Презентация урока Наибольшее и наименьшее значение функции
презентация к уроку на тему

Слайд 1

За каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – значить пережить приключение

Слайд 2

1) Назвать критические точки функции. 2) Все ли они являются точками экстремума? 3) В каких точках производная равна 0? Почему? 4) Назвать промежутки возрастания и убывания функции. 5) Назвать промежутки, где f´(х)<0, f´(х)>0.

Слайд 3

Критические точки функции: 2 4 1 критическая точка 2 критическая точка 3 критическая точка 4 критическая точка 5 критическая точка

Слайд 4

Критическая точка функции – это внутренняя точка области определения, в которой производная обращается в нуль или не существует Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции х 2 х 1 у Х Х у х 2 х 1 у Х х 1 f(x 1 )=0 f(x 2 )=0 f(x 1 )=0

Слайд 5

Экстремумы функции: 2 4 1 точка экстремума 2 точка экстремума 3 точка экстремума Седловая точка 4 точка экстремума

Слайд 6

Точки из области определения функции, в которых f ` ( х )=0 называются стационарными точками этой функции. х 2 х 1 у Х f(x 1 )=max f(x 2 )=min у Х х 1 f(x 1 )=0 Экстремумы Не является экстремумом Стационарные точки Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума

Слайд 7

Производная равна 0 в точках: 2 4 В точке х=1 f ` (x)=0 В точке х=2 f ` (x)=0 В точке х=4 f ` (x)=0 В точке х=6 f ` (x)=0 В точке х=8 f ` (x)=0

Слайд 8

В стационарной точке скорость изменения функции равна нулю, то есть функция «на мгновение» перестает меняться Касательная в стационарных точках горизонтальна, то есть образует нулевой угол с осью Х. Поэтому f ` (x)=0

Слайд 9

Промежутки возрастания: 1 2 4 8 (-2; 1), (2; 4), (8;11)

Слайд 10

Промежутки убывания: 1 2 4 8 (1; 2), (4; 8)

Слайд 11

1 2 4 8 Производная f ´( х )<0, f ´( х )>0.

Слайд 12

1 2 4 8 Производная f ´( х ) > 0 в промежутках (-2; 1) (2; 4) (8; 11)

Слайд 13

Признак возрастания функции Если производная положительна f ´( х ) > 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке

Слайд 14

1 2 4 8 Производная f ´( х )<0 в промежутках (1; 2) (4; 8)

Слайд 15

Признак убывания функции Если производная отрицательна f ´( х )<0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке

Слайд 17

Блиц – опрос Получи допуск к работе

Слайд 18

Если функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) и f ' ( х ) > 0 для всех х Є ( a ; b ) , то функция __________ на интервале ( a ; b ) Если функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) и f '( х ) __ 0 для всех х Є ( a ; b ) , то функция возрастает на интервале ( a ; b ) Пусть функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) , х 0 Є ( a ; b ) , и f '( х 0 ) = 0. Тогда если при переходе через стационарную точку х 0 функции f ( х ) ее производная меняет знак с “+” на “–”, то точка х 0 – точка _________ функции f ( x ) возрастает > максимума

Слайд 19

Если функция у = f ( х ) непрерывна в точке х 0 и производная в этой точке меняет знак с “___” на “___”, то х 0 - точка минимума Если х 0 - точка экстремума функции у = f ( х ), то производная в этой точке равна ___. Если функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) и f '( х ) ___0 для всех х Є ( a ; b ) , то функция убывает на интервале ( a ; b ) - 0 < +

Слайд 20

Если функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) и f '( х ) < 0 для всех х Є ( a ; b ) , то функция ___________ на интервале ( a ; b ) Пусть функция f ( x ) дифференцируема на интервале ( a ; b ) , х 0 Є ( a ; b ) , и f '(х 0 ) = 0. Тогда если при переходе через стационарную точку х 0 функции f ( х ) ее производная меняет знак с “–” на “+”, то точка х 0 – точка ____________ функции f ( x ) Если функция у = f ( х ) непрерывна в точке х 0 и производная в этой точке меняет знак с “___” на “___”, то х 0 - точка максимума. минимума + убывает -

Слайд 21

Точки, в которых производная функции равна 0, называются ______________ стационарными

Слайд 23

Наибольшее и наименьшее значение функции Цель: Научиться находить наибольшее и наименьшее значение функции 2. Составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Тема:

Слайд 25

Парабола на области определения имеет только наименьшее значение. Наибольшего значения нет, ветви уходят в бесконечность.

Слайд 26

На отрезке есть и наибольшее и наименьшее значения.

Слайд 27

Кубическая парабола на области определения имеет два экстремума, но наименьшего и наибольшего значений не достигает.

Слайд 28

Здесь на отрезке наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.

Слайд 29

Здесь на отрезке наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.

Слайд 30

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Вывод:

Слайд 31

Работаем по учебнику самостоятельно! Упражнение 281, стр. 119

Слайд 33

Определите наибольшее и наименьшее значение функции

Слайд 34

Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке х = а , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке х = в Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = х 0 (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке х = в . Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке х = а , а своего наименьшего значения в точке х = х 0 (это точка минимума).

Слайд 35

Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой. Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = в , а своего наименьшего значения точке х = а (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум). Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = х 0 (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке х = х 1 (это точка минимума).

Слайд 36

Давайте обобщим, в каких точках на отрезке функция может принимать наибольшее или наименьшее значение? Функция может принимать наибольшее и наименьшее значение в критических точках или на концах отрезка.

Слайд 39

Самостоятельная работа П л а н р е ш е н и я: 1) Найдите производную функции . 2) Найдите критические точки функции. 3) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках. 4) Среди найденных значений функций выберите наибольшее и наименьшее. 5) Запишите ответ Вариант 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f ( x ) = 1-4x+x 2 на отрезке [0;4 ]. Вариант 1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f ( x ) = x 3 /3-x 2 +1 на отрезке [-1;1].

Слайд 41

На каком рисунке производная функции равна нулю в точке: 1 вар.: х = 0? 2 вар.: х = 1 ?

Слайд 42

Какая функция определена, а её производная нет при: 1 вар.: х = 0; 2 вар.: х = 1.

Слайд 43

На каком рисунке график функции имеет ровно две критические точки на интервале 1 вар.: [- 2 ; 2 ] ? 2 вар.: [- 2 ; 0 ] ?

Слайд 44

На каком рисунке график функции имеет точку 1 вар.: максимума при х=-1? 2 вар .: минимума при х = 0? 1 2 3 4

Слайд 45

Для какой функции на интервале 1 вар.: [ 1; 2 ] производная отрицательна? 2 вар.: [ -1; 0 ] производная отрицательна? 1 2 3 4

Слайд 47

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него . 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке. ВЕРНО ЛИ УТВЕРЖДЕНИЕ?

Слайд 49

Задача. Самый тяжелый брус. Из цилиндрического бревна нужно выпилить брус наибольшего веса. Как это сделать? §3, стр 115 – 119, упражнение № 282 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Слайд 50

Ребята, заполните пожалуйста лист самооценки и передайте мне!

Слайд 51

БЛАГОДАРЮ ЗА УЧАСТИЕ И ВНИМАНИЕ! УСПЕХОВ В УЧЕБЕ И БУДЬТЕ ЗДОРОВЫ!!!