План-конспект учебного занятия по теме «Призма. Виды призм. Построение».
план-конспект занятия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ »

(МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)

Учебное занятие по теме:

«Призма. Виды призм. Построение»

в группе 161-ТЭ11

Подготовил преподаватель: Родионов А.А.

Тучково 2017

План-конспект учебного занятия по теме «Призма. Виды призм. Построение».

     Тип учебного занятия: занятие-практикум.

Цели учебного занятия: познакомить с  понятием призмы, ее элементами, с формулами вычисления площади поверхности призмы;

      Задачи:

образовательная: познакомить учащихся с понятием призмы и видами призм, понятием площади полной и боковой поверхностей призмы, с доказательством теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы, научить применять формулы для вычисления площадей при решении задач;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ.

Метод обучения: поисковый, словесный, практический, использование некоторых методов и приемов технологии развития критического мышления

Оборудование и материалы для учебного занятия: компьютерный класс,  мультимедийный проектор, слайды,  доска, экран.

План учебного занятия:

1.Организационный момент.

2.Вводная беседа. Актуализация знаний.

3.Постановка темы, цели, задач урока.

4..Изучение нового материала.

5.Решение задач. Выводы.

6.Подведение итогов занятия. Рефлексия.

7.Домашнее задание. Выставление оценок.

                                Ход урока.

1.Организационный момент.

Учащиеся рассаживаются. Преподаватель приветствует учеников.

(3-5 минут)

2. Вводная беседа. Актуализация знаний.

(25минут)

Преподаватель: Мы с вами приступили к изучению новой большой главы: «Многогранники». Тема нашего сегодняшнего урока: «Призма». Мы поговорим о видах призм, познакомимся с понятием площади поверхности призмы, с теоремой о площади боковой поверхности прямой призмы и затем рассмотрим задачи.

II. Актуализация знаний.

Преподаватель:  Призма является многогранником. С какими многогранниками мы уже знакомы?

Ответы студентов: Параллелепипед, тетраэдр.

Преподаватель:

– Что называется многогранником? Какая поверхность называется параллелепипедом? Тетраэдром?

– Что называют гранями многогранника? Вершинами? Ребрами? Диагональю?

– Какой многогранник называется выпуклым? (ответы детей, демонстрация слайда)

3.Изучение нового материала.  (45 минут)

Преподаватель: Перейдем к изучению нового материала. Запишите число и тему урока «Призма. Площадь поверхности призмы».

Мозговой штурм: “Ваши ассоциации со словом призма?” (Записываются на доске варианты ответов учащихся.)

Формирование понятия призмы

Преподаватель:Призма тоже многогранник. Значит, в первую очередь, что мы будем понимать под призмой?

Студент: Это поверхность, составленная из многоугольников.

Преподаватель: Какие элементы можно выделить у призмы?

Студент: Основания, боковые грани, вершины, ребра.

Преподаватель: Теперь нам нужно разобраться, из каких именно многоугольников составлена поверхность и сколько их. У призмы 2 основания, основаниями являются два равных многоугольника, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани, боковые, – параллелограммы. Их столько, сколько и углов у многоугольника в основании.

Преподаватель: Итак, как мы можем сформулировать определение призмы?

Студент: Призмой называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов

Преподаватель: Запишите в конспект это определение призмы.

Запись в конспект:

Призмой называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов_

Преподаватель: Рассмотрим два равных многоугольника А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β так, что отрезки А1В1, А2В2…АnBn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. Каждый из n четырехугольников А1А2В2В1, А1А2В2В1,…АnА1В1Вn является параллелограммом.

Преподаватель: Перед нами многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A1A2B2B1, A2A3B3B2,…, AnA1B1Bn. Что мы получили?

Студент: Призму.

Преподаватель: Правильно. Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вnназываются основаниями, а А1А2В2В1, А1А2В2В1,…АnА1В1Вn – боковыми гранями призмы, а отрезки А1В1, А2В2…АnBn – ее боковыми ребрами.

Преподаватель: Подумайте и скажите, как можно обозначить пирамиду?

Студент: А1А2…АnВ1В2Вn.

Преподаватель: Верно. Призму с основаниями А1А2…Аn и B1B2…Bn обозначают А1А2…АnВ1В2Вn и называют n-угольной призмой.

Преподаватель: Теперь сделайте соответствующие записи в ваших конспектах.

Запись в конспектах.

А1А2…АnВ1В2Вn – _призма_

Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – _основания призмы_

Параллелограммы А1А2В2В1, А1А2В2В1,…АnА1В1Вn – _боковые грани

Отрезки А1В1, А2В2…АnBn – _боковые ребра призмы_

Преподаватель : Запишем определение высоты призмы

Запись в конспектах:

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется _высотой_ призмы.

Виды призм: прямая, наклонная правильная

Преподаватель: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Запишем это.

Запись в конспектах:

Призма называется _прямой_, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, в противном случае призма называется_ наклонной_. Высота прямой призмы равна ее_боковому ребру.

Преподаватель: Рассмотрим примеры призм.

Преподаватель: Название призмы зависит от того, какие многоугольники лежат в её основаниях: треугольники – треугольная призма, пятиугольники – пятиугольная и т.д. Четырёхугольная призма является параллелепипедом.

Преподаватель: А какая призма будет называться правильной?

Студент: Если ее основания – правильные многоугольники.

Преподаватель: Правильно. Но изначально эта призма ещё должна быть прямой. У такой призмы все боковые грани являются равными прямоугольниками. Запишите это в свои конспекты.

Запись в конспектах:

Прямая призма называется _правильной_, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – _равные прямоугольники_.

Формирование понятия площадей полной и боковой поверхностей призмы.

Преподаватель : Подумайте и ответьте на вопрос: из чего состоит площадь полной поверхности призмы?

Студент :Площадь полной поверхности призмы состоит из площадей оснований и площади боковой поверхности.

Преподаватель:

Sполн = Sбок + 2Sосн

 Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности выражается через площадь боковой поверхности и площадь основания призмы формулой: Запишем это.

Запись в конспектах:

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Sполн = Sбок + 2Sосн – площадь полной поверхности призмы

4. Доказательство теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы.

Преподаватель: Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Преподаватель: Формулировка теоремы звучит так: «Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы». Это выражается формулой: Sбок = Ph. Сделайте записи в конспектах.

Запись в конспектах:

ТЕОРЕМА: _Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Sбок = Ph – площадь боковой поверхности прямой призмы

Преподаватель: Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников. По-другому, чему равна?

Студент : Равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, то есть его периметр Р. Итак, Sбок=Ph.

Первичное закрепление материала.

Преподаватель:  Среди изображенных тел выберите те, которые являются призмами, ответ обоснуйте.

Преподаватель: Перейдем к решению задач.

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Преподаватель: Сделаем рисунок и запишем, что нам дано и, что нужно найти.

Студент: Нам дано: АВСDA1В1C1D1 – прямая призма, ABCD – равнобедренная трапеция, АВ = 25, СD = 9, DH = 8. Нужно найти ∠А1В1C1 и ∠В1C1В1 (∠АВC и∠ВCD).

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами):

Дано: АВСDA1В1C1D1 – прямая призма, ABCD –трапеция, AD = BC, АВ = 25, СD = 9, DH = 8.

Найти: ∠А1В1C1 и ∠В1C1D1 (∠АВC и ∠ВCD).

Решение.

Преподаватель: Что мы можем найти из условия задачи?

Студент: Так как трапеция правильная, то ∠А = ∠В и ∠C = ∠D (∠А1 = ∠В1, ∠C1 =D1).

Преподаватель: Как мы можем найти эти углы?

Студент: Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с высотами DH и CF.

Преподаватель: HF = 9см, AH = FB = (25 – 9) : 2 = 8.

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами).

Преподаватель: Можно заметить, что ∆ADH = ∆CBF – прямоугольные и равнобедренные, следовательно ∠DAB = ∠ABC = 45° и значит ∠D = ∠C = 45° + 90°= 135°.

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами)

Преподаватель: Таким образом, ∠ABC и ∠А1В1C1 – линейные углы двугранного угла передней и боковой граней, ∠ABC = ∠А1В1C1 = 45°. ∠BCD и ∠В1C1D1 – линейные углы двугранного угла задней и боковой граней, ∠BCD = ∠В1C1D1= 135°.

Запись задачи в конспектах:

1) Т.к трапеция правильная, то ∠А = ∠В и ∠C = ∠D (∠А1 = ∠В1, ∠C1=  D1).

2) Т.к ABCD – равноб., HF = 9см, DH = CF = 8см, = > AH = FB = (25 – 9) : 2 = 8 см.

3) ∆ADH = ∆CBF – прямоуг. и равноб. = > ∠DAB = ∠ABC = 45° и значит ∠D =∠C = 45° + 90° = 135°.

4) Т.о, ∠ABC и ∠А1В1C1 – лин.углы, ∠ABC = ∠А1В1C1 = 45°. ∠BCD и ∠В1C1D1– лин.углы, ∠BCD = ∠В1C1D1 = 135°.

Ответ: 45°, 135°.

Преподаватель: Следующий

. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Преподаватель: Сделаем рисунок и запишем, что нам дано и, что нужно найти.

Студент: Нам дана правильная треугольная призма АВСA1В1C1 со стороной основания равной 8см и боковым ребром равным 6см. Найти площадь сечения..

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами)

Дано: АВСA1В1C1 – правильная призма, AВ = BC = АС = 8см, СC1 = 6см.

Найти: S A1ВC1.

Решение.

Преподаватель: Так как АВСA1В1C1 – правильная призма, то боковые грани – равные прямоугольники, ∆A1ВC1 – равнобедренный. Что мы можем узнать, исходя из данных?

Студент: Так как нам известна сторона основания и боковое ребро, то мы можем найти A1В = ВC1

Преподаватель: A1В = ВC1, ВC1 = √СВ2 + СС12, ВC1 = √82+62 = 10см

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами).

Преподаватель: Проведём высоту ВН, получим, что A1Н =НC1 = 4см. Как мы найдем ВН?

Студент: По формуле Пифагора.

Преподаватель: ВН = √100 – 16 = 2√21см

Запись на доске (преподаватель) и в конспектах (студентами):

Преподаватель: Итак, можем мы ответить на вопрос задачи?

Студент: Можем, все данные для вычисления площади нам известны.

Преподаватель: S A1ВC1 = ½ * 8 * 2√21 = 8√21 (см2)

Запись на доске (преподавателем) и в конспектах (студентами):

Запись задачи в конспекте:

1) Т.к АВСA1В1C1 – правильная, то боковые грани – равн. прямоуг., ∆A1ВC1 – равноб. = > A1В = ВC1, ВC1 = √СВ2 + СС12, ВC1 = √82+62 = 10(см)

2) ВН┴ A1C1, A1Н =НC1 = 4см, значит ВН = √100 – 16 = 2√21(см) (По ф-ле Пифагора)

3) S A1ВC1 = ½ * 8 * 2√21 = 8√21 (см2)°.

Ответ: 8√21 (см2).

Преподаватель:  Следующую задачу выполните самостоятельно.

Условие:

Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую  сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 √2 см.

АDС1 В1 – прямоугольник, 
(АВС ┴ АD, В1В┴ АD, по теореме о трех перпендикулярах АВ1┴ АD, следовательно АВ1 ┴ В1С1).
АВСD – прямоугольник: 
АВ = ВD · sin 450 = (4√2·2)/2 = 4√2
АD = 4
∆ВВ1D: ВD ·tq 600 = 4√2 · √3 = 4√6
∆DС1С: DС1= √16 + 64 = 4√7 см.
SАDС1В = 4 · 4√7 = 16 √7 (см2).

Ответ: 16√7 см2

4. Выводы. Рефлексия. (10 минут)

Студенты рассказывают, чем занимались на занятии и к какому выводу пришли.

Преподаватель предлагает учащимся обобщить приобретённые знания на занятии. Что нового узнали на занятии? Понравились ли подобранные задачи? Чем? Просит учеников оценить свою работу на занятии? Что понравилось на занятии, а что нет? Учащиеся высказывают своё мнение, подводят общий итог учебного занятия. Преподаватель отмечает, в какой мере достигнуты цели, выполнены задачи занятия; говорит о дальнейшем плане изучения темы; выставляет студентам оценки за урок.

Примерные вопросы студентам:

– Что такое призма? Какие бывают призмы? На какие виды делятся?

– От чего зависит правильная призма или наклонная, прямая или нет?

– Сформулируйте теорему о площади боковой поверхности прямой призмы и назовите формулу, которой она выражается.

5. Домашнее задание. (5 минут)

Литература.

1. Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2016 г.
2. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2016
3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2015.