Портфолио по математике. Памятки, правила, понятия, формулы.
методическая разработка

Правило чтения многозначных чисел

Правило чтения многозначных чисел: многозначные числа читают слева направо. Сначала разбивают число на классы, отсчитывая справа по три цифры. Чтение начинают с единиц старших классов (слева). Единицы старших классов читают сразу как трехзначное число, добавляя затем название класса. Единицы I класса читают без добавления названия класса.

Например: 1 234 456 – один миллион двести тридцать четыре тысячи четыреста пятьдесят шесть.

Если какой-то класс в записи числа не содержит значащих цифр, его при чтении пропускают.

Например: 123 000 324 – сто двадцать три миллиона триста двадцать четыре.

Понятие «класс» является базовым для образования многозначных чисел. Все многозначные числа содержат два и более классов.

Класс объединяет три разряда (единицы, десятки и сотни).

На письме при записи многозначного числа принято делать разрядку между классами: 345 674, 23 456, 101 405, 12 345 567.

Правило записи многозначных чисел

Правило записи многозначных чисел: многозначные числа записывают по классам, начиная с высших. Чтобы записать цифрами число, например, двенадцать миллионов четыреста пятьдесят тысяч семьсот сорок два, поступают так: записывают группами единицы каждого названного класса, отделяя один класс от другого небольшим промежутком (разрядкой):

12 450 742.

Классовый состав – выделение «классовых чисел» (классовых составляющих) в многозначном числе.

Например: 123 456=123 000 +456

34 123 345= 34 000 000 +123 000+345

Разрядный состав – выделение разрядных чисел в многозначном числе:

Правила сравнения чисел

При сравнении первой пары чисел ссылаются на порядок следования чисел в натуральном ряду: число последующее больше, чем число предыдущее.

При сравнении второй пары чисел ссылаются на количество знаков в записи чисел: трехзначное число всегда меньше, чем четырехзначное.

При сравнении третьей, четвертой и пятой пары чисел используют правило сравнения многозначных чисел: Чтобы узнать, какое из двух многозначных чисел больше, а какое меньше, поступают так: сравнивают числа поразрядно, начиная с высших разрядов.

Например, из двух чисел 34 567 и 43 567 больше второе, поскольку в разряде десятков тысяч оно содержит 4 единицы, а первое в том же разряде содержит три единицы.

Из двух чисел 415 760 и 415 670 больше первое, поскольку класс тысяч в обоих числах содержит одинаковое количество единиц – 415ед. тыс., но в разряде сотен тысяч первое число содержит 7 единиц, а второе – 6 единиц.

Из двух чисел 200 030 и 200 003 больше первое число, поскольку класс тысяч в обоих числах содержит одинаковое количество единиц- 200ед.тыс., в разряде сотен оба числа содержат нули, в разряде десятков первое число содержит 3 единицы, а второе число в разряде десятков не имеет значащих цифр (содержит нуль), поэтому первое число больше.

Для большей наглядности при выполнении задания можно сравнивать две модели чисел из косточек на счетах ( количественная модель).

Сравнивая многозначные числа, можно ссылаться на то, что число, содержащее в записи большее количество знаков всегда будет больше, чем число, содержащее меньшее количество знаков.

Схема разбора числа

7979

1. Семь тысяч девятьсот семьдесят девять

2. 9 единиц I разряда или 9 единиц; 7 единиц III разряда или 7 десятков 9 единиц II разряда или 9 сотен, 7 единиц II класса.

3. 7979 единиц, 797 десятков, 79 сотен, 7 тысяч.

4. 7979 = 7000 + 900+ 70 + 9.

5. Предшествующее 7978.

    Последующее 7980.

6. Наименьшее 1000.

    Наибольшее 9999.

7. Для записи данного числа 4 цифры, среди них различных 2.

Термины:

Сложение - арифметическое Действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых. Действие сложения определяется также для случая произвольных действительных или комплексных чисел, а также векторов и т. д.

Слагаемым принято называть одно из чисел, которые участвуют в такой арифметической операции, как сумма. Сумма как математическое действие может содержать в своем составе множество слагаемых - их количество ничем не ограничено.

Сумма - Число, получаемое в результате сложения двух или нескольких величин. 

Вычитание- арифметическое действие, обратное сложению, т. е. нахождение одного из слагаемых (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному другому слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком - (минус).

Уменьшаемое - Число, из которого вычитают другое при действии вычитания. 

Вычитаемое – число, которое вычитают из уменьшаемого.

Разность- результат вычитания.

Задачи в стихах

Термины:

Деление — действие, обратное умножению. 

Делимое - число, которое - в действии деления - подвергается делению 

Делитель - число, на которые - в действии деления - делят делимое

Частное - число, полученное от деления одной величины на другую 

Умножение - математическое действие, посредством которого из двух чисел (или величин) получается новое число (или величина), которое (для целых чисел) содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором.

Множитель - Второе из двух перемножаемых чисел или величин

Произведение - Число, полученное в результате умножения.

Игры для устной работы в разной форме.

«Помоги белочке собрать грибы»

Учитель обращается к детям с предложением помочь Белочке отобрать вкусные грибы.

На грибах записаны примеры на умножение и деление.

Вкусными будут те, ответ которых будет меньше числа 27 и т.п.

«Магазин»

На полках выставлены различные игрушки. Вместо таблички с ценой записан пример на карточке.

Цены станут известны тогда, когда дети-покупатели «покупая» игрушку, решат записанный пример.

«Садовод»

Вот так яблоки - полные сока сладкого,

Руку протяните и яблоко сорвите.

Стал ветер ветку качать,

И трудно яблоко достать.

Но яблочки эти не простые,

На них цифры золотые.

Быстро яблочко сорвите,

Ловко пример решите.

Кто больше успел решить и записать примеров, тот и победил.

На листе бумаги нарисована яблоня.

К ней прикреплены красные яблоки, на обратной стороне которых записаны примеры.

К доске выходят три ученика.

Они срывают яблоки и быстро записывают примеры.

«Математический циферблат»

В середине циферблата есть кармашек для чисел, которые являются произведением множителей.

Дети стрелками должны показать множители, при наведении на которые получаем то или иное произведение.

Второй вариант игры: ученики по очереди показывают стрелками множители и вставляют в кармашек произведение.

«Математическое домино»

Для этой игры нужно вырезать 28 карточек размером 3 х 4 см.

В верхней части карточек написаны примеры на умножение и деление, а в нижней части - ответы к примерам.

Задача детей - подставить к примеру карточку с правильным ответом. Игра снимает напряжение и усталость, заинтересовывает, а главное, помогает лучше и быстрее запомнить таблицу умножения и деления.

«Молчание»

Ученик должен отвечать на вопросы учителя, не говоря ни слова, а показывая только карточку с числами.

Вопросы учителя связаны с изучением таблицы умножения и деления.

Такую игру полезно проводить, когда ученики возбуждены и им трудно сосредоточиться без помощи учителя.

«Эстафета»

Ведущий. Дети, сегодня повторим таблицу умножения на 3.

Во время эстафетного бега будем передавать палочку через каждые 3 метра. Приготовились! Марш!

Учащиеся передают друг другу палочку, называя числа: три, шесть, девять, двенадцать и так далее, то есть последовательно воспроизводят таблицу числа 3.

Второй, третий ряды, еще раз пробегая дистанцию, считают тройками.

Таким образом можно повторить таблицу умножения по всем числам

Заменяю…

Получилось выражение…

Удобнее…

Методические приёмы обучения решению задач.

1. Выбор схемы.

В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 в клетку, остальные в линейку. Сколько тетрадей в линейку лежит в портфеле?

Маша нарисовала к задаче такую схему:

Миша – такую:

Кто из них невнимательно читал текст задачи?

2. Выбор вопросов.

От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, потом ещё 4 дм.

Подумай! На какие вопросы можно ответить, пользуясь этим условием:

А) Сколько всего дм проволоки отрезали?

Б) На сколько дм меньше отрезали в первый раз, чем во второй?

В) На сколько дм проволока стала короче?

Г) Сколько дм проволоки осталось?

3. Выбор выражений.

На велогонках стартовало 70 спортсменов. На первом этапе с трассы сошли 4 велосипедиста, на втором 6. Сколько спортсменов пришло к финишу? Выбери выражение, которое является решением задачи.

4. Выбор условия к данному вопросу.

Подбери условия к данному вопросу и реши задачу.

Сколько всего детей занимается в студии.

А) в студии 30 детей, из них 16 мальчиков

Б) В студии мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем девочек.

В) В студии 8 мальчиков и 20 девочек.

5. Выбор данных.

На аэродроме было 75 самолетов. Сколько самолётов осталось?

Выбери данные, которые можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос:

А) Утром прилетело 10 самолётов, а вечером улетело 30

Б) Улетело на 20 самолётов больше, чем было.

В) Улетело сначала 30 самолётов, потом 20.

6. Изменение текста задачи в соответствии с данным решением.

Подумай! Что можно изменить в текстах задач, чтобы выражение 9 – 6 было решением каждой?

А) На двух скамейках сидели 6 девочек, на одной из них 9. Сколько девочек сидело на второй скамейке?

Б) В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду?

7. Постанова вопроса, соответствующего данной схеме.

Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см. Рассмотри схему и подумай, на какой можно ответить пользуясь данным условием.

8. Объяснение выражений, составленных по данному условию.

Фермер отправил в магазин 45 кг укропа, петрушки на 4 кг больше, чем укропа, и 19 кг сельдерея. Сколько всего кг зелени отправил фермер в магазин? Что обозначают выражения, составленные по условию задачи

9. Выбор решения задач.

Курица легче зайца на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы? На сколько курица легче собаки?

Маша решила задачу так: 8 + 4 – 12 = 3 ( кг.)

А Миша – так: 8 – 4 = 4 (кг.)

Кто прав Миша или Маша?

Условие

Вопрос

Решение

Ответ

Мне известно…

Надо узнать…

Объясняю…

Решаю…

Ответ…

Памятка работы над составной задачей:

1. Читай задачу и представляй себе, то о чём говорится в задаче.

2. Запиши задачу кратко или выполни чертёж.

3. Объясни, что показывает каждое число и назови вопрос задачи.

4. Подумай, какое число получится в ответе больше или меньше , чем данные числа.

5. Подумай можно ли сразу ответить на вопрос задачи, если нет то почему? Что можно узнать сначала, что потом? Составь план решения.

6. Выполни решения.

7. Ответь на вопрос задачи.

8. Проверь решение.

Таблицы мер величин и соотношения между ними.

Термины:

Цена – это величина, которая показывает, сколько стоит один предмет (один килограмм продукта, одна коробка чая и т.д.). Будем обозначать цену буквой Ц.

Количество - это число, которое показывает, сколько предметов мы купили (сколько коробок мы купили или сколько килограмм и т.д.). Будем обозначать количество буквой К.

Стоимость - это величина, которая показывает, сколько будут стоить все те предметы, которые мы купили. Будем обозначать стоимость буквой С.

Виды задач с тройками пропорциональных величин.

Задачи с пропорциональными величинами.

Для введения данного вида задач используются дид. игра «магазин» ее цель сформировать понятие цена, кол-во и стоимость. Прямая и пропорциональная зависимость означает что при постоянном из 1 величин с увеличением др. величины увеличивается др. величина. Для того чтобы рассмотреть прямую и пропорциональную зависимость школьнику предлагается заполнить таблицу (цена, кол, стоимость) и дети сами заполняют значения – прослеживают измениния. «Что интересного вы заметили?» Для того. затем детям вводятся как можно найти стоимость покупки зная цену и кол-во товара а также как находится цена 1 товара или кол-во предметов. Затем учитель предлагает шк. фиксировать условие и требование к задаче виде таблицы.

Задача на нахождение 4го пропорционального. 

В данном виде задач даны величины связанные прямой или обратной пропорциональной зависимостью. 2 из этих величин переменные а1 постоянно при этом даны 2 значения одной переменной величины и 1 из соответсттвующих значений 2й переменной. 2е значение этой переменной величины явл. искомым задачи. В нач. курсе мат. рассматривается 6 видов на нахождение 4го пропорционального. Каждую из этих задач можно решить способом нахождения значения постоянной величины, т.е. сначало найти значение постоянной величины а затем используя ее найти искомую.

Задачи на пропорциональное деление.

 Вводятся в 3 кл. эти задачи включают 2 переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соотвествующих значений другой переменной: слагаемое этой суммы явл. искомыми. В нач. курсе мат. задачи на проп. деление решается только способом нахзождения значения постоянной величины. На подготовительном этапе необходимо сформировать у мл. шк. твердое умене решать задачи на нахождение 4 проп. 2тап. школьниками на доске используется краткая запись. учитель исправляет таблицу и просит составить задачу по исправленной таблице. Пр.Учитель просит составить школьников составить задачу по таблице. Для того чтобы школьнику было легче работать с новой задачей учитель задает сл. вопросы: -Что требуется узнать из задачи? –что значит каждый уплатил одно кол-во? можно ли узнать цену, почему нельзя? и т.д. Задачи такого плана решаются только по Занкову. На этапе решение задачи записывается в форме с пояснением и действиями. После этого шк. решают задачи к-е даются уже в готовом виде. при этом учитель должен научить шк. 1)расчлинять вопрос на 2 вопроса. 2)выяснить к-е из искомых чисел должно быть больше и почему? Рассуждения обучно идут от вопроса к данным. Проверка решения выполняется способом установления соотвествия м\ду числами полученными в ответе и данными. Закрепление. На этом этапе происходит обобщение способа решения данного вида задач. На этом этапе целесообразно давать готовые задачи так и на составлеие и преобразование.

Задачи на нахождения неизвестных по 2 разностям. 

(3кл) Они включают 2 переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменой и разность соотвествующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной явл. искомыми. В нач. курсе мат-ки используется только 2 типа. Подготовительный этап. Шк. должны хорошо усвоить задачи на нахожнеие 4 пропорц. а также рассматривают пары задач к-е помогут шк. уяснить соотношение м\ду 2 разностями. Пр.Сестра купила 5 один. тетрадей а брат 8 таких же тетр. у кого из них больше уплатил денег? почему? за сколько тетр. брат уплатил столько же денег сколько и сестра. Пр.Брат и сестра купили тетр. по одной цене брат купил на 3 тетр. больше чем сестра и заплатил на 9 р. больше чем сестра. Сколько купил брат тетр.? 2этап. метдика знакомства с задачами на нахожд. неизв. по 2 разностям – логична методике введения задач на пропорц. деление. Закрепление точно такое же что и у проп. дел.

Задачи на движение.

Школьники на конкретных примерах разъясняется смысл данного понятия а именно скорость- это некоторое расстояние пройденное за единицу времени. Трудность состоит в том что расстояние и длина это одно и тоже. После этого детям даются сл. задания. пр. Акула каждый час проплывала по 50км. Затем учитель конструирует вместе со шк. единицы измерения скорости. км\ч, м\ч, с\ч. Кто может с такой скоростью двигаться? –школьникам предлагается выписать встолбик единицы измерения длины, а в др. столбик единицы времени. –затем учитель предлагает записать на языке мат-ки фразы. Скорость=км\ч. –далее учитель задает вопосы. Какой объект может двигаться со скоростью км\ч? –затем при постоянной единицы времени меняется и так получаются новые ед. –затем учитель рассказывает о тройке взаимосвязанных величин v=s\t. –затем дети знакомятся с простыми задачами. При анализе данной задачи (пешеход проходит 5 км\ч. Сколько км. он проходит?) вводятся модели в табличном виде и вводятся либо схемы либо чертижи. После этого шк-ов знакомят с видами движений используя прием театрализации или представления.

Задачи на встречное движение. 

такие задачи наиболее удобно решать с пом. геом. метода т.е. с пом графика. Детям на практических заданиях разъесняется: -чем больше расстояние тем больше скорость. Также на подготовит. этапе знакомятся с прибором для измерения скорости – спидометр. Детям предлагает модель или рисунок. При изучении данной темы особое внимание надо уделять чтобы шк-ки выражали своим мысли и обоснование своих действий на слух.- школьники должны уметь для описания задач как табличной модели так и моделей. а)создает настрой б)если реб. проводит действия то быстрее запоминает. в)в нач. курсе мат. не дается переводы алгоритмы из одних измерений в др. Данная тема изучается обычно в 1 классе. Во 2м полугодии учителям рекомендуется использовать такие разнообразные задания для улучшения кругозора и умения, интерес к теме. При выполнении д\з обязательно нужно учитывать то какие задачи мы решали на уроке. Обычно домой задаются аналогичные задачи тем, что рассматривалить в классе. Для закрепления: составление обратных пропорциональных и их решение.

Примеры задач.

1. Задача на нахождение четвёртого пропорционального.

 «Столяр и его ученик ремонтировали стулья. Ученик работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а столяр сделал такую же работу за 4 дня. Сколько стульев в день ремонтировал столяр?» Рассуждение ученика с построением схемы: 1. Выделю тройку величин (выработка в каждый день, число дней, вся выработка).

2. Соотнесу величины естественного языка языку схемы: мерка – выработка в каждый день; количество мерок – время работы; целое – общая выработка; первая часть – отражает деятельность ученика; вторая часть – отражает деятельность столяра. 3. Дополню схему количественными характеристиками. 1. Составлю план решения задачи. – Найду целое (мерку умножу на количество мерок). – Найду мерку (так как целые равны, целое разделю на количество мерок). 2. Прикину результат, он должен быть больше, так как при равных целых мерка будет больше, если их количество меньше. 3. Решу задачу. (10 · 6) : 4 = 15 4. Запишу ответ (мерка на естествен/ ном языке – выработка в день; вторая часть – деятельность столяра). Ответ: 15 стульев ремонтирует столяр за день.

 2. Задача на пропорциональное деление

«Рабочий расфасовал в пакеты 46 кг пшена и 42 кг риса. Всего получи лось 44 пакета одинаковой массы. Сколько получилось пакетов пшена и риса в отдельности?» Задача на зависимость величин: масса одного предмета, число предметов, общая масса. Составлю схематический чертёж, где мерка – это масса одного предмета, количество мерок – число предметов, целое – общая масса.

Схема состоит из двух частей: 1"я часть разъясняет данные о пшене; 2"я часть – о рисе. На" черчу схематический чертёж, рас" ставлю количественные характеристики на схеме, обозначу неизвестное знаком «?». Составлю план решения:

 1. Найду целое по известным двум частям, для этого сложу части (46 + 42 = = ) 2. Известно целое и количество мерок. Найду мерку, целое разделю на количество мерок ( : 44 = ) 3. Найденные мерки равны. Рассмотрю 1ю часть: в ней известно целое и мерка. Найду количество мерок. Для этого целое разделю на мерку (46 : = ?) 4. Во 2й части по известным целому и мерке найду количество мерок (42 : = ?) Решу задачу: 1) 46 + 42 = 88 3) 46 : 2 = 23 2) 88 : 44 = 2 4) 42 : 2 = 21 Проверю. Сделаю вывод: 23 + 21 = 44, следовательно, задача решена верно: 44 = 44 Запишу ответ: 23 пакета пшена, 21 па/ кет риса. Решение задачи оформляется по действиям без пояснения. А пояснение каждого арифметического действия с опорой на текст задачи может выступать, как один из видов проверки в решении задачи.

 3. Задача на нахождение неизвестного по двум разностям

«В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, в другой – 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколько лит ров молока привезли в каждый магазин?» мерка – ёмкость одного бидона; количество мерок – число бидонов; целое – общая ёмкость; 1я часть – молоко, которое при" везли в первый магазин; 2я часть – молоко, которое при" везли во второй магазин.

План решения 1. Узнаю, на сколько мерок больше в первой части, чем во второй. 2. Найду мерку. 3. Найду целое 1й части. 4. Найду целое 2/й части. В любой задаче существуют связи и зависимости между величинами, и решение задач по существу является средством изучения и познания этих связей и зависимостей. Строя схематический чертёж, мы освобождаем учеников от восприятия несущественных особенностей условий, а существенные представляем в наглядной и доступной для осмысления форме и тем самым помогаем детям установить и понять все возможные связи и зависимости между величинами. А это, в свою очередь, облегчает детям осуществление поиска способа решения.

Термины:

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений.

Корень уравнения - это такое число, которое при подстановке даёт верное числовое равенство.