Практическое занятие "Функции и графики"
методическая разработка

Инструкционная карта.

(1 курс Профессии 15.01.05 Сварщик (ручной и частично-механизированной сварки (наплавки)), 08.01.07 Мастер общестроительных работ) 

Практическое занятие №4.

Тема: «Функции и графики»

Цель: изучить применения графиков линейной функции в решении текстовых задач.          

Оборудование: инструкционные карты.

Вариант __

Изучить теоретический материал и разобрать примеры.

Теоретическая часть.

Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат. 

Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:

1. Построение графической модели задачи.
2. Решение получившейся графической задачи.
3. Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.

Определение.

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b – числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения прямой достаточно взять две точки. Если x = 0, то y = b.

Если y = 0, x = - b / k

Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0; b) и  

 (-b / k; 0).

Свойства линейной функции.

1) Область определения линейной функции состоит из всех чисел:

D: x ∈ (-∞; ∞).

2) Область значений линейной функции состоит из всех чисел:

E: y ∈ (-∞; ∞).

3) Нуль функции (y = 0) x = - b / k

4) При k  > 0 линейная функция возрастает.

При k  <  0  — убывает.

5) При  k > 0

Функция принимает положительные значения при x > - b / k, или

Функция принимает отрицательные значения при x < - b / k, или

При k < 0

Функция принимает положительные значения при x < - b / k, или

Функция принимает отрицательные значения при x > - b / k, или

Число k называется угловым коэффициентом прямой. По значению k можно определить угол α, который прямая y = kx + b образует с положительным направлением оси Ox.

При  k > 0 угол α острый, при k < 0 угол α — тупой.

Если k = 0, линейная функции принимает вид y = b. График этой функции — прямая, параллельная оси Ox.

Например, на рисунке изображены графики линейных функций y = 2  и y = -4.

Задача 1. Из пункта A  вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

Решение 1.За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины (рис. 1), тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения. По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км. Ответ: 360 км.

                  (рис. 1)

           Решение 2. Пусть х ч. – время движения  легковой машины, тогда (х+2) ч. – время движения грузовой машины. Составляем уравнение  60(х+2)=90х. Решив уравнение, получим, что легковая машина двигалась 4 часа, отсюда расстояние равно 360 км.

         Задача 2. Из городов, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Скорость одного из них  была на 2 км/ч больше скорости другого. Через 2 часа лыжники оказались на расстоянии 8 км друг от друга. С какой скоростью шёл каждый лыжник?

Решение 1. Пусть  лыжники двигались с одинаковыми скоростями. Учитывая, что они двигались навстречу друг другу и, что между ними расстояние – 8 км, построим графики движения. По графику видно, что их скорость равна 8 км/ч. Но т.к. разница в скоростях составляет 2 км/ч, получаем, что скорость первого лыжника 7 км/ч, а второго 9 км/ч. Но может быть ещё случай,  когда 8 км было между лыжниками после встречи. Тогда одинаковая скорость – 12 км/ч, значит скорость первого лыжника 11 км/ч, а второго – 13 км/ч.

       Решение 2.  Пусть х км/ч скорость первого лыжника, тогда скорость второго – (х+2) км/ч. Составим уравнение по условию задачи: 40 – (2х +2(х+2)) = 8.Решив уравнение, получим, что скорость первого лыжника 7 км/ч, а второго 9 км/ч.  Во втором случае уравнение составим так: (2х +2(х+2)- 40 =8. Получим, что  скорость первого лыжника 11 км/ч, а второго – 13 км/ч.

        Если сравнивать способы решения, то графический метод позволяет быстрее и нагляднее решить задачу, особенно для тех учащихся, кто ошибается при составлении уравнения по       условию задачи или при его решении.

              (рис. 2)                                                    

Задача 3. Сплавили два слитка. Первый весил 100 г и содержал 40% меди, второй весил 400 г и содержал  60 % меди. Какой процент меди содержится в получившемся сплаве?

Решение 1. По вертикальной оси отложим количество чистого вещества, на горизонтальной – массу сплава (рис.3).

     Построим графики, характеризующие первый и второй сплавы. Учитывая, что в 500 г получившегося сплава содержится 280 г чистого вещества, построим прямую, характеризующую новый сплав. По графику видно, что в

100 г нового сплава содержится 56 г чистого вещества. Следовательно, в получившемся сплаве содержится 56% меди.

     Решение 2.Пусть  х % – меди в новом сплаве, вес нового сплава 500 г. Используя условие задачи, получаем уравнение:  +  = . Решив уравнение, получим ответ: х = 56%.

            (рис. 3)                                                  

   В данном случае графики также позволяют наглядно увидеть ответ задачи, причем временные затраты  меньше, чем решение задачи с помощью уравнения.

Задача 4. Чтобы выкачать воду из котлована, поставили два насоса. Оба насоса могли бы выкачать всю воду за 10 часов. Однако после 3 часов совместной работы один насос сломался, и другому насосу пришлось работать ещё 14 часов, чтобы выкачать оставшуюся воду. За сколько часов, действуя отдельно, каждый насос мог бы выкачать всю воду из котлована?

  Решение 1.По вертикали отложим отрезок, условно соответствующий количеству воды в котловане. По горизонтали – время работы насосов (пусть они начнут работу в 6 ч. утра). (рис.4 ). По графику видно, что если второй насос один начал бы выкачивать воду в 3 часа, то окончил бы работу в 23 часа. Значит, второму насосу потребуется для выкачивания всей воды 20 часов. Т.к. оба насоса вместе выкачивают воду за 10 часов, то первому насосу потребуется также 20 часов для работы. 

Решение 2.Пусть за х ч. выкачает весь котлован первый насос, за у ч.- второй насос.

 Производительность в час обоих насосов  , тогда за 3 часа совместной работы насосы выкачали  котлована, значит осталось выкачать -  котлована.

Так как  14 часов работал один второй насос, то составляем уравнение: 14 . Решив это уравнение, получим х = 20.

                    (рис 4.)                                                            

Значит, второй насос всю работы выполнит за 20 часов. Чтобы найти время работы первого насоса, решим уравнение: . Отсюда у = 20. Ответ: каждому нужно по 20 часов.

Практическая часть.

Сделайте вывод.

Контрольные вопросы:

1. Что значит «решить задачу графическим способом»?
2. Какая функция называется линейной?