МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
материал

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.Г. БЕЛИНСКОГО

Факультет педагогики, психологии             Кафедра «Теория и методика

и социальных наук                                         дошкольного и начального

                                                                         образования»

Направление подготовки                 44.03.01 Педагогическое образование

Профиль подготовки                         «Начальное образование»

КУРСОВАЯ  РАБОТА

на тему

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Выполнила  студентка

группы  16ЗНПН51

Онофрей Ольга Андреевна                

Проверил, к.п.н., доцент

Графова Ольга Петровна

Пенза, 2020

Содержание

Введение……………………………………………………………………3

Глава I. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения……………………………………………………………….5

1.1. Понятие модели и моделирования в учебно-методической литературе………………………………………………………………………..5

1.2. Моделирование в решении текстовых задач…………………..…..8

Выводы по 1 главе………………………………………...………..…..…21

Глава II. Методические основы  использования моделирования в математике……………………………………………………………………..22

2.1. Практический опыт использования моделей при решении задач на движение в 4 классе…………………………………………………..………..22

2.2. Опытно-экспериментальная работа. Анализ ее результатов…….34

Выводы по 2 главе……………………………………………………….36

Заключение………………………………………………………………37

Список использованной литературы…………………………………38

Введение

Много времени посвящено решению текстовых задач в школьной программе по математике. В ходе работы над заданиями  педагог выявляет взаимосвязь между данными и значениями, отношения, указанные в условии.

Учебная деятельность по решению задач состоит из умственных действий и осуществляется эффективно, если изначально она происходит на основе внешних воздействий с объектами. Основная задача остается в том, что дети не могут перейти от текста задачи к математической модели.

Изучение математики требует развития детей в решении текстовых задач, должен иметь возможность записать задачу, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы, рисунка и других типов моделей, обосновать каждый шаг в анализе задачи и ее решения, а также проверить правильность решение.

«Рисунки, диаграммы, рисунки не только помогают начальной школе  осознанно определять скрытые отношения между ценностями, но и побуждают их активно мыслить, искать наиболее рациональные решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их. Эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило развивающий характер »[10, 7].

Графические изображения, используемые для формулирования познавательных задач, визуализации взаимосвязи между данными и искомыми ценностями, помогают учащимся понять речевой смысл задачной ситуации, а затем найти возможное решение.

Главное для каждого  учащийся начальных классов  на этом этапе - понять задачу, то есть понять, что в ней известно, что нужно выяснить, как связаны данные, каковы взаимосвязи между данными и параметрами, которые  ищут. Для этого примените моделирование и научите этому детей.

Нынешняя программа обучения математике требует развития у  начальных  классов самостоятельности в решении текстовых задач.

В начальной школе каждый учащийся должен уметь записывать состояние задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы или рисунка, обосновывать каждый этап анализа задачи и ее решения, а также проверять правильность его решения. Однако на практике требования программы далеко не полностью реализованы, что приводит к серьезным задачам в знаниях и умениях учащихся.

Целью данной работы является разработка различных вспомогательных моделей, используемых при  решении тестовых задач.

Задач:

1. изучить научную, методическую литературу по данному вопросу;
2. разработать конспекты уроков математики;
3. провести исследование  и проанализировать.

Объект исследования: процесс обучения  четвёртного класса решению текстовых задач на уроках математики.

Предмет исследования: моделирование как средство обучения решению задач.

Гипотеза: использование моделирования способствует формированию умения решать текстовые задач.

База исследования: Муниципальное общеобразовательное учреждение МОУ "СОШ п. Новосельский Ершовского района Саратовской области"

При написании данной работы, использовалась научная, методическая литература, справочные материалы.  Всего проанализировано более двадцати источников.

Структура работа: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

Глава I. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения.

1.1. Понятие модели и моделирования в учебно-методической литературе

С середины 20-го века математические методы и компьютеры широко используются в различных областях человеческой деятельности. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. Д., Которые изучают математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы изучения этих моделей.

В целом метод моделирования широко используется в науке. Он заключается в том, что для изучения объекта или явления выбирается или строится другой объект, в некотором отношении похожий на тот, который изучается. Построенный или выбранный объект изучается и с его помощью решается исследование задач, а затем результаты решения этих задач переносятся на исходные явления или объект.

«Математическую модель можно назвать специальным описанием (часто приближенным) задач, которая позволяет использовать формальный логический аппарат математики в процессе ее анализа. В математическом моделировании мы имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные законы и свойства исследуемого объекта »[17, 131].

Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и прогнозировать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, который дает возможность его контролировать.

«В процессе математического моделирования есть три этапа:

1. Формализация - перевод предложенного задания (ситуации) на язык

математическая теория (построение математической модели задач).

2. Решение задач в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3. Перевод результата математического решения задач на язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения). [20, 2]

Создавая модели, математика часто опережала потребности науки и техники.

Реализация универсального математического метода познания является основной целью и задачей современной математики. Любая математическая задача состоит из условия (постановки), вопроса или требования. Причем задание обычно не одно, а несколько элементарных условий. Они представляют количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

В задачах также может быть несколько требований. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Система взаимосвязанных условий и требований называется экспрессивной моделью (словесной).

«Глубина и значимость открытий, которые студент делает при решении задач, определяется характером выполняемой им деятельности и степенью ее овладения, какими средствами этой деятельности он овладеет. Чтобы учащийся мог определить и освоить способ решения широкого класса задач и не ограничиваться поиском ответа в этом конкретном задании, он должен получить некоторые теоретические знания о задаче, прежде всего о ее структуре ». [5, 132].

Чтобы структура задача стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в форме, которая обеспечила бы необходимые действия. Это можно сделать с помощью специальных символических средств - моделей, которые однозначно отражают структуру задачи и достаточно просты для восприятия учащимися.

«В структуре любой задач есть:

1. Предметная область, то есть рассматриваемые объекты в задаче.

2. Отношения, которые относятся к объектам предметной области.

3. Требования к задаче »[7, 93].

Все модели могут быть разделены на схематические и иконические в зависимости от типов инструментов, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на реальные и графические.

Реальные (или предметные) модели текстовых заданий обеспечивают физическое действие с объектами. Они могут быть построены из любых объектов, они могут быть представлены различными сценариями сюжетной линии. Ментальная реконструкция реальной ситуации, описанная в задаче в форме представлений, также относится к этому типу модели.

«Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания задачной ситуации. Следующие типы моделей следует отнести к графическим:

• картина;

• условный рисунок;

• Рисование;

• схематический чертеж (или просто диаграмма).

Модели знаков могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. Значимые модели, сделанные на естественном языке, включают в себя:

- краткая запись задания;

- таблицы »[22, 130].

Таблица как тип модели знака используется в основном, когда в задаче есть несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задается одним или несколькими значениями.

Культовые модели текстовых заданий, выполняемых на математическом языке:

- выражение;

- уравнение;

- система уравнений;

- запись решения задачи действиями.

Схематизированные, графические и символические модели, созданные на естественном языке, являются вспомогательными моделями, в то время как символические модели, созданные на математическом языке, имеют решающее значение.

Уровень мастерства моделирования определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и основное место в формировании умения решать задач.

Полезно применять чертежи и схематические чертежи, блок-схемы,моделирование с использованием сегментов и таблиц.

«Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: слева-справа, сверху-снизу, связывать пространственную информацию с информацией о мерах, тем самым формируя способность решать задачы». [14, 113]

1.2. Моделирование в решении текстовых задач

 «Любое текстовое задание - это описание любого явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача представляет собой словесную модель явления (ситуации, процесса). И, как и в любой модели, текстовая задача описывает не весь феномен в целом, а только некоторые его стороны, в основном его количественные характеристики. [22, 121]

В задании обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними. В задаче может быть несколько требований. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Система взаимосвязанных условий и требований называется выразительной моделью задач.

Для того чтобы распознать  структуру задачи,  нужно первым делом определить условия и требования задачи. Другими словами, необходимо построить выразительную модель задачи. Чтобы получить эту модель, необходимо развернуть текст задач (это можно сделать письменно или устно), поскольку текст задач, как правило, дается в сокращенной свернутой форме. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести любую запись и т. д.

Основные методы решения текстовых задач - арифметические и алгебраические.

Решение задач арифметическим методом означает поиск ответа на требование задач путем выполнения арифметических операций над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами, имеют различия  друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задач »[16, 374].

Решение задач с использованием алгебраического метода означает поиск ответа на требование задач путем составления и решения уравнения или системы уравнений. Если различные уравнения (системы уравнений) могут быть составлены для одной и той же задач, то это означает, что эта задача может быть решена различными алгебраическими способами.

Решение любой задач - это процесс сложной умственной деятельности. Чтобы освоить его, необходимо знать основные этапы решения задачи и некоторые способы их реализации.

Действия по решению задач арифметическим методом включают в себя следующие основные этапы:

1. Анализ задачи.

2. Поиск плана для решения задачи.

3. Реализация плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи указанные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и решающих навыков.

1. Анализ задач

Основная цель этого этапа - в целом понять ситуацию, описанную в задании; выделить условия и требования; Назовите известные и искомые объекты, выделите все связи (зависимости) между ними. Анализируя задачу, выделяя ее условия, должны соотнести этот анализ с требованиями задачи.

И таблица, и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задач. Они служат формой исправления анализа текстовой задач и являются основным средством поиска плана ее решения

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задач показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

2. Поиск и составление плана решения задач

Цель этого этапа - установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий. План решения задач - это просто идея решения, его цель.

Анализ задач выполняется в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как с данных задач, так и с ее вопросов.

3. Осуществление плана решения задач

Назначение данного этапа – найти ответ на требование задач, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:

- запись по действиям; (с пояснением, без пояснения, с вопросами)

- запись в виде выражения.

4. Проверка решения задач

Назначение данного этапа – установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задач.

Для этого найденный результат вводится в текст задач и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задач другим способом.

Подробнее остановимся на моделировании и использовании этого метода при работе над текстовой задачей.

Обучение с использованием моделирования повышает умственную активность школьников начальных классов, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональное решение, установить необходимый метод проверки, определить условия, при которых задача име ет или н е имеет реше ния. Формулировка учеб ного задания явля ется мотивационно-ориента ционным звеном - пер вым звеном в образовательной деятел ьности. Вторая (центра льная) единица образова тельной деятельности - эт о выполнение следу ющих образовательных меропр иятий для реше ния образовательной зад ачы:

1) преобра зование условий объект ивной задач с целью выявл ения основных отнош ений в не й;

2) моделирование отнош ений, выделенных в нем в предметной, графич еской или букве нной форме;

3) преобра зование модели отнош ений для изуч ения ее свой ств;

4) построение сист емы частных зад ач, решаемых в общем ви де.

Чтобы науч ить школьников самосто ятельно и творч ески учиться, и х нужно вклю чить в специ ально организованные кла ссы и сдел ать мастерами это го урока. Одн им из спос обов вовлечения школь ников в акти вную работу в процессе реше ния задач явля ется моделирование.

Уме ние решать зад ачи является одн им из осно вных показателей уро вня математического разв ития, глубины усво ения учебного матер иала »[11, 28].

В 4-м классе, ка к правило, исполь зуются разные ти пы коротких заме ток или гото вых схем в процессе анал иза, и созда ется модель зада ния для учащ ихся или сам их учащих ся в проц ессе решения зад ач редко. Учит еля анализа и решения зад ач часто огранич иваются правильными отве тами двух ил и трех учен иков, а остал ьные записывают гото вые решения дл я них бе з глубокого поним ания.

«Чтобы устра нить отмеченные недос татки, необходимо, пре жде всего, радик ально улучшить методо логию организации перви чного восприятия и анализа зада ний, чтобы обесп ечить осознанный и осознанный выб ор арифметических опер аций для вс ех учащихся» [1, 174 ].

Глав ное для кажд ого  учащихся н а этом эта пе - понять проб лему, то ес ть понять, о чем эт а задача, чт о в не й известно, чт о нужно выяс нить, как связ аны данные, как овы отношения меж ду данные, кото рые нужно най ти . Для это го, где эт о возможно, след ует применять мет од моделирования ситу ации, отраженной в задаче.

Мет од моделирования заключ ается в то м, что дл я изучения люб ого явления ил и объекта выбир ается или стро ится другой объ ект, в некот ором отношении похо жий на изуча емый; Построенный ил и выбранный объ ект изучается и с ег о помощью реша ется исследовательская зад ача, а зат ем результат реше ния этих зад ач переносится в исходное явле ние или объ ект. [21, 156]

В 4 кла ссе, анали зируя задачу № 59: [3, 19]

«Дли на Волги 3530 к м Днепр н а 1330 км кор оче Волги, а Урал длин нее Днепра н а 228 км. Как ова длина ре ки Урал?»,  обы чно записывают е е кратко прим ерно так:

дли на Волги – 3530 к м;

длина Дне пра - ?, на 1330 к м короче Вол ги;

длина Ура ла - ?, на 228 к м длиннее Дне пра.

Такая зап ись при перви чном анализе зад ач нерациональная, та к как н е раскрывает нагл ядно взаимодействия меж ду данными и искомыми, н е помогает в выборе дейс твия.

Учащимся предла гается смоделировать усло вие задач следу ющим образом:

длина Вол ги –                         

        1330 км

дли на Днепра –                 

                228 к м        

длина Ура ла –

                                                                      ?

Эта мод ель дает нагля дное представление о б отношениях меж ду данными и искомыми в задачах.

Анали зируя задачу, учащ иеся выясняют, чт о Днепр н а 1330 км кор оче Волги, т о есть стол ько же, н о без 1330; поэт ому отрезок н а схеме, изобра жающий длину Дне пра, они наче ртят короче отре зка, показывающего дли ну Волги. А так ка к Урал длин нее Днепра н а 228 км, т о есть стол ько же и еще 228; т о и отре зок, показывающий дли ну Урала, дол жен быть длин нее отрезка, показыв ающего длину Дне пра.

Рассмотрим, ка к можно смодели ровать задачу № 468: [3, 106]

«Н а мельницу прив езли 9600 кг пшен ицы. При разм оле отходы соста вили 1200 кг. Му ку насыпали в мешки и погрузили н а 3 машины. Н а первую погру зили – 30 мешков, н а вторую – 35 меш ков, а н а третью – 40 меш ков. Сколько килогр аммов муки погру зили на пер вую машину, ес ли во вс ех мешках му ки было поро вну?»

В проц ессе разбора эт ой задач с учащимися, полу чаем примерно так ие

вспомогательные мод ели:

Оста лось?                

                      9600 кг

                                                                          30 меш ков

1-ая маш ина:

                                                                 ? кг

2-ая маш ина:

3-ь я машина:

Так ая модель помо гает уяснить од но из важ ных условий зад ач, которое вызв ало наибольшее затруд нение в реше нии, а име нно: после то го, как му ку насыпали в мешки, в о всех меш ках муки ста ло поровну.

Мод ель создает предпо сылки активной мыслит ельной деятельности в поисках раз ных способов реше ния одной и той ж е задач.

Рассм отрим еще од ну задачу и модель к ней.

Зад ача 1318: [3, 290]

«Для пос ева было пригот овлено 25,2 т сем ян. В пер вый день н а посев израсхо довали  всех сем ян, а в о второй  оста тка. Сколько сем ян осталось пос ле двух дн ей посева?»

П о предложению учен иков «весь пос ев» изобразим в виде прямоуг ольника. На схемати ческом чертеже отме тим данные и установим, чт о будем опред елять.  Получится так ая схема:                                        

                                25,2 т

        Схема помо гает ученикам самосто ятельно найти прави льные решения дан ной задач.

«Ино гда в 4 кла ссе зад ачу не прове ряют или пони мают под прове ркой, например, прочт ение способа реше ния задач дл я всего кла сса или све рку на дос ке. Модель н е только помо жет найти рацион альный способ реше ния задач, н о и помо жет проверить ег о правильность.» [27, 23]

Усло вие задач с пропорциональными велич инами обычно кра тко записывают в таблицу. Напр имер, следующим обра зом.

Задача 411: [3, 97]

«Прив езли 12 ящиков ябл ок по 30 к г в каж дом и 8 ящи ков груш п о 40 кг в каждом. Как ова масса вс ех фруктов?»

 «Таблица так же является моде лью задач, н о более абстра ктной, чем схемати ческий чертеж ил и чертеж. Эт о уже подразу мевает хорошее зна ние учащихся взаимозав исимостей пропорциональных вели чин, поскольку са ма таблица эт их взаимозависимостей н е показана. Поэт ому при первона чальном знакомстве с такой зада чей таблица ма ло помогает предст авить математическую ситу ацию и выбр ать желаемое дейс твие »[26, 127].

При перви чном знакомстве с таким вид ом задач целесоо бразно смоделировать усло вие в ви де схематического рису нка или черт ежа.

                                        ?        ?

                          ?

П о такой мод ели решение зад ач становится бол ее понятным дл я всех учащ ихся.

Рассмотрим зад ачу 179: [3, 49]

«Масса ябл ока 140 г, а масса гру ши на 60 г больше. Как ова масса тр ех таких гр уш и ябл ок?»

Мас са яблока -         

Масса гру ши -                                         

Какова мас са трех так их груш и яблока?

Схемати ческий рисунок эт ой задач позво ляет наглядно убеди ться, что разн ица между массой яблока и массой гру ши составляет 60 г. При реше нии главное – понять, что сначала нужно найти массу одной груши. Поняв это, дети сами записывают решение.

Мод ели помогают най ти разные спос обы решения одн ой и то й же зад ач.

Движение - эт о для сам ых разных зад ач. Существует самостоя тельный тип зад ач «на хо ду». Он соче тает в се бе такие зад ачи, которые реша ются на осн ове взаимосвязи меж ду тремя велич инами, которые характе ризуют движение: скор ость, время и расстояние. В о всех случ аях речь ид ет о равном ерном прямолинейном движ ении »[28, 31].

 «Основные объе кты задач «н а движение»: пройд енный путь (s), скор ость (v), время (t); осно вное отношение (зависи мость):  s = vt.» [9, 40]

Рассмотрим особен ности решения осно вных видов зад ач «на движ ение».

Задач н а встречное движ ение двух те л.

Пусть движ ение первого те ла характеризуется велич инами s1,  v1, t1; движение втор ого – s2,  v2, t2. Такое движ ение можно предст авить на схемати ческом чертеже:

     v1        v2

        t1        t2

А        s1       t встр.                      s2                В

Если дв а тела начи нают движение одновр еменно навстречу др уг другу, т о каждое и з них с момента вых ода и д о встречи затрач ивает одинаковое вре мя, т.е. t1= t2= t встр..

Расст ояние, на кото рое сближаются движу щиеся объекты з а единицу врем ени, называется скоро стью сближения, т о есть v сб л.= v1+ v2.

Все расст ояние, пройденное движущ имися телами пр и встречном движ ении, может бы ть подсчитано п о формуле: S= v сб л * tсбл..

Зад ач на движ ение двух те л в одн ом направлении.

«Сре ди них след ует различать дв а типа зад ач:

1. движение начин ается одновременно и з разных пунк тов;
2. движение начин ается в раз ное время и з одного пун кта». [23, 61].

Рассмотрим слу чай, когда движ ение двух те л начинается одновр еменно в одн ом направлении и з разных пунк тов, лежащих н а одной пря мой. Пусть движ ение первого те ла характеризуется велич инами s1,  v1, t1, а движ ение второго - s2,  v2, t2.

Так ое движение мож но представить н а схематическом черт еже:

  v1             v2        

        t1        t2        

А        s                                     s2             В

        S1

Если пр и движении в одном направ лении первое те ло догоняет вто рое, то v1 >   v2. Кро ме того, з а единицу врем ени первый объ ект приближается к другому н а расстоянии v1- v2. Эт о расстояние назы вают скоростью сближ ения: v сбл.= v1- v2.

Расст ояние S, представляющее дли ну отрезка А В, находят п о формулам:

S = s1 - s2 и S = v сбл * tвс тр.

Задач н а движение дв ух тел в противоположных направ лениях.

«В так их задачах дв а тела мог ут начинать движ ение в противоп оложных направлениях и з одной точ ки: а) одновр еменно; б) в разное вре мя. А мог ут начинать св ое движение и з двух раз ных точек, находя щихся на зада нном расстоянии, и в раз ное время» [18, 9].

Общ им теоретическим полож ением для ни х будет следу ющее:

v удал. = v1+ v2, гд е v1 и v2 соответ ственно скорости перв ого и втор ого тел,

 а v удал – эт о скорость удал ения, то ес ть расстояние, н а которое удаля ются друг о т друга движу щиеся тела з а единицу врем ени.

«Четкие усло вные обозначения помо гают детям стро ить сложные схе мы, видеть в своих нуж ных формулах, отнош ения для реше ния задач. Тог да четвертое соблю дение условных обозна чений в схе ме позволяет н е запутаться в численных значе ниях задач и обеспечивает мно гие ошибки. Анали зирую модель, мож но увидеть неско лько спосо бов решения зад ач ». [22148]

Использование графич еских изображений способ ствует осознанному и длительному усво ению многих поня тий.

Математи ческие связи и зависимости при обретают визуа льное значение дл я начальных клас сов, и в процессе и х использования математ ическое мышление  школь ников углубляется и развивается.

«Соблю дение точности и аккуратности пр и выполнении черт ежей, схем, рису нков, помимо уче бы, имеет наибо льшее воспитательное знач ение. Выполн енные графические изобра жения вносят значит ельный вклад в эстетическое воспи тание детей: он и заставляют восхищ аться неожиданным, остр оумным графич еским решением зад ачи, стимулируют пои ск рациональных реше ний, снижают утомля емость, повышают актив ность и привл екают внимание. И наоборот, гру бый рисунок затру дняет просмотр зако нов, скрытых в состоянии проб лемы, на кото рой основано реше ние »[13, 4].

Графические изобра жения служат хоро шим и удоб ным средством органи зации коллективной и индивидуальной (дифференц ированной) самостоятельной раб оты школьников, быст рым инструментом дл я проверки зна ний учащихся.

«Прави льно построенные графич еские модели зад ачи позволяют учащ имся во мно гих случаях оцен ить ожидаемый отв ет, графически прове рить правильность реше ния задач, выполн енных аналитически» [15, 70].

Графич еские модели так же помогают органи зовать работу, та к как он и ясно иллюст рируют то, чт о известно и что необх одимо определить; Н а моделях лег че увидеть, как ие данные отсутс твуют (или как ие данные явля ются избыточными), что бы решить конкр етную проблему с использованием жела емой зависимости.

«Возмож ность создавать и работать с моделями обуч ения является одн им из компон ентов общего проц есса принятия реше ний. Используя мод ель, устно указа нный текст мож ет быть перев еден на математ ический язык и увидеть струк туру математических отнош ений, скрытых в тексте.

Использ ование одних и тех ж е символических и символических инстру ментов при постр оении модели дл я математических зад ач с разли чными предметами и разными тип ами способствует формир ованию обобщенного мет ода анализа проб лемы, выделения е е компонентов и поиска реше ний »[16, 342]

Выводы п о 1 главе

В первой гла ве мы подр обно рассмотрели моделир ования и мод ель для то го чтобы пон ять в реше ниях задачах, ка к структурирован конкр етный объект, как ова его струк тура, основные свой ства, законы разв ития; научиться управ лять объектом ил и процессом, опред елить наилучшие спос обы контроля дл я заданны х целей и критериев.

Так им образом, использ ование модели пр и решении зад ач обеспечит качест венный анализ зад ач, осознанный пои ск их реше ния, разумный выб ор арифметических дейс твий, рациональное реше ние и позв олит избежать мно гих ошибок пр и решении зад ач студентами. Мод ель задач мож ет быть приме нена для подго товки и реше ния обратных зад ач, для прове дения исследований п о задаче. Модель помо гает установить усло вия, при кото рых задача имеет реше ние или н е имеет реше ния; узнать, ка к изменяется знач ение нужного знач ения в зависи мости от измен ения этих знач ений; помогает обоб щать теоретические зна ния; развивает самостоят ельность и изменч ивость мышления.

Гла ва II. Методич еские основы  использ ования моделирования в математике.

2.1. Практический опыт использ ования моделей при решении задач на движение в 4 классе

В уче бно-методический комп лект (УМК), необхо димый для обуч ения математике, включ ается:

- учебник ка к ведущий элем ент УМК;

- дидакти ческие материалы (зада чник, рабочие тетр ади, карточки и т. д.);

- книга дл я учителя.

Выбран учеб ник «Математика » Н. Я. Вилен кина. Учебник соде ржит две гла вы, которые разб иты на параг рафы по опреде ленным темам.

В учебнике предл ожено большое колич ество задач н а движение, н о автором дан ной работы бы ли подробно (соста влены модели, проведен поиск реше ния задач и выполнено реше ние) рассмотрены тол ько те, кото рые находятся в теме «Десят ичные дроби». Данная тема рассч итана на 38 часов:

Десятичная зап ись дробных чис ел (2 ч);

Сравн ение десятичных дро бей (2 ч);

Слож ение и вычит ание десятичных дро бей (5 ч);

Округ ление десятичных дро бей (3 ч);

Контро льная работа (1 ч);

Умножение десят ичных дробей н а натуральные чис ла (4 ч);

Деле ние десятичных дро бей на натура льные числа (5 ч);

Контрольная раб ота (1 ч);

Умнож ение десятичных дро бей (5 ч);

Деле ние десятичных дро бей (6 ч);

Сред нее арифметическое (3 ч).

Задача 1: (№ 1142)

«И з двух пунк тов, расстояние меж ду которыми 7 к м 500 м, одновр еменно в одн ом направлении выш ел пешеход с о скоростью 6 к м/ч и выехал авто бус. Определите скор ость автобуса, ес ли он дог нал пешехода чер ез 15 мин?»

- Чит аем внимательно зад ачу.

- Давайте к этой зад аче составим чер теж.

- Что на м уже изве стно? (Из дв ух пунктов одновр еменно в одн ом направлении выш ел пешеход и выехал авто бус)

- Отметим эт о на черт еже.

    ? км/ч                     6 км/ч        

           А        7к м 500 м     В                                       tвстр=15 ми н

- Что ещ е известно? (Расст ояние между пунк тами 7 км 500 м; скорость пеше хода 6 км/ч; автобус дог нал пешехода чер ез 15 мин)

- Отме тим все дан ные на черт еже.

- Что нуж но узнать в задаче? (Скор ость автобуса)

- Мож ем сразу е е найти? (Не т)

- Почему? (Н е знаем расст ояние, которое про шел пешеход з а 15 мин)

- А можем эт о узнать? (Д а)

- Как? (Скор ость умножить н а время)

- А сейчас мож ем ответить н а главный воп рос задач? (Не т)

- Почему? (Та к как н е знаем пу ть, который прое хал автобус)

- Мож ем это узн ать? (Да)

- Ка к узнаем? (К расстоянию меж ду пунктами приб авим тот пу ть, который про шел пешеход з а 15 мин)

- Мож ем теперь отве тить на воп рос задач? (Д а)

- Как? (На до весь пу ть, который прое хал автобус, разде лить на вре мя)

- Итак, в о сколько дейс твий решается зад ача? (В 3 дейс твия)

- Записываем реше ние:

15 мин =

1) 6 ׃ 4 ∙ 1 = 1,5 (к м) – прошел пое зд за 15 ми н.

2) 7,5 +  1,5 = 9 (км) – про шел автобус д о того, ка к догнал пеше хода.

3) 9 : 1 ∙ 4 = 36 (км/ч) – скорость авто буса.

Ответ: 36 к м/ч.

Зад ача 2: (№ 1169)

«а) Тепл оход идет вн из по ре ке. Какова скор ость движения тепло хода, если скор ость течения ре ки 4 км/ч, а собств енная скорость тепло хода (скорость в стоячей во де) равна 21 к м/ч?

б) Моторная лод ка идет вве рх по ре ке. Какова скор ость движения лод ки, если скор ость течения 3 к м/ч, а собственная скор ость лодки 14 к м/ч?»

- Внимат ельно читаем зад ач.

- О как их величинах ид ет речь в задачах?

- Дл я решения дан ных задач сост авим таблицу.

- Запи шем, что уж е известно.

а)

б)

- То, чт о нужно най ти обозначим зна ком вопроса.

- Чт о узнаем снач ала? (Скорость тепло хода по тече нию реки)

- Ка к можно е е найти? (На до к собств енной скорости тепло хода прибавить скор ость течения ре ки)

- Что мож но узнать сей час? (Скорость мото рной лодки про тив течения ре ки)

- Как най дем? (Нужно и з собственной скор ости лодки выче сть скорость тече ния реки)

Запис ываем решение:

а) 21 + 4 = 25 (км/ч) – скорость движ ения теплохода.

б) 14 – 3 = 11 (км/ч) – скорость движ ения лодки.

Отв ет: а) 25 к м/ч;

        б) 11 км/ч.

- Давайте ещ е раз повт орим:

Как ж е найти скор ость по тече нию реки и против тече ния реки?

Зад ача 3: (№ 1172)

«Со стан ции вышел това рный поезд с о скоростью 50 к м/ч. Чер ез 3 ч с той ж е станции всл ед за ни м вышел электр опоезд со скоро стью 80 км/ч. Через скол ько часов пос ле своего вых ода электропоезд дого нит товарный пое зд?»  

- Внимательно чит аем задачу.

- Дл я решения дан ной задач сост авим чертеж.

- Чт о нам изве стно? (Со стан ции вышел това рный поезд, а через 3 ч с то й же стан ции вслед з а ним выш ел электропоезд)

- Отме тим это н а чертеже.                  

                      80 к м/ч                  50 к м/ч        

                          3 ч                                                      tвстр  - ?

- Чт о еще изве стно в зад аче? (Скорость товар ного поезда 50 к м/ч, скор ость электропоезда 80 к м/ч)

- Отме тим эти дан ные на черт еже.

- Что нуж но узнать? (Чер ез сколько час ов после сво его выхода электр опоезд догонит това рный поезд?)

- Обозн ачим неизвестное зна ком вопроса.

- Изве стно, что това рный поезд ше л 3 ч с о скоростью 50 к м/ч. Чт о можно узн ать по эт им данным? (Расст ояние, которое пош ел поезд з а 3 ч)

- Чт о для это го нужно сдел ать? (Нужно скор ость умножить н а время)

- Зн ая скорость товар ного поезда и электропоезда, чт о можно узн ать? (Скорость сближ ения)

- Что дл я этого нуж но сделать? (Нуж но из скор ости электропоезда выче сть скорость товар ного поезда)

- Зн ая, сколько килом етров прошел това рный поезд и скорость сближ ения поездов, чт о можем най ти? (Время, чер ез которое встре тятся поезда)

- Ка к можем эт о найти? (Расст ояние разделить н а скорость сближ ения)

- Записываем реше ние:

1) 50 ∙ 3 = 150 (км) – про шел товарный пое зд.

2) 80 – 50 = 30 (км/ч) – скорость сближ ения.

3) 150 : 30 = 5 (ч) – чер ез это вре мя электропоезд дого нит товарный пое зд.

Ответ: чер ез 5 часов.

Зад ача 4: (№ 1179)

«Два пое зда вышли в разное вре мя навстречу др уг другу и з двух горо дов, расстояние меж ду которыми 782 к м. Скорость перв ого поезда 52 к м/ч, а второго 61 к м/ч. Про йдя 416 км, пер вый поезд встре тился со вто рым. На скол ько один и з поездов выш ел раньше друг ого?»

- Читаем внимат ельно задачу.        

- Дава йте к эт ой задаче сост авим чертеж.

- Чт о нам изве стно в зад аче? (Два пое зда вышли в разное вре мя навстречу др уг другу и з двух горо дов)

- Отметим эт о на черт еже.

     52 км/ч                                                                  61 км/ч

                        416 км                            

                                              782 к м

     На скол ько один и з поездов выш ел раньше друг ого?

- Что ещ е известно? (Расст ояние между горо дами 782 км; скор ость первого пое зда 52 км/ч, а втор ого 61 км/ч)

- Отметим вс е данные н а чертеже.

- Чт о нам ещ е дано? (Про йдя 416 км, пер вый поезд встре тился со вто рым)

- Покажем эт о на черт еже.

- Что нуж но узнать в задаче? (Н а сколько од ин из поез дов вышел ран ьше другого?)

- Мож ем сразу н а него отве тить? (Нет)

- Поч ему? (Не зна ем, сколько час ов ехал пер вый поезд)

- Мож ем это най ти? (Да)

- Ка к? (Надо расст ояние, которое про шел первый пое зд, разделить н а скорость)

- А сейчас мож ем ответить н а главный воп рос? (Нет)

- Поч ему? (Сначала на до найти расст ояние, которое про шел второй пое зд)

- Можем най ти это расст ояние? (Да)

- Ка к найдем? (Нуж но из расст ояния между горо дами вычесть т о расстояние, кото рое прошел пер вый поезд)

- Теп ерь мы мож ем ответить н а главный воп рос? (Нет, та к как м ы не зна ем, сколько час ов ехал вто рой поезд)

- Мож ем это узн ать? (Да)

- Ка к узнаем? (На до расстояние, кото рое прошел вто рой поезд, разде лить на вре мя)

- А сей час можем отве тить на глав ный вопрос? (Д а)

- Что дл я этого нуж но сделать? (На до из врем ени, которое ше л первый пое зд, вычесть т о время, кото рое шел вто рой поезд)

- Ит ак, во скол ько действий реш или задачу? (В 4 действия)

- Запис ываем решение:

1. 416: 52 = 8 (ч) – шел пер вый поезд.
2. 782 – 416 = 366 (к м) – прошел вто рой поезд.
3. 366: 61 = 6 (ч) – шел вто рой поезд.
4. 8 – 6 = 2 (ч) – на эт о время пер вый поезд выш ел раньше втор ого.

Ответ: н а 2 часа.

Зад ача 5: (№ 1193)

«Собственная скор ость катера (скор ость в стоя чей воде) рав на 21,6 км/ч, а скор ость течения ре ки 4,7 км/ч. Найдите скор ость катера п о течению и против тече ния реки.»

- Внимат ельно читаем зад ачу.

- Давайте пост роим таблицу к данной зад аче.

- О как их величинах ид ет речь в задаче?

- Запи шем данные в таблицу.

- То, чт о неизвестно, обозн ачим знаком вопр оса.

- Что узн аем сначала? (Скор ость катера п о течению ре ки)

- Как най дем? (Надо к собственной скор ости катера приба вить скорость тече ния)

- Что мож ем узнать сей час? (Скорость кат ера против тече ния)

- Что дл я этого нуж но сделать? (И з собственной скор ости катера выче сть скорость тече ния)

- Записываем реше ние:

1. 21,6 + 4,7 = 26,3 (км/ч) – скорость кат ера по тече нию.
2. 21,6 – 4,7 = 16,9 (км/ч) – скорость кат ера против тече ния.

Ответ: 26,3 к м/ч; 16,9 к м/ч.

Зад ача 6: (№ 1194)

«Скорость тепло хода по тече нию реки рав на 37,6 км/ч. Найдите собств енную скорость тепло хода и ег о скорость про тив течения, ес ли скорость тече ния реки 3,9 к м/ч.»

- Внимат ельно читаем зад ачу.

- О как их величинах ид ет речь в задаче?

- Пост роим таблицу к данной зад аче.

- Что уж е известно в задаче? (Скор ость по тече нию реки 37,6 к м/ч, скор ость течения ре ки 3,9 км/ч)

- Отметим эт о в табл ице.

- Чт о нужно най ти в зад аче? (Собственную скор ость и скор ость против тече ния)

- Обозначим неизве стное знаком вопр оса.

- Известна скор ость теплохода п о течению ре ки и скор ость течения. Чт о можем узн ать по эт им данным? (Собств енную скорость тепло хода)

- Что дл я этого нуж но сделать? (Нуж но из скор ости теплохода п о течению выче сть скорость тече ния реки)

- Зн ая собственную скор ость теплохода и скорость тече ния реки, чт о можем узн ать? (Скорость тепло хода против тече ния реки)

- Ка к узнаем? (Нуж но из собств енной скорости тепло хода вычесть скор ость течения ре ки)

- Записываем реше ние:

1. 37,6 – 3,9 = 33,7 (км/ч) – собственная скор ость теплохода.
2. 33,7 – 3,9 = 29,8 (к м/ч) – скор ость против тече ния.

Ответ: 33, 7 к м/ч; 29,8 к м/ч.

Зад ача 7: (№ 1196)

«Расстояние меж ду городами 156 к м. Из ни х одновременно навст речу друг дру гу выехали дв а велосипедиста. Од ин проезжает в час 13,6 к м, а дру гой 10,4 км. Чер ез сколько час ов они встре тятся?»

- Внимательно чит аем задачу.

- Дава йте к эт ой задаче сдел аем чертеж.

- Чт о нам изве стно в зад аче? (Из дв ух городов одновр еменно навстречу др уг другу выех али два велосип едиста)

- Отметим эт о на черт еже.

                    13,6  км/ч                                                                              10,4 км/ч

                                                        tвстр -?.        

                                            156 к м

- Что ещ е известно? (Расст ояние между горо дами 156 км; скор ость первого велосип едиста – 13,6 км/ч, а скор ость второго – 10,4 к м/ч)

- Отме тим эти дан ные на черт еже.

- Что нуж но найти в задаче? (Чер ез сколько час ов встретятся велосип едисты?)

- Можем сра зу ответить н а данный воп рос? (Нет)

- Поч ему? (Сначала на до найти скор ость сближения)

- Мож ем ее най ти? (Да)

- Ка к? (К скор ости первого велосип едиста прибавить скор ость второго)

- А сейчас мож ем ответить н а главный воп рос задач? (Д а)

- Что дл я этого нуж но сделать? (Расст ояние между горо дами разделить н а скорость сближ ения)

- Записываем реше ние по дейст виям с вопро сами:

1. Какова скор ость сближения велосип едистов?

              13,6 + 10,4 = 24 (км/ч)

2) Через скол ько часов встре тятся велосипедисты?

              156 : 24 = 6,5 (ч)

Ответ: чер ез 6,5 часа.

Зад ача 8: (№ 1233)

«Автомашина в первый ча с прошла 48,3 к м, во вто рой час он а прошла н а 15,8 км мен ьше, чем в первый, а в тре тий час – н а 24,3 км мен ьше, чем з а первые дв а часа вме сте. Какой пу ть прошла автом ашина за эт и три ча са?»

- Читаем внимат ельно задачу.

- Дл я решения дан ной задач сдел аем схему.

- Чт о известно в задаче? (Маш ина в пер вый час про шла 48,3 км, в о второй – н а 15,8 км мен ьше, чем в первый, а в тре тий час – н а 24,3 км мен ьше, чем з а первые дв а часа вме сте)

- Отметим эт о на схе ме.

1 ч.                                        

                          48,3 к м

2 ч.                                                                   ?

                      ?              15,8 к м

3 ч.                 

                                  ?                            24,3 к м

- Какой глав ный вопрос зад ач? (Какой пу ть прошла автом ашина за эт и три ча са?)

- Можем сра зу на не го ответить? (Не т)

- Почему? (М ы не зна ем расстояние, кото рое проехала автом ашина во вто рой час)

- Мож ем это узн ать? (Да)

- Ка к? (Надо и з пути, пройде нного в пер вый час, выче сть 15,8 км)

- А сейчас мож ем ответить н а вопрос зад ач? (Нет)

- Поч ему? (Сначала на до узнать, как ой путь про шла автомашина з а третий ча с)

- Можем эт о узнать? (Не т)

- Почему? (Н е знаем пу ть, который про шла машина з а  1 и 2 ча с)

- Можем ег о найти? (Д а)

- Как най дем? (Надо слож ить путь, пройд енный за 1 и 2 час)

- Сей час можем най ти путь, кото рый прошла маш ина за тре тий час? (Д а)

- Как узн аем? (Надо и з расстояния, кото рое прошла маш ина за 1 и 2 час выче сть 24,3 км)

- Теп ерь можем най ти путь, кото рый прошла маш ина за тр и часа? (Д а)

- Как най дем? (Расстояния, пройд енные за каж дый час, нуж но сложить)

- Запис ываем решение:

1. 48,3 – 15,8 = 32,5 (к м) – прошла маш ина за 2-о й час.
2. 48,3 + 32,5 = 80,8 (к м) – прошла маш ина за 1 и 2 час.
3. 80,8 – 24,3 = 56,5 (к м) – прошла маш ина за 3-и й час.
4. 56,5 + 80,8 = 137,3 (к м) – прошла маш ина за 3 ча са.

Ответ: 137,3 к м.

Вывод:

Мод ели помогают учащ имся  осознанно выяв лять скрытые отнош ения между ценно стями, побуждают и х активно мысл ить, искать наиб олее рациональные спос обы решения зад ач. Моделирование чет ко представляет свя зь между данн ыми и желае мыми величинами.

Пр и решении трансп ортных задач исполь зуются разные ти пы моделей, напр имер, схематический чер теж, таблица. Использ ование таблицы уж е подразумевает хоро шее знание взаимозав исимостей учащимися, поско льку сама табл ица не показ ывает эти зависи мости.

На осн ове рисунка учащ иеся находят возмо жный способ реше ния задач. Реша ющей моделью мог ут быть: выраж ение, система уравн ений, запись реше ния задач дейст виями. Поскольку реше ние задач проис ходит на эт их моделях. Испол ьзуя визуальную инфор мацию, они уча тся анализировать зад ачу и составлять пол ный план е е решения. Рису нок дает школь никам возможность най ти не од но, а неско лько решений.

Основ ными методами реше ния задач явля ются арифметический и алгебраический, и процесс реше ния задач вклю чает в се бя следующие осно вные этапы:

1) ана лиз;

2) поиск пла на решения;

3) выпол нение плана реше ния;

4) проверка реше ния пройдена.

Некот орые методы дл я выполнения эт их шагов рассматр иваются. Основной тр юк - это моделир ование. Прежде все го, решить текст овую задачу - постр оить ее математ ическую модель. Н о для облег чения поиска математ ической модели необх одимы вспомогательные мод ели.

2.2. Опытно-экспериме нтальная работа. Ана лиз ее резуль татов

          Исследование прохо дило на ба зе   МОУ "СО Ш п. Новосе льский Ершовского рай она Саратовской обла сти.    

Были взя ты два кла сса: 4  «А» кла сс – экспериментальный и 4 «Б» кла сс – контрольный. Дан ные классы п о уровню развития примерно одинаковые.

Для экспер имента была выбр ана тема «Десят ичные дроби».

Зад ач практической раб оты:

- подобрать зада ния для провер очной работы;

- пров ести срезовую раб оту по реше нию задач;

- проанали зировать допущенные оши бки;

- апробировать сист ему задач с использованием моде лей;

- провести контро льную работу;

- срав нить количество допущ енных ошибок;

- сдел ать выводы п о использованию моделир ования при реше нии задач.

Исслед ование проводилось в три эта па:

1. констатирующий экспер имент;
2. формирующий экспер имент;
3. контрольный экспер имент.

1. Констатирующий экспер имент.

Цель: выяв ить, на скол ько сформированы навыки реше ния задач у учащихся 4 кла сса на исхо дном этапе экспер имента.

Для это го была предл ожена письменная раб ота. Каждый уче ник должен бы л решить дв е задач, кото рые ранее бы ли прорешены до ма или в классе.

Несм отря на т о, что зад ач были знак омы, многие н е справились с их реше нием и допус тили большое колич ество ошибок.

Полу чены следующие резул ьтаты:

4 «А» кла сс:

1. Количество учащ ихся по спи ску        22

2. Выполняли раб оту         20

3. Выполнили вс ю работу бе з ошибок        9 (45 %)

4. Ошиб лись в зад аче № 1        4 (20 %)

5. Ошиблись в задаче № 2        6 (30 %)

6. Н е справились с работой         1 (5 %)

4 «Б» класс:

1. Колич ество учащихся п о списку        20

2. Выпол няли работу         20

3. Выпол нили всю раб оту без ошибок        10 (50 %)

4. Ошиблись в задаче № 1        5 (25 %)

5. Ошиб лись в зад аче № 2        3 (15 %)

6. Не справ ились с рабо той         2 (10 %)

Видно, чт о почти поло вина класса напи сала работу бе з ошибок. Рассмот ренные ошибки указы вают на т о, что н е все учащ иеся смогли чет ко представить жизне нную ситуацию, отраж енную в зада нии, не пон яли отношения меж ду значениями в нем, отноше ниями между данн ыми и иско мыми, поэтому ино гда они про сто механически манипу лируют числами.

Выв оды по 2 гла ве

Из предло женных диаграмм мож но сделать выв од, что экспериме нтальные и контро льные классы напи сали эту раб оту примерно одина ково. На начал ьном этапе экспер имента навыки реше ния задач у учащихся 4 клас сов находятся н а среднем уро вне развития.

     Благо даря моделированию математ ические связи и зависимости  приобр етают для учен иков смысл, а в проц ессе его использ ования происходит углуб ление и разв итие математического мышл ения учащихся. Поэт ому моделирование – эт о один и з ведущих мето дов обучения реше нию задач и важное сред ство познания действит ельности.

Дети акти вно работают н а уроке, отве чают н а все вопр осы учителя. Са ми школьники  уж е предлагают, как ую модель мож но использовать дл я решения, быс тро работают на д ней и находят спо соб решить зад ачу.

Метод моделир ования позволяет активиз ировать познавательную деятел ьность учащихся н а уроке.

Заклю чение

Изучив бол ее подробно и глубоко вопр осы, связанные с использованием моде лей, поставленные авто ром цели и поставленные зад ач решены. Гипо теза дала положит ельный результат.

В ходе изуч ения задачы использования моделир ования в проц ессе обучения матем атике были выяв лены следующие:

- моделир ование помогает формир овать способность реш ать текстовые зад ач;

- Этот мет од обучения повы шает интерес школь ников к изуч ению математики.

Осно вным недостатком использ ования моделирования явля ется отсутствие долж ного внимания к систематическому использ ованию моделирования н а уроках.

Результ ирующие отношения модели руются сначала с помощью объе ктов, графически (п о сегментам), а затем - п о буквенным форм улам.

Итак, использ ование моделирования име ет:

- образовательная ценн ость: моделирование помо гает усвоить мно гие вопросы тео рии;

- образовательная ценн ость: способствует разв итию памяти, вним ания, наблюдательности;

- практи ческая ценность: скор ость и точн ость расчетов.

Спи сок использованной литер атуры

1. Бантова М. А. Мето дика преподавания информ атики в начал ьных классах/М. А. Бант ова Г. В. Бельтюкова, по д ред. М. А. Бант овой, - М.: Просве щение, 1984.- 335 с.: и л.
2. Бондаренко, С. М. Учи те детей сравн ивать/ С. М. Бондаренко.- М.: Знание, 1981.- 96 с.
3. Виленкин Н. Я. Матем атика: учеб. дл я 5 кл. 6-е изд./ Н. Я. Виле нкин.- М.: Мнемо зина, 1998.- 384 с.: и л.
4. Володарская, И. Моделирование и его ро ль в реше нии задач/ И. Володарская, Н. Салмина// Матем атика. - 2006. - №18 – С 2-7.
5. Воспи тание учащихся пр и обучении матем атике: Книга дл я учителя. И з опыта раб оты/ сост. Л. Ф. Пичу гин.- М.: Просве щение, 1987 - 175 с.
6. Гр ес П. В. Математика дл я гуманитариев. У ч. пособие/ П. В. Гр ес. – М.: Лог ос, 2004. – 160 с.
7. Жох ов В. И. Преподавание матем атики в 5 - 6 клас сах: Методические рекоме ндации для учит елей к учеб нику Н. Я. Виленкина В. И. Жох ова, А. С. Чеснокова/ В. И. Жох ов. – М.: Вер бум-М, 2000.- 176 с.
8. Зайчева С. А. Реше ние составных зад ач на уро ках математики/ С. А. Зайц ева, И. И. Целищева. – М.: Чистые пру ды, 2006. - 32 с.
9. Зма ева Е. Реше ние задач н а движение/ Е. Змаева// Матем атика. – 2000. - №14 – С. 40 – 41.
10.  Иван ова, Н. Рис уя, решать зад ач/ Н. Иван ова// Математика. – 2004. - №41. – С. 2 - 3.
11.  Кузнецов, В. И. К вопросу о решении математ ических задач/ В. И. Кузн ецов// Начальная шко ла. – 1999. - №5. – С. 27 – 33.
12.  Левен берг Л. Ш. Рисунки, схе мы и черт ежи в начал ьном курсе матем атики. Из опы та работы/ Л. Ш. Левен берг под ре д. М. И. Моро. – М.: Просвещение, 1978. – 126 с.
13.  Лотарева, Л. Рисуем, чер тим, решаем/ Л. Лотарева// Матем атика. – 2004. - № 41. – С. 2 – 5.
14.  Матем атика: интеллектуальные мара фоны, турниры, бо и: 5- 11 классы: кни га для учит еля/ А. Д. Блинков и др., об щ. Ред. И. Л. Солов ейчик. – М.: Пер вое сентября, 2003. – 256 с.
15. Махрова, В. Н. Рису нок помогает реш ать задач/ В. Н. Махр ова// Начальная шко ла. – 1998. - №7. – С. 69 – 72.
16. Мето дика и техно логия обучению матем атике. Курс лек ций: пособие дл я вузов/ по д ред. Н. Л. Стефа новой. – М.: Дро фа, 2005. – 416 с.: и л.
17. Салмина Н. П. Зн ак и сим вол в обуч ении/ Н. П. Салмина. – М., 1998. – 305 с.
18. Севр юков П. Так ие разные зад ач на движ ение/ П. Севр юков// Математика. – 2006. - № 19. – С. 8 – 11.
19. Селевко Г. К. Соврем енные образовательные техно логии: уч. посо бие/ Г. К. Селевко. – М.: Народное образо вание, 1998. – 256 с.
20. Сквор цова, М. Математ ическое моделирование/ М. Скворцова// Матем атика. – 2003. - № 14. – С. 1 –  4.
21. Смир нова, С. И. Использование черт ежа при реше нии простых зад ач/ С. И. Смирнова// Начал ьная школа. – 1998. - № 5. – С. 53 – 58.
22. Стойлова Л. П. Матем атика: ученик дл я школьников отдел ений и факуль тетов нач. клас сов/ Л. П. Стойлова. – М.: Издательский цен тр «Академия», 1997. – 464 с.
23. Сурикова, С. В. Использ ование графовых моде лей при реше нии задач/ С. В. Сури кова// Начальная шко ла. – 2002. - № 4. – С. 56 – 63.
24. То ом А. Ка к я учу сь решать текст овые задач/ А. Тоом// Матем атика. – 2004. - № 46. – С. 4 – 6.
25. Фрид ман, Л. М. Психолого-педагог ические основы обуч ения математике в школе/ Л. М. Фрид ман. – М.: Просве щение, 1983. – 160 с.: и л.
26. Хабибуллин, К. Я. Обуч ение методам реше ния задач/ К. Я. Хабиб уллин// Школьные техно логии. – 2004. - № 3. – С. 127 – 131.
27. Шев кин А. Текст овые задач в школьном кур се математики 5-9 кла ссы/ А. Шев кин// Математика. – 2005. - № 23. – С. 19 – 26.
28. Шикова Р. Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел/ Р. Н. Шикова// Начальная школа. – 2000. - № 5. – С. 30 – 37.