;  
• проявлять математическую готовность к продолжению образования;
• воспитание критичности мышления, интереса к умственному труду, стремления использовать математические знания в повседневной жизни  [6].

Математика у младших школьников является основой развития познавательных действий, в первую очередь логических. Математика имеет особое значение в формирование основного приема решения задач как универсального учебного действия.

Необходимость математического развития, в начальной школе, отмечается многими ведущими российскими учеными (Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон и др.). Данное обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у учащихся развиваются не только все психические функции, а также происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности[9].

В соответствии с тем, что начальный курс математики является органической частью всего школьного курса математики, так как курс математики для 5-11 классов является продолжением начального курса, а начальный курс является исходной базой всего курса. Математика начального курса состоит из:

• арифметики целых неотрицательных чисел;
• основных величин;
• элементов алгебры и геометрии.

Построение начального курса математики имеет свои собственные особенности [15].

1 особенность. Арифметический материал является главным составляющим содержанием курса. Арифметика натуральных чисел и основные величины являются основой начального курса математики. А также сюда входят элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, они включаются по возможности в системы арифметических знаний, помогая увеличить уровень освоения понятий числа, арифметические действия и математические отношения. Но элементы геометрии и алгебры не являются отдельными разделами начального курса математики, они лишь только связаны с арифметическим материалом. Данная связь помогает приобщить детей к идеям алгебры и геометрии, а также достичь наиболее высокого уровня усвоения арифметических действий младшими школьниками.

2 особенность. Материал начального курса математики вводится концнтрически. Изучение курса начинается с изучения нумерации чисел первого десятка, которая не подлежит десятичному разложению, а также вводятся цифры для записи данных чисел, изучаются такие арифметические действия как  сложение и вычитание. Далее происходит рассмотрение нумерации чисел в пределах 100, раскрывается понятие разрядка, объясняется принцип позиционной записи чисел, которые подлежат десятичному разложению, происходит изучение сложения и вычитания двухзначных чисел, а также вводятся такие арифметические действия, как умножение и деление. Потом рассматривается нумерация чисел в пределах 1000. В этом разделе три основных разряда (единицы, десятки, сотни), которые составляют основу нумерации многозначных чисел, происходит обобщение арифметических действий, вводятся письменное сложение и вычитание. Затем изучается нумерация многозначных чисел, происходит рассмотрение понятия класса, обобщение знаний о принципе поместного значения цифр, вводятся алгоритмы письменных вычислений. В курсе математики выделено четыре основных концентра: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Однако одновременно и в тесной связи с рассмотрением нумерации и арифметических действий происходит изучение и других вопросов таких, как величины, дроби, алгебраический и геометрический материал.

Введение данных четырех концентров объясняется особенностями десятичной системы счисления и арифметическими действиями.

3 особенность. Вопросы теоретического и практического характера органически связанны между собой. Многие теоретические вопросы вводятся индуктивно, а на основе этих вопросов раскрываются вопросы практического характера.

Например: распределительное свойство умножения вводится на основе обобщения частных факто, после этого используется данное свойство, раскрывается прием умножения.

15*4=(10+5)*4=10*4+5*4=60

При данной взаимосвязи хорошо усваиваются осознанные практические умения.

4 особенность. Раскрытие в курсе математических понятий, свойств, закономерностей в их взаимосвязи. Данная особенность показывает на только взаимосвязь между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом, но и внутренние связи между многими понятиями курса, свойствами и закономерностями. Таким образом, при изучении арифметических действий раскрываются их свойства, связи и зависимости между их компонентами и результатами. Это придает возможность глубокого рассмотрения понятия арифметических действий, обладающих определенными закономерностями, обогащения учащихся функциональными представлениями. Данное построение обеспечивает углубленное усвоение курса, так как младшие школьники имеют возможность овладеть не только отдельными вопросами курса, но и одновременно и связями между ними.

 5 особенность. Курс математики построен так, чтобы в процессе изучения каждое понятие получило свое развитие.

Например: при изучении арифметических действий сначала раскрывается конкретный смысл, а затем происходит изучение свойств действий, связи между компонентами и результатом вычислений. Подход к введению понятий соответствует возрастным особенностям учащихся, обеспечивает доступность овладения математическим материалом.

6 особенность. Целесообразно в сравнении рассматривать сходные или связанные вопросы между собой. В данном случае можно выделить существенно сходное и различное, это поможет предотвратить ошибки учащихся, программы предусматривают временное сближение изучения некоторых вопросов курса, (например, действия сложения и вычитания вводятся одновременно), а также введение новых вопросов в сравнении с ранее изученными.

Мы представили в обобщённом виде основные составляющие математической        подготовки младших школьников в содержании ФГОС в аспекте преемственности начального курса математики и курса математики общего среднего образования[23].

1.2 Требования ФГОС НОО в аспекте формирования вычислительной культуры младших школьников

Современное изменение системы школьного образования, в том числе начального, связано с введением Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) начального общего образования. В начальном изучении математики закладываются основы формирования приёмов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определённые обобщенные знания и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. УУД обеспечивают усвоение предметных знаний  и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учится. Достижение личностных и метапредметных результатов рассматривается наряду с предметными.

В результате изучения математики в соответствии с требованиями ФГОС НОО учащиеся должны овладеть вычислительными умениями и навыками с применением четырёх арифметических действий.  Представим их подробнее[3].

• Выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных арифметических действий (в том числе деления с остатком). Представим некоторые виды вычислений в соответствии с этим требованием: 23854 + 43752, 76237 – 43978,  6354 ⋅ 5,  53872 ⋅ 56,      2576 : 7; 32079 : 37…

• Выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение. Представим динамику видов уравнений, при решении которых необходимо применение вычислительных умений и навыков.

Изучать уравнения дети начинают уже с первого класса, используя в помощь различные фигуры или предметы:

Следующие действия, к которым переходят учащиеся, связаны с нахождением числа в «окошке»:

Во втором классе учащиеся изучают уравнения следующего вида:

11+b=66;

15x+30=12x+42;

 х+2х=8430.

В третьем классе представлены следующие виды уравнений:

(81-46):х=5;

(10-4)+(х+5)-4*2=36:6.

Уравнения четвертого класса отличаются только сложностью их решений. Представим несколько примеров уравнений за четвертый класс:

52х+8+14х+21=237;

2х+33=69-7х;

7=28:(20*у-76);

у-112=184:8.

• Вычислять значение числового выражения (содержащего 2—3 арифметических действия, со скобками и без скобок). Выпускник получит возможность научиться:

• выполнять действия с величинами;

• использовать свойства арифметических действий для удобства вычислений;

47+25=25+47=72

195+32+56=195+(32+56)=195+88=283

57+0=0+57=57

19-0=19

26-26=0

183-(43+19)=183-43-19=140-19=121

• проводить проверку правильности вычислений (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия)[4].

Напрямую с вычислительной культурой связана большая часть предметных результатов обучения математике:

• «использование приобретённых математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также для оценки их количественных отношений»;
• «овладение основами логического и алгоритмического мышления, математической речи, основами счёта, измерения, прикидки результата и его оценки, наглядного представления данных в разной форме (таблицы, схемы, диаграммы), записи и выполнения алгоритмов»;
• «приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач»;
• «умения выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, выполнять и строить алгоритмы и стратегии в игре,  работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, представлять, анализировать и интерпретировать данные»[24 с.18].

Формирование вычислительной культуры младших школьников обеспечивает достижение личностных, метапредметных, предметных (математических) результатов начального образования и вносит свой вклад в математическую культуру учащихся, формирующуюся в рамках культуры достоинства.

1.3 Формирование навыков контроля и самоконтроля как движущих сил качества реализации ФГОС НОО по математике

ФГОС НОО ориентирован на достижение личностных, метапредметных и предметных результатов. Одним из основных видов метапредметных результатов являются регулятивные универсальные учебные действия (УУД). В их состав входят контроль и оценка. Результатом процесса формирования контроля и оценки становится такое качество младшего школьника как контрольно-оценочная самостоятельность.

Под контрольно-оценочной самостоятельностью понимается «готовность личности к инициативным, осознанным, ответственным действиям по осуществлению контроля и оценки своей деятельности» [21, с.56].

Контрольно-оценочная самостоятельность начинает формироваться в младшем школьном возрасте, так как в данный период происходит развитие основного вида деятельности, такого как учебная деятельность.

Формирование контрольно-оценочной деятельности младших школьников включает в себя овладение действиями самоконтроля и самооценки.

Д.Б. Эльконин отмечает, что «рациональнее всего начинать с формирования самостоятельного контроля». Сначала ученики должны научиться контролировать друг друга и самих себя [30].

Обязательным компонентом процесса обучения является контроль и оценка результатов, следовательно, нужно формировать и рассматривать их нужно в комплекте.

Оценка как средство обеспечения качества образования предусматривает участие в оценочной деятельности всех объектов обучения. Оценка своих результатов, формирование навыков рефлексии, самоконтроля, самоанализа, самооценка способствует развитию самосознания, раскрытию готовности к самостоятельным поступкам и действиям, готовности открыто выражать и отстаивать свою позицию, понимание ответственности за их результаты, т.е. помогут усвоить эффективные средства управления своей учебной деятельностью.

Начало школьного обучения и воспитания ребёнка является переломным моментом в его жизни. Внешние признаки переломного момента показывает с её организации, в новых обязанностях ребёнка как ученика.

Однако данный момент имеет более глубокое внутреннее основание - это приход в школу, в такой момент ребёнок начинает осваивать основы более развитых форм общественного сознания - права, науки, искусства, морали. Все это связано с теоретическим мышлением и сознанием людей. Усвоение азов этих форм общественного сознания и соответствующих им духовных образований предполагает выполнение детьми такой деятельности, которая исторически заложена в них человеческой деятельности[18].

В младшем школьном возрасте происходит формирование основных психических процессов, а также качеств личности все это происходит в рамках учебной деятельности как деятельности по самоизменению ребёнка. Именно поэтому стремление учителя начальных классов к развитию у детей способности к самостоятельной организации и регуляции деятельности, прежде всего учебной является закономерным.

Учебная деятельность состоит из пяти последовательных элементов, составляющих ее целостность:

• Учебно-познавательный процесс;
• Целеполагание;
• Учебные действия;
• Действие контроля;
• Действие оценки.

Важным компонентом учебной деятельности ученика является действие самоконтроля, когда получаемые учеником образовательные результаты   рефлексивно выявляются и оцениваются им самим по отношению к индивидуально формулируемым целям. В отличие от контроля, осуществляемого учителем с целью проверки знаний и получения представления о возможности дальнейшего изучения материала, действия самоконтроля должно осуществляться на протяжении формирования, развития становления учебной деятельности[15].

Одной из основных задач ФГОС развитие умения самостоятельно оценивать себя, принимать решения, определять содержание своей деятельности и находить способы ее реализации. Школа должна развивать у  учащихся универсальную интеллектуальную способность человека - самоконтроль.

Самоконтроль - это понятие обязательно входит такой признак, как сопоставление своего действия или его результата с эталоном, то есть образцом. В одних случаях под образцом понимают заданный результат действия, в других – образцом является сам порядок выполнения основного действия, содержание и последовательность его операций. Его назначение заключается в своевременном предотвращении или обнаружении уже совершенных ошибок.

Развивать навык самоконтроля целесообразно начинать с первых дней обучения и проводить эту работу в различных видах учебной деятельности и на различных этапах урока. Систематическая и целенаправленная работа по формированию самоконтроля оказывает положительное влияние на усвоение знаний, умений навыков, предусмотренных программой, стимулирует творческую активность, и самостоятельность мышления во многом определяет как осознанность усвоения программного материала, так и развитие способности к саморегуляции. Особое значение имеет самоконтроль при выполнении самостоятельных работ, так как этапе контроль проводится только самим учащимся. Самостоятельная работа не может быть выполнена без самоконтроля. Учащимся необходимо выполнять самоконтроль на всех этапах выполнения самостоятельной работы, как на уроках, так и дома.

Самоконтроль является составной частью всех видов учебной деятельности. Он включает в себя чувственные, умственные и двигательные компоненты деятельности, позволяющие учащемся на основе поставленной цели, составленного плана или усвоенного образца следить за своими действиями, результатами этих действий и сознательно регулировать их. При этом в ходе самоконтроля оценивается целесообразность и эффективность самого процесса выполнения работы, намеченного плана и уже осуществленного регулирования.

Существует  две  формы  самоконтроля:

1. внешняя (осознаваемая) произвольная;
2. внутренняя (автоматическая) непроизвольная.

Полное  формирование  внутреннего  самоконтроля  в  условиях  школы  затруднительно,  возможно  формирование  только  некоторых  его  элементов. При условии если ученик осуществляет учебные действия,  достаточно быстро извлекает из памяти знание, которое требуется в  той или иной ситуации, и  осознает это, то у него нормально развит механизм самоконтроля.

Так в 1классе дети учатся:

• воспроизводить состав контрольных действий и операций, заданных учителем;
• сравнивать  результат  своей  деятельности  с  образцом,  заданным  в  материальной форме;
• осуществлять самопроверку по плану, включающему 1-2 пункта;
• выполнять действия по развёрнутой инструкции;
• использовать  для  самоконтроля  схемы-модели,  составленные  учителем.

Во 2 классе ученикам предлагается:

• осуществлять самопроверку по плану, включающему 3-4 пункта;
• перечислять последовательность действий и операций контроля;
• выполнят действия по инструкции, в которой  отсутствуют  некоторые  звенья;
• корректировать памятки;
• сравнивать промежуточный результат с эталоном;
• участвовать в коллективно распределительной деятельности по составлению схем, алгоритмов к правилам и определениям.

В 3 классе ученики тренируются в:

• самопроверке по плана с отсутствующими звеньями;
• составлении проверочных заданий для самоконтроля;
• коллективно-распределительном составлении алгоритмов;
• сравнении  результата  деятельности  с  образцом,  заданным  через  систему  условий;
• составлении модели значимых условий деятельности под руководством учителя;
• выполнении действий по инструкции с ограничениями.

В 4 классе школьники упражняются в:

• выполнении действий по общим инструкциям;
• определении состава действий и операций предстоящей деятельности с анализом субъектных трудностей;
• сличении результата деятельности с образцом на основе самостоятель о прогнозируемых условий эффективности;
• целенаправленной  разработке  общего  способа  контроля  всех  подобных  задач  под  руководством  педагога;
• самопроверке  по  плану  с  отсутствующими  (неопределёнными)  звеньями.

А так же существует несколько видов самоконтроля:

1)Предварительный;

Цель: проверяет уровень готовности к выполнению заданий, к  решению  задач.

Приёмы  предварительного  самоконтроля.

• «Ориентировка»:

«Выполни  деление  и  проверь  2972  :  4»

-  Сможете  ли  вы  выполнить  письменное  деление?;

-В  чем  заключается  трудность?;

-С  чего  начнете?;

-Из  каких  этапов  будет  состоять  работа?;

-Как  вы  сможете  себя  проверить?  (Полученное  частное  умножу  на  делитель);

-Составьте  алгоритм  своей  работы.

• «Самоинструктаж  или  взаимоинструктаж»:

• Подумайте,  как  можно  решить  задачу?;
• Составьте  план  решения  задачи.

• «Фиксирование  ошибочного  действия»:

• Например,  на  этапе  выделения  затруднения  в  делении  вида,  когда  в  записи  частного  на  конце  или  в  середине  встречаются  нули;

1850:  5  =  370  и  5648  :8=706

• Определите , пункты алгоритма, которые требуют особого внимания  –  «ловушку»  (определяю  количество  цифр  в  записи  частного,  ставлю  точки,  чтобы  не  потерять  нули  в  записи  частного).

2)Процессуальны.

Цель:  осуществляет  пошаговый  контроль  процесса  выполнения  устной  и  письменной  работы.

Приёмы  процессуального  контроля.

Контроль  в  процессе  выполнения  устной  и  письменной  работы  должна  сопровождать  оценка.  Ученик  все  время  сверяет  результат  и  действия  с  эталоном,  и  это  входит  в  привычку.

• «Проговаривание  в  устной  форме».

Чаще  всего  используется  такой  прием:  когда  один  или  несколько  учеников  выполняют  действия  по  алгоритму  (схеме,  памятке),  а  остальные  контролируют  работу,  производя  попутно  оценку  каждой  операции.

Критерии оценки: «правильно» +, «не совсем  правильно»?, «неправильно»  -

Так постепенно учащиеся осваивают образцы действий и эталоны ответов

• Один объясняет, другой комментирует – верно или неверно выполнено действие (в т.  ч.  комментирование  цепочкой).

• Определи  заранее,  сколько  цифр  должно  получиться  в  записи  частного,  и  выполни  деление.

                                            6336  :  2

                                            6336  :  9

• «Составление  плана  действий»:

• Найди  пропущенное  число;

                                    󠇯:  6  =2870  (ост.5)

• умножу  частное  на  делитель;
• к  полученному  произведению  прибавлю  остаток;

3)Итоговый.

Цель: контроль,  планируемых  результатов  изучения  темы

или  контроль  полученного  результата  (по  завершению  задания)

Приёмы  итогового  контроля  или  контроль  по  результату

(по  завершению  задания).

Главное: вновь вернуться к цели, к задаче, которую решали!

• Вернуться  к  вопросам:

• Задание:  выполни  деление  с  остатком  и  сделай  проверку  611:7;
• Цель: потренироваться в делении с остатком столбиком, поупражняться в самоконтроле деления с остатком.
• Предварительный контроль:

-Над  чем  будем  работать?

-Что  нужно  сделать?

-Как  это  сделаем?

• Итоговый  контроль  после  выполнения  задания:

-Над  чем  работали?

-Что  надо  было  сделать?

-Как  это  сделали?

Критерии оценки: «правильно» «+», «не совсем правильно» «?», «неправильно» «-».

Мы представили традиционный для современной начальной школы содержательно-методический аспект формирования навыков контроля и самоконтроля, которые, на наш взгляд, будут способствовать развитию вычислительных навыков в пределах четырёх арифметических действий в соответствии с требованиями ФГОС НОО по математике.

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

2.1  Методика формирования первоначальных вычислительных навыков

Формирование вычислительных навыков остается одной из главных задач обучения математики, так как вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении. Эти навыки должны формироваться осознано и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс обучения математике, предусматривает формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений.

Невысокий уровень вычислительных навыков сказывается на качестве обучения и уровне математических знаний учащихся в целом. Именно поэтому впервые годы обучения закладываются основные приемы вычислительных навыков, которые активируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, повышают внимание и быстроту реакции, например, прием округления при сложении и вычитание в пределах второго десятка с переходом через десяток[13].

Вычислительные навыки успешно формируются у учащихся при создании в учебном процессе определенных условий. Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научится достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть.

Все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических приемов. Это – реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Вычислительные навыки характеризуются свёрнутым в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка:

• Таблицу сложения ( вычитания) в пределах 20;
• Таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и составные случаи вычитания;
• Таблицу умножения и соответствующие случаи деления.

Усвоение этих таблиц должно быть доведено до автоматизма.

Можно выделить 3 подхода к формированию вычислительных навыков:

1. Можно просто выучить таблицы сложения, умножения и соответствующие случаи деления и вычитания; закрепить их в процессе решения примеров, так как сами предоставляют собой таблицу, только в разбивку. Познавательная деятельность учащихся характеризуется активной работой памяти и напряжением произвольного внимания;
2. При втором подходе учащиеся знакомятся с различными вычислительными приёмами, самостоятельно составляют таблицы и непроизвольно запоминают их в процессе выполнения различных вычислительных упражнений;
3. Третий подход отличается от второго тем, что в определенный момент, после использования предметных действий и различных вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание. Усвоение вычислительных навыков предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное запоминание в процессе специально организованной деятельности[31].  

 Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить на 7 этапов. Проиллюстрируем их в порядке следования ы учебниках математики первого класса и в программных уровнях усвоения.

• Навык прибавления числа 1 (получение последующего числа), вычитания числа 1 (получение предыдущего числа). Уже при изучении этих видов примеров применение счетных палочек недопустимо.

• Умение прибавления, вычитания числа 2 (получение дважды последующего или предыдущего числа). Прибавление и вычитание происходит по частям.

Очень важно, что бы дети присчитывали (+2) или отсчитывали (-2), но не пересчитывали. Это умение важно перевести в навык по средствам выполнения «прыжка» через 1 число.

• Навык прибавления, вычитания числа 3 по частям:

• Прибавление и вычитание 4 по частям:

• Переместительное свойство сложения:

• Умение прибавить 6,7,8- на основе переместительного свойства:

• Умение вычитать 6,7,8 по частям.

Контрольная работа проводится в 2  этапа и выполняется в течение двух дней: 1 этап - проверка навыка сложения и вычитания в пределах первого десятка, 2 этап - решение задач, неравенств и т.д.

Табличные случаи сложения и вычитания в пределах второго десятка учащихся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный, длительный  и очень значимый для развития культуры сложения и вычитания процесс, в котором выделяют 9 этапов. Представим их в традиционной системе.

1. Устная и письменная нумерация чисел второго десятка:

• Образование чисел второго десятка;
• Десятичный состав чисел второго десятка;

2.Графическое изображение чисел второго десятка:

 (1 десяток)           ( 11)

Графическое изображение чисел второго десятка позволяет детям понять операции сложения и вычитания с опорой на десятичный состав чисел.

3. Процесс формирования вычислительных навыков на десятичном составе чисел второго десятка.

    +    =  

4.Сложение однозначных чисел с переходом через десяток:

Прибавляем по частям: сначала первое слагаемое дополняем до 10, а затем прибавляем оставшиеся единицы.

5. Вычитание однозначного числа из чисел второго десятка:

                Вычитание по частям: сначала вычитаем все единицы, чтобы осталось  только 10,затем вычитаем оставшиеся единицы.

6. Изучение состава чисел второго десятка:

При изучении чисел их состав упрощается, количество пар чисел становится все меньше и меньше.

7. Умение складывать и вычитать числа второго десятка переходит в навык. На основе знания состава чисел второго десятка все вычисления производятся автоматизировано в течении 4 секунд:

8. Контрольно-оценочная деятельность по второму десятку:

• Устные математические диктанты с применением сигнальных блокнотов;
• Письменные математические диктанты 2 видов:

- проверка знания состава чисел второго десятка (учитель называет первое слагаемое, учащиеся дополняют его в данном случае до 12, опираясь на состав числа 12):

Нужно не забывать ставить точку на местах отсутствия ответов учеников.

- проверка усвоения состава нескольких чисел второго десятка.

9. Итоговая форма контрольно-оценочной деятельности по окончанию изучения чисел второго десятка.

Содержание диктанта единое. Примеры на сложение и вычитание с опорой на всех чисел второго десятка, однако, даны в разном порядке следования.

На основе примерно половины пар состава чисел второго десятка формируются примеры на сложение и вычитание вперемешку.

 Представим фоновые предметные компетенции, на которых базируется навык сложения и вычитания в пределах второго десятка:

• Обеспечивают формирование умений складывать и вычитать:

      1. Десятичный состав чисел второго десятка, переведенный в навык;

      2. Состав чисел первого десятка, переведенный в навык;

• Обеспечивают навык сложения и вычитания чисел:

      3. Состав чисел второго десятка.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия.

Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения.

Рациональность – ученик выбирает для данного случая более рациональный приём.

Обобщенность – ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев.

Автоматизм – ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций. Высокая степень автоматизма должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Критерии по уровням сформированности вычислительного навыка представлены в приложении А.

2.2 Устные и письменные приёмы сложения и вычитания многозначных чисел

Изучение нумерации многозначных чисел и действий над ними выделяется в особый концентр, так как нумерация чисел за приделами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются и записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие касса. Задача изучения многозначных чисел состоит в том, что бы расширить у учащихся начальных классов знания десятичной системы счисления, структуры многозначного числа, натуральной последовательности чисел и на этой основе сформировать у детей умение правильно считать и записывать многозначные числа в пределах класса миллионов. К изучению данной темы ученики приступают с хорошим знанием нумерации трехзначных чисел, т.е. чисел первого класса. Это знание и лежит в основе изучения нумерации чисел класса тысяч. При изучении учащимися тем «Тысяча» и «Многозначные числа» основное значение имеет работа над формированием навыков письменных вычислений. Однако при этом предполагается, что параллельно с рассмотрением приемов письменного выполнения арифметических действий все время будет совершенствоваться и умение выполнять устные вычисления с числами в пределах 100 [32].

При раскрытии способов письменного выполнения сложения и вычитания, как и для приемов устных вычислений, предусмотрено осознание учащимися смысла выполняемых операций, их последовательности, доступное их обоснование.  При всем этом должна строится конечная цель, состоящая в выработке определенного автоматизма в письменных вычислениях.

Многими программами начального общего образования предусмотрено ознакомление учащихся с нумерацией и действиями над многозначными числами в пределах класса миллионов. Это обусловлено ограничениями, оговоренными в пояснительных записках, подавляющие большинство тренировочных упражнений включает в себя лишь те числа, которые не выходят за пределы миллиона.

Параллельно с работой над письменными вычислениями обобщаются и углубляются знания детей о самих действиях, их свойствах, а так же вводятся некоторые новые свойства. Обобщение и углубление соответствующих знаний происходят на прочной основе наблюдений, систематически проводимых в течение четырех лет начального обучения. Все эти знания, как подчеркивается в пояснительных записках к программам, используется для рационализации вычислений.

Также в неразрывной связи с изучением арифметических действий ведется работа, направленная на формирование понятий выражения, равенства  и неравенства. Числовые выражения, равенства и неравенства впервые встречаются уже на первых уроках обучения математике и затем систематически, из урока в урок, работа над ними продолжается. Она предполагает постепенное усложнение материала за счет усложнения структуры рассматриваемых выражений и усложнения видов заданий, связанных с приобретенными детьми ранее знаний. Эта система проиллюстрирована в тексте программ отдельными, наиболее типичными примерами. Так, в теме «Сотня» приведены примеры, предназначенные для сравнения выражения вида:

Помимо задачи формирования понятий о выражении, равенстве и неравенстве, соответствующие упражнения служат для закрепления как вычислительных навыков, так и тех элементов арифметической теории, которые рассматривались при изучении действий.

В программе Моро М.И. уделяется особое внимание формированию осознанных и прочных, во много доведенных до автоматизма навыков вычислений.

Формирование понятий арифметических действий начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов.

При изучении письменных приемов выполнения сложения и вычитания важное значение придается алгоритмизации. Все объяснения даются в виде четко сформулированной последовательности шагов, которые должны быть выполнены. Так при рассмотрении каждого алгоритма сложения и вычитания четко выделены основные этапы, план рассуждений, подлежащие усвоению каждым учеником. Это способствует правильной организации процесса формирования вычислительных умений. В этом процессе осуществляется своевременных переход от подробного объяснения каждого шага рассуждений к постепенному свертыванию объяснений, когда выделяются основные элементы алгоритма[23].

Особое внимание уделяется рассмотрение правил о порядке выполнения арифметических действий. Эти правила вводятся постепенно, начиная с первого класса.

В методике обучения математике в начальной школе автора Белошистая А.В. даны следующие вычислительные приемы для чисел первой тысячи[5].

В концентре «Тысяча» используются устные и письменные приемы вычислений. В основе формирования вычислительной деятельности учащихся в пределах первой тысячи лежат закономерности, законы и правила арифметических действий. Назовем основные из них.

1. Принцип построений натурального ряда. Используется для случаев, позволяющих опирается на прием присчитывания и отсчитывания на 1.

Например:

2. Разрядный и десятичный состав трехзначных чисел является основой для выполнения действий сложения и вычитания целыми разрядами.

Например:

3.  Представим правила арифметических действий, с которыми дети знакомились в концентре «Сотня».

а) Перестановка слагаемых:

                б) Группировка слагаемых:

в) Правило прибавления числа к сумме:

               г) Правило прибавления суммы к числу:

    д) Правило прибавления суммы к сумме является основой письменного алгоритма вычислений, активно используется при вычислениях в пределах первой тысячи: сотни складываются с сотнями, десятки складываются с десятками, единицы – с единицами.

е) Соответствующее правило используется для вычитания: вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа, вычитание суммы из суммы.

В методике изучения  устных и письменных приемов вычислений в первой тысяче много схожего с методикой работы над аналогичной темой в концентре «Сотня».

Представим устные приемы сложения и вычитания в пределах первой тысячи видами примеров.

1. Нумерационные случаи.

а) Случаи вида:

При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел.

    б) Случаи вида:

          При выполнении данного вида вычислений ребенок должен знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе.

2. Сложение и вычитаний целых сотен.

Сложение и вычитание вида:

является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в пределах 1000. Для усвоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав трехзначного числа.

3. Сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям  в пределах тысячи.

К этим случаям относятся вычитания вида:

При вычитании используется знания десятичного состава трехзначных чисел.

4.  Сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям в пределах 100.

К этим случаям относятся вычисления вида:    Вычисления могут даваться двумя способами:

  а) на основе знания десятичного состава трехзначных чисел данные выражения вида;

45дес.+30дес. и 45дес.-30дес. – в этом случае вычисления в пределах 1000 заменяются уже знакомыми приемами вычислений в пределах 100.

  б) могут быть использованы правила прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы.

Аналогичным образом используется прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа, прибавление суммы к сумме.

         В основе всех случаев лежит хорошее знание разрядного состава трехзначных чисел и умение выполнять устные вычисления в пределах 10,20 и 100.

При письменном сложении многозначных чисел в основе всех действий учащихся лежит алгоритм сложения, представленный ниже.

1.Записывать второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

 2. Складывать цифры (этот термин используется для краткости, вообще здесь говорится об однозначном числе, обозначаемом цифрой) разряда единиц. Если сумма меньше 10, ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду.

3. Если сумма цифр единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде: 10+С0, где С0 – однозначное число; записывают С0 в разряде единиц ответа и прибавляют 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс сложения заканчивается тогда, когда произведено сложение цифр старших разрядов.

Проиллюстрируем алгоритм вычитания многозначных чисел на примере действий с двузначными числами:

1) записывают вычитаемое bn под уменьшаемым an так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

          2) если цифра в разряде единиц вычитаемого не переходит соответствующей цифры уменьшаемого, то ее вычитают из соответствующей цифры уменьшаемого, после чего переходят к следующему разряду;

          3) если цифра в разряде единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, т.е. ann, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшают цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличивают цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитают из 10+an число bn и записывают результат в разряде единиц разности. Далее переходят к следующему разряду;

4) если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разделе десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берут первую, отличную от нуля, цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц – на 10, вычитают bn из 10+an, записывают результат в разряде единиц разности и переходят к следующему разряду;

5) в следующем разряде описанный алгоритм повторяется;

6) процесс вычитания заканчивается тогда, когда произведено вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Конечно, младшие школьники не способны усвоить весь алгоритм письменного сложения и вычитания.

По программе Н.Б. Истоминой в качестве математической основы разъяснения смысла сложения, выступает теоретико-множественная трактовка суммы как объединение множеств, не имеющих общих элементов. Она легко переводится на язык предметных действий, что позволяет при формировании представлений о смысле сложения описаться на опыт детей, активно используя счет и операции присчитывания и отсчитывания. Для разъяснения смысла сложения используется идея соответствия предметного действия его словесному описанию и математической записи, которые интерпретируются на числовом луче. Для чтения математических записей вводится терминология: выражения, равенство и неравенство, слагаемые, значение суммы, употребление которой позволяет исключить термин примеры.

При выполнении действий сложения и вычитания многозначных чисел необходимо правильно подписать компоненты этих действий для письменного сложения и вычитания. Далее учащиеся применяют навыки сложения и вычитания чисел в пределах первого и второго десятков. Таким образом, мы показали, что успех развития навыков письменного сложения и вычитания многозначных чисел зависит от качества изучения первого и второго десятков в аспекте формирования навыков сложения и вычитания.

2.3 Умножение и деление многозначных чисел в аспекте программных требований

Обучение умножению и делению многозначных чисел включает в себя рассматривание различных случаев  умножения и деления в определенной последовательности.

I этап:

1. Умножение на однозначное число;
2. Деление на однозначное число.

II этап:

3. Умножение числа на произведение;
4. Умножение чисел оканчивающихся нулями;
5. Деление числа на произведение;
6. Деление чисел оканчивающихся нулями.

III этап:

7. Умножение на двузначное и трёхзначное число;
8. Деление на двузначное и трёхзначное число.

Пропедевтика письменного умножения («в столбик») осуществляется ещё в период внетабличного умножения в пределах ста. Там дети впервые мотивируются на использование такого приёма и получают представление об алгоритме и объяснение тому, что письменное умножение начинают с единиц. Приёмы умножения и деления системно изучают уже в конце 3-го класса. При этом постоянно ведётся работа по закреплению знаний и навыков, являющихся опорными для успешного освоения письменного умножения и деления.

Письменное умножение опирается на:

- запись числа в десятичной системе счисления;

- таблицу умножения однозначных чисел;

- таблицу сложения однозначных чисел;

- законы сложения и умножения.

Младшие школьники знакомятся с алгоритмом письменного умножения после изучения всех названных понятий. Для умножения любого многозначного числа на однозначное с помощью устных вычислений, учащиеся применяют знание разрядного состава числа и свойство умножения суммы на число. При выполнении вычислений для случая с переходом через разряд возникает необходимость фиксировать результаты в том или ином виде:

 Для более сложных случаев сложения промежуточных результатов выполняется умножение «в столбик».

Это затрудняет вычислительную задачу, именно поэтому возникает необходимость познакомить детей с алгоритмом письменного умножения, или с умножением «в столбик». Учащиеся с трудом воспринимают взаимосвязь устного и письменного вычисления. Для этого необходимо сопоставлять запись в строчку и «в столбик».

Например:

При знакомстве учащихся с записью умножения «в столбик» полезно обратить внимание на то, что при умножении, также как при сложении, второе число (множитель) записывается под первым, так чтобы его разряды были под соответствующем разрядами первого множителя.

Объясняя учащимся механизм умножения «в столбик», следует подчеркнуть, что:

1)умножение, также как и сложение, начинается с единиц низшего (первого) разряда;

2)записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывая под соответствующим ему разрядом.

Например: приступая к умножению чисел 426 и 3, важно прежде всего выполнить правильную запись «в столбик» (второй множитель содержит 3 единицы,  значит, цифру 3 нужно записать под разрядом единиц первого множителя).

Далее следует обратить внимание на то, что умножение начинаем с единиц низшего разряда.

18 – это 1 дес. и 8 ед.                  

Но так как в разряде единиц можно записать только цифру, обозначающую единицы, то пишем в разряде единиц 8, а 1 дес. запоминаем.

После объяснения алгоритма умножения на однозначное число не следует сразу приступать к выполнению умножения «в столик», отрабатывая различные частные случаи умножения на однозначное число, то есть умножение трехзначного числа на однозначное, четырехзначного числа на однозначное, случаи, когда в первом множителе есть нуль в средине или на конце.

Алгоритм письменного умножения на однозначное число – основа овладения учащимися алгоритмов письменного умножения на двузначное и трехзначное число. Для этого показывается пример, где второй множитель (двузначное число) представляется в виде суммы разрядных слагаемых:

Пользуясь алгоритмом умножения на однозначное число, учащиеся вычисляют первое и второе произведение, затем складывают полученные результаты. Далее учитель показывает более компактную запись выражения, для этого используется запись «в столбик» умножения на двузначное число.

Комментируя действия, связанные с выполнением записи «в столбик», целесообразно ввести понятия: первое неполное произведение (получается при умножении данного числа на число, обозначенное цифрой, стоящей в разряде единиц второго множителя), второе неполное произведение (получается при умножении данного числа на число, обозначенное цифрой, стоящей в разряде десятков второго множителя).

Для осознанного  усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, необходимо предложить детям сравнить и проанализировать такие записи как:

В результате такого анализа делается вывод о том, какая запись неверная, какая – верная и какой из верных записей удобнее пользоваться.

Алгоритм умножения на трехзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число.

Приёмы умножения и деления сильно разнятся и поэтому изучаются параллельно. Это благоприятно для усвоения особенностей каждого действия и их взаимосвязи, придаёт разнообразие урокам. Отметим, что случаи с нулями на конце являются частными и изучаются вслед за общими. Обучение проходит в следующем порядке: подготовительная работа, ознакомление, формирование навыка.

Письменные приёмы деления опираются на следующие фоновые предметные компетенции:

- алгоритм деления с остатком;

- взаимосвязи умножения и деления;

- табличное умножение и деление;

- табличное сложение и вычитание;

- свойство деления суммы на число;

- разрядный состав чисел.

Письменное деление рассматривается как деление с остатком. Поэтому сознательное овладение алгоритмом письменного деления во многом зависит от умения находить остаток при делении одного числа на другое. Основа этого умения – осознание взаимосвязи между делимым, делителем, неполным частным и остатком, которая находит  выражение в равенствах:

где a - делимое,  b – делитель,  q – неполное частное, r – остаток. Эта связь лучше осознается учащимися в том случае, когда они выполняют деление с остатком, используя способ подбора, позволяющий сконцентрировать внимание на взаимосвязи умножения и деления, на способе нахождения остатка и на том, что остаток должен быть меньше делителя.

Помимо деления с остатком как одной из основных операций письменного деления, для успешного овладения алгоритмом ученики должны усвоить разрядный и десятичный состав числа, взаимосвязь умножения и деления.

Формирование навыков письменного деления зависит не только от усвоения ими математических понятий способов действий, лежащих в основе алгоритма, но и от того как будет построен процесс изучения нового способа действия.

В методике начального обучения математике нашли отражение различные подходы к организации деятельности учащихся, нацеленной на овладение алгоритмом письменного деления.

Возможен, например, подход, при котором последовательно рассматриваются различные частные случаи деления чисел. Так, при делении на однозначное число сначала рассматривается случай, когда первое неполное делимое выражается однозначным числом, обозначающим количество сотен:

затем отрабатывается умение делить числа для случая, когда первое неполное делимое — двузначное число, обозначающее количество десятков (376:4) или сотен (1984:8).

Далее отрабатывается умение делить числа для случаев, когда в частном отсутствуют единицы какого-либо разряда.

После этого — случай деления с остатком, затем — случай деления чисел, оканчивающихся нулями:

Отдельно отрабатывается умение делить на двузначные и трехзначные числа.

При этом сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное число; затем, когда в частном получается двузначное число; потом случай деления на двузначное число с остатком; затем деление на двузначное число, когда в частном получается трехзначное число, в котором отсутствуют единицы одного разряда. При делении на трехзначное число сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное число, затем, когда в частном получается двузначное число.

Таким образом, при данном подходе выделяются 12 частных случаев, каждый из которых рассматривается по определенному плану:

1) комментируется (объясняется) образец записи деления;

2) пользуясь образцом, учащиеся решают аналогичные примеры (закрепляют данный случай деления);

3) выполняются упражнения, включающие решение примеров, как нового случая деления, так и ранее рассмотренных.

Мы представили устные и письменные приёмы умножения и деления многозначных чисел и показали, что устные приёмы этих действий строятся на табличных навыках умножения и деления.  При изучении внетабличного умножения и деления наибольшую сложность представляет деление на двузначное и трёхзначное числа, т.к. алгоритм выполнения этого действия строится на более сложных дополнительных навыках, которыми нередко обучающиеся недостаточно овладевают. И тем не менее к высокому уровню формирования этих умений необходимо стремиться, т.к. от уровня его сформированности зависит успех нахождения значений числовых выражений, решения задач и уравнений в процессе изучения математики.

2.4 Реализация внутрипредметных связей в процессе развития вычислительной культуры младших школьников

Возможность установления внутрипредметных связей вытекает из того, что вычислительный аспект можно выделить почти во всех основных содержательных линиях начального курса математики, таких как: «Числа», «Величины», «Арифметический действия».

Начальное обучение математике закладывает основы для формирования приёмов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определённые обобщённые знания и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться.

Усвоенные в начальном курсе математики знания и способы действий необходимы не только для дальнейшего успешного изучения математики и других школьных дисциплин, но и для решения многих практических задач во взрослой жизни.

Хотелось бы отметить что, методика обучения умножению и делению многозначных чисел строится на следующих фоновых предметных компетенциях:

• законы сложении и умножения;
• деление двузначного числа на однозначное;
• алгоритм деления с остатком;
•  взаимосвязи умножения и деления;
•  табличное умножение и деление;
•  табличное сложение и вычитание;
•  свойство деления суммы на число;
•  разрядный состав чисел;
• запись числа в десятичной системе счисления;
• таблицу умножения однозначных чисел;
• таблицу сложения однозначных чисел.

В то время как методика сложения и вычитания строится на таких фоновых предметных компетенциях как:

• навык сложения и вычитания в пределах первого десятка;
• навык сложения и вычитания в пределах второго десятка.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что методики обучения сложению и вычитанию, а так же умножению и делению имеют между собой тесную взаимосвязь.

Так как невозможно начать обучение сложению и вычитанию, не имея навыка сложения и вычитания в пределах первого и второго десятков, а научить младших школьников, которые не имеют навыка сложения и вычитания, умножению и делению также невозможно, так как в процессе выполнения этих действий обойтись без применения этих навыков невозможно. Именно поэтому основы формирования вычислительной культуры относительно применения навыков сложения и вычитания в пределах первого и второго десятков закладывается в первом классе, а относительно применения навыков табличного умножения и деления – во втором. Процесс формирования вычислительной культуры у детей с несформированными базовыми навыками не может быть результативным ни по скорости, ни по качеству производимых вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одной из главных задач обучения математике является формирование у младших школьников вычислительной культуры. Основной этап обучения приходится на первые 5-6 лет обучения. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Проблема формирования у учащихся вычислительной культуры всегда привлекала особое внимание психологов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой и  многих других.

В ходе изучения были поставлены и достигнуты следующие цели и задачи:

Цель: изучить содержательно-методическую основу повышения качества математической подготовки младших школьников в аспекте развития вычислительной культуры в соответствии с требованиями ФГОС НОО.

Задачи:

• Изучить составляющие математической подготовки младших школьников  в содержании ФГОС;  
• Рассмотреть требования  ФГОС НОО в аспекте формирования вычислительной культуры младших школьников;
• Представить компоненты качества реализации культуры вычисления в программах начального курса математики;
• Изучить методику формирования первоначальных вычислительных навыков;
• Исследовать устные и письменные приёмы сложения и вычитания, умножения и деления многозначных чисел;
• Исследовать внутрипредметные связи в аспекте развития вычислительной культуры младших школьников.

В ходе анализа научной, методической, периодической литературы по теме исследования были выявлены следующие проблемы (затруднения) учащихся:

• переход от развернуто записи к краткой;
• объединение двух множеств, предметов;
• формулирование свойств арифметических действий;
• вычислениях с переходом через разряд;
• в запоминании алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления;
• понимания взаимосвязей между компонентами и результатами сложения, вычитания, умножения и деления.

В ходе выполнения данной работы можно сделать вывод, что процесс формирования вычислительной культуры является сложным и достаточно длинным процессом. Так как большинство работы опирается на понимание и запоминание материала, но не всем младшим школьникам усваивается легко. Основная трудность располагается в большом объеме материала, который детям следует заучивать наизусть. Из-за возникающих трудностей, а также из-за использования детьми новых технологий, учителям приходится больше времени уделять на одну тему, или же возвращаться к повторению изученного ранее материала.

Век компьютерных технологий усложняет процесс изучения математики младшими школьниками, так как они и их родители не считают важным достаточно прочно и хорошо изучать математику, в том числе и намного меньше обращая внимания на вычислительные навыки. Они не видят взаимосвязи вычислительной культуры с жизнью, так как в нужный момент они могут воспользоваться компьютерной техникой, не осмысливая всю сущность выполненных операций.

Так в начальном курсе обучения математики важную роль играют вычислительные навыки, впоследствии, их несформированности возникают проблемы в обучении и в других школьных предметах. Потому что ни один пример, ни одну задачу по математике, физики, химии, черчению или иного предмета изучения нельзя решить, не обладая вычислительными навыками.

Математическому развитию уделяется много внимания не только со стороны ученых и методистов, но и со стороны государства  РФ отмечена приоритетность математического образования в указе Президента Российской Федерации от 7 мая 2012года № 599. Данное внимание очень важно, так как проблема вычислительной культуры является одной из важнейших проблем развития математических умений и навыков.

Из этого следует, что формирование вычислительной культуры требует еще большего изучения и совершенствования,  как методической базы, так и теоретической.

Для наиболее лучшего результата усвоения младшими школьниками вычислительной культуры следует применять разнообразные приемы, обеспечивающие развитие памяти и мышления учащихся и способствующие укрепления базы усвоения новых знаний. Повышение уровня вычислительной культуры и способствует развитию основных психических функций младших школьников.

В данной работе рассмотрены понятия математических навыков, устные упражнения, выделены требования, предъявляемые к вычислительным умениям учащихся. 

Таким образом, в нашей работе, систематизирована и обобщена методология формирования у учащихся начальной школы вычислительных навыков на уроках математики и отработана методика повышения вычислительной культуры учащихся, с помощью, представленных в работе методических примеров.

А также в приложениях представлены конспекты уроков по математики начальной школы по тем темам, которые помогают повысить вычислительную культуру младших школьников.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Указ Президента РФ от 7 мая 2012 г. N 599 "О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки".
2. Концепция развития математического образования в Российской Федерации (утв. распоряжением Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. N 2506-р)
3. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / Министерство образования и науки РФ – 4-е изд.,перераб. – М. : Просвещение, 2016 – 53с. (Стандарты второго поколения). – ISBN 978-5-09-043426-3.
4. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И.Моро, А.М. Пышкало. — М.:Педагогика, 2015. — 248 с.
5. Белошистая А.В. Методика преподавания математики в начальной - М.: Владос, 2016. - 455с.
6. Деменева И.А., Красных О.А. Механизм разработки программы «Система оценки достижения планируемых результатов освоения основной образовательной программы» в условиях перехода на ФГОС НОО // – 2012. – № 3. стр.25.
7. Демидова, Т.Е. Математика 3 кл.: учеб.для организаций осуществляющих образовательную деятельность. В 3ч. Ч.1. / Т.Е. Демидова, С.А.Козлова, А.П.Тонких. – Изд. 3-е, исп. – М.: Баласс,  2016. – 96с.: ил.(« Оразовательная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-581-1 Д30
8. Дубровина И.В. Возрастная и педагогическая психология: Хрестоматия: Учебное пособие для студ. пед. учеб.заведений / И.В. Дубровина, А.М. Прихожан, В.В. Зацепин. // М.: «Академия», 1998. – с.488
9. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – 3-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия» , 2002. – 288с.
10. Истомина Н.Б. Математика: учебник для 4 класса общеобразовательных учреждений. В двух частях. Часть 1. – Смоленск: Ассоциация XXI век.2012. – 120 с.
11. Истомина Н.Б., Горина О.П., Редько З.Б. Уроки математики. 4 класс. Содержание курса. Планирование уроков. Методические рекомендации:  Пособие для учителя. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2014. – 264 с.
12. Лавлинская, Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по системе общего развития Занкова Л.В. – В.: Панорама, 2015. с.176.
13. Ларина А. Б. Структура и функции познавательной самооценки младшего школьника // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Филология, педагогика, психология. – 2010. – № 11.
14. М-34. Математика 2класс. Учеб.пособие для общеобразават.учереждений с прил. на электрон.носителе В 2ч. Ч.1 ([М.И. Морро, М.А.Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.]. – 6-е. изд. - М. : Просвещение, 2015 – 96с.ил. (Школа России), - ISBN 978-5-090282-97-0
15.  Математика. 4 класс. Учеб.для общеобразоват. Ораганизаций с прил. на электрон. носителе. В 2ч. Ч.2 / Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова Т.Б. Бука – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2015.-128с.: ил.-(Перспектива) – ISBN 978-5-09-034952-9 Д69
16.  Пакет психологической и предметной диагностики по математике.1 класс // Томск: Пеленг, 1995. – 72 с.
17. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации - М.: Баласс, 2014. - 397с
18.  Планируемые результаты начального общего образования / ред. Г.С. Ковалевой, О.Б. Логиновой // М.: Просвещение, 2011.
19. Поливанова К.Н. Психологические формирования действия контроля учебной деятельности // Новые исследования в психологии. – 1983. – № 1. – С. 65-68.
20. Пособие для учителя. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1978 – 336с.: ил.  
21. Тематическое планирование по системе Занкова Л.В. с учетом новейших требований. Русский язык, математика. 1-4 классы / сост. Кротова Л.А. // Волгоград: ИТД «Корифей», 2006. – 128 с.
22. Учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ. (спец. № 2001) — Под ред. М.А. Бантовой. — 3-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1984. — 335 с.: ил.
23. Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям.//Начальная школа.-2003.-№10-с.66-69
24. Фатуллаева А.Т. Факторы, влияющие на развитие самооценки в младшем школьном возрасте // Ученые записки университета им. П.Ф. Лесгафта. – 2009. – № 9.
25. Чекин А.Л. Математика: 1кл.: Учебник: В 2ч./А.Л.Чекин; под ред. Р.Г. Чураковой – 5-е изд. –М.: Академкнига / Учебник, 2017- Ч.2.: 96с.
26. Чекин А.Л. Математика: 4кл.: Учебник: В 2ч./А.Л.Чекин; под ред. Р.Г. Чураковой – 5-е изд. –М.: Академкнига / Учебник, 2017- Ч.1.: 160с.
27. Чекин А.Л. Математика: 4кл.: Учебник: В 2ч./А.Л.Чекин; под ред. Р.Г. Чураковой – 5-е изд. –М.: Академкнига / Учебник, 2017- Ч.2.: 160с.
28. Эльконин Д.Б., Островерх О.С. и др. Формирование индивидуального учебного действия младшего школьника // «Завуч». –2002. – № 6.
29.  Журнал «Начальная школа» 2017. №2. стр. 44 «Вычислительная культура младших школьников» Ивашкова О.А.
30.  Социальная сеть работников образования [Электронный ресурс] https://nsportal.ru/nachalnayashkola/matematika/2014/02/12/formirovanie-vychislitelnykh-umeniyinavykov ( дата обращения9.03.18 статья по теме: Формирование вычислительных умений и навыков, дата публикации 12.02.2014 в 11.28 Иванова Валентина Александровна)
31. Интернет журнал СахГУ[Электронный ресурс] Ильина, О. Н. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьков в современных условиях // Интернет журнал СахГУ «Наука, образование, общество». 2016.  3 февраля. URL статьи: http://journal.sakhgu.ru (дата обращения 4.02.18)
32. [ Электронный ресурс].КиберЛенинка: https://cyberleninka.ru/article/n/vychislitelnaya kultura mladshih shkolnikov mezhdistsiplinarnyy podhod.(дата обращения 18.09.18)
33. [Электронный ресурс].URL: http://nauka-pedagogika.com/pedagogika-13-00-02/dissertaciya-uchebnye-zadachi-kak-sredstvo-formirovaniya-otsenochnoy-samostoyatelnosti-mladshih-shkolnikov-v-protsesse-obucheniya-mate#ixzz4i3XhIyrn (дата обращения: 23.10.2016).

ПРИЛОЖЕНИЕ А

КРИТЕРИИ УРОВНЕЙ СФОРМИРОВАННОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО НАВЫКА

Приложение Б

КОНСПЕКТ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ

Тема «Приём письменного умножения на однозначное число»

Класс: 3.     УМК: Школа России.

Цели деятельности учителя: ознакомление с приемом письменного умножения трёхзначного числа на однозначное без перехода через разряд в столбик.

Планируемые результаты:

Предметные:

• Знать разные способы записи умножения;
• Знать наиболее удобный способ записи умножения;
• Уметь выполнять умножение трехзначного числа на однозначное в столбик; 
• Уметь составлять верные равенства с помощью знаков действий, решать задачу.

Личностные:

• Осознавать свои трудности и стремится к их преодолению;
• Проводить самооценку своей деятельности;
• Устанавливать связь между целью учебной деятельностью и её мотивом.

Тип урока: «Открытие» нового знания

Оборудование: УМК Школа России – учебник М. И. Моро, 3 кл., 2 часть,    презентация,  раздаточный материал

Приложение В

КОНСПЕКТ УРОКА (математика)

Тема «Приемы устных вычислений. Умножение и деление в пределах 1000»

Класс: 3.                 УМК: Школа России.

Цели деятельности учителя: формирование навыка устных приемов умножения и деления в пределах 1000; закрепление знания нумерации трехзначных чисел; совершенствование умения решать задачи; продолжение работы с треугольниками различных видов.

Планируемые результаты:

Предметные:

• Знать алгоритм устного умножения и деления в пределах 1000;
• Уметь устно выполнять умножение и деление в пределах 1000;
• Уметь решать задачи изученных видов.

Личностные:

• Осознавать свои трудности и стремится к их преодолению;
• Проводить самооценку своей деятельности;
• Устанавливать связь между целью учебной деятельностью и её мотивом.

Тип урока: «Открытие» нового знания

Оборудование: УМК Школа России – учебник М. И. Моро, 3 кл., 2 часть, с. 82, презентация.

Ход урока